含参量正常积分的可微性
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第13题证明题
13．设 $\displaystyle f(t)=\left(\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x\right)^{2}, g(t)=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{-t^{2}\left(1+x^{2}\right)}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ，证明：$\displaystyle f(t)+g(t)=\frac{\pi}{4}$ ，并由此求积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 。
第22题计算题
22．计算下列积分．
（1）求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ 或 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (1+\tan \theta) \mathrm{d} \theta$ ．
（2）设 $\displaystyle I(a)=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+a x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, a>0$ ，求 $\displaystyle I^{\prime}(a), I(1)$ ．
（1）求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ 或 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (1+\tan \theta) \mathrm{d} \theta$ ．
（2）设 $\displaystyle I(a)=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+a x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, a>0$ ，求 $\displaystyle I^{\prime}(a), I(1)$ ．
第23题证明题
23．设 $\displaystyle B_{r}\left(M_{0}\right)$ 是以 $\displaystyle M_{0}=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为心，$\displaystyle r$ 为半径的球，$\displaystyle \partial B_{r}\left(M_{0}\right)$ 是以 $\displaystyle M_{0}$ 为心，$\displaystyle r$ 为半径的球面，$\displaystyle f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 上连续，证明：$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \iiint_{B_{r}\left(M_{0}\right)} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oiint_{\partial B_{r}\left(M_{0}\right)} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ 。
第25题证明题
25．证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, l]$ 上连续，且当 $\displaystyle 0 \leqslant \xi \leqslant l$ 时，$\displaystyle (x-\xi)^{2}+y^{2}+z^{2} \neq 0$ ，则函数 $\displaystyle u(x, y, z)=\int_{0}^{1} \frac{f(\xi)}{\sqrt{(x-\xi)^{2}+y^{2}+z^{2}}} \mathrm{~d} \xi$ 满足 Laplace 方程 $\displaystyle u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}=0$ ．
第26题求解题
26．求下列导数或极限．
（1）设 $\displaystyle F(t)=\iiint_{V} f(x y z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, f(u)$ 有一阶连续导数，积分区域 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant t, 0 \leqslant y \leqslant t$ ， $\displaystyle 0 \leqslant z \leqslant t$ 所围成．求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ．
（2）计算 $\displaystyle f(t)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}}(x y z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z(t>0)$ 的导数 $\displaystyle f^{\prime}(t)$（只需写出 $\displaystyle f^{\prime}(t)$ 的积分表达式）．
（1）设 $\displaystyle F(t)=\iiint_{V} f(x y z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, f(u)$ 有一阶连续导数，积分区域 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant t, 0 \leqslant y \leqslant t$ ， $\displaystyle 0 \leqslant z \leqslant t$ 所围成．求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ．
（2）计算 $\displaystyle f(t)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}}(x y z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z(t>0)$ 的导数 $\displaystyle f^{\prime}(t)$（只需写出 $\displaystyle f^{\prime}(t)$ 的积分表达式）．