变限积分（积分上限函数）
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第2题计算题
2．求下列极限．
（1）已知 $\displaystyle f(x)$ 可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{x}^{x+2} t \sin \frac{3}{t} \cdot f(t) \mathrm{d} t$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{x^{2}}\left(1+\frac{1}{2 t}\right)^{t} \sin \frac{1}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(n) \sin \frac{1}{n}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{x^{2}}\left(1+\frac{1}{2 t}\right)^{t}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\sqrt{t}}}-1\right) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(n) \sin \frac{1}{n}$ ．
（1）已知 $\displaystyle f(x)$ 可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{x}^{x+2} t \sin \frac{3}{t} \cdot f(t) \mathrm{d} t$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{x^{2}}\left(1+\frac{1}{2 t}\right)^{t} \sin \frac{1}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(n) \sin \frac{1}{n}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{x^{2}}\left(1+\frac{1}{2 t}\right)^{t}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\sqrt{t}}}-1\right) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(n) \sin \frac{1}{n}$ ．
第3题计算题
3．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{t} \sin \left(t x^{2}\right) \mathrm{d} x}{t^{4}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=5$ 。
（1） $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{t} \sin \left(t x^{2}\right) \mathrm{d} x}{t^{4}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=5$ 。
第4题计算题
4．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x}(x-t) \sin t^{2} \mathrm{~d} t}{x^{4}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} x^{m} \int_{0}^{\frac{1}{x}} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ，其中 $\displaystyle m$ 为任意整数．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x) \int_{0}^{x} f(x-t) \mathrm{d} t}{\int_{0}^{x} f(t)(\sin x-t) \mathrm{d} t}$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的邻域连续，且 $\displaystyle f(0) \neq 0$ 。
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x}(x-t) \sin t^{2} \mathrm{~d} t}{x^{4}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} x^{m} \int_{0}^{\frac{1}{x}} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ，其中 $\displaystyle m$ 为任意整数．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x) \int_{0}^{x} f(x-t) \mathrm{d} t}{\int_{0}^{x} f(t)(\sin x-t) \mathrm{d} t}$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的邻域连续，且 $\displaystyle f(0) \neq 0$ 。
第6题未分类
6．设 $\displaystyle F(x)=\mathrm{e}^{\frac{x^{2}}{2}} \int_{x}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{2}} \mathrm{~d} t, x \in[0,+\infty)$ ，试证：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} F(x)=0$ ；（2）$\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 内单调递减．
第10题计算题
10．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{5}} \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t+\frac{1}{3} \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{4}}\right)$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t-x}{x-\sin x}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t}{x^{2} \sin x}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t-x}{\ln ^{3}(1+x)}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t-x-\frac{x^{3}}{3}}{x^{2}(x-\sin x)}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{\frac{t^{2}}{2}} \cos t \mathrm{~d} t-x}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)^{2}\left(1-\cos ^{2} x\right) \arctan x}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{5}} \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t+\frac{1}{3} \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{4}}\right)$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t-x}{x-\sin x}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t}{x^{2} \sin x}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t-x}{\ln ^{3}(1+x)}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t-x-\frac{x^{3}}{3}}{x^{2}(x-\sin x)}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{\frac{t^{2}}{2}} \cos t \mathrm{~d} t-x}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)^{2}\left(1-\cos ^{2} x\right) \arctan x}$ ．
第11题计算题
11．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\int_{0}^{x^{2}}(\sin t)^{\frac{3}{2}} \mathrm{~d} t}{\int_{0}^{x} t(t-\sin t) \mathrm{d} t}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{\sin x} \sqrt{\tan t} \mathrm{~d} t}{\int_{0}^{\tan x} \sqrt{\sin t} \mathrm{~d} t}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\left(\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t\right)^{2}}{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{2 t^{2}} \mathrm{~d} t}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{2 t^{2}} \mathrm{~d} t}{\int_{0}^{x} \sqrt{t} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t}{\int_{0}^{x} t \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\int_{0}^{x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t}{\sin ^{5} x}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{\sqrt{x}}\left(1-\cos t^{2}\right) \mathrm{d} t}{\sqrt{x^{5}}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \cos t \mathrm{~d} t}{\ln \left(1+x^{2}\right)}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \sin t^{2} \mathrm{~d} t}{\ln \left(1+x^{3}\right)}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \int_{0}^{x^{2}} t \mathrm{e}^{t^{2}} \sin t \mathrm{~d} t}{1-\cos x^{4}}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x}(\arcsin t-t) \mathrm{d} t}{x\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)^{3}}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} \mathrm{~d} t}{x \int_{0}^{x} \ln \left(1+t^{4}\right) \mathrm{d} t}$ ．
