单调函数
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第2题证明题
2．证明下列结论．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续单调有界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 内一致连续，则可补充定义 $\displaystyle f(a)$ 利 $\displaystyle f(b)$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在有穷区间 $\displaystyle (a, b)$ 内一致连续，证明：（1）$\displaystyle f(a+0)$ 与 $\displaystyle f(b-0)$ 存在；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$内有界。当 $\displaystyle (a, b)$ 为无限区间时，结论成立吗？
（4）设 $\displaystyle a<b, c<d$ 均为实数，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上单调，值域为 $\displaystyle (c, d)$ 。证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{\cdot}} f^{\prime}(x), ~ \lim _{x \rightarrow b^{b}} f^{\prime}(x)$ 存在且有限。证明： （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 存在且有限；（2）$\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内一致连续且有界。聊城大学 2009 ，北京师大）
（6）若 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 中无界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上不一致连续．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续单调有界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 内一致连续，则可补充定义 $\displaystyle f(a)$ 利 $\displaystyle f(b)$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在有穷区间 $\displaystyle (a, b)$ 内一致连续，证明：（1）$\displaystyle f(a+0)$ 与 $\displaystyle f(b-0)$ 存在；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$内有界。当 $\displaystyle (a, b)$ 为无限区间时，结论成立吗？
（4）设 $\displaystyle a<b, c<d$ 均为实数，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上单调，值域为 $\displaystyle (c, d)$ 。证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{\cdot}} f^{\prime}(x), ~ \lim _{x \rightarrow b^{b}} f^{\prime}(x)$ 存在且有限。证明： （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 存在且有限；（2）$\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内一致连续且有界。聊城大学 2009 ，北京师大）
（6）若 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 中无界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上不一致连续．
第2题证明题
2．若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调下降，证明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ； （3）若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 且 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 连续，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
第3题证明题
3．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调减少，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $\displaystyle x f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调减少，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x(\ln x) f(x)=0$ ．
（1）设 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调减少，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $\displaystyle x f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调减少，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x(\ln x) f(x)=0$ ．
第4题证明题
4．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界，$\displaystyle \left\{a_{n}\right\} \subset[a, b], \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=c$ 。证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上只有 $\displaystyle a_{n}(n=1,2, \cdots)$为其间断点，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
（2）在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上，函数 $\displaystyle f(x)$ 定义为 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right], x \in(0,1], \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的 Riemann 可积性．
（3）利用可积的充要条件证明 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x=0, \\ \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}<x<\frac{1}{n},\end{array} \quad n=1,2, \cdots\right.$, 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界，$\displaystyle \left\{a_{n}\right\} \subset[a, b], \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=c$ 。证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上只有 $\displaystyle a_{n}(n=1,2, \cdots)$为其间断点，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
（2）在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上，函数 $\displaystyle f(x)$ 定义为 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right], x \in(0,1], \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的 Riemann 可积性．
（3）利用可积的充要条件证明 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x=0, \\ \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}<x<\frac{1}{n},\end{array} \quad n=1,2, \cdots\right.$, 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积．
第6题证明题
6．证明下列结论。
（1）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内连续，那么 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内 Riemann 可积．
（2）已知有限闭区间上的连续函数在该区间上是可积的．现假设有一函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，有界，有唯一间断点 $\displaystyle a(f(x)$ 在其余点连续）。试根据函数可积条件证明函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可积．
（3）假设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上为单调函数，试证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
提示：见华东师大《数学分析》．
（1）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内连续，那么 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内 Riemann 可积．
（2）已知有限闭区间上的连续函数在该区间上是可积的．现假设有一函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，有界，有唯一间断点 $\displaystyle a(f(x)$ 在其余点连续）。试根据函数可积条件证明函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可积．
（3）假设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上为单调函数，试证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
提示：见华东师大《数学分析》．
第6题证明题
6．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且满足 $\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \geqslant \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t, x \in[a, b)$ ．
（1）问：对任意 $\displaystyle x \in[a, b)$ 是否都成立 $\displaystyle f(x) \geqslant g(x)$ ？请证明或举例说明你的结论；
（2）若还满足 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} g(t) \mathrm{d} t$ ，试证： $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} x g(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle g_{1}(x)$ 和 $\displaystyle g_{2}(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{a}^{x} g_{1}(t) \mathrm{d} t \leqslant \int_{a}^{x} g_{2}(t) \mathrm{d} t, a \leqslant x<b, \int_{a}^{b} g_{1}(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} g_{2}(t) \mathrm{d} t$ 。又设 $\displaystyle f(x)$可微，非增，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g_{1}(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} f(x) g_{2}(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\cos x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x \geqslant \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（4）求证： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且满足 $\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \geqslant \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t, x \in[a, b)$ ．
（1）问：对任意 $\displaystyle x \in[a, b)$ 是否都成立 $\displaystyle f(x) \geqslant g(x)$ ？请证明或举例说明你的结论；
（2）若还满足 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} g(t) \mathrm{d} t$ ，试证： $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} x g(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle g_{1}(x)$ 和 $\displaystyle g_{2}(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{a}^{x} g_{1}(t) \mathrm{d} t \leqslant \int_{a}^{x} g_{2}(t) \mathrm{d} t, a \leqslant x<b, \int_{a}^{b} g_{1}(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} g_{2}(t) \mathrm{d} t$ 。又设 $\displaystyle f(x)$可微，非增，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g_{1}(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} f(x) g_{2}(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\cos x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x \geqslant \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（4）求证： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
第6题证明题
6．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 当 $\displaystyle x \rightarrow 0^{+}$时单调趋于 $\displaystyle +\infty$ ，证明：若 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，必有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x f(x)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x$ 存在，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 为单调函数，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\alpha+1} f(x)=0(\alpha \geqslant 0)$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 当 $\displaystyle x \rightarrow 0^{+}$时单调趋于 $\displaystyle +\infty$ ，证明：若 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，必有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x f(x)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x$ 存在，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 为单调函数，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\alpha+1} f(x)=0(\alpha \geqslant 0)$ ．
第8题证明题
8．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上黎曼可积，用可积准则证明：$\displaystyle f^{2}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上也是黎曼可积．
（2）若 $\displaystyle \sqrt{f(x)}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 可积，则 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 可积．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上黎曼可积，用可积准则证明：$\displaystyle f^{2}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上也是黎曼可积．
（2）若 $\displaystyle \sqrt{f(x)}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 可积，则 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 可积．
第8题证明题
8．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ 有 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ ．证明：对任何正整数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle \left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)-\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{n}$ 。西北师大 2005 ，首都师大 2000 ，西南大学 2007 ，华中师大，南开大学）
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ ．证明：对任何正整数 $\displaystyle n$ 有
$$
\left|\frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(a+\frac{b-a}{n} i\right)-\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{n}(b-a)^{2} \text {. }
$$
（3）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，对任意 $\displaystyle x, y$ 都有 $\displaystyle |f(x)-f(y)| \leqslant M|x-y|$ ．证明：
$$
\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)\right| \leqslant \frac{M}{2 n} .
