函数项级数的一致收敛性判别法（M判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法）

2．证明下列函数项级数在指定区间上一致收敛．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x}{1+n^{5} x^{2}}, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \arctan \frac{2 x}{x^{2}+n^{3}}, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{\sqrt[3]{n^{4}+x^{4}}}, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{1+n^{4} x^{2}}, x \in[0,+\infty)$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sin n x}{n^{3}}, x \in(-\infty,+\infty)$ ．

3．证明下列函数项级数在指定区间上一致收敛．
（1）求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{2|x|}{x^{2}+n^{3}}\right)$ 的收敛域，并证明该级数在收敛域上是一致收敛的．
（2）证明级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{x}{n \ln ^{2} n}\right)$ 在 $\displaystyle [-a, a]$ 上一致收敛 $\displaystyle \left(0<a<2 \ln ^{2} 2\right)$ ．
（3）设 $\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ 为一个常数，$\displaystyle a_{n} \geqslant 0$ ，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_{n}} \sin n x}{n^{\alpha}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。

4．证明或讨论下列函数项级数在指定区间上的一致收敛性．
（1）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[n x \mathrm{e}^{-n x}-(n+1) x \mathrm{e}^{-(n+1) x}\right]$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 内收敛，但在 $\displaystyle [0,1]$ 上不一致收敛．
（2）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[n x \mathrm{e}^{-n x}-(n+1) x \mathrm{e}^{-(n+1) x}\right]$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 和 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上的一致收玫性。
（3）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}(1-x)}{\ln (n+1)}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．

5．证明或讨论下列函数项级数在指定区间上的收敛性．
（1）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 对 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty)$ 都绝对收敛，在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛，但在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非绝对一致收敛。
（2）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上一致收敛，但 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上非一致收敛．
（3）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的收敛性和一致收敛性．

6．证明或讨论下列函数项级数在指定区间上的敛散性．
（1）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{\alpha} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的和函数 $\displaystyle S(x)$ ，并讨论级数在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的一致收敛性，其中 $\displaystyle \alpha>0$ ．
（2）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x \mathrm{e}^{-n x}$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致收敛，但 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可逐项求导．
（3）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-n x}}{n^{\alpha}}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛 $\displaystyle (\alpha>0)$ ．
（4）证明当 $\displaystyle \alpha>2$ 时函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{\alpha} \mathrm{e}^{-n x^{2}}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致收敛．

8．证明下列结论．
（1）设函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} \mathrm{e}^{-n x}$ 的和函数为 $\displaystyle S(x)$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致收敛，但和函数 $\displaystyle S(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续．
（2）证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{e}^{-n^{2} x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致收敛，但和函数在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上任意阶可导．

9．证明下列结论．
（1）证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n+x^{2}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。但对 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty)$ 非绝对收敛．
（2）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n+x^{4}}$ 关于 $\displaystyle x$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛．

10．证明下列结论．
（1）证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2}+n}{n^{2}}$ 在任何有限区间上一致收敛，但在任何一点上都不绝对收玫．
（2）证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}}+\sqrt{n}}{n^{\frac{3}{2}}}$ 在任何有穷区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，但在任何一点 $\displaystyle x_{0}$ 处不绝对收敛．

11．讨论下列函数项级数的一致收敛性及和函数的连续性．
（1）试求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(-1)^{n}}{x^{2}+n^{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{x^{2}+n^{2}}$ 的收敛域（绝对收敛或条件收敛），并讨论它们在收玫域内的一致收玫性．
（2）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x+n(-1)^{n}}{x^{2}+n^{2}}$ 的和函数在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的连续性．
（3）证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x+n(-1)^{n}}{x^{2}+n^{2}}$ 在 $\displaystyle |x|<1$ 连续．

