分部积分法
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第1题计算题
1．计算下列反常积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \sin b x \mathrm{~d} x(a>0)$ ．（哈工大 2001，燕山大学 2010（ $\displaystyle b=2$ ）；$\displaystyle a=1, b=2$ ：湖南师大 2011，南京农大 2007）
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \cos b x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x(a>0)$ 。
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \sin b x \mathrm{~d} x(a>0)$ ．（哈工大 2001，燕山大学 2010（ $\displaystyle b=2$ ）；$\displaystyle a=1, b=2$ ：湖南师大 2011，南京农大 2007）
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \cos b x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x(a>0)$ 。
第4题计算题
4．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{x^{3}}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\arctan \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{x^{3}}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\arctan \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
第4题计算题
4．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{\sqrt[3]{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 或 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{\sqrt[3]{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 或 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．
第5题计算题
5．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \arctan 2 x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int x \arctan x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \arctan \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \arctan 2 x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int x \arctan x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \arctan \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
第5题计算题
5．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} \arctan x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\pi}(x \sin x)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} x \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x^{2} \sqrt{1-\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\arcsin x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}} \mathrm{dx}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x$ 。
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} \arctan x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\pi}(x \sin x)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} x \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x^{2} \sqrt{1-\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\arcsin x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}} \mathrm{dx}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x$ 。
第6题计算题
6．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \sqrt{x} \sin \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \cos ^{2} \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int x \sin a x \cos b x \mathrm{~d} x\left(a \neq 0, b \neq 0, a^{2} \neq b^{2}\right)$ 。北京交大 2004）
（1） $\displaystyle \int \sqrt{x} \sin \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \cos ^{2} \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int x \sin a x \cos b x \mathrm{~d} x\left(a \neq 0, b \neq 0, a^{2} \neq b^{2}\right)$ 。北京交大 2004）
第6题计算题
6．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1}(\ln x)^{n} \mathrm{~d} x$. ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}+1} x^{2} \ln (x-1) \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left[\frac{x(1+x)}{\sqrt{1+2 x}}+\ln x\right] \mathrm{d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{e^{-1}}^{e}|\ln x| d x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1}(\ln x)^{n} \mathrm{~d} x$. ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}+1} x^{2} \ln (x-1) \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left[\frac{x(1+x)}{\sqrt{1+2 x}}+\ln x\right] \mathrm{d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{e^{-1}}^{e}|\ln x| d x$ ．
第6题证明题
6．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且满足 $\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \geqslant \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t, x \in[a, b)$ ．
（1）问：对任意 $\displaystyle x \in[a, b)$ 是否都成立 $\displaystyle f(x) \geqslant g(x)$ ？请证明或举例说明你的结论；
（2）若还满足 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} g(t) \mathrm{d} t$ ，试证： $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} x g(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle g_{1}(x)$ 和 $\displaystyle g_{2}(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{a}^{x} g_{1}(t) \mathrm{d} t \leqslant \int_{a}^{x} g_{2}(t) \mathrm{d} t, a \leqslant x<b, \int_{a}^{b} g_{1}(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} g_{2}(t) \mathrm{d} t$ 。又设 $\displaystyle f(x)$可微，非增，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g_{1}(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} f(x) g_{2}(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\cos x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x \geqslant \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（4）求证： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且满足 $\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \geqslant \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t, x \in[a, b)$ ．
（1）问：对任意 $\displaystyle x \in[a, b)$ 是否都成立 $\displaystyle f(x) \geqslant g(x)$ ？请证明或举例说明你的结论；
