单调有界准则
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第21题证明题
21．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle 0<x_{1}<1, x_{n+1}=x_{n}\left(1-x_{n}\right)$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=1$ 。
（2）设 $\displaystyle 0<x_{1}<1, x_{n+1}=x_{n}\left(1-q x_{n}\right), 0<x_{1}<\frac{1}{q}(0<q<1)$ ．证明：（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限；
（2）数列 $\displaystyle \left\{n x_{n}\right\}$ 收敛，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=\frac{1}{q}$ ；（3）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{a}$ 的敛散性．
（3）设 $\displaystyle x_{n+1}=\sin x_{n}, n \in \mathbf{N}^{+}, 0<x_{1}<\frac{\pi}{2}$ ．证明：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ ；（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \sin ^{2} x_{n}=3$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}{ }^{2}=3$ ；
（3）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{p}$ ，当 $\displaystyle p>2$ 时收敛，当 $\displaystyle p \leqslant 2$ 时发散。
（4）设 $\displaystyle a_{1}>0, a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{a_{n}}$ ，证明：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=+\infty$ ；（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{2 n}}=1$ 。
（1）设 $\displaystyle 0<x_{1}<1, x_{n+1}=x_{n}\left(1-x_{n}\right)$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=1$ 。
（2）设 $\displaystyle 0<x_{1}<1, x_{n+1}=x_{n}\left(1-q x_{n}\right), 0<x_{1}<\frac{1}{q}(0<q<1)$ ．证明：（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限；
（2）数列 $\displaystyle \left\{n x_{n}\right\}$ 收敛，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=\frac{1}{q}$ ；（3）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{a}$ 的敛散性．
（3）设 $\displaystyle x_{n+1}=\sin x_{n}, n \in \mathbf{N}^{+}, 0<x_{1}<\frac{\pi}{2}$ ．证明：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ ；（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \sin ^{2} x_{n}=3$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}{ }^{2}=3$ ；
（3）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{p}$ ，当 $\displaystyle p>2$ 时收敛，当 $\displaystyle p \leqslant 2$ 时发散。
（4）设 $\displaystyle a_{1}>0, a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{a_{n}}$ ，证明：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=+\infty$ ；（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{2 n}}=1$ 。
第21题证明题
21．证明下列结论．
（1）设正数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递增，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right)$ 收敛的充分必要条件是数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界．
（2）设正数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递增，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}-1\right)$ 收敛的充分必要条件是数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界．
（3）设 $\displaystyle a_{n+1}>a_{n}>0, n \geqslant 1$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n-1}}{a_{n}}-1\right)$ 收敛的充分必要条件是级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\right)$收玫．
（4）设 $\displaystyle a_{n}>0,\left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，求证：若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=c \neq 0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)$ 收敛，若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)$ 发散．
（5）设正数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)$ 的玫散性．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 单调递增且大于 $\displaystyle 0,\left\{a_{n}\right\}$ 单调递增且大于零，证明：若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x f(x)} \mathrm{d} x$ 收敛，
则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right) \frac{1}{f\left(a_{n+1}\right)}$ 收敛．
（1）设正数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递增，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right)$ 收敛的充分必要条件是数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界．
（2）设正数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递增，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}-1\right)$ 收敛的充分必要条件是数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界．
（3）设 $\displaystyle a_{n+1}>a_{n}>0, n \geqslant 1$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n-1}}{a_{n}}-1\right)$ 收敛的充分必要条件是级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\right)$收玫．
