可微性的几何意义（切平面）
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第33题求解题
33．求解下列各题．
（1）确定正数 $\displaystyle \lambda$ ，使曲面 $\displaystyle x y z=\lambda$ 与椭圆面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 在某点相切．
（2）已知曲面 $\displaystyle x y-z=0$ 及平面 $\displaystyle \pi: x+3 y+z=0$ ，问曲面上是否存在一点，使得曲面过此点的法线与平面 $\displaystyle \pi$ 垂直，若存在，求出此法线及此点的坐标，若不存在，说明理由．
（1）确定正数 $\displaystyle \lambda$ ，使曲面 $\displaystyle x y z=\lambda$ 与椭圆面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 在某点相切．
（2）已知曲面 $\displaystyle x y-z=0$ 及平面 $\displaystyle \pi: x+3 y+z=0$ ，问曲面上是否存在一点，使得曲面过此点的法线与平面 $\displaystyle \pi$ 垂直，若存在，求出此法线及此点的坐标，若不存在，说明理由．
第34题求解题
34．假设 $\displaystyle f$ 是一可微函数，求曲面 $\displaystyle z=x f\left(\frac{y}{x}\right)$ 上任一点 $\displaystyle M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), x_{0} \neq 0$ 处的切平面方程，并指出该切平面是否过坐标原点．
第35题证明题
35．证明下列结论．
（1）已知平面 $\displaystyle l x+m y+n z=p$ 与椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 相切，证明 $\displaystyle a^{2} l^{2}+b^{2} m^{2}+c^{2} n^{2}=p^{2}$ ．
（2）证明曲面 $\displaystyle F(n x-l z, n y-m z)=0$ 上任一点处的切平面都平行于直线 $\displaystyle \frac{x-1}{l}=\frac{y-2}{m}=\frac{z-3}{n}$ ，其中 $\displaystyle F$ 有连续的偏导数．
（3）试证曲面上．$\displaystyle F\left(\frac{x-a}{z-c}, \frac{y-b}{z-c}\right)=0$ 任一点处的切平面都过一定点，其中 $\displaystyle F(u, v)$ 可微．
（4）证明曲面 $\displaystyle z^{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(\frac{y}{x}\right)$ 的所有切平面都经过某个定点，其中 $\displaystyle f$ 为可微函数．
（5）设函数 $\displaystyle F(u, v, w)$ 有连续的偏导数，证明曲面 $\displaystyle F\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{y}, \frac{x}{z}\right)=0$ 上各点的切平面都相交于一点，并求出交点的坐标．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续可微函数，证明曲面 $\displaystyle a x+b y+c z=f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 上任意一点 $\displaystyle M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的法向量与向量 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 及 $\displaystyle (a, b, c)$ 共面．
（7）设 $\displaystyle \frac{x z}{y}=u, \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{z^{2}+y^{2}}=v, \sqrt{x^{2}+y^{2}}-\sqrt{z^{2}+y^{2}}=w$ 是以 $\displaystyle u, v, w$ 为参数的单参数曲面族，证明过同一点的三个曲面是两两正交的．
（1）已知平面 $\displaystyle l x+m y+n z=p$ 与椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 相切，证明 $\displaystyle a^{2} l^{2}+b^{2} m^{2}+c^{2} n^{2}=p^{2}$ ．
（2）证明曲面 $\displaystyle F(n x-l z, n y-m z)=0$ 上任一点处的切平面都平行于直线 $\displaystyle \frac{x-1}{l}=\frac{y-2}{m}=\frac{z-3}{n}$ ，其中 $\displaystyle F$ 有连续的偏导数．
（3）试证曲面上．$\displaystyle F\left(\frac{x-a}{z-c}, \frac{y-b}{z-c}\right)=0$ 任一点处的切平面都过一定点，其中 $\displaystyle F(u, v)$ 可微．
（4）证明曲面 $\displaystyle z^{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(\frac{y}{x}\right)$ 的所有切平面都经过某个定点，其中 $\displaystyle f$ 为可微函数．
（5）设函数 $\displaystyle F(u, v, w)$ 有连续的偏导数，证明曲面 $\displaystyle F\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{y}, \frac{x}{z}\right)=0$ 上各点的切平面都相交于一点，并求出交点的坐标．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续可微函数，证明曲面 $\displaystyle a x+b y+c z=f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 上任意一点 $\displaystyle M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的法向量与向量 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 及 $\displaystyle (a, b, c)$ 共面．
（7）设 $\displaystyle \frac{x z}{y}=u, \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{z^{2}+y^{2}}=v, \sqrt{x^{2}+y^{2}}-\sqrt{z^{2}+y^{2}}=w$ 是以 $\displaystyle u, v, w$ 为参数的单参数曲面族，证明过同一点的三个曲面是两两正交的．