初等函数
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第2题未分类
2．确定常数 $\displaystyle \alpha$ ，使 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{(1+x)^{\alpha}-1}{x}, x>0, \text { 连续．} \\ 1, x \leqslant 0\end{array}\right.$
第3题证明题
3．证明或讨论下列函数的连续性．
（1）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin (x y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 的连续性．
（2）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{3}-y^{3}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性．
（3）设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\ln (1+x y)}{x}, x \neq 0, \\ y, x=0,\end{array}\right.$ 证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在其定义域上是连续的．
（4）设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{-x y} \frac{\sin x}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在其定义域上是连续的．
（1）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin (x y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 的连续性．
（2）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{3}-y^{3}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性．
（3）设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\ln (1+x y)}{x}, x \neq 0, \\ y, x=0,\end{array}\right.$ 证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在其定义域上是连续的．
（4）设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{-x y} \frac{\sin x}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在其定义域上是连续的．
第6题证明题
6．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上满足 Lipschitz 条件，即存在常数 $\displaystyle m>0$ ，使对 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上任意两点 $\displaystyle x^{\prime}, x^{\prime \prime}$都有 $\displaystyle \left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant m\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|$ ．证明 $\displaystyle f\left(x^{\alpha}\right),(\alpha \in(0,1))$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上具有连续的导函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)$ 存在有限， $\displaystyle 0<\alpha<1$ ，是一个常数．证明 $\displaystyle f\left(x^{\alpha}\right)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（3）设 $\displaystyle p$ 为正常数，$\displaystyle f(x)=\cos x^{p}$ 。证明：当 $\displaystyle 0<p \leqslant 1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty) \rightarrow(0,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle \alpha \in(0,1)$ ，则 $\displaystyle f^{\alpha}(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（5）设 $\displaystyle g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 为连续函数，$\displaystyle f(x)=g(\sin x)$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上一致连续．
（6）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 一致连续，值域含于 $\displaystyle (c, d), g(x)$ 在 $\displaystyle (c, d)$ 日：一致连续，则 $\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 上连续，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \mu$ ．问 $\displaystyle F(x)=f(\sin x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 是否一致连续？
（8）设 $\displaystyle f(x)=\sin \sqrt{x}$ ，判断 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上是否一致连续，并给出证明．
（9）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上连续．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续，则 $\displaystyle \sin ^{3}|f(x)|$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续．
（2）若 $\displaystyle |f(x)|$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续，则 $\displaystyle \sin ^{3}(f(x))$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上满足 Lipschitz 条件，即存在常数 $\displaystyle m>0$ ，使对 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上任意两点 $\displaystyle x^{\prime}, x^{\prime \prime}$都有 $\displaystyle \left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant m\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|$ ．证明 $\displaystyle f\left(x^{\alpha}\right),(\alpha \in(0,1))$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上具有连续的导函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)$ 存在有限， $\displaystyle 0<\alpha<1$ ，是一个常数．证明 $\displaystyle f\left(x^{\alpha}\right)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（3）设 $\displaystyle p$ 为正常数，$\displaystyle f(x)=\cos x^{p}$ 。证明：当 $\displaystyle 0<p \leqslant 1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty) \rightarrow(0,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle \alpha \in(0,1)$ ，则 $\displaystyle f^{\alpha}(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（5）设 $\displaystyle g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 为连续函数，$\displaystyle f(x)=g(\sin x)$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上一致连续．
（6）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 一致连续，值域含于 $\displaystyle (c, d), g(x)$ 在 $\displaystyle (c, d)$ 日：一致连续，则 $\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 上连续，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \mu$ ．问 $\displaystyle F(x)=f(\sin x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 是否一致连续？
（8）设 $\displaystyle f(x)=\sin \sqrt{x}$ ，判断 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上是否一致连续，并给出证明．