12．证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a^{n} \sin \frac{1}{b^{n} x},(a<b)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上处处收敛，但不一致收敛，在 $\displaystyle [c,+\infty)$ 中一致收敛 $\displaystyle (c>0) .(a=2, b=3:$ 华东师大 1998，南昌大学 2009，地质大学 2003，南京财大 2008，西安交大 2000；$\displaystyle a=$ 3，$\displaystyle b=$ 4：温州大学 2007；$\displaystyle a=3, b=8$ ：电子科技 2014；$\displaystyle a=3, b=5$ ：南京师大 2013）

13．证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，证明：（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x$ 在 $\displaystyle [\alpha, 2 \pi-\alpha]$ 上一致收玫，其中 $\displaystyle 0<\alpha<\pi$ ；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上一致收敛的充要条件是 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。华中师大 2007）
（2）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减的非负数列，证明若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sin n x$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ．

14．证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}$ 在开区间 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 内收敛，在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 内不一致收敛，但在 $\displaystyle [\varepsilon, 2 \pi-\varepsilon]$ 上一致收玫．

15．证明下列函数项级数在指定区间上一致收敛．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin x \sin n x}{\sqrt{x+n}},[0,+\infty)$.
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(1-x) \frac{x^{n}}{1-x^{2 n}} \sin n x,\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n+x)^{n}}{n^{n+1}},[0,1]$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \arctan n x}{x^{2}+n},(-\infty,+\infty)$ ．

16．讨论下列函数项级数在指定区间的一致收敛性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{\sqrt{n}}$ ，（1）$\displaystyle x \in[\alpha, \pi](\alpha>0)$ ，（2）$\displaystyle x \in[0, \pi]$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{\sqrt{n+x}}, x \in[0, \pi]$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin x \cos n x}{\sqrt{n}}, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin x \sin n x}{\sqrt{n}}, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1-\cos x) \sin n x}{\sqrt{n+x}}, x \in[0,2 \pi]$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \cos \frac{(2 n+1) x}{2 n(n+1)} \sin \frac{x}{2 n(n+1)}$ ，（1）$\displaystyle [-l, l]$ ，（2）$\displaystyle (-\infty,+\infty)$ ．

17．研究下列函数级数项的一致收玫性．
（1）研究级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{\mathrm{e}^{n}}\left(x^{n}+\frac{1}{x^{n}}\right)$ 在区间 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上的一致收敛性．
（2）研究级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{\sqrt{n!}}\left(x^{n}+\frac{1}{x^{n}}\right)$ 在区间 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上的一致收敛性。南京大学 1999）
（3）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{1+x^{n}}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上不一致收敛，但在 $\displaystyle [-\delta, \delta](0<\delta<1)$ 上一致收敛．

18．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+x}$ ，证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+x}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收玫；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续；（3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导；（4）反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散．

18．设函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ 收玫，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} B_{n} \sin n x$ 是 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, \pi]$ 上的正弦级数，求 $\displaystyle B_{n}$ ．

19．设函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+x}$ ．
（1）研究函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的连续性、一致连续性、可微性、单调性．
（2）证明函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,+\infty)$ 内连续，且有连续导函数．

20．证明级数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^{2} x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上点点收敛但不一致收敛，而在 $\displaystyle [\delta,+\infty)$ 上一致收敛 $\displaystyle (\forall \delta>0)$ ，并讨论函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的有界性．

20．证明下列结论．
（1）证明：若 三角级数 $\displaystyle \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)$ 中的系数 $\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 满足关系： $\displaystyle \max _{0<n<\infty}\left\{n^{3} a_{n}, n^{3} b_{n}\right\} \leqslant M, M$ 为常数，则上述三角级数收玫，且其和函数具有连续的导函数．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的可积函数，$\displaystyle a_{n}, b_{n},(n=0,1, \cdots)$ 为函数 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数，证明：

$$
\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right) \leqslant \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(t) \mathrm{d} t . }
$$

（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 可积，$\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 为 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 的傅里叶系数，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收玫．

