基本求导法则与公式
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第1题求解题
1．求下列导数．
（1）设 $\displaystyle f(x)=x \sqrt{1-x^{2}}+\arcsin x$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle y=\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a},(a>0)$ ，求 $\displaystyle y^{\prime}$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{(1+x) \sqrt{x}}{\mathrm{e}^{x-1}}}+\arcsin \frac{1-x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}, f_{n}(x)=f(f(\cdots f(x)))(n$ 个 $\displaystyle f)$ ，求 $\displaystyle f_{n}^{\prime}(x)$ 。西北工大）
（5）设 $\displaystyle y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ ，求 $\displaystyle y^{\prime \prime}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)=x \sqrt{1-x^{2}}+\arcsin x$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle y=\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a},(a>0)$ ，求 $\displaystyle y^{\prime}$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{(1+x) \sqrt{x}}{\mathrm{e}^{x-1}}}+\arcsin \frac{1-x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}, f_{n}(x)=f(f(\cdots f(x)))(n$ 个 $\displaystyle f)$ ，求 $\displaystyle f_{n}^{\prime}(x)$ 。西北工大）
（5）设 $\displaystyle y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ ，求 $\displaystyle y^{\prime \prime}$ ．
第1题计算题
1．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x .(a=2$ ：山东师大 2007；$\displaystyle a=1$ ：广西民大 2009，曲阜师大 2008）
（2） $\displaystyle \int_{1}^{2} \sqrt{x^{2}-1} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{2 a} x \sqrt{2 a x-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int_{0}^{2} \sqrt{x^{3}-2 x^{2}+x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x .(a=2$ ：山东师大 2007；$\displaystyle a=1$ ：广西民大 2009，曲阜师大 2008）
（2） $\displaystyle \int_{1}^{2} \sqrt{x^{2}-1} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{2 a} x \sqrt{2 a x-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int_{0}^{2} \sqrt{x^{3}-2 x^{2}+x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
第2题求解题
2．已知 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t),\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．
第3题求解题
3．求下列导数．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\varphi(a+b x)-\varphi(a-b x)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某个小邻域内有定义且在该点处可导，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)=\varphi^{2}(a+b x)-\varphi^{2}(a-b x)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某个小邻域内有定义且在该点处可导，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
（3）设一元函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 一阶连续可导。令 $\displaystyle f(x)=x^{2} \cdot \varphi(x)$ ，计算 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ ．
（4）已知 $\displaystyle f(x)=(x-a)^{2} \phi(x)$ ，其中 $\displaystyle \phi^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某邻域内连续，求 $\displaystyle f^{\prime \prime}(a)$ ．
（5）已知 $\displaystyle f(x)=(x-a) \varphi(x)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 在点 $\displaystyle x=a$ 的某邻域内连续，求 $\displaystyle f^{\prime}(a)$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\varphi(a+b x)-\varphi(a-b x)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某个小邻域内有定义且在该点处可导，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)=\varphi^{2}(a+b x)-\varphi^{2}(a-b x)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某个小邻域内有定义且在该点处可导，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
（3）设一元函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 一阶连续可导。令 $\displaystyle f(x)=x^{2} \cdot \varphi(x)$ ，计算 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ ．
（4）已知 $\displaystyle f(x)=(x-a)^{2} \phi(x)$ ，其中 $\displaystyle \phi^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某邻域内连续，求 $\displaystyle f^{\prime \prime}(a)$ ．
（5）已知 $\displaystyle f(x)=(x-a) \varphi(x)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 在点 $\displaystyle x=a$ 的某邻域内连续，求 $\displaystyle f^{\prime}(a)$ ．
第4题计算题
4．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{\sqrt[3]{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 或 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{\sqrt[3]{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 或 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．
第7题求解题
7．求下列导数．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} \sin \frac{1}{x}, x>0, \\ 0, x=0, \\ \frac{1-\cos x^{2}}{x}, x<0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$.
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} \sin \frac{1}{x}+\sin x, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} \sin \frac{1}{x}, x>0, \\ 0, x=0, \\ \frac{1-\cos x^{2}}{x}, x<0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$.
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} \sin \frac{1}{x}+\sin x, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
第8题讨论/判定题
8．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x}+x^{2} \sin \frac{1}{x}-1, x \neq 0 \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，并讨论导函数在 $\displaystyle x=0$ 是否连续．
第16题计算题
16．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x} \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{-x} \frac{1+\sin x}{1-\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}+1}}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-a}} .(a=1$ ：河北大学 2010／2014，青岛大学 2005，南京大学 2002，$\displaystyle a=2$ ：四川师大 2013）
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x} \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{-x} \frac{1+\sin x}{1-\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}+1}}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-a}} .(a=1$ ：河北大学 2010／2014，青岛大学 2005，南京大学 2002，$\displaystyle a=2$ ：四川师大 2013）
第17题计算题
17．求下列积分．
（1）设 $\displaystyle f(\ln x)=\frac{\ln (1+x)}{x}$ ，求 $\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f\left(x^{2}-1\right)=\ln \frac{x^{2}}{x^{2}-2}$ ，且 $\displaystyle f(\varphi(x))=\ln (x)$ ，求 $\displaystyle \int \varphi(x) \mathrm{d} x$ 。
（1）设 $\displaystyle f(\ln x)=\frac{\ln (1+x)}{x}$ ，求 $\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f\left(x^{2}-1\right)=\ln \frac{x^{2}}{x^{2}-2}$ ，且 $\displaystyle f(\varphi(x))=\ln (x)$ ，求 $\displaystyle \int \varphi(x) \mathrm{d} x$ 。
第22题计算题
22．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \sqrt{a^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int x^{3} \sqrt{4^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{2}{x+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{2}-1}}$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{4-x^{2}}}$ ．
（1） $\displaystyle \int \sqrt{a^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int x^{3} \sqrt{4^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{2}{x+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{2}-1}}$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{4-x^{2}}}$ ．
第28题求解题
28．求下列函数的高阶导数。
（1）设 $\displaystyle y=\frac{1}{1-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle y^{(n)}(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle y(x)=\frac{1}{x-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle y^{(n)}(x)$ ．
（1）设 $\displaystyle y=\frac{1}{1-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle y^{(n)}(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle y(x)=\frac{1}{x-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle y^{(n)}(x)$ ．
第29题求解题
29．求下列函数的高阶导数．
（1）设 $\displaystyle f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{-x}$ ，求 $\displaystyle f^{(8)}(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=x^{2} \cos 3 x$ ，求 $\displaystyle f^{(50)}(x)$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\left(3 x^{2}-2\right) \sin 2 x$ ，求 $\displaystyle f^{(100)}(x)$ ．
（4）设 $\displaystyle y=\mathrm{e}^{a x} \sin b x$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(x)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{-x}$ ，求 $\displaystyle f^{(8)}(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=x^{2} \cos 3 x$ ，求 $\displaystyle f^{(50)}(x)$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\left(3 x^{2}-2\right) \sin 2 x$ ，求 $\displaystyle f^{(100)}(x)$ ．
（4）设 $\displaystyle y=\mathrm{e}^{a x} \sin b x$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(x)$ ．
第35题证明题
35．设 $\displaystyle f(x)=\arcsin x$ ，证明：$\displaystyle \left(1-x^{2}\right) f^{(n+2)}(x)-(2 n+1) x f^{(n+1)}(x)-n^{2} f^{(n)}(x)=0$ ，并求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．