可积函数类（连续函数、单调函数、有界且只有有限个间断点的函数）
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第4题证明题
4．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界，$\displaystyle \left\{a_{n}\right\} \subset[a, b], \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=c$ 。证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上只有 $\displaystyle a_{n}(n=1,2, \cdots)$为其间断点，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
（2）在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上，函数 $\displaystyle f(x)$ 定义为 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right], x \in(0,1], \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的 Riemann 可积性．
（3）利用可积的充要条件证明 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x=0, \\ \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}<x<\frac{1}{n},\end{array} \quad n=1,2, \cdots\right.$, 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界，$\displaystyle \left\{a_{n}\right\} \subset[a, b], \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=c$ 。证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上只有 $\displaystyle a_{n}(n=1,2, \cdots)$为其间断点，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
（2）在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上，函数 $\displaystyle f(x)$ 定义为 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right], x \in(0,1], \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的 Riemann 可积性．
（3）利用可积的充要条件证明 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x=0, \\ \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}<x<\frac{1}{n},\end{array} \quad n=1,2, \cdots\right.$, 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积．
第6题证明题
6．证明下列结论。
（1）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内连续，那么 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内 Riemann 可积．
（2）已知有限闭区间上的连续函数在该区间上是可积的．现假设有一函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，有界，有唯一间断点 $\displaystyle a(f(x)$ 在其余点连续）。试根据函数可积条件证明函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可积．
（3）假设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上为单调函数，试证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
提示：见华东师大《数学分析》．
（1）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内连续，那么 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内 Riemann 可积．
（2）已知有限闭区间上的连续函数在该区间上是可积的．现假设有一函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，有界，有唯一间断点 $\displaystyle a(f(x)$ 在其余点连续）。试根据函数可积条件证明函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可积．
（3）假设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上为单调函数，试证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
提示：见华东师大《数学分析》．
第6题证明题
6．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且满足 $\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \geqslant \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t, x \in[a, b)$ ．
（1）问：对任意 $\displaystyle x \in[a, b)$ 是否都成立 $\displaystyle f(x) \geqslant g(x)$ ？请证明或举例说明你的结论；
（2）若还满足 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} g(t) \mathrm{d} t$ ，试证： $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} x g(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle g_{1}(x)$ 和 $\displaystyle g_{2}(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{a}^{x} g_{1}(t) \mathrm{d} t \leqslant \int_{a}^{x} g_{2}(t) \mathrm{d} t, a \leqslant x<b, \int_{a}^{b} g_{1}(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} g_{2}(t) \mathrm{d} t$ 。又设 $\displaystyle f(x)$可微，非增，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g_{1}(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} f(x) g_{2}(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\cos x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x \geqslant \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（4）求证： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且满足 $\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \geqslant \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t, x \in[a, b)$ ．
（1）问：对任意 $\displaystyle x \in[a, b)$ 是否都成立 $\displaystyle f(x) \geqslant g(x)$ ？请证明或举例说明你的结论；
（2）若还满足 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} g(t) \mathrm{d} t$ ，试证： $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} x g(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle g_{1}(x)$ 和 $\displaystyle g_{2}(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{a}^{x} g_{1}(t) \mathrm{d} t \leqslant \int_{a}^{x} g_{2}(t) \mathrm{d} t, a \leqslant x<b, \int_{a}^{b} g_{1}(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} g_{2}(t) \mathrm{d} t$ 。又设 $\displaystyle f(x)$可微，非增，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g_{1}(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} f(x) g_{2}(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\cos x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x \geqslant \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（4）求证： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
第8题证明题
8．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上黎曼可积，用可积准则证明：$\displaystyle f^{2}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上也是黎曼可积．
（2）若 $\displaystyle \sqrt{f(x)}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 可积，则 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 可积．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上黎曼可积，用可积准则证明：$\displaystyle f^{2}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上也是黎曼可积．
（2）若 $\displaystyle \sqrt{f(x)}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 可积，则 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 可积．
第8题证明题
8．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ 有 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ ．证明：对任何正整数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle \left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)-\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{n}$ 。西北师大 2005 ，首都师大 2000 ，西南大学 2007 ，华中师大，南开大学）
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ ．证明：对任何正整数 $\displaystyle n$ 有
$$
\left|\frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(a+\frac{b-a}{n} i\right)-\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{n}(b-a)^{2} \text {. }
$$
（3）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，对任意 $\displaystyle x, y$ 都有 $\displaystyle |f(x)-f(y)| \leqslant M|x-y|$ ．证明：
$$
\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)\right| \leqslant \frac{M}{2 n} .
