周期函数
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第7题证明题
7．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f \in C(-\infty,+\infty)$ 且为周期函数，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续，并证明 $\displaystyle \cos x^{2}$ 不是周期函数．
（2）证明：$\displaystyle f(x)=\cos x$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle f(x)=\cos x^{2}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非一致连续．
（1）设 $\displaystyle f \in C(-\infty,+\infty)$ 且为周期函数，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续，并证明 $\displaystyle \cos x^{2}$ 不是周期函数．
（2）证明：$\displaystyle f(x)=\cos x$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle f(x)=\cos x^{2}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非一致连续．
第7题求解题
7．求证下列问题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle T$ 为周期的连续周期函数，求证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t$.
（2）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sin \frac{1}{x} \cdot \int_{0}^{x}|\sin t| \mathrm{d} t$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle T$ 为周期的连续周期函数，求证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t$.
（2）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sin \frac{1}{x} \cdot \int_{0}^{x}|\sin t| \mathrm{d} t$ ．
第8题证明题
8．设 $\displaystyle f(x)$ 为连续周期函数，周期 $\displaystyle T>0, \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x=C$ 。证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} n \int_{n}^{+\infty} \frac{f(x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x=C$ 。
第12题证明题
12．证明下列命题．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 为周期函数且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv A$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都是周期函数且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-g(x))=0$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv g(x)$ 。
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 为周期函数且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv A$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都是周期函数且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-g(x))=0$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv g(x)$ 。
第13题证明题
13．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为非常值连续周期函数，证明：$\displaystyle f(x)$ 必有最小正周期．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的周期函数，其周期小于任意小的正数．证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 为常值函数．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为非常值连续周期函数，证明：$\displaystyle f(x)$ 必有最小正周期．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的周期函数，其周期小于任意小的正数．证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 为常值函数．
第19题计算题
19．计算计算积分．
（1）$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1) \pi}^{k \pi}|\sin x| \mathrm{d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{n \pi} x|\sin x| \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle n$ 为正整数．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x|\sin n x| \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle n$ 为自然数。
（1）$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1) \pi}^{k \pi}|\sin x| \mathrm{d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{n \pi} x|\sin x| \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle n$ 为正整数．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x|\sin n x| \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle n$ 为自然数。
第21题证明题
21．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 连续函数，证明： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(|\cos x|) \mathrm{d} x=\frac{1}{4} \int_{0}^{2 \pi} f(|\cos x|) \mathrm{d} x$ ．
第25题证明题
25．设 $\displaystyle g(x)$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数，$\displaystyle f(x)$ 是周期为 1 的连续函数．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} g(x) f(n x) \mathrm{d} x$
$\displaystyle =\int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ．
$\displaystyle =\int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ．
第26题证明题
26．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle [0, \pi]$ 上的连续函数，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ 。北京交大 2009）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的单调函数， $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=1$ ．
（4）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b}|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi}(b-a)$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle [0, \pi]$ 上的连续函数，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ 。北京交大 2009）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的单调函数， $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=1$ ．
（4）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b}|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi}(b-a)$ 。
第31题证明题
31．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的函数，满足：（I） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x=0$ ；（II）$\displaystyle |f(x)-f(y)| \leqslant L|x-y|$ ， $\displaystyle \forall x, y \in \mathbf{R}, L$ 为常数。证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ ！可以取到最大值和最小值；（2） $\displaystyle \max _{x \in \mathbf{R}}|f(x)| \leqslant \pi L$ ．