（9）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上连续．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续，则 $\displaystyle \sin ^{3}|f(x)|$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续．
（2）若 $\displaystyle |f(x)|$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续，则 $\displaystyle \sin ^{3}(f(x))$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续．
第7题证明题
7．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{\ln x}>\frac{x}{1+x},(x>1)$ ．
（2）$\displaystyle (a+1)^{\ln b}>(b+1)^{\ln a} \cdot(1<a<b)$ ．
（1）$\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{\ln x}>\frac{x}{1+x},(x>1)$ ．
（2）$\displaystyle (a+1)^{\ln b}>(b+1)^{\ln a} \cdot(1<a<b)$ ．
第11题证明题
11．证明当 $\displaystyle \mathrm{e}<a<b$ 时 $\displaystyle a^{b}>b^{a}$ ，并由此比较下列大小。
（1）$\displaystyle (\sqrt{n})^{\sqrt{n+1}}$ 与 $\displaystyle (\sqrt{n+1})^{\sqrt{n}}, n>8$ ．
（2）$\displaystyle \pi^{\mathrm{e}}$ 与 $\displaystyle \mathrm{e}^{\pi}$ ．
（1）$\displaystyle (\sqrt{n})^{\sqrt{n+1}}$ 与 $\displaystyle (\sqrt{n+1})^{\sqrt{n}}, n>8$ ．
（2）$\displaystyle \pi^{\mathrm{e}}$ 与 $\displaystyle \mathrm{e}^{\pi}$ ．
第11题计算题
11．求下列函数的傅里叶级数展开式，并求级数的和．
（1）求函数 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 在 $\displaystyle -\pi<x<\pi$ 上的傅里叶展开式，并计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$ ， $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\cos n x}{n^{2}}$ ，进一步证明 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x} \mathrm{~d} x=-\frac{\pi^{2}}{6}$ ．
（2）求 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的傅里叶展开式，并证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{x} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi}{6}$ ．
（3）求函数 $\displaystyle f(x)=\pi^{2}-x^{2}$ 在 $\displaystyle -\pi<x<\pi$ 上的傅里叶展开式，并计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$
及级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\cos n x}{n^{2}}$ 的和．
（4）求函数 $\displaystyle f(x)=4 x(2 \pi-x), x \in[0,2 \pi]$ 的傅里叶级数，并计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$ ．
（5）求 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上的傅里叶级数展开式，并求和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ ．
（6）将函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x \in[-1,0) \\ x^{2}, x \in[0,1)\end{array}\right.$ 展开为傅里叶级数，并由此计算数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 的和．
（7）求函数 $\displaystyle f(x)=\left(\frac{\pi-x}{2}\right)^{2}$ 在 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant 2 \pi$ 的傅里叶展开式，并计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{2}}$ ， $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$ 及级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\cos n x}{n^{2}}$ 的和．
（1）求函数 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 在 $\displaystyle -\pi<x<\pi$ 上的傅里叶展开式，并计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$ ， $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\cos n x}{n^{2}}$ ，进一步证明 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x} \mathrm{~d} x=-\frac{\pi^{2}}{6}$ ．
（2）求 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的傅里叶展开式，并证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{x} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi}{6}$ ．
（3）求函数 $\displaystyle f(x)=\pi^{2}-x^{2}$ 在 $\displaystyle -\pi<x<\pi$ 上的傅里叶展开式，并计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$
及级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\cos n x}{n^{2}}$ 的和．
（4）求函数 $\displaystyle f(x)=4 x(2 \pi-x), x \in[0,2 \pi]$ 的傅里叶级数，并计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$ ．
（5）求 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上的傅里叶级数展开式，并求和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ ．
（6）将函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x \in[-1,0) \\ x^{2}, x \in[0,1)\end{array}\right.$ 展开为傅里叶级数，并由此计算数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 的和．
（7）求函数 $\displaystyle f(x)=\left(\frac{\pi-x}{2}\right)^{2}$ 在 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant 2 \pi$ 的傅里叶展开式，并计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{2}}$ ， $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$ 及级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\cos n x}{n^{2}}$ 的和．
第12题求解题
12．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^{n}$
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!} x^{n+1}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n-1}{n!} x^{2 n}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 n+1}{n!} x^{2 n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!} x^{n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{2^{n} n!} x^{n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{(n+2)!} x^{n}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{2^{n} n!} x^{n}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n)!} x^{2 n+1}$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{2 n+1}{(2 n-1)!} x^{2 n}$ ．
（11）求下列级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n-1}{4^{n} n!}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1) 2^{n}}{n!}$.