（4）设 $\displaystyle a_{n}>0,\left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，求证：若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=c \neq 0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)$ 收敛，若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)$ 发散．
（5）设正数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)$ 的玫散性．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 单调递增且大于 $\displaystyle 0,\left\{a_{n}\right\}$ 单调递增且大于零，证明：若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x f(x)} \mathrm{d} x$ 收敛，
则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right) \frac{1}{f\left(a_{n+1}\right)}$ 收敛．
第26题证明题
26．若存在常数 $\displaystyle M>0$ ，对 $\displaystyle \forall n$ ，有 $\displaystyle A_{n}=\left|x_{n}-x_{n-1}\right|+\left|x_{n-1}-x_{n-2}\right|+\cdots+\left|x_{2}-x_{1}\right| \leqslant M$ ，则称 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$为有界变差。证明：数列 $\displaystyle \left\{A_{n}\right\}$ 收敛，数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 也收玫。
第26题证明题
26．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上单调增加，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(f(n+1)-f(n))$ 收玫，并求其和；进一步，设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)<0$ ，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f^{\prime}(n)$ 收玫。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的单调递增函数， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，记 $\displaystyle a_{0}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ， $\displaystyle a_{n}=f(n)-\int_{n-1}^{n} f(x) \mathrm{d} x$ 。（1）求 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}$ ；（2）证明：数列 $\displaystyle \left\{S_{n}\right\}$ 单调递增；（3）级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收敛，并给出级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 的一个上界。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上单调增加，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(f(n+1)-f(n))$ 收玫，并求其和；进一步，设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)<0$ ，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f^{\prime}(n)$ 收玫。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的单调递增函数， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，记 $\displaystyle a_{0}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ， $\displaystyle a_{n}=f(n)-\int_{n-1}^{n} f(x) \mathrm{d} x$ 。（1）求 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}$ ；（2）证明：数列 $\displaystyle \left\{S_{n}\right\}$ 单调递增；（3）级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收敛，并给出级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 的一个上界。
第28题证明题
28．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle a>0, x_{1}=\sqrt{a}, x_{n+1}=\sqrt{a+x_{n}}, n \geqslant 1$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（2）设 $\displaystyle x_{1}>a>0, x_{n+1}=\sqrt{x_{n}^{2}-2 a x_{n}+2 a^{2}}, n \geqslant 1$ ，求其极限．
（3）设 $\displaystyle a>1,0<x_{1}<a, x_{n+1}=a-\sqrt{a^{2}-x_{n}}(n=1,2, \cdots)$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（4）设 $\displaystyle 0<x_{1}<3, x_{n+1}=\sqrt{x_{n}\left(3-x_{n}\right)}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求其极限．
（5）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$\displaystyle y_{1}=1,2 y_{n+1}=y_{n}+\sqrt{y_{n}^{2}+a_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 是递增的收敛数列．（福建师大，湖南大学2007（ $\displaystyle a_{n}=n^{-p}, p>1$ ））
（6）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$\displaystyle y_{1}=1, y_{n+1}=\sqrt{y_{n}\left(y_{n}+a_{n}\right)}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 收敛．
（7）设 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=\sqrt{4+3 x_{n}}, n \geqslant 1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（8）设 $\displaystyle x_{1}=\sqrt{2}, x_{n+1}=\sqrt{3+2 x_{n}}, n \geqslant 1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（9）设 $\displaystyle a>0, x_{1}=\sqrt{a}, x_{n+1}=\sqrt{a x_{n}}, n \geqslant 1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（10）若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle a_{1}=0, a_{n}=\frac{a_{n-1}+3}{4}, n \geqslant 2$ ，则数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有极限，并求之．
