复合函数的导数（链式法则）
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第1题求解题
1．求下列导数．
（1）设 $\displaystyle f(x)=x \sqrt{1-x^{2}}+\arcsin x$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle y=\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a},(a>0)$ ，求 $\displaystyle y^{\prime}$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{(1+x) \sqrt{x}}{\mathrm{e}^{x-1}}}+\arcsin \frac{1-x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}, f_{n}(x)=f(f(\cdots f(x)))(n$ 个 $\displaystyle f)$ ，求 $\displaystyle f_{n}^{\prime}(x)$ 。西北工大）
（5）设 $\displaystyle y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ ，求 $\displaystyle y^{\prime \prime}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)=x \sqrt{1-x^{2}}+\arcsin x$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle y=\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a},(a>0)$ ，求 $\displaystyle y^{\prime}$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{(1+x) \sqrt{x}}{\mathrm{e}^{x-1}}}+\arcsin \frac{1-x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}, f_{n}(x)=f(f(\cdots f(x)))(n$ 个 $\displaystyle f)$ ，求 $\displaystyle f_{n}^{\prime}(x)$ 。西北工大）
（5）设 $\displaystyle y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ ，求 $\displaystyle y^{\prime \prime}$ ．
第3题求解题
3．求下列导数．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\varphi(a+b x)-\varphi(a-b x)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某个小邻域内有定义且在该点处可导，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)=\varphi^{2}(a+b x)-\varphi^{2}(a-b x)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某个小邻域内有定义且在该点处可导，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
（3）设一元函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 一阶连续可导。令 $\displaystyle f(x)=x^{2} \cdot \varphi(x)$ ，计算 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ ．
（4）已知 $\displaystyle f(x)=(x-a)^{2} \phi(x)$ ，其中 $\displaystyle \phi^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某邻域内连续，求 $\displaystyle f^{\prime \prime}(a)$ ．
（5）已知 $\displaystyle f(x)=(x-a) \varphi(x)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 在点 $\displaystyle x=a$ 的某邻域内连续，求 $\displaystyle f^{\prime}(a)$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\varphi(a+b x)-\varphi(a-b x)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某个小邻域内有定义且在该点处可导，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)=\varphi^{2}(a+b x)-\varphi^{2}(a-b x)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某个小邻域内有定义且在该点处可导，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
（3）设一元函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 一阶连续可导。令 $\displaystyle f(x)=x^{2} \cdot \varphi(x)$ ，计算 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ ．
（4）已知 $\displaystyle f(x)=(x-a)^{2} \phi(x)$ ，其中 $\displaystyle \phi^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某邻域内连续，求 $\displaystyle f^{\prime \prime}(a)$ ．
（5）已知 $\displaystyle f(x)=(x-a) \varphi(x)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 在点 $\displaystyle x=a$ 的某邻域内连续，求 $\displaystyle f^{\prime}(a)$ ．
第18题证明题
18．证明下列各题．
（1）证明：方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+u^{2}+v^{2}=9 \\ x^{2}+u^{2}-3 x=0\end{array}(u, v \neq 0)\right.$ 能确定唯一的隐函数组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=f(x), \\ v=g(y),\end{array}\right.$ 并求其导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} x}$ ．
（2）设 $\displaystyle u=u(x, y)$ 是由方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=z x+y f(z)+g(z) \\ x+y f^{\prime}(z)+g^{\prime}(z)=0\end{array}\right.$ 所确定的二阶连续可微隐函数，其中 $\displaystyle f, g$ 有二阶连续的导数，证明：$\displaystyle u_{x x} \cdot u_{y y}-u_{x y}^{2}=0$ ．
（1）证明：方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+u^{2}+v^{2}=9 \\ x^{2}+u^{2}-3 x=0\end{array}(u, v \neq 0)\right.$ 能确定唯一的隐函数组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=f(x), \\ v=g(y),\end{array}\right.$ 并求其导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} x}$ ．
（2）设 $\displaystyle u=u(x, y)$ 是由方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=z x+y f(z)+g(z) \\ x+y f^{\prime}(z)+g^{\prime}(z)=0\end{array}\right.$ 所确定的二阶连续可微隐函数，其中 $\displaystyle f, g$ 有二阶连续的导数，证明：$\displaystyle u_{x x} \cdot u_{y y}-u_{x y}^{2}=0$ ．