可微性条件（可微的必要条件、充分条件）
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第6题讨论/判定题
6．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性、偏导数的存在性以及可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
第7题证明题
7．证明下列结论．
（1）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上有定义，对 $\displaystyle y$ 连续，对 $\displaystyle x$ 关于 $\displaystyle y$ 一致连续，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 内连续．
（2）若二元函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上的两个偏导数 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(x, y), f_{y}^{\prime}(x, y)$ 有界，则 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$内连续．
（3）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 上有定义，对自变量 $\displaystyle x$ 连续，对 $\displaystyle y$ 有有界偏导数，且 $\displaystyle \left|f_{y}(x, y)\right| \leqslant 1$ ，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 内连续．
（4）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle G=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 上有定义，若 $\displaystyle f(x, 0)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，且 $\displaystyle f_{y}(x, y)$ 在 $\displaystyle G$上有界，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续．
（5）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D \subset \mathbf{R}^{2}$ 上有定义，对自变量 $\displaystyle x$ 连续，对 $\displaystyle y$ 满足 lipschitz 条件，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 内连续．
（1）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上有定义，对 $\displaystyle y$ 连续，对 $\displaystyle x$ 关于 $\displaystyle y$ 一致连续，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 内连续．
（2）若二元函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上的两个偏导数 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(x, y), f_{y}^{\prime}(x, y)$ 有界，则 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$内连续．
（3）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 上有定义，对自变量 $\displaystyle x$ 连续，对 $\displaystyle y$ 有有界偏导数，且 $\displaystyle \left|f_{y}(x, y)\right| \leqslant 1$ ，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 内连续．
（4）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle G=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 上有定义，若 $\displaystyle f(x, 0)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，且 $\displaystyle f_{y}(x, y)$ 在 $\displaystyle G$上有界，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续．
（5）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D \subset \mathbf{R}^{2}$ 上有定义，对自变量 $\displaystyle x$ 连续，对 $\displaystyle y$ 满足 lipschitz 条件，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 内连续．
第7题讨论/判定题
7．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性、偏导数的存在性以及可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}(\right.$ 山东科技 2010／2011，上海理工 2005，温州大学 2012）
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}(\right.$ 山东科技 2010／2011，上海理工 2005，温州大学 2012）
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
第8题未分类
8．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{\alpha} y}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \alpha>0, \text { 试问 } \alpha \text { 为何值时函数 } f(x, y) \text { 在点 }(0,0) \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$处可微？
第10题讨论/判定题
10．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
第12题证明题
12．证明下列 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，但不可微．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y^{2}}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x-y+\frac{x^{2} y^{2}}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y^{2}}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x-y+\frac{x^{2} y^{2}}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
第13题讨论/判定题
13．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 的连续性及可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\tan (x y)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\mu}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0),\end{array} \quad \mu>\frac{1}{2}\right.$ ．
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{\sqrt{x^{4}+y^{2}}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\tan (x y)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\mu}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0),\end{array} \quad \mu>\frac{1}{2}\right.$ ．
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{\sqrt{x^{4}+y^{2}}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
第15题未分类
15．构造符合条件的函数。
（1）构造一个二元函数，使它在原点处可微但偏导数不连续，并加以说明．
（2）构造一个二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ ，使得它在原点 $\displaystyle (0,0)$ 的两个偏导数都存在，但在原点不可微．
（3）试作出定义在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 中的一个函数 $\displaystyle f(x, y)$ ，使得它在原点处任何方向的导数都存在，但在原点不可微．
（4）试作出定义在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 中的一个函数 $\displaystyle f(x, y)$ ，使得它在原点处同时满足以下三个条件： （1）$\displaystyle f(x, y)$ 的两个偏导数都存在；（2）任何方向的极限都存在；（3）在原点不连续．
（5）讨论偏导数存在能否推出可微？若能，请给出证明，若不能，请举出反例并加以说明．
（1）构造一个二元函数，使它在原点处可微但偏导数不连续，并加以说明．
（2）构造一个二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ ，使得它在原点 $\displaystyle (0,0)$ 的两个偏导数都存在，但在原点不可微．
（3）试作出定义在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 中的一个函数 $\displaystyle f(x, y)$ ，使得它在原点处任何方向的导数都存在，但在原点不可微．
（4）试作出定义在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 中的一个函数 $\displaystyle f(x, y)$ ，使得它在原点处同时满足以下三个条件： （1）$\displaystyle f(x, y)$ 的两个偏导数都存在；（2）任何方向的极限都存在；（3）在原点不连续．
（5）讨论偏导数存在能否推出可微？若能，请给出证明，若不能，请举出反例并加以说明．
第17题讨论/判定题