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(n+1) 3^{n}}{n!}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n+1)}{n!}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \cdot$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!}$ 。
（7）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+2) n!}$ ，或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}$
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^{n}$
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!} x^{n+1}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n-1}{n!} x^{2 n}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 n+1}{n!} x^{2 n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!} x^{n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{2^{n} n!} x^{n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{(n+2)!} x^{n}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{2^{n} n!} x^{n}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n)!} x^{2 n+1}$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{2 n+1}{(2 n-1)!} x^{2 n}$ ．
（11）求下列级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n-1}{4^{n} n!}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1) 2^{n}}{n!}$.
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(n+1) 3^{n}}{n!}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n+1)}{n!}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \cdot$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!}$ 。
（7）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+2) n!}$ ，或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}$
第13题求解题
13．求下列级数的和函数．
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{1}{3^{n+1}}-(-2)^{n+1}\right] x^{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{2 n+1}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{4 n-3},(x \geqslant 0)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) x^{n}$ ．
（5） $\displaystyle 1+\sum_{n=1}^{x} \frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!} x^{n},(x \geqslant 0)$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(n-1)^{2}}{n+1} x^{n}$ ，并求 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(n-1)^{2}}{n+1} 3^{-n}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{1}{3^{n+1}}-(-2)^{n+1}\right] x^{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{2 n+1}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{4 n-3},(x \geqslant 0)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) x^{n}$ ．
（5） $\displaystyle 1+\sum_{n=1}^{x} \frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!} x^{n},(x \geqslant 0)$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(n-1)^{2}}{n+1} x^{n}$ ，并求 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(n-1)^{2}}{n+1} 3^{-n}$ ．
第14题求解题
14．求下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处的幂级数展开式，并求 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1}$ 的值．
（1）$\displaystyle f(x)=\arctan x$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\arctan \frac{2 x}{1-x^{2}}$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-x}{1+x}, x \neq 1, f(1)=\frac{\pi}{2}$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-x}{1+x}+\arctan \frac{2 x}{1-x^{2}}$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ ．
（6）$\displaystyle f(x)=\ln \sqrt{1+x^{2}}-x \arctan x$ ．
分析：本题用 $\displaystyle \arctan \frac{x-y}{1+x y}=\arctan x-\arctan y$ 恒等变形．
（1）$\displaystyle f(x)=\arctan x$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\arctan \frac{2 x}{1-x^{2}}$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-x}{1+x}, x \neq 1, f(1)=\frac{\pi}{2}$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-x}{1+x}+\arctan \frac{2 x}{1-x^{2}}$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ ．
（6）$\displaystyle f(x)=\ln \sqrt{1+x^{2}}-x \arctan x$ ．
分析：本题用 $\displaystyle \arctan \frac{x-y}{1+x y}=\arctan x-\arctan y$ 恒等变形．
第15题求解题
15．求下列函数在指定点处的幂级数展开式．
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3 x+2}, x_{0}=1$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{x-3}{1+x}, x_{0}=1$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x(1+x)}, x_{0}=1$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}+4 x+3}, x_{0}=1$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\cos x, x_{0}=\frac{\pi}{2}$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3 x+2}, x_{0}=1$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{x-3}{1+x}, x_{0}=1$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x(1+x)}, x_{0}=1$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}+4 x+3}, x_{0}=1$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\cos x, x_{0}=\frac{\pi}{2}$ ．
第16题求解题
16．求下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处的幂级数展开式．
