基本初等函数
按知识点浏览 · 共 18 题
第2题未分类
2．确定常数 $\displaystyle \alpha$ ，使 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{(1+x)^{\alpha}-1}{x}, x>0, \text { 连续．} \\ 1, x \leqslant 0\end{array}\right.$
第6题证明题
6．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上满足 Lipschitz 条件，即存在常数 $\displaystyle m>0$ ，使对 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上任意两点 $\displaystyle x^{\prime}, x^{\prime \prime}$都有 $\displaystyle \left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant m\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|$ ．证明 $\displaystyle f\left(x^{\alpha}\right),(\alpha \in(0,1))$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上具有连续的导函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)$ 存在有限， $\displaystyle 0<\alpha<1$ ，是一个常数．证明 $\displaystyle f\left(x^{\alpha}\right)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（3）设 $\displaystyle p$ 为正常数，$\displaystyle f(x)=\cos x^{p}$ 。证明：当 $\displaystyle 0<p \leqslant 1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty) \rightarrow(0,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle \alpha \in(0,1)$ ，则 $\displaystyle f^{\alpha}(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（5）设 $\displaystyle g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 为连续函数，$\displaystyle f(x)=g(\sin x)$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上一致连续．
（6）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 一致连续，值域含于 $\displaystyle (c, d), g(x)$ 在 $\displaystyle (c, d)$ 日：一致连续，则 $\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 上连续，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \mu$ ．问 $\displaystyle F(x)=f(\sin x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 是否一致连续？
（8）设 $\displaystyle f(x)=\sin \sqrt{x}$ ，判断 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上是否一致连续，并给出证明．
（9）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上连续．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续，则 $\displaystyle \sin ^{3}|f(x)|$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续．
（2）若 $\displaystyle |f(x)|$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续，则 $\displaystyle \sin ^{3}(f(x))$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上满足 Lipschitz 条件，即存在常数 $\displaystyle m>0$ ，使对 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上任意两点 $\displaystyle x^{\prime}, x^{\prime \prime}$都有 $\displaystyle \left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant m\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|$ ．证明 $\displaystyle f\left(x^{\alpha}\right),(\alpha \in(0,1))$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上具有连续的导函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)$ 存在有限， $\displaystyle 0<\alpha<1$ ，是一个常数．证明 $\displaystyle f\left(x^{\alpha}\right)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（3）设 $\displaystyle p$ 为正常数，$\displaystyle f(x)=\cos x^{p}$ 。证明：当 $\displaystyle 0<p \leqslant 1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty) \rightarrow(0,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle \alpha \in(0,1)$ ，则 $\displaystyle f^{\alpha}(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（5）设 $\displaystyle g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 为连续函数，$\displaystyle f(x)=g(\sin x)$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上一致连续．
（6）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 一致连续，值域含于 $\displaystyle (c, d), g(x)$ 在 $\displaystyle (c, d)$ 日：一致连续，则 $\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 上连续，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \mu$ ．问 $\displaystyle F(x)=f(\sin x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 是否一致连续？
（8）设 $\displaystyle f(x)=\sin \sqrt{x}$ ，判断 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上是否一致连续，并给出证明．
（9）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上连续．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续，则 $\displaystyle \sin ^{3}|f(x)|$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续．
（2）若 $\displaystyle |f(x)|$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续，则 $\displaystyle \sin ^{3}(f(x))$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续．
第7题证明题
7．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{\ln x}>\frac{x}{1+x},(x>1)$ ．
（2）$\displaystyle (a+1)^{\ln b}>(b+1)^{\ln a} \cdot(1<a<b)$ ．
（1）$\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{\ln x}>\frac{x}{1+x},(x>1)$ ．
（2）$\displaystyle (a+1)^{\ln b}>(b+1)^{\ln a} \cdot(1<a<b)$ ．
