四则运算法则
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第2题未分类
2．确定常数 $\displaystyle \alpha$ ，使 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{(1+x)^{\alpha}-1}{x}, x>0, \text { 连续．} \\ 1, x \leqslant 0\end{array}\right.$
第4题讨论/判定题
4．讨论下列函数的连续性，并指出其间断点的类型。
（1）讨论函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{1-\mathrm{e}^{\frac{x}{1-x}}}$ 的连续性，并指出其间断点的类型．
（2）分析函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\ln |x-1|}$ 的间断点及其类型．
（3）给出函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-x}{|x|\left(x^{2}-1\right)}$ 的第二类间断点。
（4）给出函数 $\displaystyle f(x)=x\left[x^{-1}\right]$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的不连续点，其中 $\displaystyle \left[x^{-1}\right]$ 表示 $\displaystyle x^{-1}$ 的整数部分．
（5）分析函数 $\displaystyle f(x)=\frac{2^{\frac{1}{x}}-1}{2^{\frac{1}{x}}+1}$ 的间断点及其类型．
（6）设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow x} \frac{\ln \left(\mathrm{e}^{n^{2}}+1+|x|^{n^{2}}\right)}{n^{2}}$ ，讨论 $\displaystyle f(x)$ 在其定义域上的连续性．
（1）讨论函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{1-\mathrm{e}^{\frac{x}{1-x}}}$ 的连续性，并指出其间断点的类型．
（2）分析函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\ln |x-1|}$ 的间断点及其类型．
（3）给出函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-x}{|x|\left(x^{2}-1\right)}$ 的第二类间断点。
（4）给出函数 $\displaystyle f(x)=x\left[x^{-1}\right]$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的不连续点，其中 $\displaystyle \left[x^{-1}\right]$ 表示 $\displaystyle x^{-1}$ 的整数部分．
（5）分析函数 $\displaystyle f(x)=\frac{2^{\frac{1}{x}}-1}{2^{\frac{1}{x}}+1}$ 的间断点及其类型．
（6）设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow x} \frac{\ln \left(\mathrm{e}^{n^{2}}+1+|x|^{n^{2}}\right)}{n^{2}}$ ，讨论 $\displaystyle f(x)$ 在其定义域上的连续性．
第9题证明题
9．证明下列的结论．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，对任意有理数 $\displaystyle r \in(a, b)$ 有 $\displaystyle f(x)=0$ ，则对任意 $\displaystyle x \in(a, b)$ 都有 $\displaystyle f(x)=0$ ．
（2）不存在在 $\displaystyle [a, b]$ 上不恒为零的连续函数，它在 $\displaystyle [a, b]$ 中的有理点都取值为零．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，对任意有理数 $\displaystyle r \in(a, b)$ 有 $\displaystyle f(x)=0$ ，则对任意 $\displaystyle x \in(a, b)$ 都有 $\displaystyle f(x)=0$ ．
（2）不存在在 $\displaystyle [a, b]$ 上不恒为零的连续函数，它在 $\displaystyle [a, b]$ 中的有理点都取值为零．
第10题证明题
10．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 对任意 $\displaystyle x \in \mathbf{R}$ ，有 $\displaystyle f(x)=f\left(x^{2}\right)$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 和 $\displaystyle x=1$ 处连续．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上为常数。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 连续且 $\displaystyle f(x)=f\left(x^{2}\right)$ 。证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上为常数。青岛理工 2013／2009，华东理工 2006）
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ ：连续，且 $\displaystyle \forall n, f\left(x+\frac{1}{n}\right)=f(x)$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle (0,+\infty)$ 的常值函数．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有定义，在 $\displaystyle x=0$ 处连续，$\displaystyle \forall x \in \mathbf{R}, f(x)=f(2 x)$ ．证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 为常数。
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续，试证对一切 $\displaystyle x$ 满足 $\displaystyle f(2 x)=f(x) \mathrm{e}^{x}$ 的充要条件是 $\displaystyle f(x)=f(0) \mathrm{e}^{x}$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 对任意 $\displaystyle x \in \mathbf{R}$ ，有 $\displaystyle f(x)=f\left(x^{2}\right)$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 和 $\displaystyle x=1$ 处连续．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上为常数。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 连续且 $\displaystyle f(x)=f\left(x^{2}\right)$ 。证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上为常数。青岛理工 2013／2009，华东理工 2006）
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ ：连续，且 $\displaystyle \forall n, f\left(x+\frac{1}{n}\right)=f(x)$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle (0,+\infty)$ 的常值函数．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有定义，在 $\displaystyle x=0$ 处连续，$\displaystyle \forall x \in \mathbf{R}, f(x)=f(2 x)$ ．证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 为常数。
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续，试证对一切 $\displaystyle x$ 满足 $\displaystyle f(2 x)=f(x) \mathrm{e}^{x}$ 的充要条件是 $\displaystyle f(x)=f(0) \mathrm{e}^{x}$ ．
第11题证明题
