反函数的连续性
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第5题证明题
5．定义函数如下：$\displaystyle R(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{q}, x=\frac{p}{q}, q>0, p, q \text { 是互质整数，}(0 \leqslant x \leqslant 1) \text { ，证明：} \\ 0, x=0,1 \text { 及无理数，}\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle \forall x_{0} \in(0,1), \lim _{x \rightarrow x_{0}} R(x)=0$ ；
（2）函数 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 中的无理数点处连续，而在 $\displaystyle [0,1]$ 中的有理数点处不连续．
（3）讨论函数 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的可积性．
）
（1）$\displaystyle \forall x_{0} \in(0,1), \lim _{x \rightarrow x_{0}} R(x)=0$ ；
（2）函数 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 中的无理数点处连续，而在 $\displaystyle [0,1]$ 中的有理数点处不连续．
（3）讨论函数 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的可积性．
）
第16题未分类
16．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b]$ 连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=A$ ，则对任意 $\displaystyle 0<a<b$ 有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{\frac{a}{n}}^{\frac{b}{n}} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x=A \ln \frac{b}{a}$ ．
第17题求解题
17．设 $\displaystyle f(x) \in C[0,+\infty), b>a>0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \int_{a x}^{b x} \frac{f(t)}{t} \mathrm{~d} t$ ．
第18题求解题
18．设 $\displaystyle g(x) \in C^{2}(-\infty,+\infty), g(0)=1$ ．令函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{g(x)-\cos x}{x}, x \neq 0, \\ a, x=0,\end{array}\right.$（1）确定 $\displaystyle a$ 的值，使 $\displaystyle f(x)$在点 $\displaystyle x=0$ 连续；（2）求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ；（3）讨论 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在点 $\displaystyle x=0$ 处的连续性。电子科技 2013，哈工大，南京大学 2001，延安大学 2006 ，郑州大学 2002 ，南京师大 2000 ，武汉科技 2005 ，陕西师大 2000 ）
第21题证明题
21．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^{2} x^{2}}$ ．（1）求 $\displaystyle f(x)$ 的定义域 $\displaystyle D$ ；（2）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^{2} x^{2}}$ 在 $\displaystyle D$ 上不一致收敛； （3）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle D$ 上连续；（4）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle D$ 上无界．
第22题证明题
22．证明下列结论．
（1）若函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．证明：若每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 都在 $\displaystyle I$ 上连续，则
$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上连续．
（2）设 $\displaystyle u_{n}(x), n=1,2, \cdots$ ，是区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上处处收敛，而且一致收敛，求证：其和函数 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（1）若函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．证明：若每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 都在 $\displaystyle I$ 上连续，则
$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上连续．
（2）设 $\displaystyle u_{n}(x), n=1,2, \cdots$ ，是区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上处处收敛，而且一致收敛，求证：其和函数 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
第22题证明题
22．证明下列命题．
（1）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{2} \sqrt[3]{n}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续且有连续的导函数．
（2）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{3} \sqrt{n}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续并有二阶连续的导函数．
（3）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{3}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续。问 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内是否连续可导？
（4）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{3}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，且有连续的导函数．（沈阳 工 大 2007）
（5）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{3}+1}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续并有连续的导函数．
（6）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{2} \sqrt{n}} \ln (1+n x), n=1,2, \cdots$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续且有连续的导函数．
（1）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{2} \sqrt[3]{n}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续且有连续的导函数．
（2）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{3} \sqrt{n}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续并有二阶连续的导函数．
（3）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{3}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续。问 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内是否连续可导？
（4）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{3}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，且有连续的导函数．（沈阳 工 大 2007）
（5）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{3}+1}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续并有连续的导函数．
（6）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{2} \sqrt{n}} \ln (1+n x), n=1,2, \cdots$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续且有连续的导函数．