$$
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微， $\displaystyle \sup _{0<x<1}\left|f^{\prime}(x)\right|<M<+\infty$ ．若 $\displaystyle n>1$ 为正整数，证明：
$$
\left|\sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right)-\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{2 n} . \text { }
$$
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调减少，对任何正整数 $\displaystyle n$ ，试证明下列不等式：
$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \leqslant \frac{f(0)-f(1)}{n},
$$
并说明该不等式的几何意义．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，$\displaystyle f(0)=f(1), \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，且对 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ 有 $\displaystyle f^{\prime}(x) \neq 1$ ，记 $\displaystyle g(x)=f(x)-x, n \geqslant 2$ 为正整数．求证：（1）$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 严格单调递减；（2）$\displaystyle -\frac{n}{2}<\sum_{k=0}^{n-1} g\left(\frac{k}{n}\right)<-\frac{n}{2}+1$ ； （3）$\displaystyle \left|\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)\right|<\frac{1}{2}$ 。．
（7）若对任意自然数 $\displaystyle m$ ，当 $\displaystyle x \geqslant m$ 时，$\displaystyle f(x)$ 是一非负单增函数，则对任意 $\displaystyle \xi \geqslant m$ 都有 $\displaystyle \left|\sum_{k=m}^{[\xi]} f(k)-\int_{m}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant f(\xi)$ ，［ $\displaystyle \xi$ ］为不超过 $\displaystyle \xi$ 的最大整数．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ 有 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ ．证明：对任何正整数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle \left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)-\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{n}$ 。西北师大 2005 ，首都师大 2000 ，西南大学 2007 ，华中师大，南开大学）
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ ．证明：对任何正整数 $\displaystyle n$ 有
$$
\left|\frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(a+\frac{b-a}{n} i\right)-\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{n}(b-a)^{2} \text {. }
$$
（3）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，对任意 $\displaystyle x, y$ 都有 $\displaystyle |f(x)-f(y)| \leqslant M|x-y|$ ．证明：
$$
\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)\right| \leqslant \frac{M}{2 n} .
$$
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微， $\displaystyle \sup _{0<x<1}\left|f^{\prime}(x)\right|<M<+\infty$ ．若 $\displaystyle n>1$ 为正整数，证明：
$$
\left|\sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right)-\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{2 n} . \text { }
$$
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调减少，对任何正整数 $\displaystyle n$ ，试证明下列不等式：
$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \leqslant \frac{f(0)-f(1)}{n},
$$
并说明该不等式的几何意义．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，$\displaystyle f(0)=f(1), \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，且对 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ 有 $\displaystyle f^{\prime}(x) \neq 1$ ，记 $\displaystyle g(x)=f(x)-x, n \geqslant 2$ 为正整数．求证：（1）$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 严格单调递减；（2）$\displaystyle -\frac{n}{2}<\sum_{k=0}^{n-1} g\left(\frac{k}{n}\right)<-\frac{n}{2}+1$ ； （3）$\displaystyle \left|\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)\right|<\frac{1}{2}$ 。．
（7）若对任意自然数 $\displaystyle m$ ，当 $\displaystyle x \geqslant m$ 时，$\displaystyle f(x)$ 是一非负单增函数，则对任意 $\displaystyle \xi \geqslant m$ 都有 $\displaystyle \left|\sum_{k=m}^{[\xi]} f(k)-\int_{m}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant f(\xi)$ ，［ $\displaystyle \xi$ ］为不超过 $\displaystyle \xi$ 的最大整数．
第8题证明题
8．设 $\displaystyle f(x, y)$ 关于 $\displaystyle x, y$ 均是一元连续函数，举例说明 $\displaystyle f(x, y)$ 可以不是二元连续函数．证明：当 $\displaystyle f(x, y)$ 关于 $\displaystyle x$ 单调时，$\displaystyle f(x, y)$ 是二元连续函数．
第9题讨论/判定题
9．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}+x^{2} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$（1）求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ；（2）判定 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的连续性；（3）是否存在 $\displaystyle x=0$ 的一个邻域使 $\displaystyle f(x)$ 在该邻域内单调？
第9题讨论/判定题
9．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有界，讨论 $\displaystyle f(x),|f(x)|, f^{2}(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 的可积性之间的
关系．
关系．
第10题证明题
10．设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，且 $\displaystyle \forall x_{1}, x_{2} \in[a, b]$ 有 $\displaystyle \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leqslant\left|x_{1}-x_{2}\right|$ ．证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内连续；
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-(b-a) f(a)\right| \leqslant \frac{1}{2}(b-a)^{2}$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-(b-a) f(a)\right| \leqslant \frac{1}{2}(b-a)^{2}$ ．
第10题证明题
10．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上单调增加，在任 意的有穷区间 $\displaystyle [0, T]$ 上 $\displaystyle f(x)$ 可积，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=C$ ．证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=C$ ．
第11题证明题
11．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 有连续导数，求证：$\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，证明： $\displaystyle \mathrm{e}^{f(x)}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上也是黎曼可积的．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，$\displaystyle f(x) \geqslant c \geqslant 0$ ，用可积准则证明：函数 $\displaystyle \ln f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积．（华 中 师 大 2005）
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 有连续导数，求证：$\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，证明： $\displaystyle \mathrm{e}^{f(x)}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上也是黎曼可积的．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，$\displaystyle f(x) \geqslant c \geqslant 0$ ，用可积准则证明：函数 $\displaystyle \ln f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积．（华 中 师 大 2005）
第11题未分类
11．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, \dot{b}]$ 上二次可微，$\displaystyle M=\max _{[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．
（1）若 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{24} M$ ；
（2）若 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \neq 0$ ，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{24} M$ ．
（西安电子科技 2006，深圳大学 2010，北京科技 2011，东北师大 2001，华中师大 2001，扬州大学 2007，武汉理工 2008，中山大学 2012，大连海事 2005，聊城大学 2003；燕山大学 2011（［0，1］）；首都师大 $\displaystyle 2006([-x, x])$ ，浙江师大 2009（ $\displaystyle [-1,1]$ ）；西南大学 2011（ $\displaystyle [a, b]=[0,2]$ ），辽宁大学 2003）
（1）若 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{24} M$ ；
（2）若 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \neq 0$ ，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{24} M$ ．
（西安电子科技 2006，深圳大学 2010，北京科技 2011，东北师大 2001，华中师大 2001，扬州大学 2007，武汉理工 2008，中山大学 2012，大连海事 2005，聊城大学 2003；燕山大学 2011（［0，1］）；首都师大 $\displaystyle 2006([-x, x])$ ，浙江师大 2009（ $\displaystyle [-1,1]$ ）；西南大学 2011（ $\displaystyle [a, b]=[0,2]$ ），辽宁大学 2003）
第12题未分类
12．确定 $\displaystyle A$ 最小正数，使不等式成立： $\displaystyle \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \leqslant A\left(x^{2}+y^{2}\right), \forall x>0, y>0$ 。
