复合函数

1．求下列导数．
（1）设 $\displaystyle f(x)=x \sqrt{1-x^{2}}+\arcsin x$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle y=\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a},(a>0)$ ，求 $\displaystyle y^{\prime}$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{(1+x) \sqrt{x}}{\mathrm{e}^{x-1}}}+\arcsin \frac{1-x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}, f_{n}(x)=f(f(\cdots f(x)))(n$ 个 $\displaystyle f)$ ，求 $\displaystyle f_{n}^{\prime}(x)$ 。西北工大）
（5）设 $\displaystyle y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ ，求 $\displaystyle y^{\prime \prime}$ ．

1．求下列函数的偏导数．
（1）设 $\displaystyle z=f\left(x, \frac{x}{y}\right)$ ，求 $\displaystyle z_{x}, z_{x y}$ 。（中南大学 2001，深圳大学 2004（求 d $\displaystyle z$ ），广西民大 2008，哈师大 2000，山东科技 2006，沈阳工大 2010）
（2）设 $\displaystyle z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)$ ，其中 $\displaystyle f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle z_{y}, z_{y y}, z_{x y}$ 。延安大学 2005，西安交大 2007（求 $\displaystyle \mathrm{d}^{2} z$ ），大连理工 2009，上海理工 2005，桂林电子科技 2010，南开大学 2004，曲阜师大 2010）
（3）设 $\displaystyle z=x^{n} f\left(x y, \frac{y}{x}\right)$ ，其中 $\displaystyle f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle z_{x}, z_{y}, z_{x y} .(n=3:$ 云南大学 2004 ，太原科技 2008；$\displaystyle n=2$ ：湖南师大 2008）

1．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle z=\frac{y}{f\left(x^{2}-y^{2}\right)}$ ，其中 $\displaystyle f$ 为可微函数，证明 $\displaystyle \frac{1}{x} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{y} \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{z}{y^{2}}$ ．
（2）设函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=y f\left(\frac{z}{y}\right)$ 所确定，其中 $\displaystyle f$ 是可微函数，试证：$\displaystyle \left(x^{2}-y^{2}-z^{2}\right) \frac{\partial z}{\partial x}+2 x y \frac{\partial z}{\partial y}=2 x z$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 是连续可导函数，证明 $\displaystyle z=x^{n} f\left(\frac{y}{x^{2}}\right)$ 满足方程：$\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+2 y \frac{\partial z}{\partial y}=n z$ 。（山东科技 2005，深圳大学2009（ $\displaystyle n=3$ ））
（4）设 $\displaystyle \varphi$ 是连续可微函数，$\displaystyle a, b, c$ 为常数，证明由方程 $\displaystyle a x+b y+c z=\varphi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 所确定的函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足方程 $\displaystyle (c y-b z) \frac{\partial z}{\partial x}+(a z-c x) \frac{\partial z}{\partial y}=b x-a y$ 。

2．求下列函数的偏导数．
（1）设 $\displaystyle z=f(x+y, x y)$ ，其中 $\displaystyle f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle z_{y}, z_{y y}, z_{x y}$ 。延安大学 2006，辽宁大学 2004／2002，沈阳工大2011，武汉大学2012，温州大学2010）
（2）设 $\displaystyle z=f\left(x y^{2}, x^{2} y\right)$ ，求 $\displaystyle z_{x x}, z_{y y}, z_{x y}$ ，其中函数 $\displaystyle f(u, v)$ 有连续的二阶偏导数．
（3）设 $\displaystyle z=f\left(x^{2}-y^{2}, \mathrm{e}^{x y}\right)$ ，其中 $\displaystyle f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle z_{x}, z_{y}, z_{x y}$ 。
（4）设 $\displaystyle u=f(x-y, y-z, z-x)$ ，其中 $\displaystyle f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle u_{x x}, u_{x y}, u_{z y}$ 。
（5）$\displaystyle u(x, y)=y g(\cos x)+f\left(\mathrm{e}^{x}, x y\right)$ ，其中 $\displaystyle g, f$ 二阶可微，求 $\displaystyle u_{x}, u_{x y}$ ．

2．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle \varphi(s, t)$ 具有一阶连续偏导数，对任 意实 数 $\displaystyle \alpha, \beta, u=x^{n} \varphi\left(\frac{y}{x^{\alpha}}, \frac{z}{x^{\beta}}\right)$ ，试 证 明： $\displaystyle x \frac{\partial u}{\partial x}+\alpha y \frac{\partial u}{\partial y}+\beta z \frac{\partial u}{\partial z}=n u$（ $\displaystyle n$ 为自然数）．
（2）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满 足 $\displaystyle F\left(x+\frac{z}{y}, y+\frac{z}{x}\right)=0$ ，其 中 $\displaystyle z(x, y), F(u, v)$ 均可微，试证明： $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z-x y$ 。
（3）设 $\displaystyle z=f(x, y, u)=x y+x F(u)$ ，其中 $\displaystyle F(u)$ 可微，$\displaystyle u=\frac{y}{x}$ ，试证 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z+x y$ ．