（1）$\displaystyle f(x)=-\frac{x+1}{x-1}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x-2 x^{2}}$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\frac{x}{(1-x)\left(1-x^{2}\right)}$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-3 x+2}$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1+x)\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right)}$ ．
（6）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1+x)^{2}}$ 或 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1-x)^{2}}$
（1）$\displaystyle f(x)=-\frac{x+1}{x-1}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x-2 x^{2}}$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\frac{x}{(1-x)\left(1-x^{2}\right)}$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-3 x+2}$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1+x)\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right)}$ ．
（6）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1+x)^{2}}$ 或 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1-x)^{2}}$
第17题计算题
17．求下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处的幂级数展开式．
（1）$\displaystyle f(x)=\arcsin x$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=x \arccos x$ ，并计算 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{2-x}}$ ．
（4）$\displaystyle \frac{1}{\left(1-x^{2}\right) \sqrt{1-x^{2}}}$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ ．
（6）$\displaystyle f(x)=x \ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=\arcsin x$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=x \arccos x$ ，并计算 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{2-x}}$ ．
（4）$\displaystyle \frac{1}{\left(1-x^{2}\right) \sqrt{1-x^{2}}}$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ ．
（6）$\displaystyle f(x)=x \ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)$ ．
第18题求解题
18．求下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处的幂级数展开式．
（1）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{1-\cos t}{t} \mathrm{~d} t$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\sin ^{2} x$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{1-\cos t}{t} \mathrm{~d} t$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\sin ^{2} x$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ．
第19题证明题
19．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)=x^{\lambda}, \lambda>0$ ，证明：当 $\displaystyle 0<\lambda \leqslant 1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续。当 $\displaystyle \lambda>1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续．
（2）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 或 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（3）证明：$\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续；（2）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 或 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 非一致连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)=x^{2}+2 x+1$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a](a>0)$ 上一致连续；（2）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非一致连续．
（1）设 $\displaystyle f(x)=x^{\lambda}, \lambda>0$ ，证明：当 $\displaystyle 0<\lambda \leqslant 1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续。当 $\displaystyle \lambda>1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续．
（2）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 或 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（3）证明：$\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续；（2）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 或 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 非一致连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)=x^{2}+2 x+1$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a](a>0)$ 上一致连续；（2）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非一致连续．
第19题求解题
19．求函数的幂级数展开式及系数．
（1）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ，并求 $\displaystyle f^{(10)}(0)$ 及 $\displaystyle f^{(11)}(0)$ 。
（2）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} t \cos t \mathrm{~d} t$ ，并求 $\displaystyle f^{(2005)}(0)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\sin ^{2}\left(x^{2}+1\right)$ ，并求 $\displaystyle f^{(n)}(0),(n=1,2,3, \cdots)$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ，并求 $\displaystyle f^{(10)}(0)$ 及 $\displaystyle f^{(11)}(0)$ 。
（2）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} t \cos t \mathrm{~d} t$ ，并求 $\displaystyle f^{(2005)}(0)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\sin ^{2}\left(x^{2}+1\right)$ ，并求 $\displaystyle f^{(n)}(0),(n=1,2,3, \cdots)$ ．
第20题证明题
20．证明下列结论。
