化三重积分为累次积分（直角坐标）
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第1题计算题
1．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega=\{(x, y, z) \mid x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0, x+y+z \leqslant a\}, a$ 为常数．
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，区域 $\displaystyle \Omega$ 由 $\displaystyle x=0, y=0, z=0, x+y+z=1$ 所围成。
（3） $\displaystyle \iiint_{V}(x y+y z+z x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，区域 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle x \geqslant 0, y \geqslant 0,0 \leqslant z \leqslant 1, x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 所围成．
（4） $\displaystyle \iiint_{\Omega} x y^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是第一象限中由曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x y}$ 与平面 $\displaystyle y=x, x=1, z=0$ 所围成的区域．
（5） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \mathrm{e}^{x} y^{2} z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 由曲面 $\displaystyle z=x y, y=x, z=0, x=1$ 所围成。
（6） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \mathrm{e}^{x+y+z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 中由下列平面 $\displaystyle y=1, y=-x, x=0, z=0, z=-x$ 所围成的闭区域．
（7） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{1}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是由平面 $\displaystyle x=1, x=2, z=0, y=x$ 与 $\displaystyle z=y$ 所围成的区域．
（8） $\displaystyle \iiint_{\Omega} y \cos (x+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 其中 $\displaystyle \Omega$ 由抛物柱面 $\displaystyle y=\sqrt{x}$ ，平面 $\displaystyle x+z=\frac{\pi}{2}, y=0, z=0$ 所围成的有界区域．
（9） $\displaystyle \iiint_{\Omega} y(x+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 其中 $\displaystyle \Omega$ 由抛物柱面 $\displaystyle y=\sqrt{x}$ ，平面 $\displaystyle x+z=\frac{\pi}{2}, y=0, z=0$ 所围成的有界区域。
（10） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 由平面 $\displaystyle x=0, x=1$ 和曲面 $\displaystyle x^{2}+1=\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}$ 所围成。
（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega=\{(x, y, z) \mid x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0, x+y+z \leqslant a\}, a$ 为常数．
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，区域 $\displaystyle \Omega$ 由 $\displaystyle x=0, y=0, z=0, x+y+z=1$ 所围成。
（3） $\displaystyle \iiint_{V}(x y+y z+z x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，区域 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle x \geqslant 0, y \geqslant 0,0 \leqslant z \leqslant 1, x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 所围成．
（4） $\displaystyle \iiint_{\Omega} x y^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是第一象限中由曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x y}$ 与平面 $\displaystyle y=x, x=1, z=0$ 所围成的区域．
（5） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \mathrm{e}^{x} y^{2} z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 由曲面 $\displaystyle z=x y, y=x, z=0, x=1$ 所围成。
（6） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \mathrm{e}^{x+y+z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 中由下列平面 $\displaystyle y=1, y=-x, x=0, z=0, z=-x$ 所围成的闭区域．
（7） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{1}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是由平面 $\displaystyle x=1, x=2, z=0, y=x$ 与 $\displaystyle z=y$ 所围成的区域．
（8） $\displaystyle \iiint_{\Omega} y \cos (x+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 其中 $\displaystyle \Omega$ 由抛物柱面 $\displaystyle y=\sqrt{x}$ ，平面 $\displaystyle x+z=\frac{\pi}{2}, y=0, z=0$ 所围成的有界区域．
（9） $\displaystyle \iiint_{\Omega} y(x+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 其中 $\displaystyle \Omega$ 由抛物柱面 $\displaystyle y=\sqrt{x}$ ，平面 $\displaystyle x+z=\frac{\pi}{2}, y=0, z=0$ 所围成的有界区域。
（10） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 由平面 $\displaystyle x=0, x=1$ 和曲面 $\displaystyle x^{2}+1=\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}$ 所围成。
第5题计算题
5．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 与抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=3 z$ 所围成的立体。
（2） $\displaystyle \iiint_{V} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$ 与抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=3 z$ 围成的立体。（首）都师大 2000）
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle \sqrt{2-x^{2}-y^{2}}=z$ 与抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的立体．
（4） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 z$ 与曲面 $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 所围成的立体．