第11题证明题
11．证明当 $\displaystyle \mathrm{e}<a<b$ 时 $\displaystyle a^{b}>b^{a}$ ，并由此比较下列大小。
（1）$\displaystyle (\sqrt{n})^{\sqrt{n+1}}$ 与 $\displaystyle (\sqrt{n+1})^{\sqrt{n}}, n>8$ ．
（2）$\displaystyle \pi^{\mathrm{e}}$ 与 $\displaystyle \mathrm{e}^{\pi}$ ．
（1）$\displaystyle (\sqrt{n})^{\sqrt{n+1}}$ 与 $\displaystyle (\sqrt{n+1})^{\sqrt{n}}, n>8$ ．
（2）$\displaystyle \pi^{\mathrm{e}}$ 与 $\displaystyle \mathrm{e}^{\pi}$ ．
第19题证明题
19．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)=x^{\lambda}, \lambda>0$ ，证明：当 $\displaystyle 0<\lambda \leqslant 1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续。当 $\displaystyle \lambda>1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续．
（2）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 或 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（3）证明：$\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续；（2）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 或 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 非一致连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)=x^{2}+2 x+1$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a](a>0)$ 上一致连续；（2）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非一致连续．
（1）设 $\displaystyle f(x)=x^{\lambda}, \lambda>0$ ，证明：当 $\displaystyle 0<\lambda \leqslant 1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续。当 $\displaystyle \lambda>1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续．
（2）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 或 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（3）证明：$\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续；（2）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 或 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 非一致连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)=x^{2}+2 x+1$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a](a>0)$ 上一致连续；（2）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非一致连续．
第20题证明题
20．证明下列结论。
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)(a>0)$ 上一致连续；（2）在 $\displaystyle (0,1)$ 或 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续；（3）在 $\displaystyle [a, 1](0<a<1)$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [\delta, 1](0<\delta<1)$ 上一致连续；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续； （3）在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续但非一致连续．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续，在 $\displaystyle (c, 1)(0<c<1)$ 上一致连续．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)(a>0)$ 上一致连续；（2）在 $\displaystyle (0,1)$ 或 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续；（3）在 $\displaystyle [a, 1](0<a<1)$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [\delta, 1](0<\delta<1)$ 上一致连续；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续； （3）在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续但非一致连续．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续，在 $\displaystyle (c, 1)(0<c<1)$ 上一致连续．
第21题未分类
21．设 $\displaystyle p \geqslant 1$ ，试证：（1）函数 $\displaystyle f(x)=\sin \left(x^{-p}\right)$ 在 $\displaystyle [\delta, 1](0<\delta<1)$ 上一致连续；（2）函数 $\displaystyle f(x)=\sin \left(x^{-p}\right)$ 在开区间 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续．
第22题证明题
22．设 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x}$ ，证明：
（1）在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续．
（2）在 $\displaystyle (a, b)(0<a<b<+\infty)$ 内一致连续．
（3）$\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续 $\displaystyle (a>0)$ ，在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续．
（1）在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续．
（2）在 $\displaystyle (a, b)(0<a<b<+\infty)$ 内一致连续．
（3）$\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续 $\displaystyle (a>0)$ ，在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续．
第23题证明题
23．证明：$\displaystyle f(x)=\cos \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续，但在 $\displaystyle (a,+\infty)(a>0)$ 上一致连续．
第25题证明题
25．证明：（1）$\displaystyle f(x)=\sin x$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续；
（2）$\displaystyle g(x)=\sin x^{2}$ 在 $\displaystyle [0, A]$ 上一致连续，但在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 或 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非一致连续；
（3）$\displaystyle h(x)=\cos x^{2}$ 在有限区间 $\displaystyle [0, b]$ 上一致连续，在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非一致连续．
（2）$\displaystyle g(x)=\sin x^{2}$ 在 $\displaystyle [0, A]$ 上一致连续，但在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 或 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非一致连续；