（13） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{\sin ^{2} x} \ln (1+t) \mathrm{d} t}{\sqrt{1+x^{4}}-1}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\int_{0}^{x^{2}}(\sin t)^{\frac{3}{2}} \mathrm{~d} t}{\int_{0}^{x} t(t-\sin t) \mathrm{d} t}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{\sin x} \sqrt{\tan t} \mathrm{~d} t}{\int_{0}^{\tan x} \sqrt{\sin t} \mathrm{~d} t}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\left(\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t\right)^{2}}{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{2 t^{2}} \mathrm{~d} t}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{2 t^{2}} \mathrm{~d} t}{\int_{0}^{x} \sqrt{t} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t}{\int_{0}^{x} t \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\int_{0}^{x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t}{\sin ^{5} x}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{\sqrt{x}}\left(1-\cos t^{2}\right) \mathrm{d} t}{\sqrt{x^{5}}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \cos t \mathrm{~d} t}{\ln \left(1+x^{2}\right)}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \sin t^{2} \mathrm{~d} t}{\ln \left(1+x^{3}\right)}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \int_{0}^{x^{2}} t \mathrm{e}^{t^{2}} \sin t \mathrm{~d} t}{1-\cos x^{4}}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x}(\arcsin t-t) \mathrm{d} t}{x\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)^{3}}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} \mathrm{~d} t}{x \int_{0}^{x} \ln \left(1+t^{4}\right) \mathrm{d} t}$ ．
（13） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{\sin ^{2} x} \ln (1+t) \mathrm{d} t}{\sqrt{1+x^{4}}-1}$ ．
第17题证明题
17．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle f(x)>0$ ．证明至少 $\displaystyle \exists x_{0} \in(a, b)$ 使得
$$
f^{\prime}\left(x_{0}\right) \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f\left(x_{0}\right)(f(b)-f(a)) .
$$
$$
f^{\prime}\left(x_{0}\right) \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f\left(x_{0}\right)(f(b)-f(a)) .
$$
第20题证明题
20．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle f(x) \geqslant c>0$ ．又 $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{x}^{b} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明：$\displaystyle F(x)=0$ 在 （ $\displaystyle a, b$ ）上有且仅有一个实根．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x) \neq 0$ 。证明：方程 $\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{b}^{x} \frac{\mathrm{~d} t}{f(t)}=0$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有唯一实根．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，$\displaystyle f(x)>0$ 。令 $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{b}^{x} \frac{1}{f(t)} \mathrm{d} t$ 。证明：$\displaystyle F^{\prime}(x) \geqslant 2$且 $\displaystyle F(x)=0$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上仅有一个实根．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x)>0$ ．又 $\displaystyle F(x)=\int_{\frac{x}{2}}^{1} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{\frac{x}{2}} \frac{1}{f(t)} \mathrm{d} t$ ．证明：$\displaystyle F(x)=0$ 在 $\displaystyle (0,2)$ 上有且仅有一个实根．
（5）设对任意 $\displaystyle A>0, f(x)$ 在 $\displaystyle [0, A]$ 上可积，且 $\displaystyle \int_{0}^{+x} f(x) \mathrm{d} x \neq 0$ 收敛．又对 $\displaystyle x>0$ ， $\displaystyle \varphi(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{x}^{+\infty} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明：$\displaystyle \varphi(x)=0$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内至少有一个实根．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 上的正值连续函数．证明：方程 $\displaystyle \frac{1}{f(x)} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\frac{\int_{0}^{1-x} f(t) \mathrm{d} t}{f(1-x)}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 至少有一个实根．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle f(x) \geqslant c>0$ ．又 $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{x}^{b} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明：$\displaystyle F(x)=0$ 在 （ $\displaystyle a, b$ ）上有且仅有一个实根．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x) \neq 0$ 。证明：方程 $\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{b}^{x} \frac{\mathrm{~d} t}{f(t)}=0$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有唯一实根．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，$\displaystyle f(x)>0$ 。令 $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{b}^{x} \frac{1}{f(t)} \mathrm{d} t$ 。证明：$\displaystyle F^{\prime}(x) \geqslant 2$且 $\displaystyle F(x)=0$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上仅有一个实根．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x)>0$ ．又 $\displaystyle F(x)=\int_{\frac{x}{2}}^{1} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{\frac{x}{2}} \frac{1}{f(t)} \mathrm{d} t$ ．证明：$\displaystyle F(x)=0$ 在 $\displaystyle (0,2)$ 上有且仅有一个实根．
（5）设对任意 $\displaystyle A>0, f(x)$ 在 $\displaystyle [0, A]$ 上可积，且 $\displaystyle \int_{0}^{+x} f(x) \mathrm{d} x \neq 0$ 收敛．又对 $\displaystyle x>0$ ， $\displaystyle \varphi(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{x}^{+\infty} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明：$\displaystyle \varphi(x)=0$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内至少有一个实根．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 上的正值连续函数．证明：方程 $\displaystyle \frac{1}{f(x)} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\frac{\int_{0}^{1-x} f(t) \mathrm{d} t}{f(1-x)}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 至少有一个实根．
第21题证明题
21．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续（或可积），试证明：存在 $\displaystyle c \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x=\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上有界可积，且 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：存在常数 $\displaystyle \alpha \in[0,1]$ 使 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\alpha+1} f(x) \mathrm{d} x=0$ 。