21．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^{2} x^{2}}$ ．（1）求 $\displaystyle f(x)$ 的定义域 $\displaystyle D$ ；（2）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^{2} x^{2}}$ 在 $\displaystyle D$ 上不一致收敛； （3）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle D$ 上连续；（4）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle D$ 上无界．

28．若级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ ．

30．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle |x|<R$ 内收玫，若 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1} R^{n+1}$ 也收敛，则 $\displaystyle \int_{0}^{R} f(x) \mathrm{d} x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1} R^{n+1}$ ．应用这个结果证明：（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x=\ln 2=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n}$ ；（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x} \cdot \frac{\mathrm{~d} x}{x}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$

42．设 $\displaystyle \left\{u_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 上正的递减且收玫于 0 的函数列，每个 $\displaystyle u_{n}(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 上的单调函数．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛。（广西大学 2008 ，江苏大学 2010 ，南京师大 2009（［a，b］））

43．证明下列结论．
（1）设函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle D$ 上一致收玫于 $\displaystyle S(x)$ ．函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle D$ 上有界．证明： $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} g(x) u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle D$ 上一致收玫于 $\displaystyle g(x) S(x)$ 。
（2）设 $\displaystyle a_{n}(x) \geqslant 0$ ，函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．函数列 $\displaystyle \left\{b_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致有界。证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}(x) b_{n}(x)\right|$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．
（3）设 $\displaystyle a_{n}(x) \geqslant 0$ ，函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致收玫．$\displaystyle \forall n \in \mathrm{~N}^{+},\left|b_{n}(x)\right| \leqslant a_{n}(x), x \in I$ ．证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致收敛．$\displaystyle \cdots$

44．设 $\displaystyle D \subset(-\infty,+\infty), x_{0}$ 为 $\displaystyle D$ 的极限点，则当级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle D$ 一致收玫，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} u_{n}(x)=a_{n}$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛．

46．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上有二阶连续导数，$\displaystyle f(x)$ 的值域为 $\displaystyle [-1,1], f(0)=0,0<f^{\prime}(0)<\frac{1}{2}$ ，
$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M<1$ 。令 $\displaystyle f_{1}(x)=f(f(x)), f_{n}(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right), n=1,2, \cdots$ ，求证：级数：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上一致收敛．

47．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(f(x))^{n}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上处处收玫，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(f(x))^{n}$ 在 $\displaystyle [a, b]$上一致收敛．

48．设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 的某个去心邻域 $\displaystyle U^{\circ}\left(x_{0}\right)=\left\{x\left|0<x-x_{0}\right|<\delta\right\}$ 一致收敛，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} u_{n}(x)=c_{n}, n=1,2, \cdots$ ．证明：（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 收玫；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \lim _{x \rightarrow x_{0}} u_{n}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 。

49．设 $\displaystyle f_{n}(x)$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 上的非负连续函数．$\displaystyle \forall 0<\delta<1, \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [0, \delta]$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=a$ 有限，证明：（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(1)$ 收敛；（2）若令 $\displaystyle \bar{f}(x)=\left\{\begin{array}{l}f(x), x \in[0,1), \\ a, x=1,\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收玫于 $\displaystyle \bar{f}(x)$ ．

50．证明下列结论．
（1）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{x} t^{n}(1-t) \mathrm{d} t$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续导数，$\displaystyle f(1)=0$ ，证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{x} t^{n} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $\displaystyle x \in[0,1]$ 上一致收敛．
（3）若 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\left(a_{n}>0, n=1,2, \cdots\right)$ 的收敛半径为 $\displaystyle +\infty$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} n!$ 收敛。证明 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} f(x) \mathrm{d} x$收敛，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} f(x) \mathrm{d} x=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} n!$.
（4）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, \cdots$ 均为常数，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \frac{1}{n!} \int_{0}^{x} t^{n} \mathrm{e}^{-1} \mathrm{~d} t$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．