第12题证明题
12．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{\|T\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) g\left(\theta_{i}\right) \Delta x_{i}=\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle T$ 为 $\displaystyle [a, b]$的任一分割，$\displaystyle T: a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b, \xi_{i}, \theta_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right], i=1,2, \cdots, n, \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1},\|T\|=\max _{1 \leqslant i<n}\left\{\Delta x_{i}\right\}$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) g\left(\frac{i-1}{n}\right) \Delta x_{i}=\int_{0}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{\|T\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) g\left(\theta_{i}\right) \Delta x_{i}=\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle T$ 为 $\displaystyle [a, b]$的任一分割，$\displaystyle T: a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b, \xi_{i}, \theta_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right], i=1,2, \cdots, n, \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1},\|T\|=\max _{1 \leqslant i<n}\left\{\Delta x_{i}\right\}$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) g\left(\frac{i-1}{n}\right) \Delta x_{i}=\int_{0}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ．
第12题求解题
12．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ 。求证 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{4} M$ ．
第13题证明题
13．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{\tan x_{2}}{x_{2}}>\frac{\tan x_{1}}{x_{1}}, x_{2}>x_{1}>0$ 。
（2）$\displaystyle \frac{\sin x_{1}}{\sin x_{2}}>\frac{x_{1}}{x_{2}}, \pi>x_{2}>x_{1}>0$ 。
（3）$\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{a}-\mathrm{e}^{b}}{a-b}<\frac{\mathrm{e}^{a}+\mathrm{e}^{b}}{2},(a \neq b)$.
（4）$\displaystyle \frac{2}{a+b}<\frac{\ln a-\ln b}{a-b}<\frac{1}{\sqrt{a b}}, a, b>0, a \neq b$ ．
（5）对 $\displaystyle \forall a, b \in \mathbf{R}, \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \leqslant \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|}$ 。
（6）$\displaystyle \frac{\sin (\alpha+\beta)}{1+\sin (\alpha+\beta)} \leqslant \frac{\sin \alpha}{1+\sin \alpha}+\frac{\sin \beta}{1+\sin \beta}, \alpha, \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（1）$\displaystyle \frac{\tan x_{2}}{x_{2}}>\frac{\tan x_{1}}{x_{1}}, x_{2}>x_{1}>0$ 。
（2）$\displaystyle \frac{\sin x_{1}}{\sin x_{2}}>\frac{x_{1}}{x_{2}}, \pi>x_{2}>x_{1}>0$ 。
（3）$\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{a}-\mathrm{e}^{b}}{a-b}<\frac{\mathrm{e}^{a}+\mathrm{e}^{b}}{2},(a \neq b)$.
（4）$\displaystyle \frac{2}{a+b}<\frac{\ln a-\ln b}{a-b}<\frac{1}{\sqrt{a b}}, a, b>0, a \neq b$ ．
（5）对 $\displaystyle \forall a, b \in \mathbf{R}, \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \leqslant \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|}$ 。
（6）$\displaystyle \frac{\sin (\alpha+\beta)}{1+\sin (\alpha+\beta)} \leqslant \frac{\sin \alpha}{1+\sin \alpha}+\frac{\sin \beta}{1+\sin \beta}, \alpha, \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
第13题证明题
13．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．证明： $\displaystyle \max _{a<x<b}\left|f^{\prime}(x)\right| \geqslant \frac{4}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ ． （四川大学 2008，西安电子科技 2008，太原科技 2005，河南师大 2008，北京工大 2002，大连海事 1999，浙江理工 2007；广西师大 2009
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 内有连续的导数，$\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ．试证明 $\displaystyle \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{1}{4} \max _{0<x<1}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导且非常数函数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．试证明：在 $\displaystyle [a, b]$ 中至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle \left|f^{\prime}(\xi)\right|>\frac{4}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（4）在 $\displaystyle [0,2]$ 上是否存在这样的连续可微函数 $\displaystyle f(x)$ 使得 $\displaystyle f(0)=f(2)=1,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1$ ，且 $\displaystyle \left|\int_{0}^{2} f(x) d x\right| \leqslant 1$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上两阶可导，$\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=f^{\prime}(a)=0, f(a)=1$ ，并且对 $\displaystyle \forall x \in[0, a]$ 有 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 1$ ．设 $\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0 \leqslant x \leqslant \frac{a}{2}, \\ a-x, \frac{a}{2}<x \leqslant a,\end{array}\right.$ 求证：（1）$\displaystyle f^{\prime}(x) \leqslant g(x)$ ；（2）求证存在 $\displaystyle x_{0} \in(0, a)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{0}\right)<g\left(x_{0}\right)$ ；（3）求证 $\displaystyle a>2$ ．
（6）设 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上连续可微，$\displaystyle f(0)=0$ ．求证 $\displaystyle \left|\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{2} a^{2}$ ，其中 $\displaystyle M=\max _{[0, a]}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．证明： $\displaystyle \max _{a<x<b}\left|f^{\prime}(x)\right| \geqslant \frac{4}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ ． （四川大学 2008，西安电子科技 2008，太原科技 2005，河南师大 2008，北京工大 2002，大连海事 1999，浙江理工 2007；广西师大 2009
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 内有连续的导数，$\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ．试证明 $\displaystyle \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{1}{4} \max _{0<x<1}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导且非常数函数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．试证明：在 $\displaystyle [a, b]$ 中至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle \left|f^{\prime}(\xi)\right|>\frac{4}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（4）在 $\displaystyle [0,2]$ 上是否存在这样的连续可微函数 $\displaystyle f(x)$ 使得 $\displaystyle f(0)=f(2)=1,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1$ ，且 $\displaystyle \left|\int_{0}^{2} f(x) d x\right| \leqslant 1$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上两阶可导，$\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=f^{\prime}(a)=0, f(a)=1$ ，并且对 $\displaystyle \forall x \in[0, a]$ 有 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 1$ ．设 $\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0 \leqslant x \leqslant \frac{a}{2}, \\ a-x, \frac{a}{2}<x \leqslant a,\end{array}\right.$ 求证：（1）$\displaystyle f^{\prime}(x) \leqslant g(x)$ ；（2）求证存在 $\displaystyle x_{0} \in(0, a)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{0}\right)<g\left(x_{0}\right)$ ；（3）求证 $\displaystyle a>2$ ．
（6）设 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上连续可微，$\displaystyle f(0)=0$ ．求证 $\displaystyle \left|\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{2} a^{2}$ ，其中 $\displaystyle M=\max _{[0, a]}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．
第13题证明题