（3）如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则在积分区间 $\displaystyle [a, b]$ 上至少存在一点 $\displaystyle \xi$ ，使 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) d x=f(\xi)(b-a)$ 。曲阜师大2007，广西民大2007，计量学院2009，首都师大2009）
（4）若 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上不变号，则至少存在一点 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ 。广西大学 2005，青岛大学 2009，河南大学 2001，昆明理工 2007，西南交大 2007，燕山大学 2009）
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上不变号，$\displaystyle M, m$ 分别为 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上的上、下确界，则必存在某实数 $\displaystyle \mu(m \leqslant \mu \leqslant M)$ ，使得 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=\mu \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上连续，证明存在 $\displaystyle \xi \in[0, \pi]$ ，使得 $\displaystyle 2 f(\xi)=\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \mathrm{~d} x$ 。
（7）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，若函数 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上单调增加，连续可微，则存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ 使得 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=g(a) \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x+g(b) \int_{\xi}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（8）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin x}{x}, x \in(0,1], \text { 证明对任意自然数 } n \geqslant 2, \text { 存在唯一 } x_{n} \in(0,1) \text { 使得 } \\ 1, x=0,\end{array}\right. \int_{\frac{1}{n}}^{x_{n}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\int_{x_{n}}^{1} \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x$ 。进一步 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}$ 存在。哈工大 2006）
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续（或可积），试证明：存在 $\displaystyle c \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x=\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上有界可积，且 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：存在常数 $\displaystyle \alpha \in[0,1]$ 使 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\alpha+1} f(x) \mathrm{d} x=0$ 。
（3）如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则在积分区间 $\displaystyle [a, b]$ 上至少存在一点 $\displaystyle \xi$ ，使 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) d x=f(\xi)(b-a)$ 。曲阜师大2007，广西民大2007，计量学院2009，首都师大2009）
（4）若 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上不变号，则至少存在一点 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ 。广西大学 2005，青岛大学 2009，河南大学 2001，昆明理工 2007，西南交大 2007，燕山大学 2009）
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上不变号，$\displaystyle M, m$ 分别为 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上的上、下确界，则必存在某实数 $\displaystyle \mu(m \leqslant \mu \leqslant M)$ ，使得 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=\mu \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上连续，证明存在 $\displaystyle \xi \in[0, \pi]$ ，使得 $\displaystyle 2 f(\xi)=\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \mathrm{~d} x$ 。
（7）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，若函数 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上单调增加，连续可微，则存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ 使得 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=g(a) \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x+g(b) \int_{\xi}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（8）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin x}{x}, x \in(0,1], \text { 证明对任意自然数 } n \geqslant 2, \text { 存在唯一 } x_{n} \in(0,1) \text { 使得 } \\ 1, x=0,\end{array}\right. \int_{\frac{1}{n}}^{x_{n}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\int_{x_{n}}^{1} \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x$ 。进一步 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}$ 存在。哈工大 2006）
第22题证明题
22．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：$\displaystyle \exists x_{1}, x_{2} \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且存在非负整数 $\displaystyle m$ 使 $\displaystyle \int_{a}^{b} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=0, n=1,2, \cdots, m$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$内至少存在 $\displaystyle m+1$ 个零点．
（3）设 $\displaystyle f(x):[0,1] \rightarrow \mathbf{R}$ 是连续函数，若 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=0$ 对所有非负整数 $\displaystyle n$ 成立，则 $\displaystyle f(x)$ 在 ［0，1］1恒等于 0 ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：$\displaystyle \exists x_{1}, x_{2} \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且存在非负整数 $\displaystyle m$ 使 $\displaystyle \int_{a}^{b} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=0, n=1,2, \cdots, m$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$内至少存在 $\displaystyle m+1$ 个零点．
（3）设 $\displaystyle f(x):[0,1] \rightarrow \mathbf{R}$ 是连续函数，若 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=0$ 对所有非负整数 $\displaystyle n$ 成立，则 $\displaystyle f(x)$ 在 ［0，1］1恒等于 0 ．
第24题证明题
24．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上非负连续，且 $\displaystyle f(1)=0$ ．证明：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ ，使 $\displaystyle \int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二次可微，且 $\displaystyle f(0) f(1)>0, f^{\prime \prime}(x)>0,(0<x<1), \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内恰有两个零点；
（2）在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle \int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=f^{\prime}(\xi)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(a) f(b)>0$ ，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上至少有两个不同的零点；
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 存在二阶导数，$\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上只有两个不同的零点．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，$\displaystyle \forall x \in[a, b], f(x)>0$ ．证明：至少 $\displaystyle \exists c \in(a, b)$ ，使 $\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x=\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x$.