3．求下列导数．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\varphi(a+b x)-\varphi(a-b x)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某个小邻域内有定义且在该点处可导，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)=\varphi^{2}(a+b x)-\varphi^{2}(a-b x)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某个小邻域内有定义且在该点处可导，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
（3）设一元函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 一阶连续可导。令 $\displaystyle f(x)=x^{2} \cdot \varphi(x)$ ，计算 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ ．
（4）已知 $\displaystyle f(x)=(x-a)^{2} \phi(x)$ ，其中 $\displaystyle \phi^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某邻域内连续，求 $\displaystyle f^{\prime \prime}(a)$ ．
（5）已知 $\displaystyle f(x)=(x-a) \varphi(x)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 在点 $\displaystyle x=a$ 的某邻域内连续，求 $\displaystyle f^{\prime}(a)$ ．

3．求解或证明下列各题．
（1）设 $\displaystyle \phi(t), \psi(t)$ 有二阶连续导数，$\displaystyle u=\phi\left(\frac{y}{x}\right)+x \psi\left(\frac{y}{x}\right)$ ，求 $\displaystyle x^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 x y \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$ ．
（2）设 $\displaystyle z=x f\left(\frac{x}{y}\right)+2 y f\left(\frac{y}{x}\right)$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有连续的二阶导数，求 $\displaystyle z_{x}, z_{y}, z_{x y}$ ．
（3）设 $\displaystyle u=y f\left(\frac{x}{y}\right)+x g\left(\frac{y}{x}\right)$ ，其中 $\displaystyle f, g$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle x \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+y \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ 。
（4）设 $\displaystyle z=x^{2} f\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{y^{2}} g\left(\frac{y}{x}\right)$ ，且 $\displaystyle f, g$ 是任意的二阶可导函数，则

$$
x^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+2 x y \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}+x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=4 z \text {. }
$$

（5）设 $\displaystyle z=y f\left(x^{2}-y^{2}\right), f$ 为任意可微分函数，求 $\displaystyle y^{2} \frac{\partial z}{\partial x}+x y \frac{\partial z}{\partial y}$ 。

3．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle u=f(z)$ ，其中 $\displaystyle z$ 由方程 $\displaystyle z=x+y \varphi(z)$ 确定，$\displaystyle f, \varphi$ 为可微函数．证明：$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=\varphi(z) \frac{\partial u}{\partial x}$ ．

（2）设函数 $\displaystyle u=u(x, y)$ 由方程 $\displaystyle u=y+x \varphi(u)$ 确定，证明 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\varphi^{2}(u) \frac{\partial u}{\partial y}\right)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle u=f(z), z$ 由方程 $\displaystyle z=x+y \varphi(z)$ 确定，$\displaystyle f(z), \varphi(z)$ 任 意 阶 可 微。试 证 明： $\displaystyle \frac{\partial^{n} u}{\partial y^{n}}=\frac{\partial^{n-1}}{\partial x^{n-1}}\left(\varphi^{n}(z) \frac{\partial u}{\partial x}\right)$ 。

4．计算．
（1）已知 $\displaystyle u(x, t)=\frac{f(x+a t)+f(x-a t)}{2}+\frac{1}{2 a} \int_{x-a t}^{x+a t} F(\alpha) \mathrm{d} \alpha$ ，其中 $\displaystyle f, F$ 分别为求导一次和求导两次的已知函数，计算 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}}$ ．
（2）设 $\displaystyle \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, u=\frac{1}{\rho}(\varphi(\rho-a t)+\psi(\rho+a t))$ ，其中，$\displaystyle \varphi, \psi$ 二阶可微，试求： $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-a^{2}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right)$.

4．求由下列方程确定的隐函数的导数．
（1）设 $\displaystyle \frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)=\arctan \frac{y}{x}$ ，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．
（2）设 $\displaystyle y=y(x)$ 由 $\displaystyle \mathrm{e}^{y}+x y-\mathrm{e}=0$ 确定，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ 。
（3）设 $\displaystyle y=y(x)$ 是由方程 $\displaystyle \mathrm{e}^{x y}=2^{x} 3^{y}$ 确定的隐函数，计算 $\displaystyle (y-\ln 2) y^{\prime \prime}-2\left(y^{\prime}\right)^{2}$ 。重庆大学 2006）

