变量代换
按知识点浏览 · 共 7 题
第7题证明题
7．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle u(x, y)$ 有二阶连续偏导数，证明：$\displaystyle u$ 满足微分方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ 的充要条件为存在二阶连续可微函数 $\displaystyle \varphi(t), \psi(t)$ 使得 $\displaystyle u(x, y)=x \varphi(x+y)+y \psi(x+y)($ 北京大学 2002 ，沈阳 工 大 2009 ，徐州师大 2007 ，浙江师大 2005 ）
（2）设 $\displaystyle u(x, y)$ 有二阶连续偏导数，且恒取正值，证明：$\displaystyle u$ 满足微分方程 $\displaystyle u \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y}$ 的充要条件为 $\displaystyle u(x, y)=f(x) g(y)$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 有一阶连续偏导数，证明 $\displaystyle f$ 满足微分方程 $\displaystyle \frac{1}{a} \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{b} \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{c} \frac{\partial f}{\partial z}$ 的充要条件为存在 $\displaystyle g(u) \in C^{1}(R)$ 使得 $\displaystyle f(x, y, z)=g(a x+b y+c z)$ ．
（1）设 $\displaystyle u(x, y)$ 有二阶连续偏导数，证明：$\displaystyle u$ 满足微分方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ 的充要条件为存在二阶连续可微函数 $\displaystyle \varphi(t), \psi(t)$ 使得 $\displaystyle u(x, y)=x \varphi(x+y)+y \psi(x+y)($ 北京大学 2002 ，沈阳 工 大 2009 ，徐州师大 2007 ，浙江师大 2005 ）
（2）设 $\displaystyle u(x, y)$ 有二阶连续偏导数，且恒取正值，证明：$\displaystyle u$ 满足微分方程 $\displaystyle u \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y}$ 的充要条件为 $\displaystyle u(x, y)=f(x) g(y)$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 有一阶连续偏导数，证明 $\displaystyle f$ 满足微分方程 $\displaystyle \frac{1}{a} \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{b} \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{c} \frac{\partial f}{\partial z}$ 的充要条件为存在 $\displaystyle g(u) \in C^{1}(R)$ 使得 $\displaystyle f(x, y, z)=g(a x+b y+c z)$ ．
第11题未分类
11．通过变量代换变换方程．
（1）令 $\displaystyle x=u v, y=\frac{1}{2}\left(u^{2}-v^{2}\right)$ ，变换方程 $\displaystyle \left(z_{x}\right)^{2}+\left(z_{y}\right)^{2}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ．
（2）用变换 $\displaystyle u=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}, v=\arctan \frac{x}{y}$ ，化简方程 $\displaystyle (x+y) z_{x}-(x-y) z_{y}=0$ ．
（3）通过变换 $\displaystyle u=x y, v=\frac{x}{y}$ 将方程 $\displaystyle x^{2} z_{x x}-y^{2} z_{y y}=0$ 变换为以 $\displaystyle u, v$ 为新的自变量的方程．
（1）令 $\displaystyle x=u v, y=\frac{1}{2}\left(u^{2}-v^{2}\right)$ ，变换方程 $\displaystyle \left(z_{x}\right)^{2}+\left(z_{y}\right)^{2}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ．
（2）用变换 $\displaystyle u=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}, v=\arctan \frac{x}{y}$ ，化简方程 $\displaystyle (x+y) z_{x}-(x-y) z_{y}=0$ ．
（3）通过变换 $\displaystyle u=x y, v=\frac{x}{y}$ 将方程 $\displaystyle x^{2} z_{x x}-y^{2} z_{y y}=0$ 变换为以 $\displaystyle u, v$ 为新的自变量的方程．
第12题求解题
12．设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 二阶连续可微，对微分方程 $\displaystyle \frac{1}{(x+y)^{2}}\left(z_{x x}+2 z_{x y}+z_{y y}\right)-\frac{1}{(x+y)^{3}}\left(z_{x}+z_{y}\right)=0$ 作变量代换 $\displaystyle u=x y, v=x-y$ 。（1）求代换后的方程；（2）指出变量代换失效的点集，并指出失效的理由，代换在失效点集上会产生什么现象。
第13题求解题
13．通过变量代换变换方程．
（1）取 $\displaystyle u=\frac{y}{x}, v=z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ 作新的自变量，变换方程 $\displaystyle x z_{x}+y z_{y}=z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ．
（2）用变换 $\displaystyle \xi=x, \eta=x^{2}+y^{2}$ 化简方程 $\displaystyle y z_{x}-x z_{y}=0$ ，并求出这个方程的通解 $\displaystyle z=z(x, y)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 在平面 $\displaystyle \mathrm{R}^{2}$ 上有连续的一阶偏导数．$\displaystyle w=w(u, v)$ 是由方程组 $\displaystyle u=x^{2}+y^{2}, v=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}, z=\mathrm{e}^{w+x+y}$ 所确定的隐函数。将方程 $\displaystyle y z_{x}-x z_{y}=(y-x) z,(x \neq y)$ 化为 $\displaystyle w_{u}, w_{v}$ 所满足的一个关系式．
（4）将方程 $\displaystyle x u_{y}-y u_{x}=0$ 变为以极坐标 $\displaystyle r, \theta$ 为自变量的形式，其中 $\displaystyle x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ， $\displaystyle (r \neq 0)$ ．
（1）取 $\displaystyle u=\frac{y}{x}, v=z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ 作新的自变量，变换方程 $\displaystyle x z_{x}+y z_{y}=z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ．
（2）用变换 $\displaystyle \xi=x, \eta=x^{2}+y^{2}$ 化简方程 $\displaystyle y z_{x}-x z_{y}=0$ ，并求出这个方程的通解 $\displaystyle z=z(x, y)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 在平面 $\displaystyle \mathrm{R}^{2}$ 上有连续的一阶偏导数．$\displaystyle w=w(u, v)$ 是由方程组 $\displaystyle u=x^{2}+y^{2}, v=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}, z=\mathrm{e}^{w+x+y}$ 所确定的隐函数。将方程 $\displaystyle y z_{x}-x z_{y}=(y-x) z,(x \neq y)$ 化为 $\displaystyle w_{u}, w_{v}$ 所满足的一个关系式．
（4）将方程 $\displaystyle x u_{y}-y u_{x}=0$ 变为以极坐标 $\displaystyle r, \theta$ 为自变量的形式，其中 $\displaystyle x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ， $\displaystyle (r \neq 0)$ ．
第14题未分类
14．通过变量代换变换方程．
（1）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 为可微函数，试将方程 $\displaystyle x^{2} z_{x}+y^{2} z_{y}=z^{2}$ 变换成 $\displaystyle w(u, v)$ 的方程，假设 $\displaystyle x=u$ ， $\displaystyle y=\frac{u}{1+u v}, z=\frac{u}{1+u w}$.
