可积的必要条件

2．证明：Dirichlet 函数在任何区间 $\displaystyle [a, b]$ 的 Riemann 积分不存在．

13．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上 Riemann 可积，且对 $\displaystyle [0,1]$ 上任何有限个两两不交的闭区间 $\displaystyle \left[a_{i}, b_{i}\right]$ ， $\displaystyle 1 \leqslant i \leqslant n$ ，都有 $\displaystyle \left|\sum_{i=1}^{n} \int_{a_{i}}^{b_{i}} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant 1$ 。求证： $\displaystyle \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant 2$ ．

16．举例．
（1）举一个 Riemann 不可积的函数．
（2）举例说明 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积时，下面的等式不一定成立．

$$
\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x . \text { }
$$

16．设函数 $\displaystyle f_{0}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle f_{n}(x)=\int_{a}^{x} f_{n-1}(t) \mathrm{d} t, x \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 0 ．（重庆大学 2014／2011，山东师大 2013，中南大学 2010，中山大学 2005（A），上海大学 2005，河南师大 2008，西北大学 2001／2009，南京理工 2004，湖南大学 2002／2003，西南大学 2003，清华大学 2003，天津大学 2001 ，兰州大学 2006 ，地质大学 2005 ，沈阳 工 2010 ，南京农大 2007，南京财大 2007，华南理工 2006，北京工大 2005，北航 1998／1999／2001，大连海事 2005，河海大学 2007，湖南师大 2005／2013，陕西师大1999，首都师大2012，西南交大2005／2006，新疆大学2004，郑州大学1997，杭州大学2007，山西师大2007，湘潭大学 2005，北京科技 2013，厦门大学 2010）

17．判断题．
（1）定义 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积时，必须先假定 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．