原函数与全微分

11．计算曲线积分 $\displaystyle I=\int_{L}\left(12 x y+\mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} x-\left(\cos y-x \mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y$ ，其中
（1）$\displaystyle L$ 为由点 $\displaystyle A(-1,1)$ 沿曲线 $\displaystyle y=x^{2}$ 到原点 $\displaystyle O$ ，再沿 $\displaystyle O x$ 轴到点 $\displaystyle B(2,0)$ 的路径．
（2）$\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(-1,1)$ 沿曲线 $\displaystyle y=x^{2}$ 到原点 $\displaystyle O(0,0)$ ，再沿 $\displaystyle x$ 轴到点 $\displaystyle B(3,0)$ 的路径。
（3）$\displaystyle L$ 为由点 $\displaystyle A(-1,1)$ 沿曲线 $\displaystyle y=1-\sqrt{1-x^{2}}$ 到原点 $\displaystyle O(0,0)$ ，再沿直线 $\displaystyle y=0$ 到点 $\displaystyle B(1,0)$ 的路径。

15．计算下列第二型曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L} \frac{\mathrm{~d} y-\mathrm{d} x}{x-y+1}$ ，其中 $\displaystyle L$ 为下半圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x(a>0)$ 沿 $\displaystyle x$ 轴增加的方向。西安电子科大2008）
（2） $\displaystyle \int_{A B}\left(x^{2}+y\right) \mathrm{d} x+\left(x-y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle A B$ 由点 $\displaystyle A(0,0)$ 到点 $\displaystyle B(1,1)$ 的曲线 $\displaystyle y^{3}=x^{2}$ 。
（3） $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{y}+x\right) \mathrm{d} x+\left(x \mathrm{e}^{y}-2 y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 为过点 $\displaystyle O(0,0), A(0,1), B(1,2)$ 的圆周从点 $\displaystyle O$ 到点 $\displaystyle B$ 的弧段 $\displaystyle \widehat{O A B}$ ．
（4） $\displaystyle \int_{L}\left(x \sin x^{2}+2 y\right) \mathrm{d} x+\left(2 x+y \mathrm{e}^{y^{2}}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 沿 $\displaystyle y=x^{2}$ 从点 $\displaystyle (0,0)$ 到点 $\displaystyle (1,1)$ ．
（5） $\displaystyle \int_{L}\left(2 x y^{3}-y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(1-2 y \sin x+3 x^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是 $\displaystyle 2 x=\pi y^{2}$ 从 $\displaystyle O(0,0)$ 到 $\displaystyle A\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 的一段曲线．
（6） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x-2 x y \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是从点 $\displaystyle A(0,1)$ 沿着曲线 $\displaystyle y=\frac{\sin x}{x}$ 到点 $\displaystyle B(\pi, 0)$ 的弧段．

分析：曲线积分与路径无关，积分表达式为某函数的微分

16．验证微分式与路径无关，并求其值．
（1）验证 $\displaystyle \int_{(0,0)}^{(x, y)}\left(2 x \cos y-y^{2} \sin x\right) \mathrm{d} x+\left(2 y \cos x-x^{2} \sin y\right) \mathrm{d} y$ 与路径无关，并求其值。
（2）验证微分式 $\displaystyle \frac{2 x\left(1-\mathrm{e}^{y}\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{\mathrm{e}^{y}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} y,(x, y) \in \mathrm{R}^{2}$ 存在原函数，并求它的原函数．
（3）验证微分式 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}\left[\mathrm{e}^{y}(x-y+2)+y\right] \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{x}\left[\mathrm{e}^{y}(x-y)+1\right] \mathrm{d} y$ 存在原函数，并求它的原函数．
（4）验证微分式 $\displaystyle \left(x^{2}+2 x y-y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-2 x y-y^{2}\right) \mathrm{d} y$ 存在原函数，并求它的原函数．
（5）证明 $\displaystyle \left(3 x^{2} y+8 x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{3}+8 x^{2} y+12 y \mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y$ 为某个函数的全微分，并求它的原函数．
（6）证明 $\displaystyle \omega=\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-2 y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-2 x\right) \mathrm{d} y$ 有原函数，并求它的一个原函数．
（7）试证 $\displaystyle \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ 在右半平面 $\displaystyle x>0$ 内是某函数 $\displaystyle u(x, y)$ 的全微分，并求 $\displaystyle u(x, y)$ ．
（8）设 $\displaystyle \mathrm{d} u(x, y)=\frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{3 x^{2}-2 x y+y^{2}}$ ，求 $\displaystyle u(x, y)$ ．

