基本积分表
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第1题计算题
1．计算下列积分．
（1） $\displaystyle \int \sqrt{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\sec ^{2} x}{4+\tan ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos ^{4} x \sin ^{4} x}$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+\tan x}$ ．
（1） $\displaystyle \int \sqrt{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\sec ^{2} x}{4+\tan ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos ^{4} x \sin ^{4} x}$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+\tan x}$ ．
第1题计算题
1．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x .(a=2$ ：山东师大 2007；$\displaystyle a=1$ ：广西民大 2009，曲阜师大 2008）
（2） $\displaystyle \int_{1}^{2} \sqrt{x^{2}-1} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{2 a} x \sqrt{2 a x-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int_{0}^{2} \sqrt{x^{3}-2 x^{2}+x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x .(a=2$ ：山东师大 2007；$\displaystyle a=1$ ：广西民大 2009，曲阜师大 2008）
（2） $\displaystyle \int_{1}^{2} \sqrt{x^{2}-1} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{2 a} x \sqrt{2 a x-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int_{0}^{2} \sqrt{x^{3}-2 x^{2}+x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
第1题计算题
1．计算下列反常积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \sin b x \mathrm{~d} x(a>0)$ ．（哈工大 2001，燕山大学 2010（ $\displaystyle b=2$ ）；$\displaystyle a=1, b=2$ ：湖南师大 2011，南京农大 2007）
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \cos b x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x(a>0)$ 。
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \sin b x \mathrm{~d} x(a>0)$ ．（哈工大 2001，燕山大学 2010（ $\displaystyle b=2$ ）；$\displaystyle a=1, b=2$ ：湖南师大 2011，南京农大 2007）
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \cos b x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x(a>0)$ 。
第2题计算题
2．计算下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\cos x \sin ^{3} x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x}(a b \neq 0)$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\tan x+\sin x}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos 2 x \sin x}$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{\cos x \sin ^{3} x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x}(a b \neq 0)$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\tan x+\sin x}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos 2 x \sin x}$ ．
第2题计算题
2．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{9} x \sqrt[3]{1-x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{4} \frac{x+2}{\sqrt{2 x+1}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{4} \frac{1}{x(1+\sqrt{x})} \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\frac{x+1}{\sqrt[3]{3 x+1}}+x \arctan x\right) \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{9} x \sqrt[3]{1-x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{4} \frac{x+2}{\sqrt{2 x+1}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{4} \frac{1}{x(1+\sqrt{x})} \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\frac{x+1}{\sqrt[3]{3 x+1}}+x \arctan x\right) \mathrm{d} x$ ．
第3题计算题
3．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+\sin x}$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+4 \cos x}$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos x \sin ^{3} x}$ 。
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{2+\cos x+\sin x}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{5 \sin x+2 \cos x}{\sin x+3 \cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{\ln \left(2+\sin ^{2} x\right)}{\left(1+\sin ^{2} x\right)^{2}} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{\sqrt{1+\sin x}}{\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+\sin x}$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+4 \cos x}$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos x \sin ^{3} x}$ 。
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{2+\cos x+\sin x}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{5 \sin x+2 \cos x}{\sin x+3 \cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{\ln \left(2+\sin ^{2} x\right)}{\left(1+\sin ^{2} x\right)^{2}} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{\sqrt{1+\sin x}}{\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
第3题计算题
3．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{-2}^{2} \mathrm{e}^{-|\mathrm{x}|}|1-\mathrm{x}| \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{3} \sqrt{|x(x-2)|} \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{n+1} \ln [x] \mathrm{d} x, n \in \mathbf{N}^{+}$．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{2}\left[\mathrm{e}^{x}\right] \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{-1}^{3} \min \left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{2} x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{-2}^{2} \max \left\{1, x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ 。
（7） $\displaystyle \int_{-1}^{2} \min \left\{2, x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ 。
（1） $\displaystyle \int_{-2}^{2} \mathrm{e}^{-|\mathrm{x}|}|1-\mathrm{x}| \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{3} \sqrt{|x(x-2)|} \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{n+1} \ln [x] \mathrm{d} x, n \in \mathbf{N}^{+}$．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{2}\left[\mathrm{e}^{x}\right] \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{-1}^{3} \min \left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{2} x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{-2}^{2} \max \left\{1, x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ 。
