区间套定理

1．用实数完备性定理证明连续函数的零点存在定理或介值定理．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(a) f(b)<0$ ，那么必然存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，满足 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 卜连续，且 $\displaystyle f(a)<0, f(b)>0$ ，则存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(c)=0$ ，且 $\displaystyle \forall x \in(c, b], f(x)>0$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，并至少有一个零点，求证：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必有最小零点．

6．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，且 $\displaystyle f(a) \geqslant a, f(b) \leqslant b$ ．在以下两种情况下，证明：存在一点 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ 使 $\displaystyle f(\xi)=\xi$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续；（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上单调增加但未必连续．
（厦门大学 2013／2014，南航 2011，中科大 2011，武汉大学 2006，天津工大 2005，西南大学 2005，首都师大 2000，安徽大学 1999，南开大学 2010，重庆大学 2009，苏州大学 $\displaystyle 2001 / 2009 / 2008$（ $\displaystyle [a, b]=[0,1]$ ），苏州科技 2009 ，燕山大学 2004 ，河北大学 2010 ，吉林大学 2003 ，上海交大 2001 ，宁波大学 2009 ，武汉科技 2008 ，山东大学1981，南京农大2008，杭州师大 2006（ $\displaystyle [a, b]=[0,1]$ ）

8．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 卜单调增加，且 $\displaystyle f(0) \geqslant 0, f(1) \leqslant 1$ ．证明：在 $\displaystyle [0,1]$ 上必存在 $\displaystyle x_{0}$ ，使
$\displaystyle f\left(x_{0}\right)=x_{0}^{3}$ ．

34．证明下列命题．
（1）叙述闭区间套定理，并用单调有界性定理证明闭区间套定理．
（2）叙述并证明区间套定理．
（3）用区间套定理证明确界原理、有限覆盖定理．
（4）用有限覆盖定理证明聚点定理、致密性定理、闭区间套定理．