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上非负连续，且 $\displaystyle f(1)=0$ ．证明：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ ，使 $\displaystyle \int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二次可微，且 $\displaystyle f(0) f(1)>0, f^{\prime \prime}(x)>0,(0<x<1), \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内恰有两个零点；
（2）在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle \int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=f^{\prime}(\xi)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(a) f(b)>0$ ，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上至少有两个不同的零点；
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 存在二阶导数，$\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上只有两个不同的零点．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，$\displaystyle \forall x \in[a, b], f(x)>0$ ．证明：至少 $\displaystyle \exists c \in(a, b)$ ，使 $\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x=\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x$.
第24题求解题
24．求下列导数或极限．
（1）若 $\displaystyle F(t)=\iiint_{V} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle f$ 是可微函数，积分区域 $\displaystyle V$ 由闭曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=t^{2}$ 所围成。（1）求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ；（2）若 $\displaystyle f(0)=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} t^{-5} F(t)$ ．
（2）求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^{4}} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<t^{2}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。其中 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，$\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(r)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续可导，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，积分区域 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant r^{2}$ ．试求：
$$
\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{r^{3}} \iiint_{V} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}, \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \sin \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z . }
$$
（4）设 $\displaystyle F(t)=\iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为空间区域 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant z^{2} \leqslant t^{2}, f(t)$ 为连续函数，求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ．
（5）设 $\displaystyle f(t)$ 为连续函数，$\displaystyle \Omega$ 为空间区域 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}, \\ 0 \leqslant z \leqslant 1,\end{array} F(t)=\iiint_{\Omega}\left(z^{2}+f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right) \mathrm{d} V\right.$ ，求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ．
（6）设 $\displaystyle f(t)$ 为连续函数，$\displaystyle f(0)=0, \Omega: 0 \leqslant z \leqslant h, x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}(t>0), F(t)=\iiint_{\Omega}\left(z^{2}+f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right) \mathrm{d} V$ ，求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{F(t)}{t^{2}}$ ．
（1）若 $\displaystyle F(t)=\iiint_{V} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle f$ 是可微函数，积分区域 $\displaystyle V$ 由闭曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=t^{2}$ 所围成。（1）求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ；（2）若 $\displaystyle f(0)=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} t^{-5} F(t)$ ．
（2）求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^{4}} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<t^{2}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。其中 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，$\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(r)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续可导，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，积分区域 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant r^{2}$ ．试求：
$$
\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{r^{3}} \iiint_{V} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}, \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \sin \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z . }
$$
（4）设 $\displaystyle F(t)=\iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为空间区域 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant z^{2} \leqslant t^{2}, f(t)$ 为连续函数，求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ．
（5）设 $\displaystyle f(t)$ 为连续函数，$\displaystyle \Omega$ 为空间区域 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}, \\ 0 \leqslant z \leqslant 1,\end{array} F(t)=\iiint_{\Omega}\left(z^{2}+f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right) \mathrm{d} V\right.$ ，求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ．
（6）设 $\displaystyle f(t)$ 为连续函数，$\displaystyle f(0)=0, \Omega: 0 \leqslant z \leqslant h, x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}(t>0), F(t)=\iiint_{\Omega}\left(z^{2}+f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right) \mathrm{d} V$ ，求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{F(t)}{t^{2}}$ ．
第25题证明题
25．证明下列各题．
（1）设连续函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(1)=1$ ，记 $\displaystyle F(t)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，证明：$\displaystyle F^{\prime}(1)=4 \pi$ ．
