可微性（极限与求导可交换）
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第7题证明题
7．函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n \mathrm{e}^{-n x}$ ，证明 ：（1）在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上收敛，但不一致收敛；（2）求和函数 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n \mathrm{e}^{-n x}$ ；（3）和函数 $\displaystyle S(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续；（4）和函数在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上任意阶可导。南开大学 2008，南昌大学 2010，首都师大 2007，西北工大 2007，福州大学 2005，杭州师大 2007／2014，南京师大 2001，三峡大学 2006 ，太原科技 2005 ，天津大学 2001 ，大连理工 2000 ，山东师大 2008 ，华南理工 2002 ，北京化工 2007，华东理工 $\displaystyle 2003 / 2006$ ，北京交大 1998，华中师大 2008，南京农大 2005，复旦大学 1998）
第8题证明题
8．证明下列结论．
（1）设函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} \mathrm{e}^{-n x}$ 的和函数为 $\displaystyle S(x)$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致收敛，但和函数 $\displaystyle S(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续．
（2）证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{e}^{-n^{2} x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致收敛，但和函数在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上任意阶可导．
（1）设函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} \mathrm{e}^{-n x}$ 的和函数为 $\displaystyle S(x)$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致收敛，但和函数 $\displaystyle S(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续．
（2）证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{e}^{-n^{2} x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致收敛，但和函数在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上任意阶可导．
第18题证明题
18．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+x}$ ，证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+x}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收玫；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续；（3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导；（4）反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散．
第19题证明题
19．设函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+x}$ ．
（1）研究函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的连续性、一致连续性、可微性、单调性．
（2）证明函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,+\infty)$ 内连续，且有连续导函数．
（1）研究函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的连续性、一致连续性、可微性、单调性．
（2）证明函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,+\infty)$ 内连续，且有连续导函数．
第22题证明题
22．证明下列命题．
（1）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{2} \sqrt[3]{n}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续且有连续的导函数．
（2）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{3} \sqrt{n}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续并有二阶连续的导函数．
（3）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{3}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续。问 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内是否连续可导？
（4）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{3}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，且有连续的导函数．（沈阳 工 大 2007）
（5）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{3}+1}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续并有连续的导函数．
（6）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{2} \sqrt{n}} \ln (1+n x), n=1,2, \cdots$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续且有连续的导函数．
（1）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{2} \sqrt[3]{n}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续且有连续的导函数．
（2）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{3} \sqrt{n}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续并有二阶连续的导函数．
（3）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{3}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续。问 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内是否连续可导？
（4）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{3}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，且有连续的导函数．（沈阳 工 大 2007）
（5）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{3}+1}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续并有连续的导函数．
（6）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{2} \sqrt{n}} \ln (1+n x), n=1,2, \cdots$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续且有连续的导函数．
第23题证明题
23．证明下列命题．
（1）求证：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{2}}$ 在 $\displaystyle \left[\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]$ 上连续可微．
（2）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{2}+1}$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 连续且有连续的导数．
（3）试证：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{2}+1}$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 上有连续导数．
（4）证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内非一致收敛，但在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内连续．
（5）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} \tan \frac{x}{2^{n}}$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 连续，求 $\displaystyle f(x)$ 的表达式，并计算 $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$ 及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \arctan \frac{1}{2 k^{2}}$ ．
（1）求证：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{2}}$ 在 $\displaystyle \left[\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]$ 上连续可微．
（2）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{2}+1}$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 连续且有连续的导数．
（3）试证：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{2}+1}$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 上有连续导数．
（4）证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内非一致收敛，但在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内连续．
（5）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} \tan \frac{x}{2^{n}}$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 连续，求 $\displaystyle f(x)$ 的表达式，并计算 $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$ 及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \arctan \frac{1}{2 k^{2}}$ ．
第27题证明题
27．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n \mathrm{e}^{-n} \cos n x, x \in[0,2 \pi]$ ，证明：
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上连续；
（2）$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上存在且连续；
（3） $\displaystyle \max _{[0,2 \pi]} f(x)=\frac{\mathrm{e}}{(\mathrm{e}-1)^{2}} \geqslant \frac{2}{\mathrm{e}}$ ．
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上连续；
（2）$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上存在且连续；
（3） $\displaystyle \max _{[0,2 \pi]} f(x)=\frac{\mathrm{e}}{(\mathrm{e}-1)^{2}} \geqslant \frac{2}{\mathrm{e}}$ ．
第29题证明题