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)(a>0)$ 上一致连续；（2）在 $\displaystyle (0,1)$ 或 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续；（3）在 $\displaystyle [a, 1](0<a<1)$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [\delta, 1](0<\delta<1)$ 上一致连续；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续； （3）在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续但非一致连续．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续，在 $\displaystyle (c, 1)(0<c<1)$ 上一致连续．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)(a>0)$ 上一致连续；（2）在 $\displaystyle (0,1)$ 或 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续；（3）在 $\displaystyle [a, 1](0<a<1)$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [\delta, 1](0<\delta<1)$ 上一致连续；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续； （3）在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续但非一致连续．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续，在 $\displaystyle (c, 1)(0<c<1)$ 上一致连续．
第20题求解题
20．求下列函数的麦克劳林展开式．
（1）$\displaystyle f(x)=2^{x}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{2-2 x}$ ，并求出 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（3）$\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{1-x}$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 的 Taylor 展开式为 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 。
（4）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{x^{2}-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=2^{x}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{2-2 x}$ ，并求出 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（3）$\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{1-x}$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 的 Taylor 展开式为 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 。
（4）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{x^{2}-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ．
第21题未分类
21．设 $\displaystyle p \geqslant 1$ ，试证：（1）函数 $\displaystyle f(x)=\sin \left(x^{-p}\right)$ 在 $\displaystyle [\delta, 1](0<\delta<1)$ 上一致连续；（2）函数 $\displaystyle f(x)=\sin \left(x^{-p}\right)$ 在开区间 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续．
第21题求解题
21．求下列函数的麦克劳林展开式．
（1）$\displaystyle f(x)=(1+x) \ln (x+1)$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\ln \left(1-x-2 x^{2}\right)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\ln \left(2+x^{2}\right)$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\ln (1+t)}{t} \mathrm{~d} t$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{t} \ln \left(\frac{1+t}{1-t}\right) \mathrm{d} t$. ．深圳大学 2009）
（6）$\displaystyle f(x)=\ln \left(1+x+x^{2}\right)$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=(1+x) \ln (x+1)$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\ln \left(1-x-2 x^{2}\right)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\ln \left(2+x^{2}\right)$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\ln (1+t)}{t} \mathrm{~d} t$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{t} \ln \left(\frac{1+t}{1-t}\right) \mathrm{d} t$. ．深圳大学 2009）
（6）$\displaystyle f(x)=\ln \left(1+x+x^{2}\right)$ ．
第22题证明题
22．设 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x}$ ，证明：
（1）在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续．
（2）在 $\displaystyle (a, b)(0<a<b<+\infty)$ 内一致连续．
（3）$\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续 $\displaystyle (a>0)$ ，在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续．
（1）在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续．
（2）在 $\displaystyle (a, b)(0<a<b<+\infty)$ 内一致连续．
（3）$\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续 $\displaystyle (a>0)$ ，在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续．
第22题证明题
22．试证明 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \ln \frac{1+x}{1-x} \mathrm{~d} x=2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{4}$ ．
第23题证明题
23．证明：$\displaystyle f(x)=\cos \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续，但在 $\displaystyle (a,+\infty)(a>0)$ 上一致连续．
第23题求解题
23．求下列函数在指定点处的幂级数展开式．
（1）$\displaystyle f(x)=\ln \left(4 x-x^{2}\right), x=1$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\ln x, x=2$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\ln x+\frac{1}{x+2}, x=1$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=\ln \left(4 x-x^{2}\right), x=1$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\ln x, x=2$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\ln x+\frac{1}{x+2}, x=1$ ．
第24题求解题
24．将下列函数展开为幂级数，并指出收玫域．
（1）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{1-x}\right)^{n}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}(2 x-1)^{n}$ ．
分析：先求幂级数的和函数，然后再展开幂级数
（1）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{1-x}\right)^{n}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}(2 x-1)^{n}$ ．
分析：先求幂级数的和函数，然后再展开幂级数
第25题证明题
25．证明：（1）$\displaystyle f(x)=\sin x$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续；
（2）$\displaystyle g(x)=\sin x^{2}$ 在 $\displaystyle [0, A]$ 上一致连续，但在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 或 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非一致连续；