（2）若还满足 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} g(t) \mathrm{d} t$ ，试证： $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} x g(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle g_{1}(x)$ 和 $\displaystyle g_{2}(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{a}^{x} g_{1}(t) \mathrm{d} t \leqslant \int_{a}^{x} g_{2}(t) \mathrm{d} t, a \leqslant x<b, \int_{a}^{b} g_{1}(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} g_{2}(t) \mathrm{d} t$ 。又设 $\displaystyle f(x)$可微，非增，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g_{1}(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} f(x) g_{2}(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\cos x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x \geqslant \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（4）求证： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
第6题计算题
6．积分区域 $\displaystyle D$ 为 $\displaystyle \left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}\right\}$ ，计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \cos \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .(a=\pi$ ：华南理 $\displaystyle I$ 2003）
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(3 x y^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \cdot(a=1$ ：中科大 2013）
分析：由图形和被积函数的特点可知此二重积分需用极坐标来计算．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \cos \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .(a=\pi$ ：华南理 $\displaystyle I$ 2003）
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left(3 x y^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \cdot(a=1$ ：中科大 2013）
分析：由图形和被积函数的特点可知此二重积分需用极坐标来计算．
第7题计算题
7．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int x \arcsin x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\arcsin \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\arccos x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}} \mathrm{dx}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x \arccos x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ 。
（1） $\displaystyle \int x \arcsin x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\arcsin \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\arccos x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}} \mathrm{dx}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x \arccos x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ 。
第7题计算题
7．求下列积分．
（1）设 $\displaystyle m, n$ 为正整数，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} t^{n}(\ln t)^{m} \mathrm{~d} t$ 。华中科技 2014，湖南大学 2006，西安理工 2005，北师大，武汉大学 2014（ $\displaystyle m=n$ ））
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} x \ln x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int_{1}^{e}(x \ln x)^{3} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(\ln x)^{2006} \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(\ln x)^{2012} \mathrm{~d} x$ 。
（1）设 $\displaystyle m, n$ 为正整数，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} t^{n}(\ln t)^{m} \mathrm{~d} t$ 。华中科技 2014，湖南大学 2006，西安理工 2005，北师大，武汉大学 2014（ $\displaystyle m=n$ ））
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} x \ln x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int_{1}^{e}(x \ln x)^{3} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(\ln x)^{2006} \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(\ln x)^{2012} \mathrm{~d} x$ 。
第8题计算题
8．设 $\displaystyle n$ 为自然数，求下列不定积分的递推公式．
（1）$\displaystyle I_{n}=\int \tan ^{n} x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int \tan ^{4} \mathrm{~d} x$ 。
（2）$\displaystyle I_{n}=\int \sec ^{n} x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int \sec ^{3} x \mathrm{~d} x$ 。
（3）$\displaystyle I_{n}=\int x^{n} \cos x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int x^{3} \cos x \mathrm{~d} x$ 。
（4）$\displaystyle I_{n}=\int(\ln x)^{n} \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int \ln ^{2} x \mathrm{~d} x$ 。
（1）$\displaystyle I_{n}=\int \tan ^{n} x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int \tan ^{4} \mathrm{~d} x$ 。
（2）$\displaystyle I_{n}=\int \sec ^{n} x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int \sec ^{3} x \mathrm{~d} x$ 。
（3）$\displaystyle I_{n}=\int x^{n} \cos x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int x^{3} \cos x \mathrm{~d} x$ 。
（4）$\displaystyle I_{n}=\int(\ln x)^{n} \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int \ln ^{2} x \mathrm{~d} x$ 。
第9题计算题
9．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{a x} \sin b x \mathrm{~d} x$ ．（湖南师大2010（b＝1），深圳大学 2006（ $\displaystyle a=1, b=1$ ），湘潭大学 2008（ $\displaystyle a=1, b=2$ ））
（2） $\displaystyle \int \cos (\ln x) \mathrm{d} x, \int \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int x \mathrm{e}^{x} \cos x \mathrm{~d} x, \int x \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{\arctan x}}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sin x} \frac{x \cos ^{3} x-\sin x}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{\ln \sin x}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{a x} \sin b x \mathrm{~d} x$ ．（湖南师大2010（b＝1），深圳大学 2006（ $\displaystyle a=1, b=1$ ），湘潭大学 2008（ $\displaystyle a=1, b=2$ ））
（2） $\displaystyle \int \cos (\ln x) \mathrm{d} x, \int \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int x \mathrm{e}^{x} \cos x \mathrm{~d} x, \int x \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{\arctan x}}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sin x} \frac{x \cos ^{3} x-\sin x}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{\ln \sin x}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
第10题计算题
10．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int x^{2} \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sin x} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{2 x}(\tan x+1)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int \frac{1-\ln x}{\ln ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int x^{2} \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sin x} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{2 x}(\tan x+1)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int \frac{1-\ln x}{\ln ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