（2）设 $\displaystyle u=x, v=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}, w=\frac{1}{z}$ ，以 $\displaystyle w$ 为新函数，$\displaystyle u, v$ 为新自变量，试变换方程 $\displaystyle x^{2} z_{x}+y^{2} z_{y}=z^{2}$ 。
（1）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 为可微函数，试将方程 $\displaystyle x^{2} z_{x}+y^{2} z_{y}=z^{2}$ 变换成 $\displaystyle w(u, v)$ 的方程，假设 $\displaystyle x=u$ ， $\displaystyle y=\frac{u}{1+u v}, z=\frac{u}{1+u w}$.
（2）设 $\displaystyle u=x, v=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}, w=\frac{1}{z}$ ，以 $\displaystyle w$ 为新函数，$\displaystyle u, v$ 为新自变量，试变换方程 $\displaystyle x^{2} z_{x}+y^{2} z_{y}=z^{2}$ 。
第15题未分类
15．通过变量代换变换方程．
（1）在极坐标变换 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta\end{array}\right.$ 下变换方程 $\displaystyle u_{x x}+u_{y y}=f(x, y)$ ．
（2）将直角坐标系下的 Laplace 方程 $\displaystyle u_{x x}+u_{y y}=0$ 化为极坐标系下的形式．
（1）在极坐标变换 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta\end{array}\right.$ 下变换方程 $\displaystyle u_{x x}+u_{y y}=f(x, y)$ ．
（2）将直角坐标系下的 Laplace 方程 $\displaystyle u_{x x}+u_{y y}=0$ 化为极坐标系下的形式．
第16题证明题
16．通过变量代换变换下列方程．
（1）已知 $\displaystyle z=z(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且满足方程 $\displaystyle z_{x x}+2 z_{x y}+z_{y y}=0$ 。利用变换 $\displaystyle u=x+y$ ， $\displaystyle v=x-y, w=x y-z(x, y)$ ，证明：$\displaystyle w=w(u, v)$ 满足偏导数方程 $\displaystyle 2 w_{u u}=1$ ，并确定 $\displaystyle w=w(u, v)$ 的表达式．
（2）设 $\displaystyle u=\frac{x+y}{2}, v=\frac{x-y}{2}, w=z \mathrm{e}^{y}$ ，取 $\displaystyle u, v$ 为新的变量以及 $\displaystyle w(u, v)$ 为新函数，变换方程 $\displaystyle z_{x x}+z_{x y}+z_{x}=z$ ．
（3）设 $\displaystyle u=x, v=x+y, w=x+y+z$ ，以 $\displaystyle u, v$ 为新的自变量，$\displaystyle w=w(u, v)$ 为新函数，把方程 $\displaystyle z_{x x}-2 z_{x y}+z_{y y}=0$ 变换为 $\displaystyle w_{u u}=0$ 。
（1）已知 $\displaystyle z=z(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且满足方程 $\displaystyle z_{x x}+2 z_{x y}+z_{y y}=0$ 。利用变换 $\displaystyle u=x+y$ ， $\displaystyle v=x-y, w=x y-z(x, y)$ ，证明：$\displaystyle w=w(u, v)$ 满足偏导数方程 $\displaystyle 2 w_{u u}=1$ ，并确定 $\displaystyle w=w(u, v)$ 的表达式．
（2）设 $\displaystyle u=\frac{x+y}{2}, v=\frac{x-y}{2}, w=z \mathrm{e}^{y}$ ，取 $\displaystyle u, v$ 为新的变量以及 $\displaystyle w(u, v)$ 为新函数，变换方程 $\displaystyle z_{x x}+z_{x y}+z_{x}=z$ ．
（3）设 $\displaystyle u=x, v=x+y, w=x+y+z$ ，以 $\displaystyle u, v$ 为新的自变量，$\displaystyle w=w(u, v)$ 为新函数，把方程 $\displaystyle z_{x x}-2 z_{x y}+z_{y y}=0$ 变换为 $\displaystyle w_{u u}=0$ 。