（3）$\displaystyle h(x)=\cos x^{2}$ 在有限区间 $\displaystyle [0, b]$ 上一致连续，在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非一致连续．
（2）$\displaystyle g(x)=\sin x^{2}$ 在 $\displaystyle [0, A]$ 上一致连续，但在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 或 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非一致连续；
（3）$\displaystyle h(x)=\cos x^{2}$ 在有限区间 $\displaystyle [0, b]$ 上一致连续，在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非一致连续．
第25题求解题
25．求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{x}{3}\right)^{n-1}$ 的收玫域及其和函数 $\displaystyle S(x)$ ，再将 $\displaystyle S(x)$ 展开成 $\displaystyle (x-2)$ 的幂级数，并求展开后所得幂级数的收玫半径和收玫区间．
第27题证明题
27．用一致连续函数的定义证明：函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ 在区间 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上一致连续，而在区间 $\displaystyle (0, a)$ 上非一致连续 $\displaystyle (a>0)$ 。北京交大 2009）
第28题证明题
28．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle a>0, x_{1}=\sqrt{a}, x_{n+1}=\sqrt{a+x_{n}}, n \geqslant 1$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（2）设 $\displaystyle x_{1}>a>0, x_{n+1}=\sqrt{x_{n}^{2}-2 a x_{n}+2 a^{2}}, n \geqslant 1$ ，求其极限．
（3）设 $\displaystyle a>1,0<x_{1}<a, x_{n+1}=a-\sqrt{a^{2}-x_{n}}(n=1,2, \cdots)$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（4）设 $\displaystyle 0<x_{1}<3, x_{n+1}=\sqrt{x_{n}\left(3-x_{n}\right)}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求其极限．
（5）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$\displaystyle y_{1}=1,2 y_{n+1}=y_{n}+\sqrt{y_{n}^{2}+a_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 是递增的收敛数列．（福建师大，湖南大学2007（ $\displaystyle a_{n}=n^{-p}, p>1$ ））
（6）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$\displaystyle y_{1}=1, y_{n+1}=\sqrt{y_{n}\left(y_{n}+a_{n}\right)}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 收敛．
（7）设 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=\sqrt{4+3 x_{n}}, n \geqslant 1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（8）设 $\displaystyle x_{1}=\sqrt{2}, x_{n+1}=\sqrt{3+2 x_{n}}, n \geqslant 1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（9）设 $\displaystyle a>0, x_{1}=\sqrt{a}, x_{n+1}=\sqrt{a x_{n}}, n \geqslant 1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（10）若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle a_{1}=0, a_{n}=\frac{a_{n-1}+3}{4}, n \geqslant 2$ ，则数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有极限，并求之．
（1）设 $\displaystyle a>0, x_{1}=\sqrt{a}, x_{n+1}=\sqrt{a+x_{n}}, n \geqslant 1$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（2）设 $\displaystyle x_{1}>a>0, x_{n+1}=\sqrt{x_{n}^{2}-2 a x_{n}+2 a^{2}}, n \geqslant 1$ ，求其极限．
（3）设 $\displaystyle a>1,0<x_{1}<a, x_{n+1}=a-\sqrt{a^{2}-x_{n}}(n=1,2, \cdots)$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（4）设 $\displaystyle 0<x_{1}<3, x_{n+1}=\sqrt{x_{n}\left(3-x_{n}\right)}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求其极限．
（5）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$\displaystyle y_{1}=1,2 y_{n+1}=y_{n}+\sqrt{y_{n}^{2}+a_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 是递增的收敛数列．（福建师大，湖南大学2007（ $\displaystyle a_{n}=n^{-p}, p>1$ ））
（6）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$\displaystyle y_{1}=1, y_{n+1}=\sqrt{y_{n}\left(y_{n}+a_{n}\right)}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 收敛．
（7）设 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=\sqrt{4+3 x_{n}}, n \geqslant 1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（8）设 $\displaystyle x_{1}=\sqrt{2}, x_{n+1}=\sqrt{3+2 x_{n}}, n \geqslant 1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（9）设 $\displaystyle a>0, x_{1}=\sqrt{a}, x_{n+1}=\sqrt{a x_{n}}, n \geqslant 1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（10）若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle a_{1}=0, a_{n}=\frac{a_{n-1}+3}{4}, n \geqslant 2$ ，则数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有极限，并求之．
第29题证明题
29．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle n$ 是正整数，给定方程 $\displaystyle x+x^{2}+\cdots+x^{n}=1$ 。证明：此方程仅有唯一的正根 $\displaystyle x_{n} \in(0,1)$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2}$ ．．华中科技 2013，北京师大 1997，苏州大学 2004，宁波大学 2011，上海理工 2003，吉林大学，山西大学 2005，西安电子科技 2011／2002，西南交大 2005，西南交大 2008，相潭大学 2011）
（2）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\sin x+\sin ^{2} x+\cdots+\sin ^{n} x$ 。证明：（1）对任意正整数 $\displaystyle n$ ，方程 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 在 $\displaystyle \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 仅有
一根；（2）设 $\displaystyle x_{n} \in\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 是 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 的根，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\cos x+\cos ^{2} x+\cdots+\cos ^{n} x$ ，求证：对任意自然数 $\displaystyle n(n \geqslant 2)$ ，方程 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 在区间 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 内必有唯一根 $\displaystyle x_{n}$ ，并求数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 的极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ 。