第11题求解题
11．求下列不定积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{1+\ln x}{(x \ln x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\ln x}{x \sqrt{1+\ln x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int x^{x}(1+\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln (1+x)-\ln x}{x(x+1)} \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int\left(\ln \ln x+\frac{1}{\ln x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{1+\ln x}{(x \ln x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\ln x}{x \sqrt{1+\ln x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int x^{x}(1+\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln (1+x)-\ln x}{x(x+1)} \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int\left(\ln \ln x+\frac{1}{\ln x}\right) \mathrm{d} x$ ．
第12题求解题
12．求下列不定积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\ln (1+x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\ln ^{3} x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln ^{2} x}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x}{1+x^{2}} \ln \left(1+x^{2}\right) \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{x \ln x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{\ln (1+x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\ln ^{3} x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln ^{2} x}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x}{1+x^{2}} \ln \left(1+x^{2}\right) \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{x \ln x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
第13题求解题
13．求下列不定积分．
（1） $\displaystyle \int \ln (\sqrt{x+2}) \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \ln \left(x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int x \ln \frac{1+x}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \sqrt{x}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（1） $\displaystyle \int \ln (\sqrt{x+2}) \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \ln \left(x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int x \ln \frac{1+x}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \sqrt{x}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
第14题计算题
14．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{(1-x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{(1+x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}}{(x+2)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\ln x-1}{(x+\ln x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(1-x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{dx}$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(1+x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(2+x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{(1-x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{(1+x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}}{(x+2)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\ln x-1}{(x+\ln x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(1-x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{dx}$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(1+x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(2+x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d} x$ ．
第14题证明题
14．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上具有二阶连续导数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ，求证：
$$
\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{12} \max _{[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| . \text { }
$$
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内有二阶连续导数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ，试证明：（1）对 $\displaystyle [a, b]$ 内的任意 $\displaystyle x$ ， $\displaystyle \left|\frac{f(x)}{(x-b)(x-a)}\right| \leqslant \frac{1}{b-\dot{a}} \int_{a}^{b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ；（2）$\displaystyle \frac{4}{b-a} \max _{a<x<b}|f(x)| \leqslant \int_{a}^{b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续的二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, f(x) \neq 0(x \in(0,1))$ ．试证明：若积分 $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| \mathrm{d} x$ 存在，则 $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| \mathrm{d} x \geqslant 4$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上具有二阶连续导数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ，求证：
$$
\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{12} \max _{[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| . \text { }
$$
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内有二阶连续导数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ，试证明：（1）对 $\displaystyle [a, b]$ 内的任意 $\displaystyle x$ ， $\displaystyle \left|\frac{f(x)}{(x-b)(x-a)}\right| \leqslant \frac{1}{b-\dot{a}} \int_{a}^{b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ；（2）$\displaystyle \frac{4}{b-a} \max _{a<x<b}|f(x)| \leqslant \int_{a}^{b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续的二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, f(x) \neq 0(x \in(0,1))$ ．试证明：若积分 $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| \mathrm{d} x$ 存在，则 $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| \mathrm{d} x \geqslant 4$ ．
第16题计算题
16．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x} \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{-x} \frac{1+\sin x}{1-\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}+1}}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-a}} .(a=1$ ：河北大学 2010／2014，青岛大学 2005，南京大学 2002，$\displaystyle a=2$ ：四川师大 2013）
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x} \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{-x} \frac{1+\sin x}{1-\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}+1}}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-a}} .(a=1$ ：河北大学 2010／2014，青岛大学 2005，南京大学 2002，$\displaystyle a=2$ ：四川师大 2013）