（5） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 z$ 与曲面 $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 所围成的立体．
（6） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, \Omega: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1, x^{2}+y^{2}+z^{2} \geqslant \frac{1}{2}$ ．
（7） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 R z(R>0)$ 的公共部分．
（8） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4, x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2} \leq 4$ 。
（9） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\mathrm{e}^{z}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle z=1, z=2$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成。
（10） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2} \leqslant z^{2}, 2 \leqslant z \leqslant 8$ ．
分析：采用＂球面坐标变换＂＂先二重后一重＂的累次积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 与抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=3 z$ 所围成的立体。
（2） $\displaystyle \iiint_{V} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$ 与抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=3 z$ 围成的立体。（首）都师大 2000）
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle \sqrt{2-x^{2}-y^{2}}=z$ 与抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的立体．
（4） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 z$ 与曲面 $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 所围成的立体．
（5） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 z$ 与曲面 $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 所围成的立体．
（6） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, \Omega: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1, x^{2}+y^{2}+z^{2} \geqslant \frac{1}{2}$ ．
（7） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 R z(R>0)$ 的公共部分．
（8） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4, x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2} \leq 4$ 。
（9） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\mathrm{e}^{z}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle z=1, z=2$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成。
（10） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2} \leqslant z^{2}, 2 \leqslant z \leqslant 8$ ．
分析：采用＂球面坐标变换＂＂先二重后一重＂的累次积分．
第6题计算题
6．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z$ 与平面 $\displaystyle z=4$ 所围成的区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle z=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 与 $\displaystyle z=4$ 围成。
（3） $\displaystyle \iiint_{V} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V: \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ ．
（4） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+2 z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ 表示。
（5） $\displaystyle \iiint_{V}\left[(z-y)^{2}+(y-x)^{2}+(x-z)^{2}\right] \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ 表示．
（1） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z$ 与平面 $\displaystyle z=4$ 所围成的区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle z=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 与 $\displaystyle z=4$ 围成。
（3） $\displaystyle \iiint_{V} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V: \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ ．
（4） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+2 z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ 表示。
（5） $\displaystyle \iiint_{V}\left[(z-y)^{2}+(y-x)^{2}+(x-z)^{2}\right] \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ 表示．
第7题计算题
7．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} x^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\ln \left(1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的区域．
（3） $\displaystyle \iiint_{V}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 与平面图 $\displaystyle z=-1, z=1$ 所围成的区域．
（4） $\displaystyle \iiint_{V}(x+2 y+3 z)^{2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2} \leqslant 1,|z| \leqslant 1$ ．•
（5） $\displaystyle \iiint_{V} z \sqrt{1-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由曲面 $\displaystyle z=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2}=1, z=1$ 所围成。
（6） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\mathrm{~d} V}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle V: \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ ．
（7） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 和锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}(z>0)$ 以及平面 $\displaystyle z=h(h>1)$ 所围成的立体。