（2）设 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0, \infty)$ 上有连续导数，并且 $\displaystyle \varphi(0)=1$ ，令 $\displaystyle f(r)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<r^{2}} \varphi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ， $\displaystyle (r \geqslant 0)$ ，证明 $\displaystyle f(r)$ 在 $\displaystyle r=0$ 处三次可微，并求 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(0)$ 的右导数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 连续且恒大于 $\displaystyle 0, F(t)=\frac{\iiint_{\Omega(t)} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V}{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}$ ，其中 $\displaystyle \Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ ， $\displaystyle D(t)=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ ．证明：（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V=4 \pi \int_{0}^{t} f\left(r^{2}\right) r^{2} \mathrm{~d} r$ ；（2）$\displaystyle F(t)$ 是区间 $\displaystyle (0,+\infty)$上的单调函数．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的正值连续函数，$\displaystyle \varphi(t)=\frac{\iint_{x^{2}+y^{2}=t^{2}} f(z) \mathrm{d} S}{\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}$ ．证明：$\displaystyle \varphi(t)$ 是区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上严格单调增加的连续函数．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 是连续正值函数，$\displaystyle F(t)=\frac{\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}$ ．证明：$\displaystyle F(t)(t>0)$ 是严格单调减函数．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, \infty)$ 上连续且恒大于零，$\displaystyle F(t)=\frac{\iiint_{\Omega(t)} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V}{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}$ ， $\displaystyle G(t)=\frac{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}{\int_{-t}^{t} f\left(x^{2}\right) \mathrm{d} x}$ ，其中 $\displaystyle \Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}\right\}, D(t)=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ ．讨论 $\displaystyle F(t)$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内的单调性，并证明当 $\displaystyle t>0$ 时，$\displaystyle F(t)>\frac{2}{\pi} G(t)$ ．
（1）设连续函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(1)=1$ ，记 $\displaystyle F(t)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，证明：$\displaystyle F^{\prime}(1)=4 \pi$ ．
（2）设 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0, \infty)$ 上有连续导数，并且 $\displaystyle \varphi(0)=1$ ，令 $\displaystyle f(r)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<r^{2}} \varphi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ， $\displaystyle (r \geqslant 0)$ ，证明 $\displaystyle f(r)$ 在 $\displaystyle r=0$ 处三次可微，并求 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(0)$ 的右导数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 连续且恒大于 $\displaystyle 0, F(t)=\frac{\iiint_{\Omega(t)} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V}{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}$ ，其中 $\displaystyle \Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ ， $\displaystyle D(t)=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ ．证明：（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V=4 \pi \int_{0}^{t} f\left(r^{2}\right) r^{2} \mathrm{~d} r$ ；（2）$\displaystyle F(t)$ 是区间 $\displaystyle (0,+\infty)$上的单调函数．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的正值连续函数，$\displaystyle \varphi(t)=\frac{\iint_{x^{2}+y^{2}=t^{2}} f(z) \mathrm{d} S}{\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}$ ．证明：$\displaystyle \varphi(t)$ 是区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上严格单调增加的连续函数．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 是连续正值函数，$\displaystyle F(t)=\frac{\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}$ ．证明：$\displaystyle F(t)(t>0)$ 是严格单调减函数．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, \infty)$ 上连续且恒大于零，$\displaystyle F(t)=\frac{\iiint_{\Omega(t)} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V}{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}$ ， $\displaystyle G(t)=\frac{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}{\int_{-t}^{t} f\left(x^{2}\right) \mathrm{d} x}$ ，其中 $\displaystyle \Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}\right\}, D(t)=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ ．讨论 $\displaystyle F(t)$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内的单调性，并证明当 $\displaystyle t>0$ 时，$\displaystyle F(t)>\frac{2}{\pi} G(t)$ ．
第27题讨论/判定题
27．求解下列各题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 连续，$\displaystyle \varphi(x)=\int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=A$（常数），求 $\displaystyle \varphi^{\prime}(x)$ ，并讨论 $\displaystyle \varphi^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的连续性．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为实轴上的连续函数，在原点处可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=5$ 。求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t$ ．
（3）设 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可导，$\displaystyle a \varphi(x)=\int_{0}^{1} \varphi(x t) \mathrm{d} t$ ，（ $\displaystyle a$ 为非零常数）．求 $\displaystyle \varphi(x)$ 的表达式．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-\tan x}{x}=1$ ，又 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t$ ．求 $\displaystyle F^{\prime}(x)$ ，并讨论 $\displaystyle F^{\prime}(x)$ 的连续性．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-\sin x}{x}=1$ ，又 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t$ ．求 $\displaystyle F^{\prime}(x)$ ，并证明 $\displaystyle F^{\prime}(x)$在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续性．