（1）设 $\displaystyle a>0, x_{1}=\sqrt{a}, x_{n+1}=\sqrt{a+x_{n}}, n \geqslant 1$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（2）设 $\displaystyle x_{1}>a>0, x_{n+1}=\sqrt{x_{n}^{2}-2 a x_{n}+2 a^{2}}, n \geqslant 1$ ，求其极限．
（3）设 $\displaystyle a>1,0<x_{1}<a, x_{n+1}=a-\sqrt{a^{2}-x_{n}}(n=1,2, \cdots)$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（4）设 $\displaystyle 0<x_{1}<3, x_{n+1}=\sqrt{x_{n}\left(3-x_{n}\right)}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求其极限．
（5）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$\displaystyle y_{1}=1,2 y_{n+1}=y_{n}+\sqrt{y_{n}^{2}+a_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 是递增的收敛数列．（福建师大，湖南大学2007（ $\displaystyle a_{n}=n^{-p}, p>1$ ））
（6）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$\displaystyle y_{1}=1, y_{n+1}=\sqrt{y_{n}\left(y_{n}+a_{n}\right)}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 收敛．
（7）设 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=\sqrt{4+3 x_{n}}, n \geqslant 1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（8）设 $\displaystyle x_{1}=\sqrt{2}, x_{n+1}=\sqrt{3+2 x_{n}}, n \geqslant 1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（9）设 $\displaystyle a>0, x_{1}=\sqrt{a}, x_{n+1}=\sqrt{a x_{n}}, n \geqslant 1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（10）若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle a_{1}=0, a_{n}=\frac{a_{n-1}+3}{4}, n \geqslant 2$ ，则数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有极限，并求之．
第29题证明题
29．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle x_{1}=a, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right)(a>0), n=1,2, \cdots$ ，证明：（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限值；（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x_{n}}{x_{n+1}}-1\right)$ 收玫。
（2）设 $\displaystyle a>0, x_{0}>0, x_{n+1}=\frac{1}{4}\left(3 x_{n}+\frac{a}{x_{n}^{3}}\right)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{1}>0, a>0, x_{n+1}=\frac{2 x_{n}^{3}+a}{3 x_{n}^{2}}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ ．
（1）设 $\displaystyle x_{1}=a, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right)(a>0), n=1,2, \cdots$ ，证明：（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限值；（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x_{n}}{x_{n+1}}-1\right)$ 收玫。
（2）设 $\displaystyle a>0, x_{0}>0, x_{n+1}=\frac{1}{4}\left(3 x_{n}+\frac{a}{x_{n}^{3}}\right)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{1}>0, a>0, x_{n+1}=\frac{2 x_{n}^{3}+a}{3 x_{n}^{2}}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ ．
第30题证明题
30．证明下列结论并求极限．
（1）已知 $\displaystyle 0<c<1, x_{1}=\frac{c}{2}, x_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{x_{n}^{2}}{2}$ ，证明：（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ； （2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x_{n+1}}{x_{n}}-1\right)$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{3}, x_{n+1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3} x_{n}^{2}, n=2,3, \cdots$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{1}=-1, x_{n+1}=x_{1}+\frac{1}{2} x_{n}^{2}, n=1,2, \cdots$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在．
（4）设 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} x_{n}^{2}, n=1,2, \cdots, A=\sqrt{2}-1$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n}-A\right)$ 绝对收敛．
（5）设 $\displaystyle a>0,0<x_{1}<a, x_{n+1}=x_{n}\left(2-\frac{x_{n}}{a}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限值．
（6）设 $\displaystyle 0<x_{1}<1,0<\alpha<1, x_{n+1}=1-\left(1-x_{n}\right)^{a}, n \geqslant 1$ ．求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$ ．
（7）设 $\displaystyle a>-4, x_{1}=\frac{a}{2}, x_{n}=\frac{a}{2}+\frac{1}{2} x_{n-1}^{2}, n=2,3, \cdots$ ，试讨论数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 的敛散性．
（1）已知 $\displaystyle 0<c<1, x_{1}=\frac{c}{2}, x_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{x_{n}^{2}}{2}$ ，证明：（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ； （2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x_{n+1}}{x_{n}}-1\right)$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{3}, x_{n+1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3} x_{n}^{2}, n=2,3, \cdots$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{1}=-1, x_{n+1}=x_{1}+\frac{1}{2} x_{n}^{2}, n=1,2, \cdots$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在．