11．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上满足 $\displaystyle f\left(x^{2}\right)=f(x)$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=f(1)$ 。证 明： $\displaystyle f(x) \equiv f(1), x \in(0,+\infty)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, 0)$ 上满 足 $\displaystyle f\left(x^{3}\right)=f(x), \lim _{x \rightarrow-x} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=f(-1)$ ．证 明： $\displaystyle f(x) \equiv f(-1), x \in(-\infty, 0)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上满足 $\displaystyle f(2 x)=f(x)$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A(A$ 为常数），证明：$\displaystyle f(x) \equiv A$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 0 点的某一邻域内有界，且满足 $\displaystyle f(\alpha x)=\beta f(x), \alpha>1, \beta>1$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 0 点连续．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上满足 $\displaystyle f\left(x^{2}\right)=f(x)$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=f(1)$ 。证 明： $\displaystyle f(x) \equiv f(1), x \in(0,+\infty)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, 0)$ 上满 足 $\displaystyle f\left(x^{3}\right)=f(x), \lim _{x \rightarrow-x} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=f(-1)$ ．证 明： $\displaystyle f(x) \equiv f(-1), x \in(-\infty, 0)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上满足 $\displaystyle f(2 x)=f(x)$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A(A$ 为常数），证明：$\displaystyle f(x) \equiv A$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 0 点的某一邻域内有界，且满足 $\displaystyle f(\alpha x)=\beta f(x), \alpha>1, \beta>1$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 0 点连续．
第19题计算题
19．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(x+3^{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(x+\mathrm{e}^{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(1-2 \sin x)^{\frac{1}{x}}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{\frac{2}{\sin x}}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\sin 2 x+\cos x)^{\frac{1}{x}}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\cos x+x \sin x)^{\frac{1}{x}}$ ．
（13） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x^{2} \mathrm{e}^{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}}$ ．
（15） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{3^{x}-x \ln 3}{2^{x}-x \ln 3}\right)^{\frac{1}{x^{2}}} \cdot$
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{x}+2^{\frac{1}{x}}\right)^{x}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(1+\sin x)^{\frac{1}{x}} \cdot$
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\sin ^{2} x\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\sin x+\cos x)^{\frac{1}{x}}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\cos \frac{a}{x}+\sin \frac{a}{x}\right)^{x}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{\frac{1}{\ln x}}$ ．
（14） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\mathrm{e}^{x}+x^{2}+3 \sin x\right)^{\frac{1}{2 x}}$ ．
（16） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{4 x+3}{4 x-1}\right)^{2 x-1}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(x+3^{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(x+\mathrm{e}^{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(1-2 \sin x)^{\frac{1}{x}}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{\frac{2}{\sin x}}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\sin 2 x+\cos x)^{\frac{1}{x}}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\cos x+x \sin x)^{\frac{1}{x}}$ ．
（13） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x^{2} \mathrm{e}^{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}}$ ．
（15） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{3^{x}-x \ln 3}{2^{x}-x \ln 3}\right)^{\frac{1}{x^{2}}} \cdot$
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{x}+2^{\frac{1}{x}}\right)^{x}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(1+\sin x)^{\frac{1}{x}} \cdot$
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\sin ^{2} x\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\sin x+\cos x)^{\frac{1}{x}}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\cos \frac{a}{x}+\sin \frac{a}{x}\right)^{x}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{\frac{1}{\ln x}}$ ．
（14） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\mathrm{e}^{x}+x^{2}+3 \sin x\right)^{\frac{1}{2 x}}$ ．
（16） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{4 x+3}{4 x-1}\right)^{2 x-1}$ ．
第20题计算题
20．求下列极限．
（1）设 $\displaystyle a>0, a \neq 1$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{a^{x}-1}{(a-1) x}\right]^{\frac{1}{x}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{a}-a^{x}}{x-a}$ ．
（1）设 $\displaystyle a>0, a \neq 1$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{a^{x}-1}{(a-1) x}\right]^{\frac{1}{x}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{a}-a^{x}}{x-a}$ ．
第21题证明题