（6）设 $\displaystyle g(x)$ 连续，$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{\sin x} g\left(x^{2} t\right) \mathrm{d} t$ ．求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，并讨论 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的连续性．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 连续，$\displaystyle \varphi(x)=\int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=A$（常数），求 $\displaystyle \varphi^{\prime}(x)$ ，并讨论 $\displaystyle \varphi^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的连续性．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为实轴上的连续函数，在原点处可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=5$ 。求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t$ ．
（3）设 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可导，$\displaystyle a \varphi(x)=\int_{0}^{1} \varphi(x t) \mathrm{d} t$ ，（ $\displaystyle a$ 为非零常数）．求 $\displaystyle \varphi(x)$ 的表达式．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-\tan x}{x}=1$ ，又 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t$ ．求 $\displaystyle F^{\prime}(x)$ ，并讨论 $\displaystyle F^{\prime}(x)$ 的连续性．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-\sin x}{x}=1$ ，又 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t$ ．求 $\displaystyle F^{\prime}(x)$ ，并证明 $\displaystyle F^{\prime}(x)$在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续性．
（6）设 $\displaystyle g(x)$ 连续，$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{\sin x} g\left(x^{2} t\right) \mathrm{d} t$ ．求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，并讨论 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的连续性．
第28题未分类
28．设 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有连续导函数，$\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}\right\}, F(t)=\iint_{D} f\left(x^{2}+y^{2}+t^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ， $\displaystyle t \in(-\infty,+\infty)$ ．（1）证明：$\displaystyle F(t)$ 可导，并求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ；（2）若 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调递增，则 $\displaystyle F(t)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调递增．
第29题求解题
29．设函数 $\displaystyle f(x)$ 连续，求解下列各题．
（1）若 $\displaystyle f(0)=1, F(t)=\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,(t \geqslant 0)$ ，求 $\displaystyle F^{\prime \prime}(0)$ 。南京财大 2007，西安电子科大 2004）
（2）若 $\displaystyle f(1)=1, F(t)=\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,(t \geqslant 0)$ ，求 $\displaystyle F^{\prime}(1)$ ．
（3）若 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=1, F(t)=\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,(t \geqslant 0)$ ，求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{F(t)}{t^{4}}$ ．
（4）若 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0$ ．记 $\displaystyle D_{t}$ 为圆心在原点，半径为 $\displaystyle t$ 的圆．若 $\displaystyle t \rightarrow 0^{+}$时， $\displaystyle \iint_{D_{t}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} \sigma \sim a t^{k}$ ，试求常数 $\displaystyle a$ 和 $\displaystyle k$ 的值．
（1）若 $\displaystyle f(0)=1, F(t)=\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,(t \geqslant 0)$ ，求 $\displaystyle F^{\prime \prime}(0)$ 。南京财大 2007，西安电子科大 2004）
（2）若 $\displaystyle f(1)=1, F(t)=\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,(t \geqslant 0)$ ，求 $\displaystyle F^{\prime}(1)$ ．
（3）若 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=1, F(t)=\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,(t \geqslant 0)$ ，求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{F(t)}{t^{4}}$ ．
（4）若 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0$ ．记 $\displaystyle D_{t}$ 为圆心在原点，半径为 $\displaystyle t$ 的圆．若 $\displaystyle t \rightarrow 0^{+}$时， $\displaystyle \iint_{D_{t}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} \sigma \sim a t^{k}$ ，试求常数 $\displaystyle a$ 和 $\displaystyle k$ 的值．
第31题求解题
31．求解下列各题．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x} \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t, x \neq 0, \text {（1）确定常数 } A \text { 使 } f(x) \text { 在 } \mathbf{R} \text { 任意可导，并求它的幂级数展开 } \\ A, x=0,\end{array}\right.$式；（2）求 $\displaystyle f^{(6)}(0), f^{(7)}(0)$ ．
（2）设 $\displaystyle F(x)=\frac{1}{x} \int_{0}^{x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle f^{(8)}(0), f^{(10)}(0)$ 。武汉大学 2012）
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x} \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t, x \neq 0, \text {（1）确定常数 } A \text { 使 } f(x) \text { 在 } \mathbf{R} \text { 任意可导，并求它的幂级数展开 } \\ A, x=0,\end{array}\right.$式；（2）求 $\displaystyle f^{(6)}(0), f^{(7)}(0)$ ．
（2）设 $\displaystyle F(x)=\frac{1}{x} \int_{0}^{x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle f^{(8)}(0), f^{(10)}(0)$ 。武汉大学 2012）
第31题计算题
31．求下列极限．
（1）函数 $\displaystyle f(x, y)$ 是一个 $\displaystyle C^{2}$ 函数，$\displaystyle z_{0}=\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，计算 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0^{-}} h^{-2}\left(\frac{1}{\pi h^{2}} \iint_{B\left(z_{0}, h\right)} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 连续，$\displaystyle F(t)=\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，求 $\displaystyle F^{\prime}(t), ~ \lim _{t \rightarrow 0} \frac{F^{\prime}(t)}{t}$ 。