第16题证明题
16．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，在 $\displaystyle x=b$ 处连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{(b-a)^{n+1}} \int_{a}^{b}(x-a)^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(b)$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积，在 $\displaystyle x=1$ 处连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上黎曼可积，在 $\displaystyle x=1$ 可导，$\displaystyle f(1)=0, f^{\prime}(1)=a$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=-a$ ．
（1）设 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，在 $\displaystyle x=b$ 处连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{(b-a)^{n+1}} \int_{a}^{b}(x-a)^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(b)$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积，在 $\displaystyle x=1$ 处连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上黎曼可积，在 $\displaystyle x=1$ 可导，$\displaystyle f(1)=0, f^{\prime}(1)=a$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=-a$ ．
第17题计算题
17．求下列积分．
（1）设 $\displaystyle f(\ln x)=\frac{\ln (1+x)}{x}$ ，求 $\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f\left(x^{2}-1\right)=\ln \frac{x^{2}}{x^{2}-2}$ ，且 $\displaystyle f(\varphi(x))=\ln (x)$ ，求 $\displaystyle \int \varphi(x) \mathrm{d} x$ 。
（1）设 $\displaystyle f(\ln x)=\frac{\ln (1+x)}{x}$ ，求 $\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f\left(x^{2}-1\right)=\ln \frac{x^{2}}{x^{2}-2}$ ，且 $\displaystyle f(\varphi(x))=\ln (x)$ ，求 $\displaystyle \int \varphi(x) \mathrm{d} x$ 。
第19题证明题
19．利用 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ，证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-a x^{2}}-\mathrm{e}^{-b x^{2}}}{x^{2}} \mathrm{~d} x=\sqrt{\pi}(\sqrt{b}-\sqrt{a}),(b>a>0)$ ．（太原科技 2005，天津大学 2006，燕山大学 2004，华南师大 2007（ $\displaystyle a=0$ ），西北师大）
第19题证明题
19．证明下列结论．
（1）已知 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的有界变差函数，求证：$\displaystyle a_{n}, b_{n}=O\left(\frac{1}{n}\right)$ ，其中 $\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 连续且满足 $\displaystyle f(-\pi)=f(\pi), f(x)$ 有分段连续的导函数，则 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数满足：$\displaystyle a_{n}=O\left(\frac{1}{n}\right), b_{n}=O\left(\frac{1}{n}\right)$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (-\infty, \infty)$ 上以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的有 $\displaystyle k$ 阶导数的函数，则 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数满足： $\displaystyle a_{n}=O\left(\frac{1}{n^{k}}\right), b_{n}=O\left(\frac{1}{n^{k}}\right)$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上有连续的一阶导数，$\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的傅里叶系数，证明：存在常数 $\displaystyle M>0$ ，使得 $\displaystyle \left|a_{n}\right| \leqslant \frac{M}{n},\left|b_{n}\right| \leqslant \frac{M}{n}(n \geqslant 1)$ ．
（1）已知 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的有界变差函数，求证：$\displaystyle a_{n}, b_{n}=O\left(\frac{1}{n}\right)$ ，其中 $\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 连续且满足 $\displaystyle f(-\pi)=f(\pi), f(x)$ 有分段连续的导函数，则 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数满足：$\displaystyle a_{n}=O\left(\frac{1}{n}\right), b_{n}=O\left(\frac{1}{n}\right)$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (-\infty, \infty)$ 上以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的有 $\displaystyle k$ 阶导数的函数，则 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数满足： $\displaystyle a_{n}=O\left(\frac{1}{n^{k}}\right), b_{n}=O\left(\frac{1}{n^{k}}\right)$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上有连续的一阶导数，$\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的傅里叶系数，证明：存在常数 $\displaystyle M>0$ ，使得 $\displaystyle \left|a_{n}\right| \leqslant \frac{M}{n},\left|b_{n}\right| \leqslant \frac{M}{n}(n \geqslant 1)$ ．
第21题证明题
21．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的可积函数，函数 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．证明： $\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(t) \mathrm{d} t=\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)$ ，其中 $\displaystyle a_{0}, a_{n}, b_{n}(n=1,2, \cdots)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的连续函数，令 $\displaystyle F(x)=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) f(x+t) \mathrm{d} t$ 。试用函数 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 表示函数 $\displaystyle F(x)$ 的傅里叶系数 $\displaystyle \left\{A_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{B_{n}\right\}$ ，并证明：
$\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(t) \mathrm{d} t=\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的可积函数，函数 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．证明： $\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(t) \mathrm{d} t=\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)$ ，其中 $\displaystyle a_{0}, a_{n}, b_{n}(n=1,2, \cdots)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的连续函数，令 $\displaystyle F(x)=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) f(x+t) \mathrm{d} t$ 。试用函数 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 表示函数 $\displaystyle F(x)$ 的傅里叶系数 $\displaystyle \left\{A_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{B_{n}\right\}$ ，并证明：
$\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(t) \mathrm{d} t=\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)$ ．
第24题证明题