（4）设 $\displaystyle n$ 是正整数，给定方程 $\displaystyle x^{n}+x=1$ ．证明：（1）此方程仅有唯一的正根 $\displaystyle x_{n} \in(0,1)$ ； （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$ ．
（5）证明：$\displaystyle x+x^{3}+\cdots+x^{2 n-1}=1$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 仅有一个根 $\displaystyle x_{n}$ ，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（1）设 $\displaystyle n$ 是正整数，给定方程 $\displaystyle x+x^{2}+\cdots+x^{n}=1$ 。证明：此方程仅有唯一的正根 $\displaystyle x_{n} \in(0,1)$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2}$ ．．华中科技 2013，北京师大 1997，苏州大学 2004，宁波大学 2011，上海理工 2003，吉林大学，山西大学 2005，西安电子科技 2011／2002，西南交大 2005，西南交大 2008，相潭大学 2011）
（2）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\sin x+\sin ^{2} x+\cdots+\sin ^{n} x$ 。证明：（1）对任意正整数 $\displaystyle n$ ，方程 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 在 $\displaystyle \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 仅有
一根；（2）设 $\displaystyle x_{n} \in\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 是 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 的根，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\cos x+\cos ^{2} x+\cdots+\cos ^{n} x$ ，求证：对任意自然数 $\displaystyle n(n \geqslant 2)$ ，方程 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 在区间 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 内必有唯一根 $\displaystyle x_{n}$ ，并求数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 的极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ 。
（4）设 $\displaystyle n$ 是正整数，给定方程 $\displaystyle x^{n}+x=1$ ．证明：（1）此方程仅有唯一的正根 $\displaystyle x_{n} \in(0,1)$ ； （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$ ．
（5）证明：$\displaystyle x+x^{3}+\cdots+x^{2 n-1}=1$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 仅有一个根 $\displaystyle x_{n}$ ，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
第30题证明题
30．证明下列函数在指定区间非一致连续．
（1）$\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x} \cos \frac{1}{x}, x \in(0,1)$ 。
（2）$\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x}, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\tan x, x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \cdot$
（1）$\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x} \cos \frac{1}{x}, x \in(0,1)$ 。
（2）$\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x}, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\tan x, x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \cdot$
第30题求解题
30．求下列函数的高阶导数．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin x}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 其中 $\displaystyle n \in \mathbf{N}$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=(\arcsin x)^{2}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．（海南大学 2010，大连理工 2006（n＝3））
（3）设 $\displaystyle f(x)=x \arccos x$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)=\sin x^{2}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)=x^{3} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 。
（6）设 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（8）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{5}}{\sqrt{1+x^{2}}} \cdot \frac{\sin ^{4} x}{1+\cos ^{2} x}$ ，求 $\displaystyle f^{(6)}(0), \int_{-1}^{1} f^{(6)}(x) \mathrm{d} x$ ．
（9）设 $\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}} \sin x$ ，求 $\displaystyle f^{(2012)}(0)$ ．
（10）设 $\displaystyle f(x)=x^{4} \mathrm{e}^{x}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0) .(n=2006$ ：地质大学 2006 ，山东科技 $\displaystyle 2010, n=100$ ：江苏大学 2014）
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin x}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 其中 $\displaystyle n \in \mathbf{N}$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=(\arcsin x)^{2}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．（海南大学 2010，大连理工 2006（n＝3））
（3）设 $\displaystyle f(x)=x \arccos x$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)=\sin x^{2}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)=x^{3} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 。
（6）设 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（8）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{5}}{\sqrt{1+x^{2}}} \cdot \frac{\sin ^{4} x}{1+\cos ^{2} x}$ ，求 $\displaystyle f^{(6)}(0), \int_{-1}^{1} f^{(6)}(x) \mathrm{d} x$ ．
（9）设 $\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}} \sin x$ ，求 $\displaystyle f^{(2012)}(0)$ ．
（10）设 $\displaystyle f(x)=x^{4} \mathrm{e}^{x}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0) .(n=2006$ ：地质大学 2006 ，山东科技 $\displaystyle 2010, n=100$ ：江苏大学 2014）
第30题证明题
