可导与连续的关系
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第4题讨论/判定题
4．设函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 处连续，分别讨论下列函数在点 $\displaystyle x=a$ 处是否可导．
（1）$\displaystyle f(x)=(x-a) \varphi(x)$ ；（2）$\displaystyle f(x)=|x-a| \varphi(x)$ ；（3）$\displaystyle f(x)=(x-a)|\varphi(x)|$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=(x-a) \varphi(x)$ ；（2）$\displaystyle f(x)=|x-a| \varphi(x)$ ；（3）$\displaystyle f(x)=(x-a)|\varphi(x)|$ ．
第5题未分类
5．确定 $\displaystyle a, b$ 的值，使下列函数 $\displaystyle f(x)$ 在指定点可导．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, x \leqslant x_{0}, \\ a x+b, x>x_{0},\end{array}\right.$ 试确定常数 $\displaystyle a, b$ 的值，使 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=x_{0}$ 可导．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+1, x<0, \\ a x+b, x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 试确定 $\displaystyle a, b$ 的值，使 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 可导．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+b, x<2, \\ a x+1, x \geqslant 2,\end{array}\right.$ 试确定 $\displaystyle a, b$ 的值，使 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=2$ 可导．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, x \leqslant x_{0}, \\ a x+b, x>x_{0},\end{array}\right.$ 试确定常数 $\displaystyle a, b$ 的值，使 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=x_{0}$ 可导．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+1, x<0, \\ a x+b, x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 试确定 $\displaystyle a, b$ 的值，使 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 可导．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+b, x<2, \\ a x+1, x \geqslant 2,\end{array}\right.$ 试确定 $\displaystyle a, b$ 的值，使 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=2$ 可导．
第6题求解题
6．求解下列问题．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x}(\sin x+\cos x), x \leqslant 0, \\ a x^{2}+b x+c, x>0,\end{array}\right.$ 试确定常数 $\displaystyle a, b, c$ 的值使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内处处存在．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x}, x<0, \\ a x^{2}+b x+c, x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 试确定常数 $\displaystyle a, b, c$ 的值使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(0)$ 存在．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x}(\sin x+\cos x), x \leqslant 0, \\ a x^{2}+b x+c, x>0,\end{array}\right.$ 试确定常数 $\displaystyle a, b, c$ 的值使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内处处存在．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x}, x<0, \\ a x^{2}+b x+c, x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 试确定常数 $\displaystyle a, b, c$ 的值使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(0)$ 存在．
第10题证明题
10．已知 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x=0, \\ \alpha x+x^{2} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0,\end{array}(\alpha>1)\right.$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ，且问 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域内是否单调？证明你的结论．
第15题讨论/判定题
15．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{\alpha} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 试讨论 $\displaystyle \alpha$ 的取值范围，使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续、可微及 $\displaystyle f^{\prime}(x)$的连续性．
第16题讨论/判定题
16．设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{p} \arctan \frac{1}{x^{2}}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的连续性、可微性及导函数的连续性，并在可导时求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ 。
第40题未分类
40．判断题．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right)=A, n$ 为自然数，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)=A$ 。
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right)=A, n$ 为自然数，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)=A$ 。