（7） $\displaystyle \int_{-1}^{2} \min \left\{2, x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ 。
第5题计算题
5．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \arctan 2 x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int x \arctan x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \arctan \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \arctan 2 x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int x \arctan x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \arctan \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
第5题计算题
5．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} \arctan x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\pi}(x \sin x)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} x \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x^{2} \sqrt{1-\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\arcsin x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}} \mathrm{dx}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x$ 。
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} \arctan x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\pi}(x \sin x)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} x \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x^{2} \sqrt{1-\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\arcsin x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}} \mathrm{dx}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x$ 。
第6题计算题
6．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \sqrt{x} \sin \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \cos ^{2} \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int x \sin a x \cos b x \mathrm{~d} x\left(a \neq 0, b \neq 0, a^{2} \neq b^{2}\right)$ 。北京交大 2004）
（1） $\displaystyle \int \sqrt{x} \sin \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \cos ^{2} \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int x \sin a x \cos b x \mathrm{~d} x\left(a \neq 0, b \neq 0, a^{2} \neq b^{2}\right)$ 。北京交大 2004）
第6题计算题
6．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1}(\ln x)^{n} \mathrm{~d} x$. ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}+1} x^{2} \ln (x-1) \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left[\frac{x(1+x)}{\sqrt{1+2 x}}+\ln x\right] \mathrm{d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{e^{-1}}^{e}|\ln x| d x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1}(\ln x)^{n} \mathrm{~d} x$. ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}+1} x^{2} \ln (x-1) \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left[\frac{x(1+x)}{\sqrt{1+2 x}}+\ln x\right] \mathrm{d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{e^{-1}}^{e}|\ln x| d x$ ．
第7题计算题
7．求下列积分．
（1）设 $\displaystyle m, n$ 为正整数，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} t^{n}(\ln t)^{m} \mathrm{~d} t$ 。华中科技 2014，湖南大学 2006，西安理工 2005，北师大，武汉大学 2014（ $\displaystyle m=n$ ））
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} x \ln x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int_{1}^{e}(x \ln x)^{3} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(\ln x)^{2006} \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(\ln x)^{2012} \mathrm{~d} x$ 。
（1）设 $\displaystyle m, n$ 为正整数，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} t^{n}(\ln t)^{m} \mathrm{~d} t$ 。华中科技 2014，湖南大学 2006，西安理工 2005，北师大，武汉大学 2014（ $\displaystyle m=n$ ））
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} x \ln x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int_{1}^{e}(x \ln x)^{3} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(\ln x)^{2006} \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(\ln x)^{2012} \mathrm{~d} x$ 。
第8题计算题
8．设 $\displaystyle n$ 为自然数，求下列不定积分的递推公式．
（1）$\displaystyle I_{n}=\int \tan ^{n} x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int \tan ^{4} \mathrm{~d} x$ 。
（2）$\displaystyle I_{n}=\int \sec ^{n} x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int \sec ^{3} x \mathrm{~d} x$ 。
（3）$\displaystyle I_{n}=\int x^{n} \cos x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int x^{3} \cos x \mathrm{~d} x$ 。
（4）$\displaystyle I_{n}=\int(\ln x)^{n} \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int \ln ^{2} x \mathrm{~d} x$ 。
（1）$\displaystyle I_{n}=\int \tan ^{n} x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int \tan ^{4} \mathrm{~d} x$ 。
（2）$\displaystyle I_{n}=\int \sec ^{n} x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int \sec ^{3} x \mathrm{~d} x$ 。
（3）$\displaystyle I_{n}=\int x^{n} \cos x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int x^{3} \cos x \mathrm{~d} x$ 。
（4）$\displaystyle I_{n}=\int(\ln x)^{n} \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int \ln ^{2} x \mathrm{~d} x$ 。
第8题计算题
8．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}^{2}} \frac{\ln (\ln x)}{x \ln x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{1}{x\left(2+\ln ^{2} x\right)} \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \sqrt{1-\mathrm{e}^{-2 x}} \mathrm{dx}$ 。