第24题证明题
24．设 $\displaystyle f_{n}(x), n=1,2, \cdots$ ，为 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的一致连续函数，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=f(x), \forall x \in \mathbf{R}^{1}$ ，问：$\displaystyle f(x)$ 是否为连续函数？若答案为＂是＂，请给出证明；若答案为＂否＂，请给出反例．
第25题讨论/判定题
25．讨论下列函数项级数在指定区间的连续性．
（1）设 $\displaystyle x_{n} \in(0,1), n=1,2, \cdots$ ，且满足 $\displaystyle x_{i} \neq x_{j}(i \neq j)$ ，讨论 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}\left(x-x_{n}\right)}{2^{n}}$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 的连续性．
（2）将所有有理数排成一个数列 $\displaystyle \left\{r_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ ，试讨论函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}\left(x-r_{n}\right)}{2^{n}}$ 的连续性．
（3）讨论函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}(x-n)}{2^{n}}$ 的连续性．．
（4）设函数项级数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} 2^{-n}\left|\sin \left(x-\frac{1}{n}\right)\right|$ ．证明：（1）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 连续；（2）函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{k}=\frac{1}{k}, k=2,3, \cdots$ ，处不可微，在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内其他点处皆可微。重庆大学2006）
（5）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为 $\displaystyle (a, b)$ 中互不相同的点列，$\displaystyle a_{n}$ 为函数 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上的唯一间断点。设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致有界，即存在正数 $\displaystyle M$ 使得 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leqslant M$ 对所有的 $\displaystyle n$ 与所有 $\displaystyle x \in(a, b)$ 均成立．证明：函数 $\displaystyle h(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f_{n}(x)}{2^{n}}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内的间断点集为 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ ．
（1）设 $\displaystyle x_{n} \in(0,1), n=1,2, \cdots$ ，且满足 $\displaystyle x_{i} \neq x_{j}(i \neq j)$ ，讨论 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}\left(x-x_{n}\right)}{2^{n}}$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 的连续性．
（2）将所有有理数排成一个数列 $\displaystyle \left\{r_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ ，试讨论函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}\left(x-r_{n}\right)}{2^{n}}$ 的连续性．
（3）讨论函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}(x-n)}{2^{n}}$ 的连续性．．
（4）设函数项级数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} 2^{-n}\left|\sin \left(x-\frac{1}{n}\right)\right|$ ．证明：（1）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 连续；（2）函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{k}=\frac{1}{k}, k=2,3, \cdots$ ，处不可微，在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内其他点处皆可微。重庆大学2006）
（5）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为 $\displaystyle (a, b)$ 中互不相同的点列，$\displaystyle a_{n}$ 为函数 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上的唯一间断点。设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致有界，即存在正数 $\displaystyle M$ 使得 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leqslant M$ 对所有的 $\displaystyle n$ 与所有 $\displaystyle x \in(a, b)$ 均成立．证明：函数 $\displaystyle h(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f_{n}(x)}{2^{n}}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内的间断点集为 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ ．
第26题证明题
26．证明或求解下列各题．
（1）设 $\displaystyle c_{n}(x)$ 在区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上非负连续，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x), f(1)=1$ ．证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}(x) \cos (2 n \pi x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上一致收玫，并求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}(x) \cos (2 n \pi x)$ 。
（2）设 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{2^{n}} \sin \frac{n}{2} \pi x, x \in\left(0, \frac{3}{2}\right)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} S(x)=S(1)$ ，并求 $\displaystyle S(1)$ ．
（1）设 $\displaystyle c_{n}(x)$ 在区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上非负连续，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x), f(1)=1$ ．证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}(x) \cos (2 n \pi x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上一致收玫，并求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}(x) \cos (2 n \pi x)$ 。
（2）设 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{2^{n}} \sin \frac{n}{2} \pi x, x \in\left(0, \frac{3}{2}\right)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} S(x)=S(1)$ ，并求 $\displaystyle S(1)$ ．
第27题证明题
27．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n \mathrm{e}^{-n} \cos n x, x \in[0,2 \pi]$ ，证明：
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上连续；
（2）$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上存在且连续；