24．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上单调递减函数，证明：对任何正整数 $\displaystyle n$ ，恒有 $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x \geqslant 0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上导函数连续，$\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant 0$ ．求证：对任意自然数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle \left|\int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x\right| \leqslant \frac{2}{n}(f(2 \pi)-f(0))$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上单调递减函数，证明：对任何正整数 $\displaystyle n$ ，恒有 $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x \geqslant 0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上导函数连续，$\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant 0$ ．求证：对任意自然数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle \left|\int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x\right| \leqslant \frac{2}{n}(f(2 \pi)-f(0))$ ．
第25题未分类
25．设 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} x$ ．证 明 ：（1）$\displaystyle I_{n}=\frac{2 n}{2 n+1} I_{n-1}, n=2,3, \cdots$ ，且 $\displaystyle I_{n} \geqslant \frac{2}{3 \sqrt{n}}, n=1,2, \cdots$ ；
（2） $\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{4}{3 \sqrt{n}}$ ．
（2） $\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{4}{3 \sqrt{n}}$ ．
第26题证明题
26．设 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x, n$ 为自然数．证明：（1）$\displaystyle I_{n}=\frac{n-1}{n+2} I_{n-2}, n \geqslant 3$ ；（2）$\displaystyle I_{n} \leqslant I_{n-1} \leqslant I_{n-2}$ ；
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{I_{n}}{I_{n-1}}=1$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{I_{n}}{I_{n-1}}=1$ ．
第26题证明题
26．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续函数，且当 $\displaystyle x \rightarrow+\infty$ 时，$\displaystyle f(x)$ 递减地趋于 0 ，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛的充要条件为 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 收敛．（北京化工 2007，广西大学2008（充分条件），广西师大 2001，江苏大学 2008，北京大学）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续可导，$\displaystyle f^{\prime}(x)<0$ ，积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 收敛。哈工大 2000）
（3）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续可微，且 $\displaystyle g(x)$ 有界，$\displaystyle f^{\prime}(x) \leqslant 0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．证明积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 收敛。深圳大学 2012）
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续函数，且当 $\displaystyle x \rightarrow+\infty$ 时，$\displaystyle f(x)$ 递减地趋于 0 ，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛的充要条件为 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 收敛．（北京化工 2007，广西大学2008（充分条件），广西师大 2001，江苏大学 2008，北京大学）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续可导，$\displaystyle f^{\prime}(x)<0$ ，积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 收敛。哈工大 2000）
（3）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续可微，且 $\displaystyle g(x)$ 有界，$\displaystyle f^{\prime}(x) \leqslant 0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．证明积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 收敛。深圳大学 2012）
第27题计算题
27．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n} \mathrm{~d} x(m, n$ 都是自然数）．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(1-x)^{2006} \mathrm{~d} x$ 。
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n} \mathrm{~d} x(m, n$ 都是自然数）．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(1-x)^{2006} \mathrm{~d} x$ 。
第30题证明题
30．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, a]$ 上严格递增且可导，$\displaystyle f(0)=0, g(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的反函数，证明： $\displaystyle \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{f(a)}(a-g(x)) \mathrm{d} x$.
（2）设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 是由 $\displaystyle y-\frac{1}{2} \sin y=2 x$ 所确定的隐函数，证明 $\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上严格递增，并求 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) d x$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 可导，$\displaystyle f(0)=0$ ．若 $\displaystyle f(x)$ 的反函数 $\displaystyle g(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=x^{2} \mathrm{e}^{x}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, a]$ 上严格递增且可导，$\displaystyle f(0)=0, g(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的反函数，证明： $\displaystyle \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{f(a)}(a-g(x)) \mathrm{d} x$.
（2）设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 是由 $\displaystyle y-\frac{1}{2} \sin y=2 x$ 所确定的隐函数，证明 $\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上严格递增，并求 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) d x$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 可导，$\displaystyle f(0)=0$ ．若 $\displaystyle f(x)$ 的反函数 $\displaystyle g(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=x^{2} \mathrm{e}^{x}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
第31题证明题
31．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有三阶连续导数，证明：
$$
f(x)-\left(f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) x^{2}\right)=\frac{1}{2} \int_{0}^{x} f^{\prime \prime \prime}(t)(x-t)^{2} \mathrm{~d} t .
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶导函数连续，$\displaystyle c=\frac{a+b}{2}$ ，证明：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) f(c)+\frac{1}{2} \int_{c}^{b}(b-x)^{2} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x+\frac{1}{2} \int_{a}^{c}(a-x)^{2} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
（3）设 $\displaystyle f(x, y)$ 有处处连续的二阶偏导数，$\displaystyle f_{x}^{\prime}(0,0)=f_{y}^{\prime}(0,0)=f(0,0)=0$ ．证明：
$$
f(x, y)=\int_{0}^{1}(1-t)\left(x^{2} f_{11}(t x, t y)+2 x y f_{12}(t x, t y)+y^{2} f_{22}(t x, t y)\right) \mathrm{d} t . }
$$
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶导函数连续．证明：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}+\frac{1}{2} \int_{c}^{b}(x-a)(x-b) f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有三阶连续导数，证明：
$$
f(x)-\left(f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) x^{2}\right)=\frac{1}{2} \int_{0}^{x} f^{\prime \prime \prime}(t)(x-t)^{2} \mathrm{~d} t .
