可积的充要条件（达布上和、达布下和）
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第1题证明题
1．证明下列结论．
（1）试述大小和的概念，并证明分割加细，大和不增，小和不减．
（2）若 $\displaystyle T^{\prime}$ 是 $\displaystyle T$ 增加若干分点后所得的分割，则 $\displaystyle \sum_{T^{\prime}} \omega_{i}^{\prime} \Delta x_{i}^{\prime} \leqslant \sum_{T} \omega_{i} x_{i}$ ．
（1）试述大小和的概念，并证明分割加细，大和不增，小和不减．
（2）若 $\displaystyle T^{\prime}$ 是 $\displaystyle T$ 增加若干分点后所得的分割，则 $\displaystyle \sum_{T^{\prime}} \omega_{i}^{\prime} \Delta x_{i}^{\prime} \leqslant \sum_{T} \omega_{i} x_{i}$ ．
第3题证明题
3．叙述函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积的定义，并据此证明：函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \in \mathbf{Q}, \\ -1, x \notin \mathbf{Q}\end{array}, \mathbf{Q}\right.$ 是有理数集，在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上不可积．
第4题证明题
4．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界，$\displaystyle \left\{a_{n}\right\} \subset[a, b], \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=c$ 。证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上只有 $\displaystyle a_{n}(n=1,2, \cdots)$为其间断点，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
（2）在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上，函数 $\displaystyle f(x)$ 定义为 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right], x \in(0,1], \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的 Riemann 可积性．
（3）利用可积的充要条件证明 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x=0, \\ \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}<x<\frac{1}{n},\end{array} \quad n=1,2, \cdots\right.$, 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界，$\displaystyle \left\{a_{n}\right\} \subset[a, b], \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=c$ 。证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上只有 $\displaystyle a_{n}(n=1,2, \cdots)$为其间断点，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
（2）在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上，函数 $\displaystyle f(x)$ 定义为 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right], x \in(0,1], \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的 Riemann 可积性．
（3）利用可积的充要条件证明 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x=0, \\ \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}<x<\frac{1}{n},\end{array} \quad n=1,2, \cdots\right.$, 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积．
第5题证明题
5．定义函数如下：$\displaystyle R(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{q}, x=\frac{p}{q}, q>0, p, q \text { 是互质整数，}(0 \leqslant x \leqslant 1) \text { ，证明：} \\ 0, x=0,1 \text { 及无理数，}\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle \forall x_{0} \in(0,1), \lim _{x \rightarrow x_{0}} R(x)=0$ ；
（2）函数 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 中的无理数点处连续，而在 $\displaystyle [0,1]$ 中的有理数点处不连续．
（3）讨论函数 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的可积性．
）
（1）$\displaystyle \forall x_{0} \in(0,1), \lim _{x \rightarrow x_{0}} R(x)=0$ ；
（2）函数 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 中的无理数点处连续，而在 $\displaystyle [0,1]$ 中的有理数点处不连续．
（3）讨论函数 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的可积性．
）
第6题证明题
6．证明下列结论。
（1）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内连续，那么 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内 Riemann 可积．
（2）已知有限闭区间上的连续函数在该区间上是可积的．现假设有一函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，有界，有唯一间断点 $\displaystyle a(f(x)$ 在其余点连续）。试根据函数可积条件证明函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可积．
（3）假设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上为单调函数，试证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
提示：见华东师大《数学分析》．
（1）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内连续，那么 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内 Riemann 可积．
（2）已知有限闭区间上的连续函数在该区间上是可积的．现假设有一函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，有界，有唯一间断点 $\displaystyle a(f(x)$ 在其余点连续）。试根据函数可积条件证明函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可积．
（3）假设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上为单调函数，试证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
提示：见华东师大《数学分析》．
第7题证明题
7．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 均为定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上的有界函数。证明：若仅在 $\displaystyle [a, b]$ 中有限个点处 $\displaystyle f(x) \neq g(x)$ ，则当 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积时，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上也可积，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）证明：符号函数在 $\displaystyle [-1,1]$ 上是可积的，但在 $\displaystyle [-1,1]$ 上不存在原函数．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 均为定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上的有界函数。证明：若仅在 $\displaystyle [a, b]$ 中有限个点处 $\displaystyle f(x) \neq g(x)$ ，则当 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积时，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上也可积，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）证明：符号函数在 $\displaystyle [-1,1]$ 上是可积的，但在 $\displaystyle [-1,1]$ 上不存在原函数．
第8题证明题
8．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上黎曼可积，用可积准则证明：$\displaystyle f^{2}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上也是黎曼可积．
（2）若 $\displaystyle \sqrt{f(x)}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 可积，则 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 可积．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上黎曼可积，用可积准则证明：$\displaystyle f^{2}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上也是黎曼可积．
（2）若 $\displaystyle \sqrt{f(x)}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 可积，则 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 可积．
第9题讨论/判定题
9．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有界，讨论 $\displaystyle f(x),|f(x)|, f^{2}(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 的可积性之间的
关系．
关系．
第10题证明题
10．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界，记 $\displaystyle f^{+}(x)=\max \{f(x), 0\}, f^{-}(x)=\max \{-f(x), 0\}$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积的充分必要条件是 $\displaystyle f^{+}(x), f^{-}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上均可积，并且