$$
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微， $\displaystyle \sup _{0<x<1}\left|f^{\prime}(x)\right|<M<+\infty$ ．若 $\displaystyle n>1$ 为正整数，证明：
$$
\left|\sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right)-\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{2 n} . \text { }
$$
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调减少，对任何正整数 $\displaystyle n$ ，试证明下列不等式：
$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \leqslant \frac{f(0)-f(1)}{n},
$$
并说明该不等式的几何意义．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，$\displaystyle f(0)=f(1), \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，且对 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ 有 $\displaystyle f^{\prime}(x) \neq 1$ ，记 $\displaystyle g(x)=f(x)-x, n \geqslant 2$ 为正整数．求证：（1）$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 严格单调递减；（2）$\displaystyle -\frac{n}{2}<\sum_{k=0}^{n-1} g\left(\frac{k}{n}\right)<-\frac{n}{2}+1$ ； （3）$\displaystyle \left|\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)\right|<\frac{1}{2}$ 。．
（7）若对任意自然数 $\displaystyle m$ ，当 $\displaystyle x \geqslant m$ 时，$\displaystyle f(x)$ 是一非负单增函数，则对任意 $\displaystyle \xi \geqslant m$ 都有 $\displaystyle \left|\sum_{k=m}^{[\xi]} f(k)-\int_{m}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant f(\xi)$ ，［ $\displaystyle \xi$ ］为不超过 $\displaystyle \xi$ 的最大整数．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ 有 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ ．证明：对任何正整数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle \left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)-\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{n}$ 。西北师大 2005 ，首都师大 2000 ，西南大学 2007 ，华中师大，南开大学）
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ ．证明：对任何正整数 $\displaystyle n$ 有
$$
\left|\frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(a+\frac{b-a}{n} i\right)-\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{n}(b-a)^{2} \text {. }
$$
（3）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，对任意 $\displaystyle x, y$ 都有 $\displaystyle |f(x)-f(y)| \leqslant M|x-y|$ ．证明：
$$
\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)\right| \leqslant \frac{M}{2 n} .
$$
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微， $\displaystyle \sup _{0<x<1}\left|f^{\prime}(x)\right|<M<+\infty$ ．若 $\displaystyle n>1$ 为正整数，证明：
$$
\left|\sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right)-\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{2 n} . \text { }
$$
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调减少，对任何正整数 $\displaystyle n$ ，试证明下列不等式：
$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \leqslant \frac{f(0)-f(1)}{n},
$$
并说明该不等式的几何意义．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，$\displaystyle f(0)=f(1), \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，且对 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ 有 $\displaystyle f^{\prime}(x) \neq 1$ ，记 $\displaystyle g(x)=f(x)-x, n \geqslant 2$ 为正整数．求证：（1）$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 严格单调递减；（2）$\displaystyle -\frac{n}{2}<\sum_{k=0}^{n-1} g\left(\frac{k}{n}\right)<-\frac{n}{2}+1$ ； （3）$\displaystyle \left|\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)\right|<\frac{1}{2}$ 。．
（7）若对任意自然数 $\displaystyle m$ ，当 $\displaystyle x \geqslant m$ 时，$\displaystyle f(x)$ 是一非负单增函数，则对任意 $\displaystyle \xi \geqslant m$ 都有 $\displaystyle \left|\sum_{k=m}^{[\xi]} f(k)-\int_{m}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant f(\xi)$ ，［ $\displaystyle \xi$ ］为不超过 $\displaystyle \xi$ 的最大整数．
第9题讨论/判定题
9．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有界，讨论 $\displaystyle f(x),|f(x)|, f^{2}(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 的可积性之间的
关系．
关系．
第10题证明题
10．设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，且 $\displaystyle \forall x_{1}, x_{2} \in[a, b]$ 有 $\displaystyle \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leqslant\left|x_{1}-x_{2}\right|$ ．证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内连续；
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-(b-a) f(a)\right| \leqslant \frac{1}{2}(b-a)^{2}$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-(b-a) f(a)\right| \leqslant \frac{1}{2}(b-a)^{2}$ ．
第11题证明题
11．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 有连续导数，求证：$\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，证明： $\displaystyle \mathrm{e}^{f(x)}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上也是黎曼可积的．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，$\displaystyle f(x) \geqslant c \geqslant 0$ ，用可积准则证明：函数 $\displaystyle \ln f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积．（华 中 师 大 2005）