（8） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是由抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4 z$ 与平面 $\displaystyle z=h>0$ 所围成的空间区域。
（9） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{(b-x) \mathrm{d} V}{\sqrt{(b-x)^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}, \quad b>a>0$ ．
（10） $\displaystyle \iiint_{V} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为介于 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 之间的部分。．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} x^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\ln \left(1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的区域．
（3） $\displaystyle \iiint_{V}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 与平面图 $\displaystyle z=-1, z=1$ 所围成的区域．
（4） $\displaystyle \iiint_{V}(x+2 y+3 z)^{2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2} \leqslant 1,|z| \leqslant 1$ ．•
（5） $\displaystyle \iiint_{V} z \sqrt{1-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由曲面 $\displaystyle z=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2}=1, z=1$ 所围成。
（6） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\mathrm{~d} V}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle V: \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ ．
（7） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 和锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}(z>0)$ 以及平面 $\displaystyle z=h(h>1)$ 所围成的立体。
（8） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是由抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4 z$ 与平面 $\displaystyle z=h>0$ 所围成的空间区域。
（9） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{(b-x) \mathrm{d} V}{\sqrt{(b-x)^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}, \quad b>a>0$ ．
（10） $\displaystyle \iiint_{V} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为介于 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 之间的部分。．
第8题计算题
8．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 与 $\displaystyle z=0$ 所围成的 $\displaystyle x y$ 面以上部分．
（2） $\displaystyle \iiint_{V} f\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1 .(f(t)=\sqrt{1-t}$ ：郑州大学 2007；$\displaystyle f(t)=t$ ：河南师大 2013，湖北大学 2007，山东大学 2007，河海大学 2006，南京农大 2009，海南师大 2012，陕西师大1997，矿业大学2010，曲阜师大 2009（ $\displaystyle a=b=c=1$ ）；$\displaystyle f(t)=\ln t$ ：广西民大 2010）
（3） $\displaystyle \iiint_{V}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1$ 在第一卦限的部分．（华中科技
（4） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的内部区域．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 与 $\displaystyle z=0$ 所围成的 $\displaystyle x y$ 面以上部分．
（2） $\displaystyle \iiint_{V} f\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1 .(f(t)=\sqrt{1-t}$ ：郑州大学 2007；$\displaystyle f(t)=t$ ：河南师大 2013，湖北大学 2007，山东大学 2007，河海大学 2006，南京农大 2009，海南师大 2012，陕西师大1997，矿业大学2010，曲阜师大 2009（ $\displaystyle a=b=c=1$ ）；$\displaystyle f(t)=\ln t$ ：广西民大 2010）
（3） $\displaystyle \iiint_{V}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1$ 在第一卦限的部分．（华中科技
（4） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的内部区域．
第10题计算题
10．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{2 z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由平面图形 $\displaystyle D:\left\{(x, y, z) \mid x=0, y \geqslant 0, z \geqslant 0, z^{2}+y^{2} \leqslant 1,2 y-z \leqslant 1\right\}$绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所生成的立体．
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 由平面曲线 $\displaystyle D:\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 z \\ x=0\end{array}\right.$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所得的曲面与平面 $\displaystyle z=2, z=8$ 所围成的区域．
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 由平面曲线 $\displaystyle D:\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y^{2}=2 z\end{array}\right.$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所得的曲面与 $\displaystyle z=4$ 所围成的区域．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{2 z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由平面图形 $\displaystyle D:\left\{(x, y, z) \mid x=0, y \geqslant 0, z \geqslant 0, z^{2}+y^{2} \leqslant 1,2 y-z \leqslant 1\right\}$绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所生成的立体．
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 由平面曲线 $\displaystyle D:\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 z \\ x=0\end{array}\right.$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所得的曲面与平面 $\displaystyle z=2, z=8$ 所围成的区域．