30．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{n} x \cos x \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots$ ，求 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} I_{n}$ ．
（2）设 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1}(1-x)^{n} x^{2} \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots$ ．证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫并求其和．
（1）设 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{n} x \cos x \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots$ ，求 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} I_{n}$ ．
（2）设 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1}(1-x)^{n} x^{2} \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots$ ．证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫并求其和．
第31题证明题
31．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1} \sin \frac{1}{x},(a>0)$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，在 $\displaystyle (0, a)$ 内非一致连续．（大连理工 2006，苏州科技 2008，计量学院 2011，兰州大学 1980，中北大学 2005（ $\displaystyle a=1$ ））
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left(1+\frac{1}{x+1}\right) \cos \frac{1}{x},(a>0)$ 。证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1} \sin \frac{1}{x},(a>0)$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，在 $\displaystyle (0, a)$ 内非一致连续．（大连理工 2006，苏州科技 2008，计量学院 2011，兰州大学 1980，中北大学 2005（ $\displaystyle a=1$ ））
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left(1+\frac{1}{x+1}\right) \cos \frac{1}{x},(a>0)$ 。证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
第32题证明题
32．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\ln x$ ，证明：（1）在 $\displaystyle (0,1)$ 及 $\displaystyle (0,+\infty)$ 非一致连续；（2）在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 一致连续
（2）证明：函数 $\displaystyle f(x)=x \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续。武汉大学1992，首都师大2010）
（3）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x} \ln x$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle \alpha>0$ ，试确定函数 $\displaystyle f(x)=x^{\alpha} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续的参数 $\displaystyle \alpha$ 的范围．
（5）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续。安徽大学 2009）
（6）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\ln x$ ，证明：（1）在 $\displaystyle (0,1)$ 及 $\displaystyle (0,+\infty)$ 非一致连续；（2）在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 一致连续
（2）证明：函数 $\displaystyle f(x)=x \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续。武汉大学1992，首都师大2010）
（3）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x} \ln x$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle \alpha>0$ ，试确定函数 $\displaystyle f(x)=x^{\alpha} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续的参数 $\displaystyle \alpha$ 的范围．
（5）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续。安徽大学 2009）
（6）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续．
第33题证明题
33．证明下列函数在指定区间内一致连续．
（1）$\displaystyle f(x)=x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right), x \in[2,+\infty)$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right), x \in(0,+\infty)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\sqrt{x(x-1)}, x \in[1,+\infty)$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right), x \in[2,+\infty)$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right), x \in(0,+\infty)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\sqrt{x(x-1)}, x \in[1,+\infty)$ ．
第34题证明题
34．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2}}$ 定义在 $\displaystyle [0,1]$ 上，证明：它在 $\displaystyle (0,1)$ 上满足方程：
$$
f(x)+f(1-x)+\ln x \cdot \ln (1-x)=f(1)=\frac{\pi^{2}}{6},(0<x<1)
$$
（2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(1-x)^{n}}{n(n-1)}$ 的收玫域．如果其和函数是 $\displaystyle S(x)$ ，证明：$\displaystyle x \in(0,1)$ 时，有
$$
S(x)+x \ln x+S(1-x)+(1-x) \ln (1-x)=1 . \text {
$$
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2}}$ 定义在 $\displaystyle [0,1]$ 上，证明：它在 $\displaystyle (0,1)$ 上满足方程：
$$
f(x)+f(1-x)+\ln x \cdot \ln (1-x)=f(1)=\frac{\pi^{2}}{6},(0<x<1)
$$
（2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(1-x)^{n}}{n(n-1)}$ 的收玫域．如果其和函数是 $\displaystyle S(x)$ ，证明：$\displaystyle x \in(0,1)$ 时，有
$$
S(x)+x \ln x+S(1-x)+(1-x) \ln (1-x)=1 . \text {
$$
第35题证明题
35．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．将 $\displaystyle [a, b]$ 改为 $\displaystyle (a, b)$ ，结论是否还成立？说明理由．（河海大学 2006，北京大学 2008，扬州大学 2010，北京交大 2001，新疆大学 2006，东华大学 2000（用致密性定理））
第35题证明题
35．设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的系数满足：$\displaystyle a_{n+2}+c_{1} a_{n+1}+c_{2} a_{n}=0, n \geqslant 0$ ，其中 $\displaystyle c_{1}, c_{2}$ 为常数，$\displaystyle a_{0}=1, a_{1}=-7$ ， $\displaystyle a_{2}=-1, a_{3}=-43$ ．又 $\displaystyle S(x)$ 是幂级数的和函数．证明：（1）$\displaystyle S(x)=\frac{1-8 x}{(1-3 x)(1+2 x)}$ ；（2）求幂级数的收敛半径；（3）求 $\displaystyle a_{n}$ 的表达式．