17．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性、偏导数的存在性以及可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right), x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 1, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（4）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{|x y|} \frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right), x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 1, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（4）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{|x y|} \frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
第18题证明题
18．证明下列 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，但不可微．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{(x+y) \sin (x y)}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{y^{3}}{x^{2}+y^{2}} \sin \frac{y}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0 .\end{array}(\right.$ 华东师大 2009）
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}y \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{(x+y) \sin (x y)}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{y^{3}}{x^{2}+y^{2}} \sin \frac{y}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0 .\end{array}(\right.$ 华东师大 2009）
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}y \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
第20题讨论/判定题
20．讨论下列函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性、偏导数的存在性以及可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}(x y)^{p} \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}(\right.$ 湖南师大 2009）
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \cos \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}(x y)^{p} \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}(\right.$ 湖南师大 2009）
（3）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \cos \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$
第23题讨论/判定题
23．讨论下列问题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 试分别确定 $\displaystyle p$ 的值，使以下结论成立：
（1）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续；（2）$\displaystyle f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ 存在；（3）$\displaystyle f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续．
（2）设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 试分别确定 $\displaystyle p$ 的值，使以下结论成立： （1）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续；（2）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微；（3）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的方向导数存在．（折江大学 2014，沈阳工大 2014（ $\displaystyle p=2^{-1}$ ），长安大学 2007，江苏大学 2004）
（3）确定 $\displaystyle \beta$ 的值，使函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\beta} \sin \frac{1}{x^{4}+y^{4}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．
（1）设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 试分别确定 $\displaystyle p$ 的值，使以下结论成立：
（1）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续；（2）$\displaystyle f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ 存在；（3）$\displaystyle f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续．
（2）设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 试分别确定 $\displaystyle p$ 的值，使以下结论成立： （1）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续；（2）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微；（3）$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的方向导数存在．（折江大学 2014，沈阳工大 2014（ $\displaystyle p=2^{-1}$ ），长安大学 2007，江苏大学 2004）
（3）确定 $\displaystyle \beta$ 的值，使函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\beta} \sin \frac{1}{x^{4}+y^{4}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．
第25题未分类
25．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\tan \frac{|x|^{\lambda}+|y|^{\delta}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 其中 $\displaystyle \lambda, \delta>0$ ，问对哪些 $\displaystyle \lambda, \delta, f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$可微？
分析：欲使 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微，必须偏导数 $\displaystyle f_{x}(0,0) f_{y}(0,0)$ 存在．
分析：欲使 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微，必须偏导数 $\displaystyle f_{x}(0,0) f_{y}(0,0)$ 存在．
第27题证明题
27．设 $\displaystyle f(x, y)=\varphi(|x y|)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(0)=0$ ，且 $\displaystyle \varphi(u)$ 在 $\displaystyle u=0$ 的某个邻域中满足 $\displaystyle |\varphi(u)| \leqslant|u|^{a}$ 。证明：
（1）当 $\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微；（2）当 $\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处不可微．
（1）当 $\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微；（2）当 $\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处不可微．
第28题证明题
28．研究或证明下列问题．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)=|x-y| \varphi(x, y)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内连续，证明：$\displaystyle \varphi(0,0)=0$ 是函
数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微的充要条件，并求出函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的全微分。
（2）设 $\displaystyle f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \varphi(x, y)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内连续，证明：函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微的充要条件是 $\displaystyle \varphi(0,0)=0$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x, y)=|x-y| \varphi(x, y)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内连续，证明：$\displaystyle \varphi(0,0)=0$ 是函
数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微的充要条件，并求出函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的全微分。
（2）设 $\displaystyle f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \varphi(x, y)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内连续，证明：函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微的充要条件是 $\displaystyle \varphi(0,0)=0$ 。
第30题证明题
30．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}-\{(0,0)\}$ 可微，在点 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\partial f}{\partial x}=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\partial f}{\partial y}=0$ ．求证：$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微．