（4）设 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} x_{n}^{2}, n=1,2, \cdots, A=\sqrt{2}-1$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n}-A\right)$ 绝对收敛．
（5）设 $\displaystyle a>0,0<x_{1}<a, x_{n+1}=x_{n}\left(2-\frac{x_{n}}{a}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限值．
（6）设 $\displaystyle 0<x_{1}<1,0<\alpha<1, x_{n+1}=1-\left(1-x_{n}\right)^{a}, n \geqslant 1$ ．求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$ ．
（7）设 $\displaystyle a>-4, x_{1}=\frac{a}{2}, x_{n}=\frac{a}{2}+\frac{1}{2} x_{n-1}^{2}, n=2,3, \cdots$ ，试讨论数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 的敛散性．
第31题证明题
31．证明下列结论并求极限：
（1）设 $\displaystyle c>0, x_{1}=a>0, x_{n+1}=\frac{c\left(1+x_{n}\right)}{c+x_{n}},(n=1,2, \cdots)$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求极限．$\displaystyle (c=2:$ 北京科技 2014，西南大学 2003，南京师大 2002，北京理工 2007，东南大学 2003，曲阜师大 2010，温州大学 2008，西安电子科技 $\displaystyle 2005 ; c=3$ ；广西师大 2014，南京大学 2000 ，南京理工 2010 ，四川大学 2003／2002，桂林电子科技 2008，天津大学 2004，武汉大学 2004，湖南师大 $\displaystyle 2008 ; c=4$ ：浙江大学 2007 ，扬州大学 2011，浙江工商 2014）
（2）设 $\displaystyle x_{1}>\sqrt{\alpha}>1, x_{n+1}=\frac{\alpha+x_{n}}{1+x_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，试证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1}$ ，数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 由如下递推公式定义：$\displaystyle x_{0}=1, x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)(n=0,1,2, \cdots)$ ，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\sqrt{2}$ ．
（4）设 $\displaystyle a>1, x_{1}=a, x_{2}=\frac{a}{a+a}, x_{n+1}=\frac{a}{a+x_{n}}$ ，证明：（1）$\displaystyle \forall n>2, \frac{1}{2}<x_{n}<1$ ；（2）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求其极限．
（5）设 $\displaystyle x_{0}=1, x_{n+1}=\frac{3+2 x_{n}}{3+x_{n}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限值．
（1）设 $\displaystyle c>0, x_{1}=a>0, x_{n+1}=\frac{c\left(1+x_{n}\right)}{c+x_{n}},(n=1,2, \cdots)$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求极限．$\displaystyle (c=2:$ 北京科技 2014，西南大学 2003，南京师大 2002，北京理工 2007，东南大学 2003，曲阜师大 2010，温州大学 2008，西安电子科技 $\displaystyle 2005 ; c=3$ ；广西师大 2014，南京大学 2000 ，南京理工 2010 ，四川大学 2003／2002，桂林电子科技 2008，天津大学 2004，武汉大学 2004，湖南师大 $\displaystyle 2008 ; c=4$ ：浙江大学 2007 ，扬州大学 2011，浙江工商 2014）
（2）设 $\displaystyle x_{1}>\sqrt{\alpha}>1, x_{n+1}=\frac{\alpha+x_{n}}{1+x_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，试证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1}$ ，数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 由如下递推公式定义：$\displaystyle x_{0}=1, x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)(n=0,1,2, \cdots)$ ，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\sqrt{2}$ ．
（4）设 $\displaystyle a>1, x_{1}=a, x_{2}=\frac{a}{a+a}, x_{n+1}=\frac{a}{a+x_{n}}$ ，证明：（1）$\displaystyle \forall n>2, \frac{1}{2}<x_{n}<1$ ；（2）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求其极限．
（5）设 $\displaystyle x_{0}=1, x_{n+1}=\frac{3+2 x_{n}}{3+x_{n}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限值．
第32题证明题
32．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle x_{1}=2, x_{2}=2+\frac{1}{2}, x_{n+1}=2+\frac{1}{x_{n}}, n=2,3, \cdots$ ．证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求极限．
（2）设 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=1+\frac{1}{x_{n}},(n=2,3, \cdots)$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限值．
（3）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为 Fibonacci 序列，即 $\displaystyle a_{1}=1, a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_{n}}$ 。
（4）设 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\frac{1}{1+x_{n}}$ 或 $\displaystyle x_{n+1}\left(1+x_{n}\right)=1, n=1,2,3, \cdots$ 。证明：（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求其极限； （2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)$ 绝对收玫，并求级数的和。南京大学 2006，西安电子科技 2010，南京理工 2009，哈工大 2005）
（5）设 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=1+\frac{x_{n}}{1+x_{n}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限值．