13．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，证明： $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0^{+}} h \sum_{n=1}^{\infty} f(n h)=\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上单调，且 $\displaystyle x=0$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的瑕点， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，证明： $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0^{+}} h \sum_{n=1}^{\infty} f(n h)=\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上单调，且 $\displaystyle x=0$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的瑕点， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
第14题证明题
14．设 $\displaystyle f(x)$ 为区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的单调有界函数，证明：
（1）对任意 $\displaystyle x_{0} \in(a, b), f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处存在左右极限（只证明一个即可）．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 可取到 $\displaystyle f(a), f(b)$ 之间的一切值，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．（重庆大学 2001，电子科技 2008／2003，大连理工 2000，江苏大学 2006／2012／2004，天津大学 2011，西安交大 2001，中科大 2009 （ $\displaystyle [a, b]=[0,1]$ ）
（3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续的充要条件是它的值域为闭区间 $\displaystyle [f(a), f(b)]$ ．
（1）对任意 $\displaystyle x_{0} \in(a, b), f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处存在左右极限（只证明一个即可）．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 可取到 $\displaystyle f(a), f(b)$ 之间的一切值，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．（重庆大学 2001，电子科技 2008／2003，大连理工 2000，江苏大学 2006／2012／2004，天津大学 2011，西安交大 2001，中科大 2009 （ $\displaystyle [a, b]=[0,1]$ ）
（3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续的充要条件是它的值域为闭区间 $\displaystyle [f(a), f(b)]$ ．
第14题未分类
14．给出 Riemann 积分 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 的定义，并确定实数 $\displaystyle s$ 的范围使下列极限收敛 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{i}{n}\right)^{s} \frac{1}{n}$ ．
第14题证明题
14．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上可导，$\displaystyle f(1)=1$ ，且满足，$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}$ ．试证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 存在，且 $\displaystyle A \leqslant 1+\frac{\pi}{4}$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 可微，$\displaystyle f(1)=1,\left(x^{2}+f^{2}(x)\right) f^{\prime}(x)=1$ ．证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 一致连续，且 $\displaystyle f(x)<2$ ；（2）若 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上可导，$\displaystyle f(1)=1$ ，且满足，$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}$ ．试证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 存在，且 $\displaystyle A \leqslant 1+\frac{\pi}{4}$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 可微，$\displaystyle f(1)=1,\left(x^{2}+f^{2}(x)\right) f^{\prime}(x)=1$ ．证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 一致连续，且 $\displaystyle f(x)<2$ ；（2）若 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
第15题未分类
15．若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内有定义，且 $\displaystyle \mathrm{e}^{x} f(x)$ 与 $\displaystyle \mathrm{e}^{-f(x)}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内都是单调递增的，试证 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内连续．
第16题证明题
16．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，若对开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内的任一点均非 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上严格单调．
（2）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上处处连续，且为一一映射，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上必为严格单调．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，若对开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内的任一点均非 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上严格单调．
（2）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上处处连续，且为一一映射，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上必为严格单调．
第16题证明题
16．证明下列命题．
（1）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调不增．证明对任何 $\displaystyle \alpha \in(0,1), \int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \alpha \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且单调减少，$\displaystyle f(x)>0$ ．求证对于任意的 $\displaystyle 0<\alpha<\beta<1$ 有 $\displaystyle \beta \int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x>\alpha \int_{a}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，单调递减，$\displaystyle f(x) \geqslant 0, F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．求证
$$
x F(1) \leqslant F(x) \leqslant 2 \int_{0}^{1} F(x) \mathrm{d} x . \text { }
$$
（1）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调不增．证明对任何 $\displaystyle \alpha \in(0,1), \int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \alpha \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且单调减少，$\displaystyle f(x)>0$ ．求证对于任意的 $\displaystyle 0<\alpha<\beta<1$ 有 $\displaystyle \beta \int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x>\alpha \int_{a}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，单调递减，$\displaystyle f(x) \geqslant 0, F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．求证
$$
x F(1) \leqslant F(x) \leqslant 2 \int_{0}^{1} F(x) \mathrm{d} x . \text { }
$$
第17题讨论/判定题
17．讨论是否存在定义在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的函数使得 $\displaystyle f(f(x))=\mathrm{e}^{-x}$ ．
第17题未分类
17．判断题．
（1）定义 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积时，必须先假定 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（1）定义 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积时，必须先假定 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
第17题证明题
17．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且单调减少（增加），证明
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x \leqslant(b-a) \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续递增函数，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \geqslant \frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且单调减少（增加），证明
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x \leqslant(b-a) \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续递增函数，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \geqslant \frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．
第18题证明题
18．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调增加，$\displaystyle f(x) \neq 0$ ．证明 $\displaystyle \frac{\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x} \leqslant \frac{\int_{0}^{1} x f^{3}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} x f^{2}(x) \mathrm{d} x}$ ．
（2）设 $\displaystyle p(x), f(x), g(x)$ 是区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，$\displaystyle f(x), g(x)$ 单调增加，$\displaystyle p(x)>0$ 。试证明：
$\displaystyle \int_{a}^{b} p(x) f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(x) g(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} p(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(x) f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 。南京农大2009，南京大学1992）
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调增加，$\displaystyle f(x) \neq 0$ ．证明 $\displaystyle \frac{\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x} \leqslant \frac{\int_{0}^{1} x f^{3}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} x f^{2}(x) \mathrm{d} x}$ ．