（2）设 $\displaystyle f(P)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{n}-\{(O)\}$ 可微，在点 $\displaystyle (O)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{P \rightarrow o} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}=0$ ．求证：$\displaystyle f(P)$ 在点 $\displaystyle (O)$ 处可微．
（3）证明：若 $\displaystyle f_{y}(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处存在，且 $\displaystyle f_{x}(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微．
（4）设 $\displaystyle f_{x}, f_{y}, f_{y x}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内存在，且 $\displaystyle f_{y x}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续。证明：$\displaystyle f_{x y}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处存在，且 $\displaystyle f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{y x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 。，江苏大学 2009）
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}-\{(0,0)\}$ 可微，在点 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\partial f}{\partial x}=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\partial f}{\partial y}=0$ ．求证：$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微．
（2）设 $\displaystyle f(P)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{n}-\{(O)\}$ 可微，在点 $\displaystyle (O)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{P \rightarrow o} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}=0$ ．求证：$\displaystyle f(P)$ 在点 $\displaystyle (O)$ 处可微．
（3）证明：若 $\displaystyle f_{y}(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处存在，且 $\displaystyle f_{x}(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微．
（4）设 $\displaystyle f_{x}, f_{y}, f_{y x}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内存在，且 $\displaystyle f_{y x}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续。证明：$\displaystyle f_{x y}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处存在，且 $\displaystyle f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{y x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 。，江苏大学 2009）
第34题未分类
34．判断题．
（1）若 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $\displaystyle D$ 内对 $\displaystyle x$ 和 $\displaystyle y$ 都是连续的，则 $\displaystyle f(x, y)$ 对 $\displaystyle (x, y) \in D$ 为二元连续．
（1）若 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $\displaystyle D$ 内对 $\displaystyle x$ 和 $\displaystyle y$ 都是连续的，则 $\displaystyle f(x, y)$ 对 $\displaystyle (x, y) \in D$ 为二元连续．
第37题证明题
37．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 是实轴上的可微函数，对所有 $\displaystyle \forall x, y \in \mathbf{R}$ ，满足 $\displaystyle f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x) f(y)}$ ，并且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=1$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的表达式。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有定义，已知 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ 存在，且 $\displaystyle \forall x, y \in(0,+\infty)$ ，成立 $\displaystyle f(x y)=y f(x)+x f(y)$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内处处可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{f(x)}{x}+f^{\prime}(1)$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)+2 x y, \forall x, y \in \mathbf{R}$ ，并且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导，（1）试求函数 $\displaystyle f(x)$ 的表达式；（2）求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 连续，$\displaystyle f^{\prime}(0)$ 存在，并且满足：$\displaystyle f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-4 f(x) f(y)}, \forall x, y \in \mathbf{R}$ ．（1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上可微；（2）若 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 。
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 为定义在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的已知可导函数，而且对任意实数 $\displaystyle a, b$ 均满足 $\displaystyle f(a+b)=\mathrm{e}^{a} f(b)+\mathrm{e}^{b} f(a)$ ．又已知 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\mathrm{e}$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的表达式（不必求出 $\displaystyle f(x)$ 的表达式）．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 是实轴上的可微函数，对所有 $\displaystyle \forall x, y \in \mathbf{R}$ ，满足 $\displaystyle f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x) f(y)}$ ，并且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=1$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的表达式。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有定义，已知 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ 存在，且 $\displaystyle \forall x, y \in(0,+\infty)$ ，成立 $\displaystyle f(x y)=y f(x)+x f(y)$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内处处可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{f(x)}{x}+f^{\prime}(1)$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)+2 x y, \forall x, y \in \mathbf{R}$ ，并且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导，（1）试求函数 $\displaystyle f(x)$ 的表达式；（2）求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 连续，$\displaystyle f^{\prime}(0)$ 存在，并且满足：$\displaystyle f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-4 f(x) f(y)}, \forall x, y \in \mathbf{R}$ ．（1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上可微；（2）若 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 。
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 为定义在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的已知可导函数，而且对任意实数 $\displaystyle a, b$ 均满足 $\displaystyle f(a+b)=\mathrm{e}^{a} f(b)+\mathrm{e}^{b} f(a)$ ．又已知 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\mathrm{e}$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的表达式（不必求出 $\displaystyle f(x)$ 的表达式）．