可微性与全微分

4．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 为 $\displaystyle n$ 次齐次方程，即 $\displaystyle \forall t>0, f(t x, t y)=t^{n} f(x, y)$ ，且 $\displaystyle f$ 可微．证明在 $\displaystyle (x, y) \neq(0,0)$处有 $\displaystyle x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}=n f(x, y)$ 。四川大学 2002，天津大学 2002，北京交大 2000）
（2）若 $\displaystyle f\left(t x_{1}, t x_{2}, \cdots, t x_{n}\right)=t^{k} f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), \forall t>0$ ，称 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 为 $\displaystyle k$ 齐次的。证明：可微函数 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 为 $\displaystyle k$ 齐次的 ⇔ $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}=k f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 上的 $\displaystyle n$ 次齐次函数：对 $\displaystyle \forall t>0, f(t x, t y, t z)=t^{n} f(x, y, z)$ ，且具有一阶连续偏导数，$\displaystyle f_{z}^{\prime}(x, y, z) \neq 0$ ．若方程 $\displaystyle f(x, y, z)=0$ 确定了可微的隐函数 $\displaystyle z=g(x, y)$ ，证明：$\displaystyle z=g(x, y)$ 必为一次齐次函数．

11．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},(x, y) \neq(0,0) \text { ，证明：（1）} f(x, y) \text { 在点 }(0,0) \text { 连续；（2）} f_{x}(x, y) \text { ，} \\ 0,(x, y)=(0,0),\end{array}\right. f_{y}(x, y)$ 在全平面有界；（3）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 不可微．

12．求由下列方程确定的隐函数的导数或微分．
（1）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 为由方程 $\displaystyle z=f(x y z, x+y+z)$ 确定的可微隐函数，求 $\displaystyle z_{x}, z_{y}, \mathrm{~d} z$ 。
（2）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 为由方程 $\displaystyle z=f(x, x y)+\varphi(y+z)$ 确定的可微隐函数，求 $\displaystyle \mathrm{d} z$ ．

14．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 证明：（1）$\displaystyle f(x, y)$ 对每个变量 $\displaystyle x, y$ 连续，但是关于二元函数不连续；（2）$\displaystyle f(x, y)$ 在原点处任何方向导数都存在；（3）在原点不可微．

15．求由下列方程组确定的隐函数组的导数或微分．
（1）设方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y=u+v \\ x \sin v=y \sin u\end{array}\right.$ 确定了可微函数 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=u(x, y), \\ v=v(x, y) .\end{array}\right.$ 试求 $\displaystyle u_{x}, u_{y}, \mathrm{~d} v$ ．
（2）设方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y+u+v=0 \\ x^{2}+y^{2}+u \cos v=0\end{array}\right.$ 确定了可微函数 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=u(x, y), \\ v=v(x, y) .\end{array}\right.$ 试求 $\displaystyle u_{x}, u_{y}$ ．
（3）求由方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y+z=0 \\ x^{3}+y^{3}-z^{3}=10\end{array}\right.$ 确定的隐函数 $\displaystyle y=y(x), z=z(x)$ 在点 $\displaystyle P(1,1,-2)$ 处的一阶导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} x}$ ．

16．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1-\mathrm{e}^{x\left(x^{2}+y^{2}\right)}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0,(1) \text { 证明 } f(x, y) \text { 在点 }(0,0) \text { 可微．（2）求$f(x, y)$\displaystyle 在点$(0,0)$\displaystyle 处的 4 阶泰勒公式，并写出$f_{x y}(0,0), \frac{\partial^{4} f}{\partial x^{4}}(0,0)$ ．

17．求由下列方程组确定的隐函数组的导数或微分．
（1）设 $\displaystyle y(x), z(x)$ 是由方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}f(x, y, z)=0 \\ z=g(x, y)\end{array}\right.$ 所确定的隐函数，求 $\displaystyle y^{\prime}(x), z^{\prime}(x)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle x=x(u, v)$ 满足方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}F(x, f(y, u))=0, \\ G(y, g(x, v))=0 .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle x_{u}, x_{v}$ 。其中 $\displaystyle F, G, f, g$ 均为连续可微函数，且 $\displaystyle F_{1} G_{1} \neq F_{2} G_{2}, F_{1}$ 为 $\displaystyle F$ 对其第一个变量的偏导数，$\displaystyle F_{2}, G_{1}, G_{2}$ 仿此．
（3）设 $\displaystyle u=u(x, y)$ 是由方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=f(x, y, z, t) \\ g(y, z, t)=0 \\ h(z, t)=0\end{array}\right.$ 确定的隐函数，求 $\displaystyle \mathrm{d} u$ 或 $\displaystyle u_{x}, u_{y}$ ．