（2）设 $\displaystyle p(x), f(x), g(x)$ 是区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，$\displaystyle f(x), g(x)$ 单调增加，$\displaystyle p(x)>0$ 。试证明：
$\displaystyle \int_{a}^{b} p(x) f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(x) g(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} p(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(x) f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 。南京农大2009，南京大学1992）
第19题证明题
19．证明下列的结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 有介值性，而且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant K$（正常数），$\displaystyle x \in(a, b)$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 右连续（同理在点 $\displaystyle b$ 左连续）。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle \mathbf{R}=(-\infty,+\infty)$ 上的单调函数，定义：$\displaystyle g(x)=f(x+0)$ ．证明函数 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle \mathbf{R}=(-\infty,+\infty)$ 上每一点都右连续。北京交大 2006，江苏大学 2006）
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上只有可去间断点，则 $\displaystyle m(x)=\lim _{v \rightarrow x} f(y)$ 是连续函数．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 有介值性，而且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant K$（正常数），$\displaystyle x \in(a, b)$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 右连续（同理在点 $\displaystyle b$ 左连续）。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle \mathbf{R}=(-\infty,+\infty)$ 上的单调函数，定义：$\displaystyle g(x)=f(x+0)$ ．证明函数 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle \mathbf{R}=(-\infty,+\infty)$ 上每一点都右连续。北京交大 2006，江苏大学 2006）
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上只有可去间断点，则 $\displaystyle m(x)=\lim _{v \rightarrow x} f(y)$ 是连续函数．
第19题证明题
19．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，且存在 $\displaystyle x_{0} \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=0$ ，求证： $\displaystyle \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上变号，且为连续函数，求证： $\displaystyle \min _{[0,1]} f(x) \geqslant-\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶连续可微，且在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在极值，求证： $\displaystyle \max _{[0,1]}\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在连续的二阶导数．证明： $\displaystyle \max _{[0,1]}\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant|f(1)-f(0)|+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，且存在 $\displaystyle x_{0} \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=0$ ，求证： $\displaystyle \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上变号，且为连续函数，求证： $\displaystyle \min _{[0,1]} f(x) \geqslant-\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶连续可微，且在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在极值，求证： $\displaystyle \max _{[0,1]}\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在连续的二阶导数．证明： $\displaystyle \max _{[0,1]}\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant|f(1)-f(0)|+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
第20题证明题
20．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle f(x) \geqslant c>0$ ．又 $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{x}^{b} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明：$\displaystyle F(x)=0$ 在 （ $\displaystyle a, b$ ）上有且仅有一个实根．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x) \neq 0$ 。证明：方程 $\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{b}^{x} \frac{\mathrm{~d} t}{f(t)}=0$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有唯一实根．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，$\displaystyle f(x)>0$ 。令 $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{b}^{x} \frac{1}{f(t)} \mathrm{d} t$ 。证明：$\displaystyle F^{\prime}(x) \geqslant 2$且 $\displaystyle F(x)=0$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上仅有一个实根．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x)>0$ ．又 $\displaystyle F(x)=\int_{\frac{x}{2}}^{1} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{\frac{x}{2}} \frac{1}{f(t)} \mathrm{d} t$ ．证明：$\displaystyle F(x)=0$ 在 $\displaystyle (0,2)$ 上有且仅有一个实根．
（5）设对任意 $\displaystyle A>0, f(x)$ 在 $\displaystyle [0, A]$ 上可积，且 $\displaystyle \int_{0}^{+x} f(x) \mathrm{d} x \neq 0$ 收敛．又对 $\displaystyle x>0$ ， $\displaystyle \varphi(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{x}^{+\infty} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明：$\displaystyle \varphi(x)=0$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内至少有一个实根．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 上的正值连续函数．证明：方程 $\displaystyle \frac{1}{f(x)} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\frac{\int_{0}^{1-x} f(t) \mathrm{d} t}{f(1-x)}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 至少有一个实根．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle f(x) \geqslant c>0$ ．又 $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{x}^{b} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明：$\displaystyle F(x)=0$ 在 （ $\displaystyle a, b$ ）上有且仅有一个实根．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x) \neq 0$ 。证明：方程 $\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{b}^{x} \frac{\mathrm{~d} t}{f(t)}=0$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有唯一实根．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，$\displaystyle f(x)>0$ 。令 $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{b}^{x} \frac{1}{f(t)} \mathrm{d} t$ 。证明：$\displaystyle F^{\prime}(x) \geqslant 2$且 $\displaystyle F(x)=0$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上仅有一个实根．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x)>0$ ．又 $\displaystyle F(x)=\int_{\frac{x}{2}}^{1} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{\frac{x}{2}} \frac{1}{f(t)} \mathrm{d} t$ ．证明：$\displaystyle F(x)=0$ 在 $\displaystyle (0,2)$ 上有且仅有一个实根．
（5）设对任意 $\displaystyle A>0, f(x)$ 在 $\displaystyle [0, A]$ 上可积，且 $\displaystyle \int_{0}^{+x} f(x) \mathrm{d} x \neq 0$ 收敛．又对 $\displaystyle x>0$ ， $\displaystyle \varphi(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{x}^{+\infty} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明：$\displaystyle \varphi(x)=0$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内至少有一个实根．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 上的正值连续函数．证明：方程 $\displaystyle \frac{1}{f(x)} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\frac{\int_{0}^{1-x} f(t) \mathrm{d} t}{f(1-x)}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 至少有一个实根．
第20题未分类
20．设 $\displaystyle 0<x<y<\pi$ ，试证：$\displaystyle y \sin y+2 \cos y+\pi y>x \sin x+2 \cos x+\pi x$ 。
第21题证明题
21．证明下列的结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义且有界，则 $\displaystyle M(x)=\sup _{a<t<x} f(t)$ 是 $\displaystyle (a, b]$ 上的左连续函数．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ ：的增函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ，在 $\displaystyle (0,1)$ 上定义 $\displaystyle g(x)=\inf \{t \mid f(t)>x\}$ ．证明：函数 $\displaystyle g(x)$ 右连续．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义且有界，则 $\displaystyle M(x)=\sup _{a<t<x} f(t)$ 是 $\displaystyle (a, b]$ 上的左连续函数．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ ：的增函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ，在 $\displaystyle (0,1)$ 上定义 $\displaystyle g(x)=\inf \{t \mid f(t)>x\}$ ．证明：函数 $\displaystyle g(x)$ 右连续．