21．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 为 正 数，$\displaystyle f(x)=\left(\frac{a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\cdots+a_{n}^{x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}$ 。证 明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\max _{1 \leqslant i<n}\left\{a_{i}\right\}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{1^{x}+2^{x}+\cdots+n^{x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}} \cdot($ 深圳大学 2010）
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}+\cdots+\mathrm{e}^{n x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{1}^{\frac{1}{x}}+a_{2}^{\frac{1}{x}}+\cdots+a_{n}^{\frac{1}{x}}}{n}\right)^{n x}\left(a_{i}>0, i=1,2, \cdots\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3}\right)^{\frac{1}{x}}, a>0, b>0, c>0$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3}\right)^{n}, a, b, c>0$ ．，海南大学2007）
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^{n}, a, b>0$ ．（苏州大学 2013，北京理工 2005，吉林师大 2002，重庆大学 2001，青岛大学 2004／2010，延安大学 2006／2000（ $\displaystyle a=5, b=7) / 2002(a=3, b=11)$ ）
（1）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 为 正 数，$\displaystyle f(x)=\left(\frac{a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\cdots+a_{n}^{x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}$ 。证 明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\max _{1 \leqslant i<n}\left\{a_{i}\right\}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{1^{x}+2^{x}+\cdots+n^{x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}} \cdot($ 深圳大学 2010）
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}+\cdots+\mathrm{e}^{n x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{1}^{\frac{1}{x}}+a_{2}^{\frac{1}{x}}+\cdots+a_{n}^{\frac{1}{x}}}{n}\right)^{n x}\left(a_{i}>0, i=1,2, \cdots\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3}\right)^{\frac{1}{x}}, a>0, b>0, c>0$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3}\right)^{n}, a, b, c>0$ ．，海南大学2007）
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^{n}, a, b>0$ ．（苏州大学 2013，北京理工 2005，吉林师大 2002，重庆大学 2001，青岛大学 2004／2010，延安大学 2006／2000（ $\displaystyle a=5, b=7) / 2002(a=3, b=11)$ ）
第22题证明题
22．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上递增，$\displaystyle f(x) \geqslant 0$ 且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(2 x)}{f(x)}=1$ ．证明：对任 意 的 $\displaystyle \alpha>0$ ，有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(\alpha x)}{f(x)}=1$ ．
第24题求解题
24．求极限中的常数．
（1）确定常数 $\displaystyle \alpha, \beta$ 的值，使 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{3 n^{2}+4 n-2}-\alpha n-\beta\right)=0$ ．
（2）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}-x+1}-a x-b\right)=0$ ，确定常数 $\displaystyle a, b$ 的值．
（3）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^{2}-x+1}-a x-b\right)=0$ ，确定常数 $\displaystyle a, b$ 的值．
（4）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x^{2}+1}{x+1}-a x-b\right)=0$ ，确定常数 $\displaystyle a, b$ 的值．
（5）设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{a x}=\lim _{x \rightarrow 0} \arccos \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sin x}$ ，求 $\displaystyle a$ 的值．
（6）试求正数 $\displaystyle a$ 与 $\displaystyle b$ 的值，使等式 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x-b \sin x} \int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{\sqrt{a+t^{2}}} \mathrm{~d} t=1$ 成立。
（7）设 $\displaystyle a, b, c$ 为实数，且 $\displaystyle b>-1, c \neq 0$ ，试确定 $\displaystyle a, b, c$ 的值，使得 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x-\sin x}{\int_{b}^{x} \frac{\ln \left(1+t^{3}\right)}{t} \mathrm{~d} t}=c$ ．
（1）确定常数 $\displaystyle \alpha, \beta$ 的值，使 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{3 n^{2}+4 n-2}-\alpha n-\beta\right)=0$ ．
（2）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}-x+1}-a x-b\right)=0$ ，确定常数 $\displaystyle a, b$ 的值．
（3）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^{2}-x+1}-a x-b\right)=0$ ，确定常数 $\displaystyle a, b$ 的值．
（4）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x^{2}+1}{x+1}-a x-b\right)=0$ ，确定常数 $\displaystyle a, b$ 的值．
（5）设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{a x}=\lim _{x \rightarrow 0} \arccos \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sin x}$ ，求 $\displaystyle a$ 的值．
（6）试求正数 $\displaystyle a$ 与 $\displaystyle b$ 的值，使等式 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x-b \sin x} \int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{\sqrt{a+t^{2}}} \mathrm{~d} t=1$ 成立。
（7）设 $\displaystyle a, b, c$ 为实数，且 $\displaystyle b>-1, c \neq 0$ ，试确定 $\displaystyle a, b, c$ 的值，使得 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x-\sin x}{\int_{b}^{x} \frac{\ln \left(1+t^{3}\right)}{t} \mathrm{~d} t}=c$ ．