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 由平面曲线 $\displaystyle D:\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y^{2}=2 z\end{array}\right.$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所得的曲面与 $\displaystyle z=4$ 所围成的区域．
第12题证明题
12．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f$ 是 $\displaystyle [-1,1]$ 上的可积函数，则有 $\displaystyle \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<1} f(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\pi \int_{-1}^{1} f(u)\left(1-u^{2}\right) \mathrm{d} u$ ．
（2）设 $\displaystyle f(t)$ 是 $\displaystyle [-k, k]$ 上的连续函数．试证：
$$
\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<1} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\pi \int_{-1}^{1}\left(1-u^{2}\right) f(k u) \mathrm{d} u \text {, 其中 } k=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}>0 \text {. (浙江大学 } 2008 \text {, }
$$
南京大学 2007，厦门大学 2006 ，广州大学 $\displaystyle 2010 ; f(t)=\cos t$ ：浙江大学 2006 ，上海交大 2006 ，南开大学 1985 ，厦门大学 2008／2012）
（3）记 函数 $\displaystyle F(a, b, c)=\iiint_{V} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其 中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ，试 证 明：球 面 $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ 为函数 $\displaystyle F(a, b, c)$ 的等值面，即 $\displaystyle F(a, b, c)$ 在球面 $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ 上恒为常数，并求出此常数．
提示：采用＂先二后一＂的方法
（1）设 $\displaystyle f$ 是 $\displaystyle [-1,1]$ 上的可积函数，则有 $\displaystyle \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<1} f(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\pi \int_{-1}^{1} f(u)\left(1-u^{2}\right) \mathrm{d} u$ ．
（2）设 $\displaystyle f(t)$ 是 $\displaystyle [-k, k]$ 上的连续函数．试证：
$$
\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<1} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\pi \int_{-1}^{1}\left(1-u^{2}\right) f(k u) \mathrm{d} u \text {, 其中 } k=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}>0 \text {. (浙江大学 } 2008 \text {, }
$$
南京大学 2007，厦门大学 2006 ，广州大学 $\displaystyle 2010 ; f(t)=\cos t$ ：浙江大学 2006 ，上海交大 2006 ，南开大学 1985 ，厦门大学 2008／2012）
（3）记 函数 $\displaystyle F(a, b, c)=\iiint_{V} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其 中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ，试 证 明：球 面 $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ 为函数 $\displaystyle F(a, b, c)$ 的等值面，即 $\displaystyle F(a, b, c)$ 在球面 $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ 上恒为常数，并求出此常数．
提示：采用＂先二后一＂的方法
第13题未分类
13．化下列积分为累次积分．
（1）将积分 $\displaystyle \iiint_{V} f(x, y, z) \mathrm{d} V$ 分别用直角坐标、柱面坐标和球面坐标表示为一个逐次积分，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}, z=0$ 与 $\displaystyle z=1$ 所围成的区域．
（2）将积分 $\displaystyle \iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}, z\right) \mathrm{d} V$ 化为：（1）直角坐标，（2）柱面坐标，（3）球面坐标下的三次积分，其中 $\displaystyle \Omega$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 a z(a>0)$ 所围成的立体。
（1）将积分 $\displaystyle \iiint_{V} f(x, y, z) \mathrm{d} V$ 分别用直角坐标、柱面坐标和球面坐标表示为一个逐次积分，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}, z=0$ 与 $\displaystyle z=1$ 所围成的区域．
（2）将积分 $\displaystyle \iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}, z\right) \mathrm{d} V$ 化为：（1）直角坐标，（2）柱面坐标，（3）球面坐标下的三次积分，其中 $\displaystyle \Omega$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 a z(a>0)$ 所围成的立体。
第14题未分类
14．交换积分顺序．
（1）将积分 $\displaystyle J=\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ 化为先对 $\displaystyle x$ 再对 $\displaystyle y$ ，最后对 $\displaystyle z$ 的积分．
（2）将 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1-x} \mathrm{~d} y \int_{0}^{x+y} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ 化为先对 $\displaystyle x$ 再对 $\displaystyle z$ ，最后对 $\displaystyle y$ 的累次积分；先对 $\displaystyle y$ 再对 $\displaystyle z$ ，最后对 $\displaystyle x$ 的累次积分；先对 $\displaystyle y$ 再对 $\displaystyle x$ ，最后对 $\displaystyle z$ 的累次积分．
（1）将积分 $\displaystyle J=\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ 化为先对 $\displaystyle x$ 再对 $\displaystyle y$ ，最后对 $\displaystyle z$ 的积分．
（2）将 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1-x} \mathrm{~d} y \int_{0}^{x+y} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ 化为先对 $\displaystyle x$ 再对 $\displaystyle z$ ，最后对 $\displaystyle y$ 的累次积分；先对 $\displaystyle y$ 再对 $\displaystyle z$ ，最后对 $\displaystyle x$ 的累次积分；先对 $\displaystyle y$ 再对 $\displaystyle x$ ，最后对 $\displaystyle z$ 的累次积分．
第15题计算题
15．计算累次积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} y \sqrt{1+z^{4}} \mathrm{~d} z$ ．（电子科大 2007）