第22题证明题
22．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上递增，$\displaystyle f(x) \geqslant 0$ 且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(2 x)}{f(x)}=1$ ．证明：对任 意 的 $\displaystyle \alpha>0$ ，有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(\alpha x)}{f(x)}=1$ ．
第24题证明题
24．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上非负连续，且 $\displaystyle f(1)=0$ ．证明：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ ，使 $\displaystyle \int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二次可微，且 $\displaystyle f(0) f(1)>0, f^{\prime \prime}(x)>0,(0<x<1), \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内恰有两个零点；
（2）在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle \int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=f^{\prime}(\xi)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(a) f(b)>0$ ，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上至少有两个不同的零点；
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 存在二阶导数，$\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上只有两个不同的零点．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，$\displaystyle \forall x \in[a, b], f(x)>0$ ．证明：至少 $\displaystyle \exists c \in(a, b)$ ，使 $\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x=\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x$.
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上非负连续，且 $\displaystyle f(1)=0$ ．证明：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ ，使 $\displaystyle \int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二次可微，且 $\displaystyle f(0) f(1)>0, f^{\prime \prime}(x)>0,(0<x<1), \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内恰有两个零点；
（2）在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle \int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=f^{\prime}(\xi)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(a) f(b)>0$ ，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上至少有两个不同的零点；
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 存在二阶导数，$\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上只有两个不同的零点．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，$\displaystyle \forall x \in[a, b], f(x)>0$ ．证明：至少 $\displaystyle \exists c \in(a, b)$ ，使 $\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x=\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x$.
第24题证明题
24．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上单调递减函数，证明：对任何正整数 $\displaystyle n$ ，恒有 $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x \geqslant 0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上导函数连续，$\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant 0$ ．求证：对任意自然数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle \left|\int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x\right| \leqslant \frac{2}{n}(f(2 \pi)-f(0))$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上单调递减函数，证明：对任何正整数 $\displaystyle n$ ，恒有 $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x \geqslant 0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上导函数连续，$\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant 0$ ．求证：对任意自然数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle \left|\int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x\right| \leqslant \frac{2}{n}(f(2 \pi)-f(0))$ ．
第24题证明题
24．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x) \in R[a, b]$ ，证 明： $\displaystyle \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) \sin p x \mathrm{~d} x=0, \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) \cos p x \mathrm{~d} x=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的单调函数，证明： $\displaystyle \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin p x \mathrm{~d} x=0$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x) \in R[a, b]$ ，证 明： $\displaystyle \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) \sin p x \mathrm{~d} x=0, \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) \cos p x \mathrm{~d} x=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的单调函数，证明： $\displaystyle \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin p x \mathrm{~d} x=0$ 。
第24题证明题
24．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 单调递增无上界．证明：反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \cos (f(x)) \mathrm{d} x$ 收敛．
第25题证明题
25．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 内连续，在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内可导，当 $\displaystyle x>a$ 时 $\displaystyle f^{\prime}(x)>k>0$ ．证明：若 $\displaystyle f(a)<0$ ，则方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle \left(a, a-\frac{f(a)}{k}\right)$（或 $\displaystyle (a,+\infty)$ ）内有且仅有一个实根．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, 1)$ 存在二阶导数，$\displaystyle f^{\prime}(1)>0, f(1)>0, f^{\prime}(x)$ 严格单调减少。证明：$\displaystyle f(x)$
在 $\displaystyle (-\infty, 1)$ 内至少有一个实根．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 内连续，在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内二阶可导，$\displaystyle f(a)>0, f^{\prime}(a)<0$ 且 $\displaystyle x>a$ 时 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0$ ．求证：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty$ ；（2）在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 内方程 $\displaystyle f(x)=0$ 有且仅有一个实根．（浙江大学 2003，西安电子科技 2008 ，北京科技 2009 ，厦门大学 $\displaystyle 2005 / 2004$ ，上海理工 2005 ，南京师大 2003 ，西安建筑科技2006，中山大学2009（ $\displaystyle \mathrm{a}=1$ ），安徽师大2007）
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 内连续，$\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0, f(1)=2, f^{\prime}(1)=-3$ 。求证：在 $\displaystyle (1, \infty)$ 内方程 $\displaystyle f(x)=0$ 有且仅有一个实根．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 内连续，在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内可导，当 $\displaystyle x>a$ 时 $\displaystyle f^{\prime}(x)>k>0$ ．证明：若 $\displaystyle f(a)<0$ ，则方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle \left(a, a-\frac{f(a)}{k}\right)$（或 $\displaystyle (a,+\infty)$ ）内有且仅有一个实根．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, 1)$ 存在二阶导数，$\displaystyle f^{\prime}(1)>0, f(1)>0, f^{\prime}(x)$ 严格单调减少。证明：$\displaystyle f(x)$
在 $\displaystyle (-\infty, 1)$ 内至少有一个实根．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 内连续，在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内二阶可导，$\displaystyle f(a)>0, f^{\prime}(a)<0$ 且 $\displaystyle x>a$ 时 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0$ ．求证：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty$ ；（2）在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 内方程 $\displaystyle f(x)=0$ 有且仅有一个实根．（浙江大学 2003，西安电子科技 2008 ，北京科技 2009 ，厦门大学 $\displaystyle 2005 / 2004$ ，上海理工 2005 ，南京师大 2003 ，西安建筑科技2006，中山大学2009（ $\displaystyle \mathrm{a}=1$ ），安徽师大2007）
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 内连续，$\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0, f(1)=2, f^{\prime}(1)=-3$ 。求证：在 $\displaystyle (1, \infty)$ 内方程 $\displaystyle f(x)=0$ 有且仅有一个实根．
第25题证明题