5．求解或证明下列各题．
（1）设 $\displaystyle f$ 二阶可微，$\displaystyle u(x, y, z)=f(r), r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ．
（1）求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}$ ．
（2）若 $\displaystyle u$ 满足方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0$ ，试求出函数 $\displaystyle u$ 。
（3）若 $\displaystyle u$ 满足方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=F(r)$ ，试求出函数 $\displaystyle F(r)$ ．
（2）设 $\displaystyle u(x, y)$ 是 $\displaystyle \mathbf{R}^{2} \backslash\{(0,0)\}$ 上 $\displaystyle C^{2}$ 径 向函数，即存在一元函数 $\displaystyle f(x)$ 使得 $\displaystyle u(x, y)=f(r)$ ， $\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ．若 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ ，求 $\displaystyle f$ 满足的方程及函数 $\displaystyle u(x, y)$ ．
（3）设 $\displaystyle u=u(r), r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}, n \geqslant 3$ ，若 $\displaystyle u$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{2}^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{n}^{2}}=0$ ，求 $\displaystyle u$ ．
（4）已知 $\displaystyle u=f\left(\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right), u=f(v), \frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} x}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} z}=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}$ ，且 $\displaystyle f(1)=-\frac{2}{\mathrm{e}}$ ， $\displaystyle f^{\prime}(1)=\frac{1}{\mathrm{e}}$ ．求 $\displaystyle f(v)$ ．
（5）设函数 $\displaystyle u=f\left(\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ 满足方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}$ ，试求函数 $\displaystyle f$ 的表达式．

5．设 $\displaystyle F(u, v)$ 是具有连续偏导数的二元函数．
（1）验证 $\displaystyle w=F(x y, y z)$ 满足 $\displaystyle x \frac{\partial w}{\partial x}+z \frac{\partial w}{\partial z}=y \frac{\partial w}{\partial y}$ ，这时 $\displaystyle F(x y, y z)$ 称为以上偏微分方程的完全积分．
（2）利用猜试法求以下偏微分方程的完全积分：$\displaystyle x_{1} \frac{\partial w}{\partial x_{1}}+\cdots+x_{m} \frac{\partial w}{\partial x_{m}}=y \frac{\partial w}{\partial y}$ ．

5．求由下列方程确定的隐函数的导数．
（1）设 $\displaystyle y=y(x)$ 是可微函数，且满足 $\displaystyle y=-y \mathrm{e}^{x}+2 \mathrm{e}^{y} \sin x-7 x$ ，求 $\displaystyle y^{\prime}(0)$ 。
（2）设 $\displaystyle y=y(x)$ 是由方程 $\displaystyle 2 x-\int_{1}^{y} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=x y$ 所确定的隐函数，求 $\displaystyle y^{\prime}$ 及 $\displaystyle y^{\prime}(0),\left.\mathrm{d} y\right|_{x=0}$ 。
（3）求由方程 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}+\sin x y-\mathrm{e}^{y}-x y=1-\mathrm{e}$ 所确定的隐函数 $\displaystyle y=y(x)$ 的导数，并计算 $\displaystyle y^{\prime}(0)$ ．

6．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上满足 Lipschitz 条件，即存在常数 $\displaystyle m>0$ ，使对 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上任意两点 $\displaystyle x^{\prime}, x^{\prime \prime}$都有 $\displaystyle \left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant m\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|$ ．证明 $\displaystyle f\left(x^{\alpha}\right),(\alpha \in(0,1))$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上具有连续的导函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)$ 存在有限， $\displaystyle 0<\alpha<1$ ，是一个常数．证明 $\displaystyle f\left(x^{\alpha}\right)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（3）设 $\displaystyle p$ 为正常数，$\displaystyle f(x)=\cos x^{p}$ 。证明：当 $\displaystyle 0<p \leqslant 1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty) \rightarrow(0,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle \alpha \in(0,1)$ ，则 $\displaystyle f^{\alpha}(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（5）设 $\displaystyle g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 为连续函数，$\displaystyle f(x)=g(\sin x)$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上一致连续．
（6）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 一致连续，值域含于 $\displaystyle (c, d), g(x)$ 在 $\displaystyle (c, d)$ 日：一致连续，则 $\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 上连续，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \mu$ ．问 $\displaystyle F(x)=f(\sin x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 是否一致连续？

（8）设 $\displaystyle f(x)=\sin \sqrt{x}$ ，判断 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上是否一致连续，并给出证明．
（9）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上连续．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续，则 $\displaystyle \sin ^{3}|f(x)|$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续．
（2）若 $\displaystyle |f(x)|$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续，则 $\displaystyle \sin ^{3}(f(x))$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致连续．

6．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle u=v(x, y)$ 有连续一阶偏导数，$\displaystyle u(x, y)=x v+y \varphi(v)+\psi(v)$ ，其中 $\displaystyle \varphi, \psi$ 可微，且 $\displaystyle x+y \varphi^{\prime}(v)+\psi^{\prime}(v)=0$ 。证明：$\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\right)^{2}=0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle \varphi$ 和 $\displaystyle \psi$ 二次可微，证明：函数 $\displaystyle u(t, x)=\varphi(x-a t)+\psi(x+a t)$ 满足弦振动方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ ．

7．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle u(x, y)$ 有二阶连续偏导数，证明：$\displaystyle u$ 满足微分方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ 的充要条件为存在二阶连续可微函数 $\displaystyle \varphi(t), \psi(t)$ 使得 $\displaystyle u(x, y)=x \varphi(x+y)+y \psi(x+y)($ 北京大学 2002 ，沈阳 工 大 2009 ，徐州师大 2007 ，浙江师大 2005 ）
（2）设 $\displaystyle u(x, y)$ 有二阶连续偏导数，且恒取正值，证明：$\displaystyle u$ 满足微分方程 $\displaystyle u \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y}$ 的充要条件为 $\displaystyle u(x, y)=f(x) g(y)$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 有一阶连续偏导数，证明 $\displaystyle f$ 满足微分方程 $\displaystyle \frac{1}{a} \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{b} \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{c} \frac{\partial f}{\partial z}$ 的充要条件为存在 $\displaystyle g(u) \in C^{1}(R)$ 使得 $\displaystyle f(x, y, z)=g(a x+b y+c z)$ ．