（2） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{1}^{1+\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} \frac{\mathrm{~d} z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}} z^{2} \mathrm{~d} z$ ．
（4）$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1-x} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\frac{y}{2}} \frac{\cos z}{(2 z-1)^{2}} \mathrm{~d} z$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} y \sqrt{1+z^{4}} \mathrm{~d} z$ ．（电子科大 2007）
（2） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{1}^{1+\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} \frac{\mathrm{~d} z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}} z^{2} \mathrm{~d} z$ ．
（4）$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1-x} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\frac{y}{2}} \frac{\cos z}{(2 z-1)^{2}} \mathrm{~d} z$ ．
第16题求解题
16．求立体的体积．
（1）求由曲面 $\displaystyle a z=x^{2}+y^{2}(a>0)$ 和 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的立体的体积．（中南大学 2002，桂林电子科技 2013（ $\displaystyle a=2$ ））
（2）求由圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 与 $\displaystyle x^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 所围立体的体积．
（3）求由曲面 $\displaystyle z=6-\left(2 x^{2}+y^{2}\right)$ 与 $\displaystyle z=x^{2}+2 y^{2}$ 所围立体的体积．（桂林电子科大 2010）
（4）求由锥面 $\displaystyle z=\frac{h}{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，平面 $\displaystyle z=0$ 及圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 所围立体的体积．
（5）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 R^{2}$ 的内部被柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 R x$ 所划出的部分的体积．（太原理工 2008（ $\displaystyle a=2 R, z>0$ ），福建师大 2004）
（6）计算曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 和 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{4}$ 所围成的空间区域的体积．
（7）求由半径为 $\displaystyle a$ 的球面与顶点在球心，顶角为 $\displaystyle 2 \alpha$ 的圆锥面所围成的区域的体积 $\displaystyle \left(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right)$ ．
（8）求由圆锥体 $\displaystyle z \geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 和球体 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2} \leqslant a^{2}$ 所围成的立体的体积 $\displaystyle (a>0)$ ．
（9）求由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+a z=4 a^{2}$ 将球体 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 4 a z$ 分成两部分的体积之比．
（1）求由曲面 $\displaystyle a z=x^{2}+y^{2}(a>0)$ 和 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的立体的体积．（中南大学 2002，桂林电子科技 2013（ $\displaystyle a=2$ ））
（2）求由圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 与 $\displaystyle x^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 所围立体的体积．
（3）求由曲面 $\displaystyle z=6-\left(2 x^{2}+y^{2}\right)$ 与 $\displaystyle z=x^{2}+2 y^{2}$ 所围立体的体积．（桂林电子科大 2010）
（4）求由锥面 $\displaystyle z=\frac{h}{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，平面 $\displaystyle z=0$ 及圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 所围立体的体积．
（5）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 R^{2}$ 的内部被柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 R x$ 所划出的部分的体积．（太原理工 2008（ $\displaystyle a=2 R, z>0$ ），福建师大 2004）
（6）计算曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 和 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{4}$ 所围成的空间区域的体积．
（7）求由半径为 $\displaystyle a$ 的球面与顶点在球心，顶角为 $\displaystyle 2 \alpha$ 的圆锥面所围成的区域的体积 $\displaystyle \left(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right)$ ．
（8）求由圆锥体 $\displaystyle z \geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 和球体 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2} \leqslant a^{2}$ 所围成的立体的体积 $\displaystyle (a>0)$ ．
（9）求由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+a z=4 a^{2}$ 将球体 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 4 a z$ 分成两部分的体积之比．
第17题求解题
17．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}(y-z) x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 及平面 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=3$ 所围空间的整个边界曲面的外侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆柱 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 介于 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=3$ 之间的部分外侧．华侨大学2011，兰州大学2011，河北大学2008，青岛大学2011，北航）
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 介于 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=1$ 之间的部分外侧。
（4） $\displaystyle \iint_{S} x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 在 $\displaystyle -1 \leqslant z \leqslant 1$ 的部分，取外侧．