25．考察函数 $\displaystyle f(x)=x \ln x,(x>0)$ 的凸性，并由此证明下列不等式。
（1）$\displaystyle a^{a} b^{b} c^{c} \geqslant(a b c)^{\frac{a+b+c}{3}},(a>0, b>0, c>0)$ ，给出等号成立的条件。
（2）$\displaystyle a^{a} b^{b} \geqslant(a b)^{\frac{a+b}{2}},(a>0, b>0)$ 或 $\displaystyle a \ln a+b \ln b>(a+b) \ln \frac{a+b}{2}$ 。
（1）$\displaystyle a^{a} b^{b} c^{c} \geqslant(a b c)^{\frac{a+b+c}{3}},(a>0, b>0, c>0)$ ，给出等号成立的条件。
（2）$\displaystyle a^{a} b^{b} \geqslant(a b)^{\frac{a+b}{2}},(a>0, b>0)$ 或 $\displaystyle a \ln a+b \ln b>(a+b) \ln \frac{a+b}{2}$ 。
第25题证明题
25．设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的 Riemann 可积函数且以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期．证明：$\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 具有相同的傅里叶系数的充要条件是 $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}|f(x)-g(x)| \mathrm{d} x=0$ ．
第26题证明题
26．证明下列结论。
（1）设 $\displaystyle f^{\prime}(x) \neq 0, \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)=\alpha>0, f\left(x_{0}\right)<0$ ．试证 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0},+\infty\right)$ 内有且仅有一个零点．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上具有二阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0, \lim _{x \rightarrow-x} f^{\prime}(x)=\alpha<0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\beta>0$ ．又存在一点 $\displaystyle x_{0}$ ，使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)<0$ ．证明方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有且只有两个实根．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内有连续的一阶导数。试证：
（1）若 $\displaystyle \lim _{|x| \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\alpha>0$ ，则方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内至少有一个实根．
（2）若 $\displaystyle \lim _{|x| \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，则方程 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内至少有一个实根．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, a)$ 内可导。若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-x} f^{\prime}(x)=\beta<0, \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{x-a}=\alpha>0$ 。证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=+\infty$ ，且 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty, a)$ 内至少有一个零点．
（1）设 $\displaystyle f^{\prime}(x) \neq 0, \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)=\alpha>0, f\left(x_{0}\right)<0$ ．试证 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0},+\infty\right)$ 内有且仅有一个零点．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上具有二阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0, \lim _{x \rightarrow-x} f^{\prime}(x)=\alpha<0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\beta>0$ ．又存在一点 $\displaystyle x_{0}$ ，使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)<0$ ．证明方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有且只有两个实根．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内有连续的一阶导数。试证：
（1）若 $\displaystyle \lim _{|x| \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\alpha>0$ ，则方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内至少有一个实根．
（2）若 $\displaystyle \lim _{|x| \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，则方程 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内至少有一个实根．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, a)$ 内可导。若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-x} f^{\prime}(x)=\beta<0, \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{x-a}=\alpha>0$ 。证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=+\infty$ ，且 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty, a)$ 内至少有一个零点．
第27题证明题
27．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant 0, f(0)>0$ ，证明若积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)+f^{\prime}(x)} \mathrm{d} x$ 收玫，则 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x$ 也收敛．
第28题未分类
28．设 $\displaystyle f(x) \in C[0,1]$ ．证 明：（1）存 在一 点 $\displaystyle \xi \in[0,1]$ 使 $\displaystyle \sin ^{2}(\pi f(\xi))=\xi$ ；（2）若 $\displaystyle f(x)=x$ ，则 $\displaystyle \sin ^{2}(\pi x)=x$ 有且仅有三个根．
第28题证明题
28．证明下列命题并求极限．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{+\infty} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在任何有限区间上可积，且 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收敛．证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \sin (n x) \mathrm{d} x=0 \text {. }
$$
（3）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \sin ^{2} n x \mathrm{~d} x$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{+\infty} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在任何有限区间上可积，且 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收敛．证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \sin (n x) \mathrm{d} x=0 \text {. }
$$
（3）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \sin ^{2} n x \mathrm{~d} x$ 。
第28题证明题
28．证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 也收敛．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上非负连续函数，若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 也收敛．
（1）若 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 也收敛．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上非负连续函数，若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 也收敛．
第29题证明题
29．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle n$ 是正整数，给定方程 $\displaystyle x+x^{2}+\cdots+x^{n}=1$ 。证明：此方程仅有唯一的正根 $\displaystyle x_{n} \in(0,1)$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2}$ ．．华中科技 2013，北京师大 1997，苏州大学 2004，宁波大学 2011，上海理工 2003，吉林大学，山西大学 2005，西安电子科技 2011／2002，西南交大 2005，西南交大 2008，相潭大学 2011）
（2）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\sin x+\sin ^{2} x+\cdots+\sin ^{n} x$ 。证明：（1）对任意正整数 $\displaystyle n$ ，方程 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 在 $\displaystyle \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 仅有
一根；（2）设 $\displaystyle x_{n} \in\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 是 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 的根，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\cos x+\cos ^{2} x+\cdots+\cos ^{n} x$ ，求证：对任意自然数 $\displaystyle n(n \geqslant 2)$ ，方程 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 在区间 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 内必有唯一根 $\displaystyle x_{n}$ ，并求数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 的极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ 。
（4）设 $\displaystyle n$ 是正整数，给定方程 $\displaystyle x^{n}+x=1$ ．证明：（1）此方程仅有唯一的正根 $\displaystyle x_{n} \in(0,1)$ ； （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$ ．
（5）证明：$\displaystyle x+x^{3}+\cdots+x^{2 n-1}=1$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 仅有一个根 $\displaystyle x_{n}$ ，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（1）设 $\displaystyle n$ 是正整数，给定方程 $\displaystyle x+x^{2}+\cdots+x^{n}=1$ 。证明：此方程仅有唯一的正根 $\displaystyle x_{n} \in(0,1)$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2}$ ．．华中科技 2013，北京师大 1997，苏州大学 2004，宁波大学 2011，上海理工 2003，吉林大学，山西大学 2005，西安电子科技 2011／2002，西南交大 2005，西南交大 2008，相潭大学 2011）