8．证明下列结论．
（1）（复合函数的连续性）若 $\displaystyle g(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 连续，记 $\displaystyle g\left(x_{0}\right)=u_{0}$ ，函数 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle u_{0}$ 连续，则复合函数 $\displaystyle f(g(x))$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(g(x))=\lim _{u \rightarrow u_{0}} f(u)=f\left(u_{0}\right)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle [a, A] \times[b, B]$ 上连续，$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续且值域含于 $\displaystyle (A, B)$ ，则 $\displaystyle F(x)=f(x, \varphi(x))$ 在 $\displaystyle (a, A)$ 内连续．

8．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle F(x-z, y-z)=0$ 所确定的隐函数，其中 $\displaystyle F$ 具有连续二阶偏导数，证明：$\displaystyle z_{x x}+2 z_{x y}+z_{y y}=0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle F(u, v)$ 有连续的二阶偏导数，求证：由方程 $\displaystyle F\left(\frac{x-x_{0}}{z-z_{0}}, \frac{y-y_{0}}{z-z_{0}}\right)=0$ 所确定的隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足下列两个方程：$\displaystyle \left(x-x_{0}\right) \frac{\partial z}{\partial x}+\left(y-y_{0}\right) \frac{\partial z}{\partial y}=z-z_{0}$ 和 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\right)^{2}=0$ ．

9．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(u, v)$ 有二阶连续偏导数且满足 Laplace 方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}}=0$ 。试证：$\displaystyle z=f\left(x^{2}-y^{2}, 2 x y\right)$ 也满足 Laplace 方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(u, v)$ 有二阶连续偏导数且满足 Laplace 方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}}-\frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}}=0$ ．试证：$\displaystyle z=f\left(x^{2}+y^{2}, 2 x y\right)$ 也满足 Laplace 方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ ．
（3）设函数 $\displaystyle u=u(x, y)$ 二阶连续可微，$\displaystyle x=\mathrm{e}^{s} \cos t, y=\mathrm{e}^{s} \sin t$ ，若 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial s^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}$ ．

10．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x), g(x):[0,1] \rightarrow[0,1]$ 连续，且对任意 $\displaystyle x \in[0,1], f(g(x))=g(f(x))$ ．求证：若 $\displaystyle f(x)$递减，则存在唯一的 $\displaystyle x_{0} \in[0,1]$ ，使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right)=x_{0}$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x):[0,1] \rightarrow[0,1]$ 为连续函数，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=1, f(f(x))=x$ 。证明：$\displaystyle f(x)=x$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续且 $\displaystyle f(f(x))=x$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 存在不动点．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \forall x \in[a, b],\left|f(x)-\frac{b+a}{2}\right| \leqslant \frac{b-a}{2}$ ．证明：$\displaystyle f(f(x))=x$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在不动点．

10．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle x=f(u, v), y=g(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，并满足 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}=\frac{\partial g}{\partial v}, \frac{\partial f}{\partial v}=-\frac{\partial g}{\partial u}$ ，设 $\displaystyle \omega=\omega(x, y)$ ，证明 $\displaystyle \frac{\partial^{2} w}{\partial^{2} u}+\frac{\partial^{2} w}{\partial^{2} v}=\left(\frac{\partial^{2} w}{\partial^{2} x}+\frac{\partial^{2} w}{\partial^{2} y}\right)\left[\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial v}\right)^{2}\right]$ ．
（2）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足 $\displaystyle \Delta z \equiv \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ 。作满足 $\displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial s}=\frac{\partial \psi}{\partial t}, \frac{\partial \varphi}{\partial t}=-\frac{\partial \psi}{\partial s}$ 的变换 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\varphi(s, t) \text { ，证 } \\ y=\psi(s, t),\end{array}\right.$明 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial s^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial t^{2}}=0$ ．
（3）给定积分 $\displaystyle I=\iint_{D}\left[\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，作正则变换 $\displaystyle x=x(u, v), y=y(u, v)$ ，区域 $\displaystyle D$ 变成 $\displaystyle \Omega$ 。如果变换满足 $\displaystyle \frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\partial y}{\partial v}, \frac{\partial x}{\partial v}=-\frac{\partial y}{\partial u}$ ．试证 $\displaystyle I=\iint_{\Omega}\left[\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial v}\right)^{2}\right] \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ ．