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶导函数连续，$\displaystyle c=\frac{a+b}{2}$ ，证明：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) f(c)+\frac{1}{2} \int_{c}^{b}(b-x)^{2} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x+\frac{1}{2} \int_{a}^{c}(a-x)^{2} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
（3）设 $\displaystyle f(x, y)$ 有处处连续的二阶偏导数，$\displaystyle f_{x}^{\prime}(0,0)=f_{y}^{\prime}(0,0)=f(0,0)=0$ ．证明：
$$
f(x, y)=\int_{0}^{1}(1-t)\left(x^{2} f_{11}(t x, t y)+2 x y f_{12}(t x, t y)+y^{2} f_{22}(t x, t y)\right) \mathrm{d} t . }
$$
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶导函数连续．证明：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}+\frac{1}{2} \int_{c}^{b}(x-a)(x-b) f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
第31题证明题
31．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \infty)$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 收敛，$\displaystyle g(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{g(x)}{x}=f(0)$ ； （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{g^{2}(x)}{x}=0$ ；（3）反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{g^{2}(x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ 收玫，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{g^{2}(x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant 4 \int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 。
第32题证明题
32．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, f(x)$ 不恒为正．求证： $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x<0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上具有连续的导数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1$ 。证明：（1） $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=-\frac{1}{2}$ ；
（2） $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \int_{a}^{b} x^{2} f^{2}(x) \mathrm{d} x>\frac{1}{4}$ ；（3） $\displaystyle \int_{a}^{b} x^{2}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x>\frac{1}{4}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 有连续的导数，$\displaystyle f(0)=f(1)=0, \int_{0}^{1} x^{2} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{4}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{9}{4}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, f(x)$ 不恒为正．求证： $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x<0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上具有连续的导数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1$ 。证明：（1） $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=-\frac{1}{2}$ ；
（2） $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \int_{a}^{b} x^{2} f^{2}(x) \mathrm{d} x>\frac{1}{4}$ ；（3） $\displaystyle \int_{a}^{b} x^{2}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x>\frac{1}{4}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 有连续的导数，$\displaystyle f(0)=f(1)=0, \int_{0}^{1} x^{2} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{4}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{9}{4}$ ．
第32题证明题
32．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上有连续二阶导数，$\displaystyle f(0)=f(\pi)=0 . a_{n}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots$ ，试
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上有连续二阶导数，$\displaystyle f(0)=f(\pi)=0 . a_{n}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots$ ，试
第34题计算题
34．求函数值．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上二阶连续可导，且 $\displaystyle f(\pi)=2$ ，满足 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}\left(f(x)+f^{\prime \prime}(x)\right) \sin x \mathrm{~d} x=5$ 。试计算 $\displaystyle f(0)$的值．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 二二阶连续可导，$\displaystyle f^{\prime}(\pi)=3, \int_{0}^{\pi}\left(f(x)+f^{\prime \prime}(x)\right) \cos x \mathrm{~d} x=2$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上二阶连续可导，且 $\displaystyle f(\pi)=2$ ，满足 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}\left(f(x)+f^{\prime \prime}(x)\right) \sin x \mathrm{~d} x=5$ 。试计算 $\displaystyle f(0)$的值．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 二二阶连续可导，$\displaystyle f^{\prime}(\pi)=3, \int_{0}^{\pi}\left(f(x)+f^{\prime \prime}(x)\right) \cos x \mathrm{~d} x=2$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
第38题计算题
38．计算下列积分．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\sin t}{\pi-t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$
（3）求 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-\frac{y^{2}}{2}} \mathrm{~d} y$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=S$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} f(x) f(y) \mathrm{d} y$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\sin t}{\pi-t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$
（3）求 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-\frac{y^{2}}{2}} \mathrm{~d} y$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=S$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} f(x) f(y) \mathrm{d} y$ 。