（2）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\sin x+\sin ^{2} x+\cdots+\sin ^{n} x$ 。证明：（1）对任意正整数 $\displaystyle n$ ，方程 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 在 $\displaystyle \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 仅有
一根；（2）设 $\displaystyle x_{n} \in\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 是 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 的根，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\cos x+\cos ^{2} x+\cdots+\cos ^{n} x$ ，求证：对任意自然数 $\displaystyle n(n \geqslant 2)$ ，方程 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 在区间 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 内必有唯一根 $\displaystyle x_{n}$ ，并求数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 的极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ 。
（4）设 $\displaystyle n$ 是正整数，给定方程 $\displaystyle x^{n}+x=1$ ．证明：（1）此方程仅有唯一的正根 $\displaystyle x_{n} \in(0,1)$ ； （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$ ．
（5）证明：$\displaystyle x+x^{3}+\cdots+x^{2 n-1}=1$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 仅有一个根 $\displaystyle x_{n}$ ，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
第30题证明题
30．设实数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} a_{n}=1, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=2$ 。证明：当 $\displaystyle n$ 充分大时，方程 $\displaystyle x^{8}+a_{n} x=b_{n}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有且有一个解 $\displaystyle x_{n}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$ ．
第40题证明题
40．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的连续减函数，$\displaystyle f(x)>0$ ，又设 $\displaystyle a_{n}=\sum_{k=1}^{n} f(k)-\int_{1}^{n} f(x) \mathrm{d} x$ 。证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为收敛数列．
（2）证明：极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right)$ 存在，并由此计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)$ ．
（3）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n}$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在．
（4）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n-1}}-\sqrt{2 n-1}$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在。重庆大学 2003）
（5）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{2 \ln 2}+\frac{1}{3 \ln 3}+\cdots+\frac{1}{n \ln n}-\ln (\ln n)$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的连续减函数，$\displaystyle f(x)>0$ ，又设 $\displaystyle a_{n}=\sum_{k=1}^{n} f(k)-\int_{1}^{n} f(x) \mathrm{d} x$ 。证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为收敛数列．
（2）证明：极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right)$ 存在，并由此计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)$ ．
（3）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n}$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在．
（4）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n-1}}-\sqrt{2 n-1}$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在。重庆大学 2003）
（5）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{2 \ln 2}+\frac{1}{3 \ln 3}+\cdots+\frac{1}{n \ln n}-\ln (\ln n)$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在。
第40题证明题
40．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f_{0}(x)=x, f_{n}(x)=\arctan \left(f_{n-1}(x)\right), n=1,2, \cdots$ ，求证函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致收敛．（中北大学 2005（B））
（2）$\displaystyle S_{n}(x)=n \ln \left(1+\frac{x}{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，（1）$\displaystyle x \in[0, a], a>0$ ；（2）$\displaystyle x \in[0,+\infty)$ ．
（1）设 $\displaystyle f_{0}(x)=x, f_{n}(x)=\arctan \left(f_{n-1}(x)\right), n=1,2, \cdots$ ，求证函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致收敛．（中北大学 2005（B））
（2）$\displaystyle S_{n}(x)=n \ln \left(1+\frac{x}{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，（1）$\displaystyle x \in[0, a], a>0$ ；（2）$\displaystyle x \in[0,+\infty)$ ．
第41题证明题
41．设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 中的每一项函数 $\displaystyle f_{n}(x)$ 都是 $\displaystyle [a, b]$ 上的单调函数，证明：
（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(a)$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(b)$ 都绝对收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛。
（2）若每一项函数 $\displaystyle f_{n}(x)$ 的单调性相同，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(a)$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(b)$ 都收敛，则在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫．
（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(a)$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(b)$ 都绝对收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛。
（2）若每一项函数 $\displaystyle f_{n}(x)$ 的单调性相同，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(a)$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(b)$ 都收敛，则在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫．
第42题未分类
42．设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，其中每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 都是单调函数，若 $\displaystyle f(x)$ 连续，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．
第43题证明题
43．证明下列结论．
（1）假定函数 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内单调增加，且 $\displaystyle u_{n}(x) \geqslant 0, n=1,2, \cdots$ ．又假定级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内逐点收敛，并且有上界．那么 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内一致收敛，并且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \lim _{x \rightarrow 1^{-}} u_{n}(x)$.
（2）设 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非负且单调递增，$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x), x \in(0,+\infty), f(x)$ 有界，证明： $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 一致收玫于 $\displaystyle f(x)$
（1）假定函数 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内单调增加，且 $\displaystyle u_{n}(x) \geqslant 0, n=1,2, \cdots$ ．又假定级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内逐点收敛，并且有上界．那么 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内一致收敛，并且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \lim _{x \rightarrow 1^{-}} u_{n}(x)$.
（2）设 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非负且单调递增，$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x), x \in(0,+\infty), f(x)$ 有界，证明： $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 一致收玫于 $\displaystyle f(x)$
第46题未分类
46．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上有二阶连续导数，$\displaystyle f(x)$ 的值域为 $\displaystyle [-1,1], f(0)=0,0<f^{\prime}(0)<\frac{1}{2}$ ，
$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M<1$ 。令 $\displaystyle f_{1}(x)=f(f(x)), f_{n}(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right), n=1,2, \cdots$ ，求证：级数：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上一致收敛．
$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M<1$ 。令 $\displaystyle f_{1}(x)=f(f(x)), f_{n}(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right), n=1,2, \cdots$ ，求证：级数：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上一致收敛．
第54题求解题
54．设在 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 连续且可导，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上有界， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ 不存在。求证存在数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset(0,1), \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{n}\right)=0$ ．