含参量反常积分的一致收敛性
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第16题证明题
16．设对任意实数 $\displaystyle A>0$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, A]$ 上可积，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=B$（ $\displaystyle B$ 有限），证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} t \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t x} f(x) \mathrm{d} x=$ B．（华东师大 2015，苏州大学 2013，四川大学 2009，南开大学 2010，浙江大学 2009，山东大学 2010（ $\displaystyle B=2$ ））
第17题证明题
17．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上内闭可积，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，$\displaystyle a>1$ ．证明：
$\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{+\infty} a^{-y x} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 。
$\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{+\infty} a^{-y x} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 。
第18题计算题
18．计算下列反常积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-a x}-\mathrm{e}^{-b x}}{x} \mathrm{~d} x(b>a>0)$ 。（安徽大学 2012，安徽师大 2006 ，三峡大学 2011，山东大学 2002，天津大学 2005，北京理工 2004，华东师大 2004，湖北大学 2010／2011，河海大学 2006，江苏大学 2010，华南理工 2010，中南大学 2001，西北工大 2002，曲阜师大 2009／2011，南京农大 2009，山东师大 2008，东北师大 2002，东华大学2005，华东理工 2004，聊城大学 2004／2012／2010，山西师大 2009，温州大学 2009；$\displaystyle b=\mathrm{e}, a=1$ ：南京师大 2010，西安交大 2006；上海 大学 $\displaystyle 2013(a=3, b=6)$ ；山东科技 $\displaystyle 2010(a=2, b=5) / 2009$ ；北京 工 大 2006／2010（ $\displaystyle a=1, b=3$ ）．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan (a x)-\arctan (b x)}{x} \mathrm{~d} x, a>0, b>0$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-\alpha x^{2}}-\mathrm{e}^{-\beta x^{2}}}{x} \mathrm{~d} x, \alpha>\beta>0$ ．（华中科技2011，东华大学1999，华侨大学2008，温州大学2012，深圳大学 $\displaystyle 2010(\beta=1)$ ，湖南师大 2004 ，山东大学（ $\displaystyle a=1$ ））
（4） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan \left(a x^{2}\right)-\arctan \left(b x^{2}\right)}{x} \mathrm{~d} x, b>a>0$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1-\mathrm{e}^{-y x}}{x \mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x, y>-2$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1-\mathrm{e}^{-\alpha x}}{x \mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x, \alpha>-1$ ．
分析：可用傅茹兰尼公式，亦可用积分号下的积分法求解．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-a x}-\mathrm{e}^{-b x}}{x} \mathrm{~d} x(b>a>0)$ 。（安徽大学 2012，安徽师大 2006 ，三峡大学 2011，山东大学 2002，天津大学 2005，北京理工 2004，华东师大 2004，湖北大学 2010／2011，河海大学 2006，江苏大学 2010，华南理工 2010，中南大学 2001，西北工大 2002，曲阜师大 2009／2011，南京农大 2009，山东师大 2008，东北师大 2002，东华大学2005，华东理工 2004，聊城大学 2004／2012／2010，山西师大 2009，温州大学 2009；$\displaystyle b=\mathrm{e}, a=1$ ：南京师大 2010，西安交大 2006；上海 大学 $\displaystyle 2013(a=3, b=6)$ ；山东科技 $\displaystyle 2010(a=2, b=5) / 2009$ ；北京 工 大 2006／2010（ $\displaystyle a=1, b=3$ ）．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan (a x)-\arctan (b x)}{x} \mathrm{~d} x, a>0, b>0$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-\alpha x^{2}}-\mathrm{e}^{-\beta x^{2}}}{x} \mathrm{~d} x, \alpha>\beta>0$ ．（华中科技2011，东华大学1999，华侨大学2008，温州大学2012，深圳大学 $\displaystyle 2010(\beta=1)$ ，湖南师大 2004 ，山东大学（ $\displaystyle a=1$ ））
（4） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan \left(a x^{2}\right)-\arctan \left(b x^{2}\right)}{x} \mathrm{~d} x, b>a>0$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1-\mathrm{e}^{-y x}}{x \mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x, y>-2$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1-\mathrm{e}^{-\alpha x}}{x \mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x, \alpha>-1$ ．
分析：可用傅茹兰尼公式，亦可用积分号下的积分法求解．
第27题求解题
27．求 $\displaystyle \lim _{u \rightarrow+\infty} \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{u} \mathrm{~d} z \iint_{D} \frac{\sin \left(z \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中积分区域 $\displaystyle D: 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4^{2}$ ．