（3）函数 $\displaystyle f(x)$ 一阶连续可微，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 t x\right\}$ ，试求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^{4}} \iint_{D} y f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（1）函数 $\displaystyle f(x, y)$ 是一个 $\displaystyle C^{2}$ 函数，$\displaystyle z_{0}=\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，计算 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0^{-}} h^{-2}\left(\frac{1}{\pi h^{2}} \iint_{B\left(z_{0}, h\right)} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 连续，$\displaystyle F(t)=\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，求 $\displaystyle F^{\prime}(t), ~ \lim _{t \rightarrow 0} \frac{F^{\prime}(t)}{t}$ 。
（3）函数 $\displaystyle f(x)$ 一阶连续可微，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 t x\right\}$ ，试求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^{4}} \iint_{D} y f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
第32题计算题
32．求下列积分．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\ln x-\int_{1}^{\mathrm{e}} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)=3 x^{2}+2 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} t f(2 x-t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \arctan x^{2}, f(1)=1$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 连续， $\displaystyle \int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{d} t=1-\cos x$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（5）设 $\displaystyle F(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的一个原函数，$\displaystyle F(0)=1, F(x) f(x)=\cos 2 x$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}|f(x)| \mathrm{d} x$ ．
（6）设 $\displaystyle f^{\prime}(\tan x)=\sin x$ ，且 $\displaystyle f(0)=1$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（8）设 $\displaystyle F(x)>0$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的一个原函数，$\displaystyle F(0)=1, F(x) f(x)=\sin ^{2} 2 x$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（9）设 $\displaystyle f(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(2)=0, \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=1$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} f^{\prime \prime}(2 x) \mathrm{d} x$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)=\ln x-\int_{1}^{\mathrm{e}} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)=3 x^{2}+2 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} t f(2 x-t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \arctan x^{2}, f(1)=1$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 连续， $\displaystyle \int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{d} t=1-\cos x$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（5）设 $\displaystyle F(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的一个原函数，$\displaystyle F(0)=1, F(x) f(x)=\cos 2 x$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}|f(x)| \mathrm{d} x$ ．
（6）设 $\displaystyle f^{\prime}(\tan x)=\sin x$ ，且 $\displaystyle f(0)=1$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（8）设 $\displaystyle F(x)>0$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的一个原函数，$\displaystyle F(0)=1, F(x) f(x)=\sin ^{2} 2 x$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（9）设 $\displaystyle f(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(2)=0, \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=1$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} f^{\prime \prime}(2 x) \mathrm{d} x$ 。
第33题求解题
33．求函数表达式．
（1）已知 $\displaystyle f(x)=x \mathrm{e}^{-x}+2 \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，且 $\displaystyle f(x)=1+x \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（3）已知 $\displaystyle f(x)=x^{2}-x \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t+2 \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的值．
（4）设 $\displaystyle f(x)=3 x-\sqrt{1-x^{2}} \int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 。
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，$\displaystyle f(1)=3$ ．若 $\displaystyle f(x)$ 的反函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{2}^{f(1+\ln x)} \varphi(t) \mathrm{d} t=x \ln x$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微，且满足 $\displaystyle \int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t=\frac{x}{3} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t, x>0$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（1）已知 $\displaystyle f(x)=x \mathrm{e}^{-x}+2 \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，且 $\displaystyle f(x)=1+x \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（3）已知 $\displaystyle f(x)=x^{2}-x \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t+2 \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的值．
（4）设 $\displaystyle f(x)=3 x-\sqrt{1-x^{2}} \int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 。
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，$\displaystyle f(1)=3$ ．若 $\displaystyle f(x)$ 的反函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{2}^{f(1+\ln x)} \varphi(t) \mathrm{d} t=x \ln x$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微，且满足 $\displaystyle \int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t=\frac{x}{3} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t, x>0$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
第33题计算题