10．求下列导数或微分．
（1）设 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ ，其中 $\displaystyle y=f(x)$ 为由方程 $\displaystyle x^{2}-x y+y^{2}=1$ 所确定的隐函数，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ 及 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} z}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．
（2）设 $\displaystyle u=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ，其中 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=3 x y z$ 所确定，求 $\displaystyle u_{x}, u_{y}$ 。

11．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\int_{0}^{x^{2}}(\sin t)^{\frac{3}{2}} \mathrm{~d} t}{\int_{0}^{x} t(t-\sin t) \mathrm{d} t}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{\sin x} \sqrt{\tan t} \mathrm{~d} t}{\int_{0}^{\tan x} \sqrt{\sin t} \mathrm{~d} t}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\left(\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t\right)^{2}}{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{2 t^{2}} \mathrm{~d} t}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{2 t^{2}} \mathrm{~d} t}{\int_{0}^{x} \sqrt{t} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t}{\int_{0}^{x} t \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\int_{0}^{x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t}{\sin ^{5} x}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{\sqrt{x}}\left(1-\cos t^{2}\right) \mathrm{d} t}{\sqrt{x^{5}}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \cos t \mathrm{~d} t}{\ln \left(1+x^{2}\right)}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \sin t^{2} \mathrm{~d} t}{\ln \left(1+x^{3}\right)}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \int_{0}^{x^{2}} t \mathrm{e}^{t^{2}} \sin t \mathrm{~d} t}{1-\cos x^{4}}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x}(\arcsin t-t) \mathrm{d} t}{x\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)^{3}}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} \mathrm{~d} t}{x \int_{0}^{x} \ln \left(1+t^{4}\right) \mathrm{d} t}$ ．
（13） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{\sin ^{2} x} \ln (1+t) \mathrm{d} t}{\sqrt{1+x^{4}}-1}$ ．

11．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 有连续导数，求证：$\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，证明： $\displaystyle \mathrm{e}^{f(x)}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上也是黎曼可积的．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，$\displaystyle f(x) \geqslant c \geqslant 0$ ，用可积准则证明：函数 $\displaystyle \ln f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积．（华 中 师 大 2005）

11．通过变量代换变换方程．
（1）令 $\displaystyle x=u v, y=\frac{1}{2}\left(u^{2}-v^{2}\right)$ ，变换方程 $\displaystyle \left(z_{x}\right)^{2}+\left(z_{y}\right)^{2}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ．
（2）用变换 $\displaystyle u=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}, v=\arctan \frac{x}{y}$ ，化简方程 $\displaystyle (x+y) z_{x}-(x-y) z_{y}=0$ ．
（3）通过变换 $\displaystyle u=x y, v=\frac{x}{y}$ 将方程 $\displaystyle x^{2} z_{x x}-y^{2} z_{y y}=0$ 变换为以 $\displaystyle u, v$ 为新的自变量的方程．

11．求解下列问题．
（1）设 $\displaystyle f$ 为可微函数，$\displaystyle u=f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ ，并有方程 $\displaystyle 3 x+2 y^{2}+z^{3}=6 x y z$ ，试对以下两种情形分别计算 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}$ 在点 $\displaystyle P_{0}(1,1,1)$ 处的值。（1）由方程确定了隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ；（2）由方程确定了隐函数 $\displaystyle y=y(z, x)$ ．
（2）设 $\displaystyle f$ 为可微函数，且 $\displaystyle f^{\prime}(4)=1, u=f\left(x^{3}+2 y+z^{2}\right), x, y, z$ 满足方程 $\displaystyle (*): 4 x+2 y^{2}+z^{3}=5 x y z$ ．试就满足下述两种情况分别求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}$ 在点 $\displaystyle P_{0}(1,1,1)$ 处的值。（1）由方程 $\displaystyle (*)$ 确定隐函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ ； （2）由方程 $\displaystyle \left(^{*}\right)$ 确定隐函数 $\displaystyle y=f(x, z)$ ．

12．设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 二阶连续可微，对微分方程 $\displaystyle \frac{1}{(x+y)^{2}}\left(z_{x x}+2 z_{x y}+z_{y y}\right)-\frac{1}{(x+y)^{3}}\left(z_{x}+z_{y}\right)=0$ 作变量代换 $\displaystyle u=x y, v=x-y$ 。（1）求代换后的方程；（2）指出变量代换失效的点集，并指出失效的理由，代换在失效点集上会产生什么现象。

13．通过变量代换变换方程．
（1）取 $\displaystyle u=\frac{y}{x}, v=z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ 作新的自变量，变换方程 $\displaystyle x z_{x}+y z_{y}=z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ．
（2）用变换 $\displaystyle \xi=x, \eta=x^{2}+y^{2}$ 化简方程 $\displaystyle y z_{x}-x z_{y}=0$ ，并求出这个方程的通解 $\displaystyle z=z(x, y)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 在平面 $\displaystyle \mathrm{R}^{2}$ 上有连续的一阶偏导数．$\displaystyle w=w(u, v)$ 是由方程组 $\displaystyle u=x^{2}+y^{2}, v=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}, z=\mathrm{e}^{w+x+y}$ 所确定的隐函数。将方程 $\displaystyle y z_{x}-x z_{y}=(y-x) z,(x \neq y)$ 化为 $\displaystyle w_{u}, w_{v}$ 所满足的一个关系式．
（4）将方程 $\displaystyle x u_{y}-y u_{x}=0$ 变为以极坐标 $\displaystyle r, \theta$ 为自变量的形式，其中 $\displaystyle x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ， $\displaystyle (r \neq 0)$ ．