（6）设 $\displaystyle x_{0}>0, x_{n+1}=2+\frac{1}{\sqrt{x_{n}}},(n=1,2,3, \cdots)$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限值．
（1）设 $\displaystyle x_{1}=2, x_{2}=2+\frac{1}{2}, x_{n+1}=2+\frac{1}{x_{n}}, n=2,3, \cdots$ ．证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求极限．
（2）设 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=1+\frac{1}{x_{n}},(n=2,3, \cdots)$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限值．
（3）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为 Fibonacci 序列，即 $\displaystyle a_{1}=1, a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_{n}}$ 。
（4）设 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\frac{1}{1+x_{n}}$ 或 $\displaystyle x_{n+1}\left(1+x_{n}\right)=1, n=1,2,3, \cdots$ 。证明：（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求其极限； （2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)$ 绝对收玫，并求级数的和。南京大学 2006，西安电子科技 2010，南京理工 2009，哈工大 2005）
（5）设 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=1+\frac{x_{n}}{1+x_{n}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限值．
（6）设 $\displaystyle x_{0}>0, x_{n+1}=2+\frac{1}{\sqrt{x_{n}}},(n=1,2,3, \cdots)$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限值．
第34题证明题
34．证明下列命题．
（1）叙述闭区间套定理，并用单调有界性定理证明闭区间套定理．
（2）叙述并证明区间套定理．
（3）用区间套定理证明确界原理、有限覆盖定理．
（4）用有限覆盖定理证明聚点定理、致密性定理、闭区间套定理．
（1）叙述闭区间套定理，并用单调有界性定理证明闭区间套定理．
（2）叙述并证明区间套定理．
（3）用区间套定理证明确界原理、有限覆盖定理．
（4）用有限覆盖定理证明聚点定理、致密性定理、闭区间套定理．
第34题证明题
34．证明下列结论．
（1）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{n^{\alpha_{0}}}$ 收敛，则当 $\displaystyle \alpha>\alpha_{0}$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{n^{\alpha}}$ 也收玫．
（2）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收敛，证明存在 $\displaystyle -\infty<r<+\infty$ ，使当 $\displaystyle x<r$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 发散，当 $\displaystyle x>r$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收敛．
（1）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{n^{\alpha_{0}}}$ 收敛，则当 $\displaystyle \alpha>\alpha_{0}$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{n^{\alpha}}$ 也收玫．
（2）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收敛，证明存在 $\displaystyle -\infty<r<+\infty$ ，使当 $\displaystyle x<r$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 发散，当 $\displaystyle x>r$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收敛．
第37题证明题
37．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle a_{1}>b_{1}>0, a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}, b_{n+1}=\frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n}+b_{n}},(n \geq 1)$ 。证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 都收敛于 $\displaystyle \sqrt{a_{1} b_{1}}$ ．
（2）设 $\displaystyle b_{1}>a_{1}>0, b_{n+1}=\sqrt{a_{n} b_{n}}, a_{n+1}=\frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n}+b_{n}},(n \geqslant 2)$ 。证明：（1）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 都收敛且极限值相等；（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{b_{n}}{b_{n+1}}-1\right)$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle a_{1}>b_{1}>0, a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}, b_{n+1}=\sqrt{a_{n} b_{n}},(n \geqslant 1)$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 都收敛且极限值相等。
（1）设 $\displaystyle a_{1}>b_{1}>0, a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}, b_{n+1}=\frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n}+b_{n}},(n \geq 1)$ 。证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 都收敛于 $\displaystyle \sqrt{a_{1} b_{1}}$ ．
（2）设 $\displaystyle b_{1}>a_{1}>0, b_{n+1}=\sqrt{a_{n} b_{n}}, a_{n+1}=\frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n}+b_{n}},(n \geqslant 2)$ 。证明：（1）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 都收敛且极限值相等；（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{b_{n}}{b_{n+1}}-1\right)$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle a_{1}>b_{1}>0, a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}, b_{n+1}=\sqrt{a_{n} b_{n}},(n \geqslant 1)$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 都收敛且极限值相等。
第37题证明题
37．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，证明数列 $\displaystyle \left\{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{n}\right)\right\}$ 与级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 同时收玫或同时发散，并证明：