33．求下列极限．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 有连续导数，$\displaystyle f(a)=0$ ，试求极限： $\displaystyle \lim _{b \rightarrow a^{+}} \frac{1}{(a-b)^{3}} \iint_{D} x f(y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle y=a, y=x, x=b(b>a)$ 所围成的区域。
（2）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{~d} u \int_{0}^{u^{2}} \arctan (1+t) \mathrm{d} t}{x(1-\cos x)}$ ．
（3）设 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1], f(x, y)$ 是定义在 $\displaystyle D$ 上的二元函数，$\displaystyle f(0,0)=0$ ，且 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{1-\mathrm{e}^{-\frac{x^{4}}{4}}} \int_{0}^{x^{2}} \mathrm{~d} t \int_{x}^{\sqrt{t}} f(t, u) \mathrm{d} u$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=12$ 的某邻域内可导，且 $\displaystyle f(12)=0, \lim _{x \rightarrow 12} f^{\prime}(x)=1001$ ，试求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 12} \frac{\int_{12}^{x} u \int_{u}^{12} f(t) \mathrm{d} t \mathrm{~d} u}{(12-x)^{3}}$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 为可导函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow 1} f^{\prime}(x)=2004$ ，求极限：
$$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{(1-x)^{3}} 6 \int_{1}^{x} y\left(\int_{y}^{1} f(u) \mathrm{d} u\right) \mathrm{d} y . \text { }
$$
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 为连续函数，求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{5}} \int_{0}^{x} \mathrm{~d} u \int_{u^{2}}^{0} t f(t) \mathrm{d} t$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 有连续导数，$\displaystyle f(a)=0$ ，试求极限： $\displaystyle \lim _{b \rightarrow a^{+}} \frac{1}{(a-b)^{3}} \iint_{D} x f(y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 是由直线 $\displaystyle y=a, y=x, x=b(b>a)$ 所围成的区域。
（2）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{~d} u \int_{0}^{u^{2}} \arctan (1+t) \mathrm{d} t}{x(1-\cos x)}$ ．
（3）设 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1], f(x, y)$ 是定义在 $\displaystyle D$ 上的二元函数，$\displaystyle f(0,0)=0$ ，且 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{1-\mathrm{e}^{-\frac{x^{4}}{4}}} \int_{0}^{x^{2}} \mathrm{~d} t \int_{x}^{\sqrt{t}} f(t, u) \mathrm{d} u$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=12$ 的某邻域内可导，且 $\displaystyle f(12)=0, \lim _{x \rightarrow 12} f^{\prime}(x)=1001$ ，试求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 12} \frac{\int_{12}^{x} u \int_{u}^{12} f(t) \mathrm{d} t \mathrm{~d} u}{(12-x)^{3}}$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 为可导函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow 1} f^{\prime}(x)=2004$ ，求极限：
$$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{(1-x)^{3}} 6 \int_{1}^{x} y\left(\int_{y}^{1} f(u) \mathrm{d} u\right) \mathrm{d} y . \text { }
$$
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 为连续函数，求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{5}} \int_{0}^{x} \mathrm{~d} u \int_{u^{2}}^{0} t f(t) \mathrm{d} t$ ．
第37题未分类
37．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则 $\displaystyle \Phi(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．
第38题计算题
38．计算下列积分．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\sin t}{\pi-t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$
（3）求 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-\frac{y^{2}}{2}} \mathrm{~d} y$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=S$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} f(x) f(y) \mathrm{d} y$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\sin t}{\pi-t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$
（3）求 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-\frac{y^{2}}{2}} \mathrm{~d} y$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=S$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} f(x) f(y) \mathrm{d} y$ 。
第39题未分类
39．函数 $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{x^{2}} \frac{1}{t} \ln \left(\frac{t-1}{32}\right) \mathrm{d} t, x \in(1,+\infty)$ 在何处取最小值？
第42题证明题
42．证明下列各题．
（1）设函数 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，证明：对任一实数 $\displaystyle x$ ，有
$$
\int_{0}^{x}\left(\int_{u}^{2 u} f(t) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} u=\frac{1}{2} \int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t+\int_{x}^{2 x} f(t)\left(x-\frac{t}{2}\right) \mathrm{d} t . }
$$
（2）试证明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{x}=1$ ；（2）设 $\displaystyle u=x y, v=y$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1}(x y)^{x y} \mathrm{~d} y=-\int_{0}^{1} u^{u} \ln u \mathrm{~d} u$ 。进一步有 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1}(x y)^{x y} \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} u^{u} \mathrm{~d} u$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，证明：对任一实数 $\displaystyle x$ ，有
$$
\int_{0}^{x}\left(\int_{u}^{2 u} f(t) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} u=\frac{1}{2} \int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t+\int_{x}^{2 x} f(t)\left(x-\frac{t}{2}\right) \mathrm{d} t . }
$$
（2）试证明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{x}=1$ ；（2）设 $\displaystyle u=x y, v=y$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1}(x y)^{x y} \mathrm{~d} y=-\int_{0}^{1} u^{u} \ln u \mathrm{~d} u$ 。进一步有 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1}(x y)^{x y} \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} u^{u} \mathrm{~d} u$ ．