第41题证明题
41．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle y=f(x)(x \geqslant 0)$ 是连续可导且严格增加函数，$\displaystyle f(0)=0, a, b>0$ ．证明：
$\displaystyle \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x+\int_{0}^{b} g(y) \mathrm{d} y \geqslant a b$ ，其中 $\displaystyle g(y)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的反函数，而等号当且仅当 $\displaystyle b=f(a)$ 成立．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上严格递增，且连续，$\displaystyle f(0)=0, g(f(x))=x$ ．求证：
$$
\int_{0}^{f(a)}(a-g(x)) \mathrm{d} x=\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且严格递增，证明：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=b f(b)-a f(a)-\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
（4）当 $\displaystyle \alpha \geqslant 1, \beta \geqslant 1$ 时有 $\displaystyle \alpha \beta \leqslant \mathrm{e}^{\alpha-1}+\beta \ln \beta$ ．
（1）设函数 $\displaystyle y=f(x)(x \geqslant 0)$ 是连续可导且严格增加函数，$\displaystyle f(0)=0, a, b>0$ ．证明：
$\displaystyle \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x+\int_{0}^{b} g(y) \mathrm{d} y \geqslant a b$ ，其中 $\displaystyle g(y)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的反函数，而等号当且仅当 $\displaystyle b=f(a)$ 成立．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上严格递增，且连续，$\displaystyle f(0)=0, g(f(x))=x$ ．求证：
$$
\int_{0}^{f(a)}(a-g(x)) \mathrm{d} x=\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且严格递增，证明：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=b f(b)-a f(a)-\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
（4）当 $\displaystyle \alpha \geqslant 1, \beta \geqslant 1$ 时有 $\displaystyle \alpha \beta \leqslant \mathrm{e}^{\alpha-1}+\beta \ln \beta$ ．
第43题证明题
43．证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle 2 \int_{a}^{b} f(x)\left(\int_{x}^{b} f(t) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x=\left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}$ ．（上海交大；$\displaystyle [a, b]=[0, a]$ ：温州大学 2007，河北工大 2007（ $\displaystyle a=1$ ））
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} f(t) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1}\left(\sqrt{x}-x^{2}\right) f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶连续导数，$\displaystyle f(a)=f^{\prime}(a)=0$ ，证明：
$$
\int_{a}^{b}(b-x)^{3} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x=6 \int_{a}^{b} \mathrm{~d} x \int_{a}^{x} f(y) \mathrm{d} y . \text { }
$$
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle 2 \int_{a}^{b} f(x)\left(\int_{x}^{b} f(t) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x=\left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}$ ．（上海交大；$\displaystyle [a, b]=[0, a]$ ：温州大学 2007，河北工大 2007（ $\displaystyle a=1$ ））
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} f(t) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1}\left(\sqrt{x}-x^{2}\right) f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶连续导数，$\displaystyle f(a)=f^{\prime}(a)=0$ ，证明：
$$
\int_{a}^{b}(b-x)^{3} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x=6 \int_{a}^{b} \mathrm{~d} x \int_{a}^{x} f(y) \mathrm{d} y . \text { }
$$
第44题证明题
44．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 内连续，证明： $\displaystyle \int_{0}^{x} f(t)(x-t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{1} f(u) \mathrm{d} u\right) \mathrm{d} t$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 内连续，求证：$\displaystyle \forall a>0, \int_{a}^{b}\left(\int_{a}^{x} f(y) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b}(b-x) f(x) \mathrm{d} x$ ．（重庆师大
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为连续，证明： $\displaystyle \int_{a}^{b} \mathrm{~d} y \int_{a}^{y}(y-x)^{n} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{n+1} \int_{a}^{b}(b-x)^{n+1} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} \mathrm{~d} y \int_{x}^{y} f(x) f(y) f(z) \mathrm{d} z=\frac{1}{6}\left(\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t\right)^{3}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 内连续，证明： $\displaystyle \int_{0}^{x} f(t)(x-t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{1} f(u) \mathrm{d} u\right) \mathrm{d} t$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 内连续，求证：$\displaystyle \forall a>0, \int_{a}^{b}\left(\int_{a}^{x} f(y) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b}(b-x) f(x) \mathrm{d} x$ ．（重庆师大
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为连续，证明： $\displaystyle \int_{a}^{b} \mathrm{~d} y \int_{a}^{y}(y-x)^{n} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{n+1} \int_{a}^{b}(b-x)^{n+1} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} \mathrm{~d} y \int_{x}^{y} f(x) f(y) f(z) \mathrm{d} z=\frac{1}{6}\left(\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t\right)^{3}$ ．