29．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{-n} \cos \left(n^{2} x\right)$ ．
（1）证明级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{-n} \cos \left(n^{2} x\right)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 一致收敛；（2）证明 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{-n} \frac{\mathrm{~d}^{k}}{\mathrm{~d} x^{k}}\left(\cos n^{2} x\right), k \geqslant 1$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 一致收敛；（3）求 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的泰勒级数；（4）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的泰勒级数的收玫半径为 0．
（1）证明级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{-n} \cos \left(n^{2} x\right)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 一致收敛；（2）证明 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{-n} \frac{\mathrm{~d}^{k}}{\mathrm{~d} x^{k}}\left(\cos n^{2} x\right), k \geqslant 1$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 一致收敛；（3）求 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的泰勒级数；（4）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的泰勒级数的收玫半径为 0．
第31题证明题
31．设 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{1}{n^{3}} \ln \left(1+n^{2} x^{2}\right), n=1,2, \cdots$ ，记 $\displaystyle s(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ ，证明：（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 一致收玫，但在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 不一致收玫．（2）讨论其和函数 $\displaystyle s(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续性、可积性和可微性．
第34题证明题
34．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} \ln (1+n)} x^{n}$ ．证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 连续；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=-1$ 处可导；（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f^{\prime}(x)=+\infty$ ；（4）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 不可导．
第35题证明题
35．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有任意阶导数 $\displaystyle f^{(n)}(x)$ ，且对任意有界闭区间 $\displaystyle [a, b],\left\{f^{(n)}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle \varphi(x), n>\infty$ 。证明 $\displaystyle \varphi(x)=C \mathrm{e}^{x}, C$ 为常数．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非恒为零，存在任意阶导数 $\displaystyle f^{(n)}(x)$ ，且对任意 $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty)$ ， $\displaystyle \left|f^{(n)}(x)-f^{(n-1)}(x)\right|<\frac{1}{n^{2}}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f^{(n)}(x)=C \mathrm{e}^{x}, C$ 为常数．，
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有任意阶导数 $\displaystyle f^{(n)}(x)$ ，且对任意有界闭区间 $\displaystyle [a, b],\left\{f^{(n)}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle \varphi(x), n>\infty$ 。证明 $\displaystyle \varphi(x)=C \mathrm{e}^{x}, C$ 为常数．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非恒为零，存在任意阶导数 $\displaystyle f^{(n)}(x)$ ，且对任意 $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty)$ ， $\displaystyle \left|f^{(n)}(x)-f^{(n-1)}(x)\right|<\frac{1}{n^{2}}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f^{(n)}(x)=C \mathrm{e}^{x}, C$ 为常数．，
第35题证明题
35．证明下列结论．
（1）证明：（1）函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上收敛，在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上不一致收敛，但在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 内内闭一致收敛；（2）函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 连续，并在该区间内有任意阶连续导函数。
（2）设函数 $\displaystyle \xi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x+1}}$ ，试证函数 $\displaystyle \xi(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内连续，但在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内不一致连续．
（3）求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{n^{x}}$ 的收玫域，并讨论其和函数的连续性与可微性．
（4）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{x+\frac{1}{n}}}$ 的绝对收敛性、条件收敛性和一致收敛性，并指出函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{x+\frac{1}{n}}}$ 的连续性．
（5）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n^{x}}$ 的收敛性和一致收敛性。
（1）证明：（1）函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上收敛，在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上不一致收敛，但在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 内内闭一致收敛；（2）函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 连续，并在该区间内有任意阶连续导函数。
（2）设函数 $\displaystyle \xi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x+1}}$ ，试证函数 $\displaystyle \xi(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内连续，但在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内不一致连续．
（3）求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{n^{x}}$ 的收玫域，并讨论其和函数的连续性与可微性．
（4）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{x+\frac{1}{n}}}$ 的绝对收敛性、条件收敛性和一致收敛性，并指出函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{x+\frac{1}{n}}}$ 的连续性．
（5）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n^{x}}$ 的收敛性和一致收敛性。
第36题未分类
36．设 $\displaystyle a_{n}$ 满足 $\displaystyle \ln \ln n \leqslant a_{n} \leqslant \ln n, n=2,3, \cdots$ ．研究函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 的收玫性、一致收敛性以及和函数的连续性、可导性．
第39题证明题
39．证明或讨论下列各题．
（1）证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \frac{x^{n}}{1+x^{n}}$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 上的一致收玫性，并证明其和函数 $\displaystyle S(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上有连续可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{1}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \frac{x^{n}}{1+x^{n}}=\frac{1}{2} \ln 2$ 。
（2）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \frac{(\sin x)^{2 n}}{1+(\sin x)^{2 n}}$ 在 $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的一致收敛性、绝对收敛性和绝对一致收玫性．
（1）证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \frac{x^{n}}{1+x^{n}}$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 上的一致收玫性，并证明其和函数 $\displaystyle S(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上有连续可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{1}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \frac{x^{n}}{1+x^{n}}=\frac{1}{2} \ln 2$ 。
（2）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \frac{(\sin x)^{2 n}}{1+(\sin x)^{2 n}}$ 在 $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的一致收敛性、绝对收敛性和绝对一致收玫性．
第40题求解题
40．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续可导且 $\displaystyle f(0)=0$ ．（1）求证 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} f\left(\frac{x}{n}\right)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上一致收敛； （2）设 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} f\left(\frac{x}{n}\right)$ ，求证：$\displaystyle S(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续可导．