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \sqrt{\mathrm{e}^{x}-1} \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \frac{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}^{2}} \frac{\ln (\ln x)}{x \ln x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{1}{x\left(2+\ln ^{2} x\right)} \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \sqrt{1-\mathrm{e}^{-2 x}} \mathrm{dx}$ 。
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \sqrt{\mathrm{e}^{x}-1} \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \frac{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
第9题计算题
9．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{a x} \sin b x \mathrm{~d} x$ ．（湖南师大2010（b＝1），深圳大学 2006（ $\displaystyle a=1, b=1$ ），湘潭大学 2008（ $\displaystyle a=1, b=2$ ））
（2） $\displaystyle \int \cos (\ln x) \mathrm{d} x, \int \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int x \mathrm{e}^{x} \cos x \mathrm{~d} x, \int x \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{\arctan x}}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sin x} \frac{x \cos ^{3} x-\sin x}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{\ln \sin x}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{a x} \sin b x \mathrm{~d} x$ ．（湖南师大2010（b＝1），深圳大学 2006（ $\displaystyle a=1, b=1$ ），湘潭大学 2008（ $\displaystyle a=1, b=2$ ））
（2） $\displaystyle \int \cos (\ln x) \mathrm{d} x, \int \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int x \mathrm{e}^{x} \cos x \mathrm{~d} x, \int x \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{\arctan x}}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sin x} \frac{x \cos ^{3} x-\sin x}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{\ln \sin x}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
第9题证明题
9．求证下列问题．
（1）证明：当 $\displaystyle x>0$ 时，恒有 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{\int_{\ln 2} \frac{\mathrm{~d} t}{1-\mathrm{e}^{-1}}}=1$ ．
（2）设 $\displaystyle \int_{x}^{2 \ln 2} \frac{\mathrm{~d} t .}{\sqrt{\mathrm{e}^{t}-1}}=\frac{\pi}{6}$ ，求 $\displaystyle x$ ．
（1）证明：当 $\displaystyle x>0$ 时，恒有 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{\int_{\ln 2} \frac{\mathrm{~d} t}{1-\mathrm{e}^{-1}}}=1$ ．
（2）设 $\displaystyle \int_{x}^{2 \ln 2} \frac{\mathrm{~d} t .}{\sqrt{\mathrm{e}^{t}-1}}=\frac{\pi}{6}$ ，求 $\displaystyle x$ ．
第11题求解题
11．求下列不定积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{1+\ln x}{(x \ln x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\ln x}{x \sqrt{1+\ln x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int x^{x}(1+\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln (1+x)-\ln x}{x(x+1)} \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int\left(\ln \ln x+\frac{1}{\ln x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{1+\ln x}{(x \ln x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\ln x}{x \sqrt{1+\ln x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int x^{x}(1+\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln (1+x)-\ln x}{x(x+1)} \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int\left(\ln \ln x+\frac{1}{\ln x}\right) \mathrm{d} x$ ．
第13题求解题
13．求下列不定积分．
（1） $\displaystyle \int \ln (\sqrt{x+2}) \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \ln \left(x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int x \ln \frac{1+x}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \sqrt{x}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（1） $\displaystyle \int \ln (\sqrt{x+2}) \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \ln \left(x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int x \ln \frac{1+x}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \sqrt{x}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
第13题证明题
13．证明下列结论．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sin \left(k+\frac{1}{2}\right) t}{\sin \frac{t}{2}} \mathrm{~d} t=\pi,(k=0,1,2, \cdots)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sin (2 n+1) x}{\sin x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} \frac{\sin (2 n-1) x}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ，并计算其值，其中 $\displaystyle n$ 为正整数．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sin \left(k+\frac{1}{2}\right) t}{\sin \frac{t}{2}} \mathrm{~d} t=\pi,(k=0,1,2, \cdots)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sin (2 n+1) x}{\sin x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} \frac{\sin (2 n-1) x}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ，并计算其值，其中 $\displaystyle n$ 为正整数．
第14题计算题
14．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{(1-x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{(1+x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}}{(x+2)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\ln x-1}{(x+\ln x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(1-x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{dx}$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(1+x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(2+x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{(1-x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{(1+x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}}{(x+2)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\ln x-1}{(x+\ln x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(1-x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{dx}$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(1+x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(2+x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d} x$ ．
第14题证明题