19．讨论下列函数的可微性．
（1）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x^{\frac{4}{3}} \sin \frac{y}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0 .\end{array}\right.$ 确定 $\displaystyle f(x, y)$ 在平面中所有可微的点及不可微的点，并说明理由．
（2）讨论 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(1-\cos \frac{x^{2}}{y}\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}}, y \neq 0 \\ 0, y=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的可微性．

21．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性、偏导数在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性以及函数在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right) \cos \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（4）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}(x+y)^{2} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$

22．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}(x+y)^{p} \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 证 明 ：（1）$\displaystyle p>0$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 在 点 $\displaystyle (0,0)$ 连续；（2）$\displaystyle p>1$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微；（3）$\displaystyle p>2$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 的偏导数在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续．

24．设函数 $\displaystyle f(x ; y, z)=\left\{\begin{array}{l}\left(|x|^{\alpha}+|y|^{\beta}+|z|^{\gamma}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}+z^{2}=0,\end{array}\right.$ 试证明：当 $\displaystyle \alpha>1$, $\displaystyle \beta>1, \gamma>1, f(x, y, z)$ 在点 $\displaystyle (0,0,0)$ 可微．

26．证明下列问题．
（1）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}g(x, y) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 证明：
（1）若 $\displaystyle g(0,0)=0, g$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微，且 $\displaystyle \mathrm{d} g(0,0)=0$ ，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 可微，且 $\displaystyle \mathrm{d} f(0,0)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle g$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可导，且 $\displaystyle f$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微，则 $\displaystyle \mathrm{d} f(0,0)=0$ ．
（2）设二元函数 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=A$ ．若 $\displaystyle g(0,0)=0, g(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 可微，证明 $\displaystyle f(x, y) g(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．

29．设 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续，证明函数 $\displaystyle f(x, y)=(a x+b y) \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微，且 $\displaystyle d f(0,0)=\varphi(0,0)(a \Delta x+b \Delta y)$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 为常数．

31．已知 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微，且 $\displaystyle f\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, g(x, y)$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续。证明 $\displaystyle f(x, y) g(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, \dot{y}_{0}\right)$ 处可微，且 $\displaystyle d(f g)\left(x_{0}, y_{0}\right)=g\left(x_{0}, y_{0}\right) d f\left(x_{0}, y_{0}\right)$

32．证明下列各题．
（1）设可微函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在含有原点为内点的凸区域 $\displaystyle D$ 上满足 $\displaystyle x f_{x}^{\prime}(x, y)+y f_{y}^{\prime}(x, y)=0$ ．试证 $\displaystyle f(x, y)$ 为常数，$\displaystyle (x, y) \in D$ ．
（2）设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 中的凸区域，$\displaystyle f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \Omega$ 中可微，满足 $\displaystyle x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}=0$ ．证明 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle \Omega$上为常数．
（3）设 $\displaystyle D$ 是由光滑曲线 $\displaystyle L$ 围成的区域，函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \bar{D}$ 上有二阶连续导数，且 $\displaystyle a \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+b \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0, a, b>0$ ，若 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle L$ 上等于常数 $\displaystyle C$ ，证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上恒等于 $\displaystyle C$ 。
（4）设 $\displaystyle y=f(x, z)$ ，而 $\displaystyle z$ 为方程 $\displaystyle F(x, y, z)=0$ 所确定的 $\displaystyle x, y$ 函数，其中 $\displaystyle f, F$ 都有连续的一阶偏导数，证明：如果 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial z}-\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial F}{\partial x}=0, \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial z} \neq 0$ ，则 $\displaystyle y(x) \equiv$ 常数．

36．设 $\displaystyle x>-1$ ，可微 函 数 $\displaystyle f(x)$ 满 足 $\displaystyle f^{\prime}(x)+f(x)-\frac{1}{1+x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=0, f(0)=1$ ．求 证 $\displaystyle \mathrm{e}^{-x} \leqslant f(x)<1,(x \geqslant 0)$ ．