（3）$\displaystyle h(x)=\cos x^{2}$ 在有限区间 $\displaystyle [0, b]$ 上一致连续，在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非一致连续．
第27题证明题
27．用一致连续函数的定义证明：函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ 在区间 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上一致连续，而在区间 $\displaystyle (0, a)$ 上非一致连续 $\displaystyle (a>0)$ 。北京交大 2009）
第29题证明题
29．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle n$ 是正整数，给定方程 $\displaystyle x+x^{2}+\cdots+x^{n}=1$ 。证明：此方程仅有唯一的正根 $\displaystyle x_{n} \in(0,1)$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2}$ ．．华中科技 2013，北京师大 1997，苏州大学 2004，宁波大学 2011，上海理工 2003，吉林大学，山西大学 2005，西安电子科技 2011／2002，西南交大 2005，西南交大 2008，相潭大学 2011）
（2）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\sin x+\sin ^{2} x+\cdots+\sin ^{n} x$ 。证明：（1）对任意正整数 $\displaystyle n$ ，方程 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 在 $\displaystyle \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 仅有
一根；（2）设 $\displaystyle x_{n} \in\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 是 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 的根，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\cos x+\cos ^{2} x+\cdots+\cos ^{n} x$ ，求证：对任意自然数 $\displaystyle n(n \geqslant 2)$ ，方程 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 在区间 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 内必有唯一根 $\displaystyle x_{n}$ ，并求数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 的极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ 。
（4）设 $\displaystyle n$ 是正整数，给定方程 $\displaystyle x^{n}+x=1$ ．证明：（1）此方程仅有唯一的正根 $\displaystyle x_{n} \in(0,1)$ ； （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$ ．
（5）证明：$\displaystyle x+x^{3}+\cdots+x^{2 n-1}=1$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 仅有一个根 $\displaystyle x_{n}$ ，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（1）设 $\displaystyle n$ 是正整数，给定方程 $\displaystyle x+x^{2}+\cdots+x^{n}=1$ 。证明：此方程仅有唯一的正根 $\displaystyle x_{n} \in(0,1)$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2}$ ．．华中科技 2013，北京师大 1997，苏州大学 2004，宁波大学 2011，上海理工 2003，吉林大学，山西大学 2005，西安电子科技 2011／2002，西南交大 2005，西南交大 2008，相潭大学 2011）
（2）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\sin x+\sin ^{2} x+\cdots+\sin ^{n} x$ 。证明：（1）对任意正整数 $\displaystyle n$ ，方程 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 在 $\displaystyle \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 仅有
一根；（2）设 $\displaystyle x_{n} \in\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 是 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 的根，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\cos x+\cos ^{2} x+\cdots+\cos ^{n} x$ ，求证：对任意自然数 $\displaystyle n(n \geqslant 2)$ ，方程 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 在区间 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 内必有唯一根 $\displaystyle x_{n}$ ，并求数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 的极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ 。
（4）设 $\displaystyle n$ 是正整数，给定方程 $\displaystyle x^{n}+x=1$ ．证明：（1）此方程仅有唯一的正根 $\displaystyle x_{n} \in(0,1)$ ； （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$ ．
（5）证明：$\displaystyle x+x^{3}+\cdots+x^{2 n-1}=1$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 仅有一个根 $\displaystyle x_{n}$ ，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
第30题证明题
30．证明下列函数在指定区间非一致连续．
（1）$\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x} \cos \frac{1}{x}, x \in(0,1)$ 。
（2）$\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x}, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\tan x, x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \cdot$
（1）$\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x} \cos \frac{1}{x}, x \in(0,1)$ 。
（2）$\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x}, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\tan x, x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \cdot$
第30题求解题
30．求下列函数的高阶导数．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin x}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 其中 $\displaystyle n \in \mathbf{N}$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=(\arcsin x)^{2}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．（海南大学 2010，大连理工 2006（n＝3））
（3）设 $\displaystyle f(x)=x \arccos x$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)=\sin x^{2}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)=x^{3} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 。