14．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [-a, a]$ 上的连续函数．证明： $\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{a}(f(x)+f(-x)) \mathrm{d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\sin x} \mathrm{dx}$ 。
第15题计算题
15．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{1}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{a x}}} .(a \doteq 1$ ：桂林电子科技 2012，复旦大学 $\displaystyle 1998, a=2$ ：上海大学 2013）
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{1}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{a x}}} .(a \doteq 1$ ：桂林电子科技 2012，复旦大学 $\displaystyle 1998, a=2$ ：上海大学 2013）
第19题计算题
19．计算不定积分 $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{~d} x}{x^{2}-2 x \cos \alpha+1}$（常数 $\displaystyle \alpha \neq k \pi, k \in \mathbf{Z}$ ）．
第20题计算题
20．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{x^{14}}{\left(1+x^{5}\right)^{4}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{1}{x\left(1+x^{3}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{1}{x+x^{n+1}} \mathrm{~d} x$ ．（西南大学2004，山东科技2011（ $\displaystyle n=5$ ））
（4） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}(1+x)} \mathrm{d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{4}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{4 x^{3}+x^{7}}{x^{8}+9} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{x^{2}}{(1-x)^{n}} \mathrm{~d} x$ ．（浙江大学 2014（ $\displaystyle n=2013$ ），南京师大 2005（ $\displaystyle n=100$ ），南京财大 2009（ $\displaystyle n=2009$ ），南京航空 2003（ $\displaystyle n=2003$ ））
（1） $\displaystyle \int \frac{x^{14}}{\left(1+x^{5}\right)^{4}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{1}{x\left(1+x^{3}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{1}{x+x^{n+1}} \mathrm{~d} x$ ．（西南大学2004，山东科技2011（ $\displaystyle n=5$ ））
（4） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}(1+x)} \mathrm{d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{4}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{4 x^{3}+x^{7}}{x^{8}+9} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{x^{2}}{(1-x)^{n}} \mathrm{~d} x$ ．（浙江大学 2014（ $\displaystyle n=2013$ ），南京师大 2005（ $\displaystyle n=100$ ），南京财大 2009（ $\displaystyle n=2009$ ），南京航空 2003（ $\displaystyle n=2003$ ））
第21题求解题
21．求下列不定积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x^{3}+x^{2}+x+1}$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{x-5}{x^{3}-3 x^{2}+4} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{3}}$ ．（浙江理 $\displaystyle I$ 2013）
（4） $\displaystyle \int \frac{2 x+2}{(x-1)\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x+1}{\left(x^{2}+2 x+5\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{x^{2}+1}{\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \int \frac{1+x^{2}}{1+x^{4}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x^{3}+x^{2}+x+1}$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{x-5}{x^{3}-3 x^{2}+4} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{3}}$ ．（浙江理 $\displaystyle I$ 2013）
（4） $\displaystyle \int \frac{2 x+2}{(x-1)\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x+1}{\left(x^{2}+2 x+5\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{x^{2}+1}{\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \int \frac{1+x^{2}}{1+x^{4}} \mathrm{~d} x$ ．
第22题计算题
22．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \sqrt{a^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int x^{3} \sqrt{4^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{2}{x+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{2}-1}}$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{4-x^{2}}}$ ．
（1） $\displaystyle \int \sqrt{a^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int x^{3} \sqrt{4^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{2}{x+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{2}-1}}$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{4-x^{2}}}$ ．
第23题计算题
23．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt[4]{x})^{3}} \mathrm{dx}$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\sqrt{2+x-x^{2}} \mathrm{~d} x}{x}$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}(x+1)^{4}}}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x+2}{\sqrt{1+2 x}} \mathrm{dx}$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt[4]{x})^{3}} \mathrm{dx}$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\sqrt{2+x-x^{2}} \mathrm{~d} x}{x}$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}(x+1)^{4}}}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x+2}{\sqrt{1+2 x}} \mathrm{dx}$ ．
第24题求解题
24．求下列不定积分．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\max \{1, x\}} \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \max \left\{1, x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int$ max $\displaystyle \{2,|x|\} \mathrm{d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int \max \{1,|x|\} \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\max \{1, x\}} \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \max \left\{1, x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int$ max $\displaystyle \{2,|x|\} \mathrm{d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int \max \{1,|x|\} \mathrm{d} x$ ．
第31题证明题
31．设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明：$\displaystyle \left(\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{t^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x\right)^{2} \leqslant \frac{\pi}{2 t} \int_{0}^{1} \frac{f^{2}(x)}{t^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x,(t>0)$ ．