（1）数列 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{1}{2!}\right)\left(1+\frac{1}{3!}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{n!}\right)\right\}$ 收玫．
（2）数列 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)\right\}$ 收敛．
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为递减正项数列，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} 2^{m} a_{2^{m}}$ 同时收玫或同时发散．
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，证明数列 $\displaystyle \left\{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{n}\right)\right\}$ 与级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 同时收玫或同时发散，并证明：
（1）数列 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{1}{2!}\right)\left(1+\frac{1}{3!}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{n!}\right)\right\}$ 收玫．
（2）数列 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)\right\}$ 收敛．
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为递减正项数列，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} 2^{m} a_{2^{m}}$ 同时收玫或同时发散．
第38题证明题
38．证明下列结论并求极限．
（1）证明：若 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列，$\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 为递减数列， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x}\left(a_{n}-b_{n}\right)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} a_{n}, \lim _{n \rightarrow x} b_{n}$ 存在且相等。
（2）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调增加，$\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 单调减少，$\displaystyle \left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 有界，证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 和 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 的极限都存在。
（3）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足条件：$\displaystyle \left\{a_{2 n}\right\}$ 为递增数列，$\displaystyle \left\{a_{2 n-1}\right\}$ 为递减数列， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$ ，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（1）证明：若 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列，$\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 为递减数列， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x}\left(a_{n}-b_{n}\right)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} a_{n}, \lim _{n \rightarrow x} b_{n}$ 存在且相等。
（2）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调增加，$\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 单调减少，$\displaystyle \left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 有界，证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 和 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 的极限都存在。
（3）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足条件：$\displaystyle \left\{a_{2 n}\right\}$ 为递增数列，$\displaystyle \left\{a_{2 n-1}\right\}$ 为递减数列， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$ ，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
第39题证明题
39．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 十连续，满足 $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant x, x \in[0,+\infty)$ ，设 $\displaystyle a_{1} \geqslant 0, a_{n+1}=f\left(a_{n}\right), n=1,2, \cdots$ 。证明：（1）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为收敛数列；（2）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} a_{n}=t$ ，则有 $\displaystyle f(t)=t$ ；（3）若条件改为 $\displaystyle 0 \leqslant f(x)<x, x \in(0,+\infty)$ ，则 $\displaystyle t=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ ：有二阶连续导数，$\displaystyle f^{\prime}(0)=1, f^{\prime \prime}(0) \neq 0,0 \leqslant f(x)<x, x \in(0, a)$ ．设 $\displaystyle x_{1} \in(0, a), x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明：（1）$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为收敛数列并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ ；（2）$\displaystyle \left\{n x_{n}\right\}$ 是否收敛？若不收敛，则说明理由。若收敛，则求极限。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 十连续，满足 $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant x, x \in[0,+\infty)$ ，设 $\displaystyle a_{1} \geqslant 0, a_{n+1}=f\left(a_{n}\right), n=1,2, \cdots$ 。证明：（1）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为收敛数列；（2）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} a_{n}=t$ ，则有 $\displaystyle f(t)=t$ ；（3）若条件改为 $\displaystyle 0 \leqslant f(x)<x, x \in(0,+\infty)$ ，则 $\displaystyle t=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ ：有二阶连续导数，$\displaystyle f^{\prime}(0)=1, f^{\prime \prime}(0) \neq 0,0 \leqslant f(x)<x, x \in(0, a)$ ．设 $\displaystyle x_{1} \in(0, a), x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明：（1）$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为收敛数列并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ ；（2）$\displaystyle \left\{n x_{n}\right\}$ 是否收敛？若不收敛，则说明理由。若收敛，则求极限。