14．通过变量代换变换方程．
（1）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 为可微函数，试将方程 $\displaystyle x^{2} z_{x}+y^{2} z_{y}=z^{2}$ 变换成 $\displaystyle w(u, v)$ 的方程，假设 $\displaystyle x=u$ ， $\displaystyle y=\frac{u}{1+u v}, z=\frac{u}{1+u w}$.
（2）设 $\displaystyle u=x, v=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}, w=\frac{1}{z}$ ，以 $\displaystyle w$ 为新函数，$\displaystyle u, v$ 为新自变量，试变换方程 $\displaystyle x^{2} z_{x}+y^{2} z_{y}=z^{2}$ 。

15．若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内有定义，且 $\displaystyle \mathrm{e}^{x} f(x)$ 与 $\displaystyle \mathrm{e}^{-f(x)}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内都是单调递增的，试证 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内连续．

15．通过变量代换变换方程．
（1）在极坐标变换 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta\end{array}\right.$ 下变换方程 $\displaystyle u_{x x}+u_{y y}=f(x, y)$ ．
（2）将直角坐标系下的 Laplace 方程 $\displaystyle u_{x x}+u_{y y}=0$ 化为极坐标系下的形式．

16．通过变量代换变换下列方程．
（1）已知 $\displaystyle z=z(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且满足方程 $\displaystyle z_{x x}+2 z_{x y}+z_{y y}=0$ 。利用变换 $\displaystyle u=x+y$ ， $\displaystyle v=x-y, w=x y-z(x, y)$ ，证明：$\displaystyle w=w(u, v)$ 满足偏导数方程 $\displaystyle 2 w_{u u}=1$ ，并确定 $\displaystyle w=w(u, v)$ 的表达式．
（2）设 $\displaystyle u=\frac{x+y}{2}, v=\frac{x-y}{2}, w=z \mathrm{e}^{y}$ ，取 $\displaystyle u, v$ 为新的变量以及 $\displaystyle w(u, v)$ 为新函数，变换方程 $\displaystyle z_{x x}+z_{x y}+z_{x}=z$ ．
（3）设 $\displaystyle u=x, v=x+y, w=x+y+z$ ，以 $\displaystyle u, v$ 为新的自变量，$\displaystyle w=w(u, v)$ 为新函数，把方程 $\displaystyle z_{x x}-2 z_{x y}+z_{y y}=0$ 变换为 $\displaystyle w_{u u}=0$ 。

17．用 $\displaystyle u=x+y, v=\frac{x}{y}, w=\frac{z}{x}$ ，变换方程 $\displaystyle z_{x x}-2 z_{x y}+z_{y y}=0$ ，其中 $\displaystyle u, v$ 为新的自变量，$\displaystyle w$ 为新的因变量．

18．通过变量代换变换方程．
（1）证明：在变换 $\displaystyle u=\frac{x}{y}, v=x, w=x z-y$ 之下，方程 $\displaystyle y z_{y y}+2 z_{y}=\frac{2}{x}$ 可变成 $\displaystyle w_{u u}=0$ 。
（2）设 $\displaystyle u=\frac{y}{x}, v=y$ ，证明：等式 $\displaystyle x^{2} f_{x x}-2 x y f_{x y}+y^{2} f_{y y}=0$ 可简化为 $\displaystyle f_{v v}=0$ 。

18．证明下列各题．
（1）证明：方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+u^{2}+v^{2}=9 \\ x^{2}+u^{2}-3 x=0\end{array}(u, v \neq 0)\right.$ 能确定唯一的隐函数组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=f(x), \\ v=g(y),\end{array}\right.$ 并求其导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} x}$ ．
（2）设 $\displaystyle u=u(x, y)$ 是由方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=z x+y f(z)+g(z) \\ x+y f^{\prime}(z)+g^{\prime}(z)=0\end{array}\right.$ 所确定的二阶连续可微隐函数，其中 $\displaystyle f, g$ 有二阶连续的导数，证明：$\displaystyle u_{x x} \cdot u_{y y}-u_{x y}^{2}=0$ ．

19．已知函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足方程 $\displaystyle \left(1-x^{2}\right) z_{x x}+\left(1-y^{2}\right) z_{x y}=x z_{x}+y z_{y}$ ，试利用 $\displaystyle x=\sin \xi$ ， $\displaystyle y=\sin \eta, z=\mathrm{e}^{u}$ 把方程变成新函数 $\displaystyle u=u(\xi, \eta)$ 所满足的方程．

