单侧极限（左极限、右极限）
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第2题证明题
2．证明极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2-\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1+\mathrm{e}^{\frac{2}{x}}}+\frac{x}{|x|}\right)$ 存在，并求值．
第14题证明题
14．设 $\displaystyle f(x)$ 为区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的单调有界函数，证明：
（1）对任意 $\displaystyle x_{0} \in(a, b), f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处存在左右极限（只证明一个即可）．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 可取到 $\displaystyle f(a), f(b)$ 之间的一切值，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．（重庆大学 2001，电子科技 2008／2003，大连理工 2000，江苏大学 2006／2012／2004，天津大学 2011，西安交大 2001，中科大 2009 （ $\displaystyle [a, b]=[0,1]$ ）
（3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续的充要条件是它的值域为闭区间 $\displaystyle [f(a), f(b)]$ ．
（1）对任意 $\displaystyle x_{0} \in(a, b), f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处存在左右极限（只证明一个即可）．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 可取到 $\displaystyle f(a), f(b)$ 之间的一切值，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．（重庆大学 2001，电子科技 2008／2003，大连理工 2000，江苏大学 2006／2012／2004，天津大学 2011，西安交大 2001，中科大 2009 （ $\displaystyle [a, b]=[0,1]$ ）
（3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续的充要条件是它的值域为闭区间 $\displaystyle [f(a), f(b)]$ ．
第21题证明题
21．证明下列的结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义且有界，则 $\displaystyle M(x)=\sup _{a<t<x} f(t)$ 是 $\displaystyle (a, b]$ 上的左连续函数．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ ：的增函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ，在 $\displaystyle (0,1)$ 上定义 $\displaystyle g(x)=\inf \{t \mid f(t)>x\}$ ．证明：函数 $\displaystyle g(x)$ 右连续．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义且有界，则 $\displaystyle M(x)=\sup _{a<t<x} f(t)$ 是 $\displaystyle (a, b]$ 上的左连续函数．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ ：的增函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ，在 $\displaystyle (0,1)$ 上定义 $\displaystyle g(x)=\inf \{t \mid f(t)>x\}$ ．证明：函数 $\displaystyle g(x)$ 右连续．
第35题证明题
35．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$ ．若极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(2 x-a)}{x-a}$ 存在，证明：（1）在 $\displaystyle (a, b)$ 内 $\displaystyle f(x)>0$ ；（2）在 $\displaystyle (a, b)$ 内存在点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle \frac{b^{2}-a^{2}}{\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x}=\frac{2 \xi}{f(\xi)}$ ； （3）在 $\displaystyle (a, b)$ 内存在与（2）中 $\displaystyle \xi$ 不同的点 $\displaystyle \eta$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\eta)\left(b^{2}-a^{2}\right)=\frac{2 \xi}{\xi-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，证明存在 $\displaystyle \xi \in[1,+\infty)$ 使 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x=\int_{1}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x$ 。北京师大 1998）
（3）已知 $\displaystyle b>a>0$ ，证明存在 $\displaystyle \xi \in(-1,1)$ 使 $\displaystyle \int_{a}^{b} \frac{\mathrm{e}^{-2 x} \cos 2 x}{x} \mathrm{~d} x=\frac{\xi}{a}$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$ ．若极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(2 x-a)}{x-a}$ 存在，证明：（1）在 $\displaystyle (a, b)$ 内 $\displaystyle f(x)>0$ ；（2）在 $\displaystyle (a, b)$ 内存在点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle \frac{b^{2}-a^{2}}{\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x}=\frac{2 \xi}{f(\xi)}$ ； （3）在 $\displaystyle (a, b)$ 内存在与（2）中 $\displaystyle \xi$ 不同的点 $\displaystyle \eta$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\eta)\left(b^{2}-a^{2}\right)=\frac{2 \xi}{\xi-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，证明存在 $\displaystyle \xi \in[1,+\infty)$ 使 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x=\int_{1}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x$ 。北京师大 1998）
（3）已知 $\displaystyle b>a>0$ ，证明存在 $\displaystyle \xi \in(-1,1)$ 使 $\displaystyle \int_{a}^{b} \frac{\mathrm{e}^{-2 x} \cos 2 x}{x} \mathrm{~d} x=\frac{\xi}{a}$ ．