第40题证明题
40．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的连续减函数，$\displaystyle f(x)>0$ ，又设 $\displaystyle a_{n}=\sum_{k=1}^{n} f(k)-\int_{1}^{n} f(x) \mathrm{d} x$ 。证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为收敛数列．
（2）证明：极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right)$ 存在，并由此计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)$ ．
（3）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n}$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在．
（4）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n-1}}-\sqrt{2 n-1}$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在。重庆大学 2003）
（5）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{2 \ln 2}+\frac{1}{3 \ln 3}+\cdots+\frac{1}{n \ln n}-\ln (\ln n)$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的连续减函数，$\displaystyle f(x)>0$ ，又设 $\displaystyle a_{n}=\sum_{k=1}^{n} f(k)-\int_{1}^{n} f(x) \mathrm{d} x$ 。证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为收敛数列．
（2）证明：极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right)$ 存在，并由此计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)$ ．
（3）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n}$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在．
（4）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n-1}}-\sqrt{2 n-1}$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在。重庆大学 2003）
（5）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{2 \ln 2}+\frac{1}{3 \ln 3}+\cdots+\frac{1}{n \ln n}-\ln (\ln n)$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在。
第43题证明题
43．证明下列结论．
（1）已知 $\displaystyle a_{0}=a_{1}=1, a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}, n \geqslant 3$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收玫．
（2）判别级数 $\displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}+\cdots$ 的玫散性．
（3）设 $\displaystyle x_{1}=\sqrt{2}, x_{2}=\sqrt{2-\sqrt{2}}, x_{3}=\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}, \cdots$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 收敛．
（4）设 $\displaystyle x_{0}=\sqrt{6}, x_{n+1}=\sqrt{6+x_{n}}$ ，判别级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \sqrt{3-x_{n}}$ 的敛散性．
（1）已知 $\displaystyle a_{0}=a_{1}=1, a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}, n \geqslant 3$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收玫．
（2）判别级数 $\displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}+\cdots$ 的玫散性．
（3）设 $\displaystyle x_{1}=\sqrt{2}, x_{2}=\sqrt{2-\sqrt{2}}, x_{3}=\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}, \cdots$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 收敛．
（4）设 $\displaystyle x_{0}=\sqrt{6}, x_{n+1}=\sqrt{6+x_{n}}$ ，判别级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \sqrt{3-x_{n}}$ 的敛散性．
第44题未分类
44．判断题．
（1）单调序列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 中有一子列 $\displaystyle \left\{a_{n_{1}}\right\}$ 收敛，则序列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（1）单调序列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 中有一子列 $\displaystyle \left\{a_{n_{1}}\right\}$ 收敛，则序列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
第49题证明题
49．设 $\displaystyle f_{n}(x)$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 上的非负连续函数．$\displaystyle \forall 0<\delta<1, \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [0, \delta]$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=a$ 有限，证明：（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(1)$ 收敛；（2）若令 $\displaystyle \bar{f}(x)=\left\{\begin{array}{l}f(x), x \in[0,1), \\ a, x=1,\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收玫于 $\displaystyle \bar{f}(x)$ ．