函数的定义（定义域、值域、对应法则）
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第18题求解题
18．设连续函数 $\displaystyle f(x): \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 在所有无理数处取有理数，且 $\displaystyle f(0)=1$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
第24题求解题
24．求下列不定积分．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\max \{1, x\}} \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \max \left\{1, x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int$ max $\displaystyle \{2,|x|\} \mathrm{d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int \max \{1,|x|\} \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\max \{1, x\}} \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \max \left\{1, x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int$ max $\displaystyle \{2,|x|\} \mathrm{d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int \max \{1,|x|\} \mathrm{d} x$ ．
第26题证明题
26．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续，且 $\displaystyle f(a+0)$ 与 $\displaystyle f(b-0)$ 为有限值．证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内有界；（2）若存在 $\displaystyle \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(\eta) \leqslant \min \{f(a+0), f(b-0)\}$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内能取得最小值．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=c$ ，当 $\displaystyle c$ 为有限值时，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$内取得最大值或最小值．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续，且 $\displaystyle f(a+0)$ 与 $\displaystyle f(b-0)$ 为有限值．证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内有界；（2）若存在 $\displaystyle \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(\eta) \leqslant \min \{f(a+0), f(b-0)\}$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内能取得最小值．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=c$ ，当 $\displaystyle c$ 为有限值时，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$内取得最大值或最小值．
第35题计算题
35．求下列积分．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}1+x^{2}, x \leqslant 0, \\ \mathrm{e}^{-x}, x>0,\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle \int_{1}^{3} f(x-2) \mathrm{d} x$ ．
（2）当 $\displaystyle x>0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{\ln x}{2}\right)=\sqrt{x}$ 且 $\displaystyle f(g(x))=(1+x)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ，计算积分 $\displaystyle \int_{1}^{2} g(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x+1}, x \geqslant 0, \\ \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}, x<0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x-1) \mathrm{d} x$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}1+x^{2}, x \leqslant 0, \\ \mathrm{e}^{-x}, x>0,\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle \int_{1}^{3} f(x-2) \mathrm{d} x$ ．
（2）当 $\displaystyle x>0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{\ln x}{2}\right)=\sqrt{x}$ 且 $\displaystyle f(g(x))=(1+x)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ，计算积分 $\displaystyle \int_{1}^{2} g(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x+1}, x \geqslant 0, \\ \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}, x<0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x-1) \mathrm{d} x$ 。
第36题证明题
36．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内定义，对所有的 $\displaystyle x, y$ ，有 $\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)$ ．证明：（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，且 $\displaystyle f(x)=f(1) x$ ；（2）若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin x}=1$ ，试求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，且对任意 $\displaystyle x, y \in \mathbf{R}$ 有 $\displaystyle f(x+y)=f(x) f(y)$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上可微．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有定义，且对任意 $\displaystyle x, y \in(0,+\infty)$ 都有 $\displaystyle f(x y)=f(x)+f(y)$ 。证明：
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 点处连续，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续；
（2）若 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ 存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可导，并求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．（四川大学 2002 ，西南大学 2002 ，湖南大学
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内定义，对所有的 $\displaystyle x, y$ ，有 $\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)$ ．证明：（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，且 $\displaystyle f(x)=f(1) x$ ；（2）若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin x}=1$ ，试求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，且对任意 $\displaystyle x, y \in \mathbf{R}$ 有 $\displaystyle f(x+y)=f(x) f(y)$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上可微．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有定义，且对任意 $\displaystyle x, y \in(0,+\infty)$ 都有 $\displaystyle f(x y)=f(x)+f(y)$ 。证明：
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 点处连续，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续；
（2）若 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ 存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可导，并求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．（四川大学 2002 ，西南大学 2002 ，湖南大学
第37题证明题
37．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 是实轴上的可微函数，对所有 $\displaystyle \forall x, y \in \mathbf{R}$ ，满足 $\displaystyle f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x) f(y)}$ ，并且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=1$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的表达式。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有定义，已知 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ 存在，且 $\displaystyle \forall x, y \in(0,+\infty)$ ，成立 $\displaystyle f(x y)=y f(x)+x f(y)$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内处处可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{f(x)}{x}+f^{\prime}(1)$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)+2 x y, \forall x, y \in \mathbf{R}$ ，并且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导，（1）试求函数 $\displaystyle f(x)$ 的表达式；（2）求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 连续，$\displaystyle f^{\prime}(0)$ 存在，并且满足：$\displaystyle f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-4 f(x) f(y)}, \forall x, y \in \mathbf{R}$ ．（1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上可微；（2）若 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 。
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 为定义在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的已知可导函数，而且对任意实数 $\displaystyle a, b$ 均满足 $\displaystyle f(a+b)=\mathrm{e}^{a} f(b)+\mathrm{e}^{b} f(a)$ ．又已知 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\mathrm{e}$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的表达式（不必求出 $\displaystyle f(x)$ 的表达式）．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 是实轴上的可微函数，对所有 $\displaystyle \forall x, y \in \mathbf{R}$ ，满足 $\displaystyle f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x) f(y)}$ ，并且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=1$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的表达式。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有定义，已知 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ 存在，且 $\displaystyle \forall x, y \in(0,+\infty)$ ，成立 $\displaystyle f(x y)=y f(x)+x f(y)$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内处处可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{f(x)}{x}+f^{\prime}(1)$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)+2 x y, \forall x, y \in \mathbf{R}$ ，并且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导，（1）试求函数 $\displaystyle f(x)$ 的表达式；（2）求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 连续，$\displaystyle f^{\prime}(0)$ 存在，并且满足：$\displaystyle f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-4 f(x) f(y)}, \forall x, y \in \mathbf{R}$ ．（1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上可微；（2）若 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 。
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 为定义在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的已知可导函数，而且对任意实数 $\displaystyle a, b$ 均满足 $\displaystyle f(a+b)=\mathrm{e}^{a} f(b)+\mathrm{e}^{b} f(a)$ ．又已知 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\mathrm{e}$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的表达式（不必求出 $\displaystyle f(x)$ 的表达式）．
第58题证明题
58．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n}$ 为满足 $\displaystyle a_{0}+\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{3}+\cdots+\frac{a_{n}}{n+1}=0$ 的实数。证明方程 $\displaystyle a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}=0$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少有一个实根．
（2）设 $\displaystyle a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 满足 $\displaystyle a_{1}-\frac{1}{3} a_{2}+\cdots+(-1)^{n+1} \frac{1}{2 n-1} a_{n}=0$ 。证明方程 $\displaystyle a_{1} \cos x+a_{2} \cos 3 x+\cdots+ a_{n} \cos (2 n-1) x=0$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内至少有一个实根．
（1）设 $\displaystyle a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n}$ 为满足 $\displaystyle a_{0}+\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{3}+\cdots+\frac{a_{n}}{n+1}=0$ 的实数。证明方程 $\displaystyle a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}=0$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少有一个实根．
（2）设 $\displaystyle a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 满足 $\displaystyle a_{1}-\frac{1}{3} a_{2}+\cdots+(-1)^{n+1} \frac{1}{2 n-1} a_{n}=0$ 。证明方程 $\displaystyle a_{1} \cos x+a_{2} \cos 3 x+\cdots+ a_{n} \cos (2 n-1) x=0$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内至少有一个实根．