含参量正常积分的连续性
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第6题证明题
6．证明下列各题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在半平面 $\displaystyle x>0$ 内连续，对任意固定的 $\displaystyle y=y_{0}$ ，极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0^{+} \\ y \rightarrow y_{0}}} f(x, y)=\varphi\left(y_{0}\right)$ 存在，现补充定义 $\displaystyle f(0, y)=\varphi(y)$ 。证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在半平面 $\displaystyle x \geqslant 0$ 上连续．
（2）设函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在矩形闭域 $\displaystyle [a, b] \times[c, d]$ 上连续，$\displaystyle x=\varphi(t)$ 为定义在 $\displaystyle [\alpha, \beta]$ 上其值含于 $\displaystyle [a, b]$ 内的可微函数。令 $\displaystyle F(t, y)=\int_{a}^{\varphi(t)} f(x, y) \mathrm{d} x,(t, y) \in[\alpha, \beta] \times[c, d]$ ．证明：$\displaystyle F$ 在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \times[c, d]$ 上连续．
（1）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在半平面 $\displaystyle x>0$ 内连续，对任意固定的 $\displaystyle y=y_{0}$ ，极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0^{+} \\ y \rightarrow y_{0}}} f(x, y)=\varphi\left(y_{0}\right)$ 存在，现补充定义 $\displaystyle f(0, y)=\varphi(y)$ 。证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在半平面 $\displaystyle x \geqslant 0$ 上连续．
（2）设函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在矩形闭域 $\displaystyle [a, b] \times[c, d]$ 上连续，$\displaystyle x=\varphi(t)$ 为定义在 $\displaystyle [\alpha, \beta]$ 上其值含于 $\displaystyle [a, b]$ 内的可微函数。令 $\displaystyle F(t, y)=\int_{a}^{\varphi(t)} f(x, y) \mathrm{d} x,(t, y) \in[\alpha, \beta] \times[c, d]$ ．证明：$\displaystyle F$ 在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \times[c, d]$ 上连续．
第12题证明题
12．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0^{+}} \int_{-1}^{1} \frac{y}{y^{2}+x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\pi f(0)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有界且连续，证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t}{t^{2}+x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\pi f(0)$．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上单调增加．证明： $\displaystyle \lim _{y \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f(x) \frac{\sin x y}{x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \pi f\left(0^{+}\right)$．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0^{+}} \int_{-1}^{1} \frac{y}{y^{2}+x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\pi f(0)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有界且连续，证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t}{t^{2}+x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\pi f(0)$．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上单调增加．证明： $\displaystyle \lim _{y \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f(x) \frac{\sin x y}{x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \pi f\left(0^{+}\right)$．
第18题证明题
18．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,+\infty), \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x$ 绝对收敛。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{n} f\left(\frac{x}{n^{1+\alpha}}\right) \varphi(x) \mathrm{d} x=f(0) \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle \alpha>0$ ．（南京大学 2006，上海大学 2003（ $\displaystyle \alpha=1$ ））
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x$ 绝对收敛。证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\sqrt{n}} f\left(\frac{x}{n}\right) \varphi(x) \mathrm{d} x=f(0) \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x . \text {. }
$$
（3）设函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非负， $\displaystyle \lim _{A \rightarrow+\infty} \int_{0}^{A} g(x) \mathrm{d} x=\alpha$（ $\displaystyle \alpha$ 为有限数），又 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．试证： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{1} t^{-1} g\left(t^{-1} x\right) f(x) \mathrm{d} x=\alpha f(0)$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} t \mathrm{e}^{-t^{2} x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2} f(0)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,+\infty), \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x$ 绝对收敛。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{n} f\left(\frac{x}{n^{1+\alpha}}\right) \varphi(x) \mathrm{d} x=f(0) \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle \alpha>0$ ．（南京大学 2006，上海大学 2003（ $\displaystyle \alpha=1$ ））
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x$ 绝对收敛。证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\sqrt{n}} f\left(\frac{x}{n}\right) \varphi(x) \mathrm{d} x=f(0) \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x . \text {. }
$$
（3）设函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非负， $\displaystyle \lim _{A \rightarrow+\infty} \int_{0}^{A} g(x) \mathrm{d} x=\alpha$（ $\displaystyle \alpha$ 为有限数），又 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．试证： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{1} t^{-1} g\left(t^{-1} x\right) f(x) \mathrm{d} x=\alpha f(0)$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} t \mathrm{e}^{-t^{2} x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2} f(0)$ ．