17．计算下列第二型曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{3}-x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(y^{3}-x^{2} y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L$ 是 $\displaystyle y=\frac{1}{1+x^{2}}$ 从点 $\displaystyle A(0,1)$ 到 $\displaystyle B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ 的弧段。武汉理工 2006）
（2） $\displaystyle \int_{L} \mathrm{e}^{x y}\left(x y^{2} \mathrm{~d} x+y x^{2} \mathrm{~d} y\right)$ ，其中 $\displaystyle L$ 为半圆周 $\displaystyle y=1+\sqrt{1-x^{2}}$ ，从点 $\displaystyle (1,1)$ 到点 $\displaystyle (-1,1)$ ．
（3）$\displaystyle \oint_{L} f(\sin x+\sin y)(\cos x \mathrm{~d} x+\cos y \mathrm{~d} y)$ ，其中 $\displaystyle f(u)$ 为连续函数，$\displaystyle L$ 为分段光滑的简单闭曲线．
（4） $\displaystyle \int_{C} \frac{y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}}$ ，其中 $\displaystyle C$ 为曲线 $\displaystyle x=\cos ^{3} t, y=\sin ^{3} t\left(0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 的一段．
（5） $\displaystyle \int_{L} \mathrm{e}^{x} \cos y \mathrm{~d} y+\mathrm{e}^{x} \sin y \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle L$ 为半圆周 $\displaystyle y=\sqrt{1-x^{2}}$ 从点 $\displaystyle (1,0)$ 到点 $\displaystyle (-1,0)$ 的一段．

分析：曲线积分与路径无关．

21．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 连续，$\displaystyle L$ 为分段光滑的简单闭曲线，证明积分 $\displaystyle \int_{L} f\left(x^{2}+y^{2}\right)(x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y)$ 与积分路径无关．（南开大学 2003，苏州科技 2007，湖南大学，河北工大 2010，上海理工 2006，西北大学 2003，昆明理工 2007（ $\displaystyle f(r)=\ln r)$ ）
（2）设在上半平面 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid y>0\}$ 内，函数 $\displaystyle f(x, y)$ 具有连续的偏导数，且对任意的 $\displaystyle t>0$ 都有 $\displaystyle f(t x, t y)=t^{-2} f(x, y)$ ，证明：对 $\displaystyle D$ 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 $\displaystyle L$ ，都有

$$
\oint_{L} y f(x, y) \mathrm{d} x-x f(x, y) \mathrm{d} y=0 \text {. }
$$

（3）设函数 $\displaystyle f(u)$ 可导，$\displaystyle C$ 为对称于坐标轴的任一封闭曲线，计算积分

$$
\oint_{C} f\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(x^{2} \mathrm{~d} x+y^{2} \mathrm{~d} y\right) .
$$

25．求末知常数或条件．
（1）试求常数 $\displaystyle \lambda$ ，使得曲线积分 $\displaystyle \frac{x}{y} r^{\lambda} \mathrm{d} x-\frac{x^{2}}{y^{2}} r^{\lambda} \mathrm{d} y$ 为某个函数 $\displaystyle u(x, y)$ 的全微分（或 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x}{y} r^{\lambda} \mathrm{d} x-\frac{x^{2}}{y^{2}} r^{\lambda} \mathrm{d} y=0$ 对上半平面的任何光滑闭曲线 $\displaystyle L$ 成立），并求 $\displaystyle u(x, y)$ ，其中 $\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 。
（2）求常数 $\displaystyle a$ ，使曲线积分 $\displaystyle I=\oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} x-a y \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}$ 的值恒等于零，其中 $\displaystyle L$ 为平面上任一不经过原点 $\displaystyle (0,0)$ 的简单闭曲线。
（3）为了使曲线积分 $\displaystyle \int_{L} F(x, y)(y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y)$ 与积分路线无关，可微函数 $\displaystyle F(x, y)$ 应满足怎样的条件？

55．计算下列曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}-y z\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-x z\right) \mathrm{d} y+\left(z^{2}-x y\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为从点 $\displaystyle A(1,0,0)$ 到点 $\displaystyle B(1,0,2)$ 的任一条光滑曲线．
（2）$\displaystyle \oint_{A M B}\left(x^{2}-y z\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-x z\right) \mathrm{d} y+\left(z^{2}-x y\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\displaystyle A M B$ 为从点 $\displaystyle A(a, 0,0)$ 到点 $\displaystyle B(a, 0, h)$ 沿着 $\displaystyle x=a \cos \varphi, y=a \sin \phi, z=\frac{h}{2 \pi} \varphi$ 所取的．
（3） $\displaystyle \int_{L} y z \mathrm{~d} x+z x \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle L$ 为曲线 $\displaystyle x=\cos 2008 \pi t, y=\cos 2008 \pi t, z=t^{20090101} \mathrm{e}^{t^{2}-1}, t \in[0,1]$ ，从点（ $\displaystyle 1,1,0$ ）到点（ $\displaystyle 1,1,1$ ）的部分。

58．证明 $\displaystyle \left(2 x \cos y+y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(2 y \sin x-x^{2} \sin y\right) \mathrm{d} y$ 在整个 $\displaystyle x y$ 平面上是某个函数的全微分，并找出一个原函数。若有力场 $\displaystyle F=\left(2 x \cos y+y^{2} \cos x\right) i+\left(2 y \sin x-x^{2} \sin y\right) j$ ，求质点在此力场内沿椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 从点 $\displaystyle A:(-2,0)$ 移动至点 $\displaystyle B:(0, \sqrt{3})$ 时，场力所做的功．

60．设 $\displaystyle C$ 为空间按段光滑闭曲线，$\displaystyle f(x), \mathrm{g}(x), h(x)$ 连续，证明：

$$
\oint_{C}(f(x)-y z) \mathrm{d} x+(g(y)-x z) \mathrm{d} y+(h(x)-x y) \mathrm{d} x=0 \text {. }
$$