（3） $\displaystyle \max _{[0,2 \pi]} f(x)=\frac{\mathrm{e}}{(\mathrm{e}-1)^{2}} \geqslant \frac{2}{\mathrm{e}}$ ．
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上连续；
（2）$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上存在且连续；
（3） $\displaystyle \max _{[0,2 \pi]} f(x)=\frac{\mathrm{e}}{(\mathrm{e}-1)^{2}} \geqslant \frac{2}{\mathrm{e}}$ ．
第28题证明题
28．证明或求解下列各题．
（1）证明：若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛。
（2）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$（有限）$\displaystyle (a \neq 0)$ ，证明：（1）$\displaystyle \forall \delta>0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (\delta,+\infty)$ 上一致收敛； （2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 不一致收敛；（3）函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续。西北师大 2005）
（3）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界，但不收敛，求证：（1）$\displaystyle \forall x>0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 收敛；（2）$\displaystyle \forall \delta>0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle [\delta,+\infty)$上一致收敛；（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致收敛．
（4）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{-n x}}{1+n^{2}}$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 连续，并且 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{\mathrm{e}^{-n x}}{n}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的连续范围及可导范用．
（1）证明：若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛。
（2）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$（有限）$\displaystyle (a \neq 0)$ ，证明：（1）$\displaystyle \forall \delta>0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (\delta,+\infty)$ 上一致收敛； （2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 不一致收敛；（3）函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续。西北师大 2005）
（3）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界，但不收敛，求证：（1）$\displaystyle \forall x>0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 收敛；（2）$\displaystyle \forall \delta>0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle [\delta,+\infty)$上一致收敛；（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致收敛．
（4）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{-n x}}{1+n^{2}}$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 连续，并且 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{\mathrm{e}^{-n x}}{n}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的连续范围及可导范用．
第28题未分类
28．若级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ ．
第29题证明题
29．证明下列命题．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则存在折线函数 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。西安交大2003，重庆师大2006）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a, b+d]$ 上可积，求证：
$$
\lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} \int_{a}^{b} f(x) \varphi(x+\delta) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \varphi(x) \mathrm{d} x . }
$$
（3）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一连续函数列，满足：存在常数 $\displaystyle M$ ，使得对于任意 $\displaystyle f_{n}(x)$ 和 $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty)$ ，恒有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leqslant M$ 。假定对 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 中任意区间 $\displaystyle [a, b]$ 都有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：对任意区间 $\displaystyle [c, d] \subset(-\infty,+\infty)$ 以及 $\displaystyle [c, d]$ 上绝对可积函数 $\displaystyle h(x)$ ，恒有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{c}^{d} f_{n}(x) h(x) \mathrm{d} x=0$ ．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则存在折线函数 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。西安交大2003，重庆师大2006）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a, b+d]$ 上可积，求证：
$$
\lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} \int_{a}^{b} f(x) \varphi(x+\delta) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \varphi(x) \mathrm{d} x . }
$$
（3）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一连续函数列，满足：存在常数 $\displaystyle M$ ，使得对于任意 $\displaystyle f_{n}(x)$ 和 $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty)$ ，恒有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leqslant M$ 。假定对 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 中任意区间 $\displaystyle [a, b]$ 都有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：对任意区间 $\displaystyle [c, d] \subset(-\infty,+\infty)$ 以及 $\displaystyle [c, d]$ 上绝对可积函数 $\displaystyle h(x)$ ，恒有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{c}^{d} f_{n}(x) h(x) \mathrm{d} x=0$ ．
第30题证明题
30．证明下列各题．
（1）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x}{1+n^{3} x^{3}}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛 $\displaystyle (0<a<b<+\infty)$ ，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致收敛，并证明函