20．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可导，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，而当 $\displaystyle x \in(0,1)$ 时 $\displaystyle f(x) \neq 0$ ．证明：对任意自然数 $\displaystyle n$ ，至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \frac{n f^{\prime}(\xi)}{f(\xi)}=\frac{f^{\prime}(1-\xi)}{f(1-\xi)}$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0, f(0)=0$ ．证明：$\displaystyle \exists \lambda, \mu \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \lambda+\mu=1, \frac{f^{\prime}(\lambda)}{f(\lambda)}=\frac{f^{\prime}(\mu)}{f(\mu)}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 个可导，且 $\displaystyle f(1)=2 f(0)$ 。求证：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle (\xi+1) f^{\prime}(\xi)=f(\xi)$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 二次可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ 。试证：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{f^{\prime}(\xi)}{(\xi-1)^{2}}$ 。
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ ：二阶可导，$\displaystyle f(0)=f(1)$ ．求证至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle 2 f^{\prime}(\xi)+(\xi-1) f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0, f(0)=0$ 。证明：$\displaystyle \exists \lambda, \mu \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \lambda+\mu=1, \frac{f^{\prime}(\lambda)}{\lambda}=\frac{f^{\prime}(\mu)}{\mu}$ ．

20．设 $\displaystyle f(x, y)$ 有二阶连续的偏导数，$\displaystyle \theta$ 为常数，令 $\displaystyle x=u \cos \theta-v \sin \theta, y=u \sin \theta+v \cos \theta$ ，则 $\displaystyle \left(f_{x}\right)^{2}+\left(f_{y}\right)^{2}=\left(f_{u}\right)^{2}+\left(f_{v}\right)^{2}, \quad f_{x x}+f_{y y}=f_{u u}+f_{v v}$.

21．变换方程．
（1）设 $\displaystyle u=x-2 \sqrt{y}, v=x+2 \sqrt{y}$ ，以 $\displaystyle u, v$ 为新的自变量变换方程 $\displaystyle z_{x x}-y z_{y y}=\frac{1}{2} z_{y}(y>0)$ ，并求解该方程．
（2）证明线性变换 $\displaystyle \xi=x-y, \eta=x-\frac{1}{3} y$ 将方程 $\displaystyle z_{x x}+4 z_{x y}+3 z_{y y}=0$ 化为方程 $\displaystyle z_{\xi \eta}=0$ 。

22．证明下列命题．
（1）假设 $\displaystyle f(x)$ 为二次连续可微实值函数，对于所有的实数 $\displaystyle x$ ，满足 $\displaystyle |f(x)| \leqslant 1$ 且满足 $\displaystyle (f(0))^{2}+\left(f^{\prime}(0)\right)^{2}=4$ 。证明：存在实数 $\displaystyle x_{0}$ ，满足 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)+f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-2,2]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle |f(x)| \leqslant 1$ ，又 $\displaystyle \frac{1}{2}\left[f^{\prime}(0)\right]^{2}+f^{3}(0)>\frac{2}{3}$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in(-2,2)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)+3 f^{2}\left(x_{0}\right)=0$ ．

22．变换方程．
（1）设变换 $\displaystyle u=x-2 y, v=x+a y$ 把方程 $\displaystyle 6 z_{x x}+z_{x y}-z_{y y}=0$ 简化为 $\displaystyle z_{u v}=0$ ，试求常数 $\displaystyle a$ ．
（2）设变换 $\displaystyle u=x+2 y, v=x+a y$ 把方程 $\displaystyle 2 z_{x x}+z_{x y}-z_{y y}=0$ 简化为 $\displaystyle z_{u v}=0$ ，试求常数 $\displaystyle a$ ．
（3）设变换 $\displaystyle \xi=x+\lambda y, \eta=x-2 y(\lambda \neq-2)$ 把方程 $\displaystyle 14 z_{x x}+5 z_{x y}-z_{y y}=0$ 简化为 $\displaystyle z_{\xi \eta}=0$ ，试求常数 $\displaystyle \lambda$ ，并由此求出偏微分方程的解．
（4）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，证明存在常数 $\displaystyle a, b$ 使得变换 $\displaystyle u=x+a y, v=x+b y$ 可将微分方程 $\displaystyle z_{x x}+4 z_{x y}+3 z_{y y}=0$ 化为 $\displaystyle z_{u v}=0$ ．
（5）已知变换 $\displaystyle \xi=x+a y, \eta=x+b y$ ，试将方程 $\displaystyle 2 z_{x x}-3 z_{x y}+z_{y y}=0$ 化为 $\displaystyle z_{\xi \eta}=0$ ，求 $\displaystyle a, b$ 的值．
（6）设函数 $\displaystyle u(x, t)$ 有二阶连续偏导数，作自变量变换 $\displaystyle \xi=x+a t, \eta=x-a t$ 后函数变为 $\displaystyle u(\xi, \eta)$ ，问方程 $\displaystyle u_{t t}=a^{2} u_{x x}$ 变为什么形式？并求此方程的通解．