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f^{+}(x) \mathrm{d} x-\int_{a}^{b} f^{-}(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f^{+}(x) \mathrm{d} x-\int_{a}^{b} f^{-}(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
第11题证明题
11．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 有连续导数，求证：$\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，证明： $\displaystyle \mathrm{e}^{f(x)}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上也是黎曼可积的．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，$\displaystyle f(x) \geqslant c \geqslant 0$ ，用可积准则证明：函数 $\displaystyle \ln f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积．（华 中 师 大 2005）
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 有连续导数，求证：$\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，证明： $\displaystyle \mathrm{e}^{f(x)}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上也是黎曼可积的．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，$\displaystyle f(x) \geqslant c \geqslant 0$ ，用可积准则证明：函数 $\displaystyle \ln f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积．（华 中 师 大 2005）
第15题证明题
15．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 R 可积，因此 $\displaystyle \forall \varepsilon>0$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在连续的函数 $\displaystyle f_{\varepsilon}(x)$ 使得 $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x)-f_{\varepsilon}(x)\right| \mathrm{d} x<\varepsilon$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 R 可积，证明存在 $\displaystyle [a, b]$ 上的多项式函数列 $\displaystyle \varphi_{n}(x)(n=1,2, \cdots)$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 R 可积，因此 $\displaystyle \forall \varepsilon>0$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在连续的函数 $\displaystyle f_{\varepsilon}(x)$ 使得 $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x)-f_{\varepsilon}(x)\right| \mathrm{d} x<\varepsilon$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 R 可积，证明存在 $\displaystyle [a, b]$ 上的多项式函数列 $\displaystyle \varphi_{n}(x)(n=1,2, \cdots)$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
第17题未分类
17．判断题．
（1）定义 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积时，必须先假定 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（1）定义 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积时，必须先假定 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
第26题证明题
26．设可积函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b](a<b)$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ；（2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致可积。
这 里 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一 致 可 积 指：对于 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ 使 得 对 任 意 分 割 $\displaystyle T: a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{k}=b$ ，当 $\displaystyle \max _{1<i<k} \Delta x_{i}<\delta$ 时，对任意 $\displaystyle \xi_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right](1 \leqslant i \leqslant k)$ 及任意自然数 $\displaystyle n$ 有
$\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x-\sum_{i=1}^{k} f_{n}\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}\right|<\varepsilon$ ．（重庆大学 2008，华南理工 2012，华东师大 2010，深圳大学 2013（对函数项级数））
这 里 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一 致 可 积 指：对于 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ 使 得 对 任 意 分 割 $\displaystyle T: a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{k}=b$ ，当 $\displaystyle \max _{1<i<k} \Delta x_{i}<\delta$ 时，对任意 $\displaystyle \xi_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right](1 \leqslant i \leqslant k)$ 及任意自然数 $\displaystyle n$ 有
$\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x-\sum_{i=1}^{k} f_{n}\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}\right|<\varepsilon$ ．（重庆大学 2008，华南理工 2012，华东师大 2010，深圳大学 2013（对函数项级数））
第29题证明题
29．证明下列命题．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则存在折线函数 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。西安交大2003，重庆师大2006）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a, b+d]$ 上可积，求证：
$$
\lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} \int_{a}^{b} f(x) \varphi(x+\delta) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \varphi(x) \mathrm{d} x . }
$$
（3）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一连续函数列，满足：存在常数 $\displaystyle M$ ，使得对于任意 $\displaystyle f_{n}(x)$ 和 $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty)$ ，恒有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leqslant M$ 。假定对 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 中任意区间 $\displaystyle [a, b]$ 都有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：对任意区间 $\displaystyle [c, d] \subset(-\infty,+\infty)$ 以及 $\displaystyle [c, d]$ 上绝对可积函数 $\displaystyle h(x)$ ，恒有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{c}^{d} f_{n}(x) h(x) \mathrm{d} x=0$ ．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则存在折线函数 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。西安交大2003，重庆师大2006）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a, b+d]$ 上可积，求证：
$$
\lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} \int_{a}^{b} f(x) \varphi(x+\delta) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \varphi(x) \mathrm{d} x . }
$$
（3）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一连续函数列，满足：存在常数 $\displaystyle M$ ，使得对于任意 $\displaystyle f_{n}(x)$ 和 $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty)$ ，恒有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leqslant M$ 。假定对 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 中任意区间 $\displaystyle [a, b]$ 都有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：对任意区间 $\displaystyle [c, d] \subset(-\infty,+\infty)$ 以及 $\displaystyle [c, d]$ 上绝对可积函数 $\displaystyle h(x)$ ，恒有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{c}^{d} f_{n}(x) h(x) \mathrm{d} x=0$ ．