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 有连续导数，求证：$\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，证明： $\displaystyle \mathrm{e}^{f(x)}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上也是黎曼可积的．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，$\displaystyle f(x) \geqslant c \geqslant 0$ ，用可积准则证明：函数 $\displaystyle \ln f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积．（华 中 师 大 2005）
第11题未分类
11．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, \dot{b}]$ 上二次可微，$\displaystyle M=\max _{[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．
（1）若 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{24} M$ ；
（2）若 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \neq 0$ ，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{24} M$ ．
（西安电子科技 2006，深圳大学 2010，北京科技 2011，东北师大 2001，华中师大 2001，扬州大学 2007，武汉理工 2008，中山大学 2012，大连海事 2005，聊城大学 2003；燕山大学 2011（［0，1］）；首都师大 $\displaystyle 2006([-x, x])$ ，浙江师大 2009（ $\displaystyle [-1,1]$ ）；西南大学 2011（ $\displaystyle [a, b]=[0,2]$ ），辽宁大学 2003）
（1）若 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{24} M$ ；
（2）若 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \neq 0$ ，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{24} M$ ．
（西安电子科技 2006，深圳大学 2010，北京科技 2011，东北师大 2001，华中师大 2001，扬州大学 2007，武汉理工 2008，中山大学 2012，大连海事 2005，聊城大学 2003；燕山大学 2011（［0，1］）；首都师大 $\displaystyle 2006([-x, x])$ ，浙江师大 2009（ $\displaystyle [-1,1]$ ）；西南大学 2011（ $\displaystyle [a, b]=[0,2]$ ），辽宁大学 2003）
第12题证明题
12．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{\|T\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) g\left(\theta_{i}\right) \Delta x_{i}=\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle T$ 为 $\displaystyle [a, b]$的任一分割，$\displaystyle T: a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b, \xi_{i}, \theta_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right], i=1,2, \cdots, n, \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1},\|T\|=\max _{1 \leqslant i<n}\left\{\Delta x_{i}\right\}$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) g\left(\frac{i-1}{n}\right) \Delta x_{i}=\int_{0}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{\|T\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) g\left(\theta_{i}\right) \Delta x_{i}=\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle T$ 为 $\displaystyle [a, b]$的任一分割，$\displaystyle T: a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b, \xi_{i}, \theta_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right], i=1,2, \cdots, n, \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1},\|T\|=\max _{1 \leqslant i<n}\left\{\Delta x_{i}\right\}$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) g\left(\frac{i-1}{n}\right) \Delta x_{i}=\int_{0}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ．
第12题求解题
12．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ 。求证 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{4} M$ ．
第13题证明题
13．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．证明： $\displaystyle \max _{a<x<b}\left|f^{\prime}(x)\right| \geqslant \frac{4}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ ． （四川大学 2008，西安电子科技 2008，太原科技 2005，河南师大 2008，北京工大 2002，大连海事 1999，浙江理工 2007；广西师大 2009
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 内有连续的导数，$\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ．试证明 $\displaystyle \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{1}{4} \max _{0<x<1}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导且非常数函数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．试证明：在 $\displaystyle [a, b]$ 中至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle \left|f^{\prime}(\xi)\right|>\frac{4}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（4）在 $\displaystyle [0,2]$ 上是否存在这样的连续可微函数 $\displaystyle f(x)$ 使得 $\displaystyle f(0)=f(2)=1,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1$ ，且 $\displaystyle \left|\int_{0}^{2} f(x) d x\right| \leqslant 1$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上两阶可导，$\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=f^{\prime}(a)=0, f(a)=1$ ，并且对 $\displaystyle \forall x \in[0, a]$ 有 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 1$ ．设 $\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0 \leqslant x \leqslant \frac{a}{2}, \\ a-x, \frac{a}{2}<x \leqslant a,\end{array}\right.$ 求证：（1）$\displaystyle f^{\prime}(x) \leqslant g(x)$ ；（2）求证存在 $\displaystyle x_{0} \in(0, a)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{0}\right)<g\left(x_{0}\right)$ ；（3）求证 $\displaystyle a>2$ ．