数 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x}{1+n^{3} x^{3}}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续．
（2）证明 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+x^{2}}{n^{4}}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上不一致收敛，但在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续．
（1）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x}{1+n^{3} x^{3}}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛 $\displaystyle (0<a<b<+\infty)$ ，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致收敛，并证明函
数 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x}{1+n^{3} x^{3}}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续．
（2）证明 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+x^{2}}{n^{4}}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上不一致收敛，但在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续．
第32题证明题
32．证明或求解下列各题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n}$ ，确定函数的定义域 $\displaystyle D$ ，并证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 在 $\displaystyle D$ 上：不一致收玫，但函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle D$ 上连续．
（2）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 的收敛域，并判定其一致收敛性。西安电子科技 2005）
（3）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n}}$ 的收敛域，并讨论其一致收敛性（包括内闭一致收敛性）$\displaystyle (x \geqslant 0)$ 。中科院 2013，武汉大学2014，河南师大2009，苏州大学2003（B），华东师大）
（4）设 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{x}{n^{2}}\right)$ ，求 $\displaystyle S(x)$ 的定义域 $\displaystyle D$ ，并证明函数 $\displaystyle S(x)$ 在 $\displaystyle D$ 连续可导。西安交大 2006）
（5）求证：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (1+n x)}{n x^{n}}$ 在任何区间 $\displaystyle [1+a,+\infty)$ 上一致收敛，在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 内不一致收敛，但和函数在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 内连续 $\displaystyle (a>0)$ ．（武汉大学 2010，中北大学2005（B），四川大学1999，西北大学）
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n}$ ，确定函数的定义域 $\displaystyle D$ ，并证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 在 $\displaystyle D$ 上：不一致收玫，但函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle D$ 上连续．
（2）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 的收敛域，并判定其一致收敛性。西安电子科技 2005）
（3）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n}}$ 的收敛域，并讨论其一致收敛性（包括内闭一致收敛性）$\displaystyle (x \geqslant 0)$ 。中科院 2013，武汉大学2014，河南师大2009，苏州大学2003（B），华东师大）
（4）设 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{x}{n^{2}}\right)$ ，求 $\displaystyle S(x)$ 的定义域 $\displaystyle D$ ，并证明函数 $\displaystyle S(x)$ 在 $\displaystyle D$ 连续可导。西安交大 2006）
（5）求证：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (1+n x)}{n x^{n}}$ 在任何区间 $\displaystyle [1+a,+\infty)$ 上一致收敛，在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 内不一致收敛，但和函数在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 内连续 $\displaystyle (a>0)$ ．（武汉大学 2010，中北大学2005（B），四川大学1999，西北大学）
第35题证明题
35．证明下列结论．
（1）证明：（1）函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上收敛，在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上不一致收敛，但在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 内内闭一致收敛；（2）函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 连续，并在该区间内有任意阶连续导函数。
（2）设函数 $\displaystyle \xi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x+1}}$ ，试证函数 $\displaystyle \xi(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内连续，但在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内不一致连续．
（3）求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{n^{x}}$ 的收玫域，并讨论其和函数的连续性与可微性．
（4）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{x+\frac{1}{n}}}$ 的绝对收敛性、条件收敛性和一致收敛性，并指出函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{x+\frac{1}{n}}}$ 的连续性．
（5）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n^{x}}$ 的收敛性和一致收敛性。
（1）证明：（1）函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上收敛，在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上不一致收敛，但在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 内内闭一致收敛；（2）函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 连续，并在该区间内有任意阶连续导函数。
（2）设函数 $\displaystyle \xi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x+1}}$ ，试证函数 $\displaystyle \xi(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内连续，但在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内不一致连续．
（3）求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{n^{x}}$ 的收玫域，并讨论其和函数的连续性与可微性．
（4）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{x+\frac{1}{n}}}$ 的绝对收敛性、条件收敛性和一致收敛性，并指出函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{x+\frac{1}{n}}}$ 的连续性．
（5）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n^{x}}$ 的收敛性和一致收敛性。
第37题证明题
37．若级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收敛，证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续．