23．设常数 $\displaystyle a, b, c$ 满足 $\displaystyle a c-b^{2}<0$ ，且线性变换 $\displaystyle \xi=x+\lambda_{1} y, \eta=x+\lambda_{2} y$ 把方程 $\displaystyle a u_{x x}+2 b u_{x y}+c u_{y y}=0$ 变换为方程 $\displaystyle u_{\xi \eta}=0$ 。证明：（1）$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 为方程 $\displaystyle c \lambda^{2}+2 b \lambda+a=0$ 的两个不同实根，并求 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 的值；（2）求满足 $\displaystyle a u_{x x}+2 b u_{x y}+c u_{y y}=0$ 的一切函数．

24．变换方程．
（1）设 $\displaystyle u(x, y)$ 满足 $\displaystyle u_{x x}-u_{y y}+2\left(u_{x}+u_{y}\right)=0$ 。用 $\displaystyle u=v(x, y) \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}$ 变换方程，确定 $\displaystyle \alpha, \beta$ 使方程不含一阶导数项．
（2）设 $\displaystyle z=u(x, y) \mathrm{e}^{\alpha x+\beta y}$ ，其中 $\displaystyle u(x, y)$ 满足 $\displaystyle u_{x y}=0$ ，确定 $\displaystyle \alpha, \beta$ 使下述等式成立：

$$
z_{x y}-z_{x}-z_{y}+z=0 \text {. }
$$

26．证明下列问题．
（1）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}g(x, y) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 证明：
（1）若 $\displaystyle g(0,0)=0, g$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微，且 $\displaystyle \mathrm{d} g(0,0)=0$ ，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 可微，且 $\displaystyle \mathrm{d} f(0,0)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle g$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可导，且 $\displaystyle f$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微，则 $\displaystyle \mathrm{d} f(0,0)=0$ ．
（2）设二元函数 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=A$ ．若 $\displaystyle g(0,0)=0, g(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 可微，证明 $\displaystyle f(x, y) g(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．

26．求下列导数或极限．
（1）设 $\displaystyle F(t)=\iiint_{V} f(x y z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, f(u)$ 有一阶连续导数，积分区域 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant t, 0 \leqslant y \leqslant t$ ， $\displaystyle 0 \leqslant z \leqslant t$ 所围成．求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ．
（2）计算 $\displaystyle f(t)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}}(x y z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z(t>0)$ 的导数 $\displaystyle f^{\prime}(t)$（只需写出 $\displaystyle f^{\prime}(t)$ 的积分表达式）．

27．证明下列命题。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=0$ 。试证：$\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)+f^{2}(\xi)=0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ 。则 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)+g^{\prime}(\xi) f(\xi)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在（2，3）内可导，且 $\displaystyle \exists x_{1}<x_{2} \in(2,3)$ 使 $\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)=0$ 。求证：$\displaystyle \left(x_{1}, x_{2}\right)$ 内至少有 $\displaystyle x f^{\prime}(x) \ln x+f(x)\left(g^{\prime}(x) x \ln x+\ln x+1\right)$ 的一个零点。

30．求解下列各题．
（1）曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (1,-2,1)$ 处的切线方程和法平面方程。
（2）求曲线 $\displaystyle \Gamma: x=x(t)=t^{2}, y=y(t)=\mathrm{e}^{t}+2, z=z(t)=t+\cos t, t \in \mathbf{R}$ 在点 $\displaystyle (x(0), y(0), z(0))$ 处的切线方程与法平面线方程．

31．已知 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微，且 $\displaystyle f\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, g(x, y)$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续。证明 $\displaystyle f(x, y) g(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, \dot{y}_{0}\right)$ 处可微，且 $\displaystyle d(f g)\left(x_{0}, y_{0}\right)=g\left(x_{0}, y_{0}\right) d f\left(x_{0}, y_{0}\right)$

34．假设 $\displaystyle f$ 是一可微函数，求曲面 $\displaystyle z=x f\left(\frac{y}{x}\right)$ 上任一点 $\displaystyle M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), x_{0} \neq 0$ 处的切平面方程，并指出该切平面是否过坐标原点．

35．设 $\displaystyle f(x)=\arcsin x$ ，证明：$\displaystyle \left(1-x^{2}\right) f^{(n+2)}(x)-(2 n+1) x f^{(n+1)}(x)-n^{2} f^{(n)}(x)=0$ ，并求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．

53．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续可导，且对 $\displaystyle \forall x \in(a, b)$ 有 $\displaystyle F(x)=f^{\prime}(x) g(x)- f(x) g^{\prime}(x)>0$ 。证明：（1）$\displaystyle f(x), g(x)$ 不可能有相同的零点；（2）$\displaystyle f(x)$ 的相邻零点之间必有 $\displaystyle g(x)$ 的零点．
（2）设二元函数 $\displaystyle f(x, y), g(x, y)$ 定义在紧集 $\displaystyle K$ 上且有连续一阶偏导数，对 $\displaystyle \forall(x, y) \in K$ ，有 $\displaystyle f_{x} g_{y}-f_{y} g_{x} \neq 0$ ．证明：在 $\displaystyle K$ 内同时满足 $\displaystyle f(x, y)=0, g(x, y)=0$ 的点至多只有有限个．