（6）设 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上连续可微，$\displaystyle f(0)=0$ ．求证 $\displaystyle \left|\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{2} a^{2}$ ，其中 $\displaystyle M=\max _{[0, a]}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．证明： $\displaystyle \max _{a<x<b}\left|f^{\prime}(x)\right| \geqslant \frac{4}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ ． （四川大学 2008，西安电子科技 2008，太原科技 2005，河南师大 2008，北京工大 2002，大连海事 1999，浙江理工 2007；广西师大 2009
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 内有连续的导数，$\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ．试证明 $\displaystyle \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{1}{4} \max _{0<x<1}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导且非常数函数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．试证明：在 $\displaystyle [a, b]$ 中至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle \left|f^{\prime}(\xi)\right|>\frac{4}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（4）在 $\displaystyle [0,2]$ 上是否存在这样的连续可微函数 $\displaystyle f(x)$ 使得 $\displaystyle f(0)=f(2)=1,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1$ ，且 $\displaystyle \left|\int_{0}^{2} f(x) d x\right| \leqslant 1$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上两阶可导，$\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=f^{\prime}(a)=0, f(a)=1$ ，并且对 $\displaystyle \forall x \in[0, a]$ 有 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 1$ ．设 $\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0 \leqslant x \leqslant \frac{a}{2}, \\ a-x, \frac{a}{2}<x \leqslant a,\end{array}\right.$ 求证：（1）$\displaystyle f^{\prime}(x) \leqslant g(x)$ ；（2）求证存在 $\displaystyle x_{0} \in(0, a)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{0}\right)<g\left(x_{0}\right)$ ；（3）求证 $\displaystyle a>2$ ．
（6）设 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上连续可微，$\displaystyle f(0)=0$ ．求证 $\displaystyle \left|\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{2} a^{2}$ ，其中 $\displaystyle M=\max _{[0, a]}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．
第14题未分类
14．给出 Riemann 积分 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 的定义，并确定实数 $\displaystyle s$ 的范围使下列极限收敛 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{i}{n}\right)^{s} \frac{1}{n}$ ．
第17题未分类
17．判断题．
（1）定义 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积时，必须先假定 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（1）定义 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积时，必须先假定 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
第19题证明题
19．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，且存在 $\displaystyle x_{0} \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=0$ ，求证： $\displaystyle \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上变号，且为连续函数，求证： $\displaystyle \min _{[0,1]} f(x) \geqslant-\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶连续可微，且在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在极值，求证： $\displaystyle \max _{[0,1]}\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在连续的二阶导数．证明： $\displaystyle \max _{[0,1]}\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant|f(1)-f(0)|+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，且存在 $\displaystyle x_{0} \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=0$ ，求证： $\displaystyle \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上变号，且为连续函数，求证： $\displaystyle \min _{[0,1]} f(x) \geqslant-\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶连续可微，且在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在极值，求证： $\displaystyle \max _{[0,1]}\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在连续的二阶导数．证明： $\displaystyle \max _{[0,1]}\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant|f(1)-f(0)|+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
第24题证明题
24．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x) \in R[a, b]$ ，证 明： $\displaystyle \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) \sin p x \mathrm{~d} x=0, \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) \cos p x \mathrm{~d} x=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的单调函数，证明： $\displaystyle \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin p x \mathrm{~d} x=0$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x) \in R[a, b]$ ，证 明： $\displaystyle \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) \sin p x \mathrm{~d} x=0, \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) \cos p x \mathrm{~d} x=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的单调函数，证明： $\displaystyle \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin p x \mathrm{~d} x=0$ 。
第25题证明题
25．设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的 Riemann 可积函数且以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期．证明：$\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 具有相同的傅里叶系数的充要条件是 $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}|f(x)-g(x)| \mathrm{d} x=0$ ．