（5） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{2}+z x\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{2}+x y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle (x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 2$ 的表面外侧．
（6） $\displaystyle \iint_{S} z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}, z=h(h, R>0)$ 及三个坐标面所围的第一卦限部分的外侧．
（7） $\displaystyle \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 在 $\displaystyle -1 \leqslant z \leqslant 1, x \geqslant 0$ 的部分，侧的
方向与 $\displaystyle x$ 轴正向成锐角．
（8）$\displaystyle \oiint_{\Sigma}\left(\frac{x^{2} y}{2} \cos \alpha+\frac{y^{2} z}{2} \cos \beta+\frac{z^{2} x}{2} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1, z=0, z=1, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 所围成区域的边界曲面， $\displaystyle \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 是此边界曲面的外法线矢量的方向余弦。
（9） $\displaystyle \iint_{S_{1}+S_{2}} x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S_{1}$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4, x \geqslant 0$ 介于平面 $\displaystyle z=0$ 与 $\displaystyle z=1$ 的部分，法线与 $\displaystyle x$ 轴的正向成锐角．$\displaystyle S_{2}$ 为 $\displaystyle x O y$ 平面上 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 4, x \geqslant 0$ 的部分，方向向下。
（1） $\displaystyle \iint_{S}(y-z) x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 及平面 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=3$ 所围空间的整个边界曲面的外侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆柱 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 介于 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=3$ 之间的部分外侧．华侨大学2011，兰州大学2011，河北大学2008，青岛大学2011，北航）
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 介于 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=1$ 之间的部分外侧。
（4） $\displaystyle \iint_{S} x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 在 $\displaystyle -1 \leqslant z \leqslant 1$ 的部分，取外侧．
（5） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{2}+z x\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{2}+x y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle (x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 2$ 的表面外侧．
（6） $\displaystyle \iint_{S} z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}, z=h(h, R>0)$ 及三个坐标面所围的第一卦限部分的外侧．
（7） $\displaystyle \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 在 $\displaystyle -1 \leqslant z \leqslant 1, x \geqslant 0$ 的部分，侧的
方向与 $\displaystyle x$ 轴正向成锐角．
（8）$\displaystyle \oiint_{\Sigma}\left(\frac{x^{2} y}{2} \cos \alpha+\frac{y^{2} z}{2} \cos \beta+\frac{z^{2} x}{2} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1, z=0, z=1, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 所围成区域的边界曲面， $\displaystyle \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 是此边界曲面的外法线矢量的方向余弦。
（9） $\displaystyle \iint_{S_{1}+S_{2}} x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S_{1}$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4, x \geqslant 0$ 介于平面 $\displaystyle z=0$ 与 $\displaystyle z=1$ 的部分，法线与 $\displaystyle x$ 轴的正向成锐角．$\displaystyle S_{2}$ 为 $\displaystyle x O y$ 平面上 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 4, x \geqslant 0$ 的部分，方向向下。
第21题求解题
21．由曲面 $\displaystyle z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 围成一立体，其体密度为 $\displaystyle \mu=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，求此立体的质量 $\displaystyle M$ ．
第22题求解题
22．求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle z=1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{4}$ 在 $\displaystyle 0 \leqslant z \leqslant 1$ 部分的上侧。
第29题求解题
29．设 $\displaystyle S$ 为平行六面体 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant a, 0 \leqslant z \leqslant a$ 的边界的外表面，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S} y(x-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(y^{2}+z x\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。聊城大学 2014，浙江大学 2011，华侨大学 2012，首都师大 2003，中南大学 2010，上海理 I 2008）
（3） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\displaystyle \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S} y(x-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(y^{2}+z x\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。聊城大学 2014，浙江大学 2011，华侨大学 2012，首都师大 2003，中南大学 2010，上海理 I 2008）
（3） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\displaystyle \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
第32题求解题
32．求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{3}-y z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-2 x^{2} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 与三坐标面围成的四面体表面的外侧．