（6）设 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（8）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{5}}{\sqrt{1+x^{2}}} \cdot \frac{\sin ^{4} x}{1+\cos ^{2} x}$ ，求 $\displaystyle f^{(6)}(0), \int_{-1}^{1} f^{(6)}(x) \mathrm{d} x$ ．
（9）设 $\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}} \sin x$ ，求 $\displaystyle f^{(2012)}(0)$ ．
（10）设 $\displaystyle f(x)=x^{4} \mathrm{e}^{x}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0) .(n=2006$ ：地质大学 2006 ，山东科技 $\displaystyle 2010, n=100$ ：江苏大学 2014）
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin x}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 其中 $\displaystyle n \in \mathbf{N}$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=(\arcsin x)^{2}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．（海南大学 2010，大连理工 2006（n＝3））
（3）设 $\displaystyle f(x)=x \arccos x$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)=\sin x^{2}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)=x^{3} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 。
（6）设 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（8）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{5}}{\sqrt{1+x^{2}}} \cdot \frac{\sin ^{4} x}{1+\cos ^{2} x}$ ，求 $\displaystyle f^{(6)}(0), \int_{-1}^{1} f^{(6)}(x) \mathrm{d} x$ ．
（9）设 $\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}} \sin x$ ，求 $\displaystyle f^{(2012)}(0)$ ．
（10）设 $\displaystyle f(x)=x^{4} \mathrm{e}^{x}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0) .(n=2006$ ：地质大学 2006 ，山东科技 $\displaystyle 2010, n=100$ ：江苏大学 2014）
第31题证明题
31．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1} \sin \frac{1}{x},(a>0)$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，在 $\displaystyle (0, a)$ 内非一致连续．（大连理工 2006，苏州科技 2008，计量学院 2011，兰州大学 1980，中北大学 2005（ $\displaystyle a=1$ ））
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left(1+\frac{1}{x+1}\right) \cos \frac{1}{x},(a>0)$ 。证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1} \sin \frac{1}{x},(a>0)$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，在 $\displaystyle (0, a)$ 内非一致连续．（大连理工 2006，苏州科技 2008，计量学院 2011，兰州大学 1980，中北大学 2005（ $\displaystyle a=1$ ））
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left(1+\frac{1}{x+1}\right) \cos \frac{1}{x},(a>0)$ 。证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
第32题证明题
32．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\ln x$ ，证明：（1）在 $\displaystyle (0,1)$ 及 $\displaystyle (0,+\infty)$ 非一致连续；（2）在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 一致连续
（2）证明：函数 $\displaystyle f(x)=x \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续。武汉大学1992，首都师大2010）
（3）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x} \ln x$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle \alpha>0$ ，试确定函数 $\displaystyle f(x)=x^{\alpha} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续的参数 $\displaystyle \alpha$ 的范围．
（5）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续。安徽大学 2009）
（6）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\ln x$ ，证明：（1）在 $\displaystyle (0,1)$ 及 $\displaystyle (0,+\infty)$ 非一致连续；（2）在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 一致连续
（2）证明：函数 $\displaystyle f(x)=x \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续。武汉大学1992，首都师大2010）
（3）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x} \ln x$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle \alpha>0$ ，试确定函数 $\displaystyle f(x)=x^{\alpha} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续的参数 $\displaystyle \alpha$ 的范围．
（5）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续。安徽大学 2009）
（6）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续．
第33题证明题
33．证明下列函数在指定区间内一致连续．
（1）$\displaystyle f(x)=x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right), x \in[2,+\infty)$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right), x \in(0,+\infty)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\sqrt{x(x-1)}, x \in[1,+\infty)$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right), x \in[2,+\infty)$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right), x \in(0,+\infty)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\sqrt{x(x-1)}, x \in[1,+\infty)$ ．
第35题证明题
35．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．将 $\displaystyle [a, b]$ 改为 $\displaystyle (a, b)$ ，结论是否还成立？说明理由．（河海大学 2006，北京大学 2008，扬州大学 2010，北京交大 2001，新疆大学 2006，东华大学 2000（用致密性定理））