可积性（极限与积分可交换）
按知识点浏览 · 共 9 题
第2题证明题
2．设函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=n x(1-x)^{n}, n=1,2, \cdots$ ，证明：（1）在 $\displaystyle [0,1]$ 上收敛；（2）在 $\displaystyle [0,1]$ 上非一致收敛，但在 $\displaystyle [\alpha, 1](\alpha>0)$ 上一致收敛；（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x$ 。
第3题证明题
3．设函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=n\left(x^{n}-x^{2 n}\right), n=1,2, \cdots, x \in[0,1]$ ．（1）求函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 的极限函数；（2）证明 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 非一致收敛；（3）验证极限运算与积分运算不能交换顺序．
第6题求解题
6．求解下列各题．
（1）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\cos ^{n} x, n=1,2, \cdots, x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ．（1）求极限函数 $\displaystyle f(x)$ ；（2）$\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上是否一致收敛？（3）是否有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\cos x+\cos ^{2} x+\cdots+\cos ^{n} x, n=1,2, \cdots$ ，当 $\displaystyle x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)$ ，并讨论 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的一致收敛性．
（1）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\cos ^{n} x, n=1,2, \cdots, x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ．（1）求极限函数 $\displaystyle f(x)$ ；（2）$\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上是否一致收敛？（3）是否有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\cos x+\cos ^{2} x+\cdots+\cos ^{n} x, n=1,2, \cdots$ ，当 $\displaystyle x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)$ ，并讨论 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的一致收敛性．
第11题未分类
11．设 $\displaystyle f_{n}(x)=\left\{\begin{array}{l}1-n x, 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{n}, \\ 0, \frac{1}{n} \leqslant x \leqslant 1,\end{array}\right.$ ，证 明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上非 一 致 收 敛，但
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x$ ．
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x$ ．
第24题证明题
24．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{2^{n}}$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛，并计算 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin \left(2^{n} \pi x\right)}{2^{n}}$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续；（2）函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin \left(2^{n} \pi x\right)}{2^{n}}$ 在任何区间上不能逐项可导（对任意的 $\displaystyle x$ ，此函数项级数逐项求导后点点不收玫）．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{2^{n}}$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛，并计算 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin \left(2^{n} \pi x\right)}{2^{n}}$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续；（2）函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin \left(2^{n} \pi x\right)}{2^{n}}$ 在任何区间上不能逐项可导（对任意的 $\displaystyle x$ ，此函数项级数逐项求导后点点不收玫）．
第31题证明题
31．设 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{1}{n^{3}} \ln \left(1+n^{2} x^{2}\right), n=1,2, \cdots$ ，记 $\displaystyle s(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ ，证明：（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 一致收玫，但在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 不一致收玫．（2）讨论其和函数 $\displaystyle s(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续性、可积性和可微性．
第33题证明题
33．证明下列各题．
（1）证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \ln x$ 在 $\displaystyle [a, b](0<a<b<1)$ 上一致收敛，在 $\displaystyle (0,1]$ 上不一致收敛，但 $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \ln x \mathrm{~d} x\right)=1-\frac{\pi^{2}}{6}$ ．
（2）证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n}(\ln x)^{2}$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上一致收玫．
（3）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n \ln n}$ 在 $\displaystyle [0,1)$ 上的一致收敛性．
（1）证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \ln x$ 在 $\displaystyle [a, b](0<a<b<1)$ 上一致收敛，在 $\displaystyle (0,1]$ 上不一致收敛，但 $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \ln x \mathrm{~d} x\right)=1-\frac{\pi^{2}}{6}$ ．
（2）证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n}(\ln x)^{2}$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上一致收玫．
（3）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n \ln n}$ 在 $\displaystyle [0,1)$ 上的一致收敛性．
第39题证明题
39．证明下列结论．
（1）证明：函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{x}{n}}+\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}}, n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛于 $\displaystyle \frac{1}{1+\mathrm{e}^{x}}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=1+\ln \frac{2}{1+\mathrm{e}}$ ．
（2）证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \mathrm{~d} x=1$ ．
（3）证明函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{1}{1+\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}}, n \geqslant 1$ ，在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 的任何闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫，并求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x$ 。
（1）证明：函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{x}{n}}+\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}}, n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛于 $\displaystyle \frac{1}{1+\mathrm{e}^{x}}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=1+\ln \frac{2}{1+\mathrm{e}}$ ．
（2）证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \mathrm{~d} x=1$ ．
（3）证明函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{1}{1+\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}}, n \geqslant 1$ ，在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 的任何闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫，并求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x$ 。
第46题求解题
46．设 $\displaystyle \varphi_{n}(x)=\left\{\begin{array}{l}(1-x)^{n}, 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ \mathrm{e}^{n x},-1 \leqslant x \leqslant 0,\end{array} f(x)\right.$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上可积．
（1）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \varphi_{n}(x)$ ，并讨论 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上的一致收敛性；
（2）又若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 还是连续的，求证 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2} \int_{-1}^{1} f(x) \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=f(0)$ ；
（3）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} f(x) \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x$（要说明理由）．
（1）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \varphi_{n}(x)$ ，并讨论 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上的一致收敛性；
（2）又若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 还是连续的，求证 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2} \int_{-1}^{1} f(x) \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=f(0)$ ；
（3）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} f(x) \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x$（要说明理由）．