奇函数与偶函数
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第4题证明题
4．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [-1,1]$ 上的连续函数，且满足条件：对 $\displaystyle [-1,1]$ 上任意连续的偶函数 $\displaystyle g(x)$ ，都有 $\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [-1,1]$ 上的奇函数。
第12题计算题
12．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{2 x^{2}+x \cos x}{1+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．（华北水电 2007）
（2） $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\left(x^{7} \mathrm{e}^{|x|}+\mathrm{e}^{|x|} \cos x\right) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{x\left(x+\ln \left(x^{2}+1\right)\right)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}+\int_{-1}^{1} x^{2007} \ln \left(x^{2}+\cos x\right) \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} x^{2} \ln x \mathrm{~d} x+\int_{-2002}^{2002} x^{2003} \ln \left(x^{4}+x^{2}+1\right) \mathrm{d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{-2}^{2} x^{2}\left(\frac{\sin ^{3} x}{1+x^{6}}+\sqrt{4-x^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{-1}^{1} x\left(1+x^{1997}\right)\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(x^{2004} \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)+\frac{x \arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（10） $\displaystyle \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{x \arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ 。
（11） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x+\cos x}{1+\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（12） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\tan ^{2} x+\tan x \cos ^{2} x\right) \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{2 x^{2}+x \cos x}{1+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．（华北水电 2007）
（2） $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\left(x^{7} \mathrm{e}^{|x|}+\mathrm{e}^{|x|} \cos x\right) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{x\left(x+\ln \left(x^{2}+1\right)\right)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}+\int_{-1}^{1} x^{2007} \ln \left(x^{2}+\cos x\right) \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} x^{2} \ln x \mathrm{~d} x+\int_{-2002}^{2002} x^{2003} \ln \left(x^{4}+x^{2}+1\right) \mathrm{d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{-2}^{2} x^{2}\left(\frac{\sin ^{3} x}{1+x^{6}}+\sqrt{4-x^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{-1}^{1} x\left(1+x^{1997}\right)\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(x^{2004} \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)+\frac{x \arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（10） $\displaystyle \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{x \arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ 。
（11） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x+\cos x}{1+\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（12） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\tan ^{2} x+\tan x \cos ^{2} x\right) \mathrm{d} x$ ．
第15题证明题
15．设 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle [-a, a](a>0)$ 上的连续偶函数．证明 $\displaystyle \int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x$ ，并求下列积分．（1） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{4} x}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ，（2） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{x^{4}}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ，（3） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{3} x}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
第16题证明题
16．设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在区间 $\displaystyle [-a, a](a>0)$ 上连续，$\displaystyle g(x)$ 为偶函数，且 $\displaystyle f(x)$ 满足条件： $\displaystyle f(x)+f(-x)=A(A$ 为常数 $\displaystyle )$ ．证明： $\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) g(x) \mathrm{d} x=A \int_{0}^{a} g(x) \mathrm{d} x$ ，并求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}|\sin x| \arctan \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin ^{4} x}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3）$\displaystyle I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin ^{2} x}{1+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}|\sin x| \arctan \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin ^{4} x}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3）$\displaystyle I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin ^{2} x}{1+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
第18题证明题
18．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为奇函数，在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续单调递增，又设 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}(x-2 t) f(t) \mathrm{d} t$ 。证明： （1）$\displaystyle F(x)$ 为奇函数，（2）$\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上单调递减．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，并且是单调增加的奇函数，又设 $\displaystyle g(x)=\int_{0}^{x}(2 t-x) f(x-t) \mathrm{d} t$ ．试判断 $\displaystyle g(x)$ 的单调性和奇偶性并证明之．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为奇函数，在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续单调递增，又设 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}(x-3 t) f(t) \mathrm{d} t$ ．证明： （1）$\displaystyle F(x)$ 为奇函数，（2）$\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上单调递减．
（4）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle f(x)>0$ ，则 $\displaystyle \varphi(x)=\frac{\int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t}{\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}$ 为 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的严格单调递增．
（5）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续递增，$\displaystyle F(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x-a} \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t, x \in(a, b], \text { 则 } F(x) \text { 为 }[a, b] \text { 上的 } \\ f(a), x=a,\end{array}\right.$单调增函数．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为奇函数，在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续单调递增，又设 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}(x-2 t) f(t) \mathrm{d} t$ 。证明： （1）$\displaystyle F(x)$ 为奇函数，（2）$\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上单调递减．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，并且是单调增加的奇函数，又设 $\displaystyle g(x)=\int_{0}^{x}(2 t-x) f(x-t) \mathrm{d} t$ ．试判断 $\displaystyle g(x)$ 的单调性和奇偶性并证明之．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为奇函数，在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续单调递增，又设 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}(x-3 t) f(t) \mathrm{d} t$ ．证明： （1）$\displaystyle F(x)$ 为奇函数，（2）$\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上单调递减．
（4）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle f(x)>0$ ，则 $\displaystyle \varphi(x)=\frac{\int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t}{\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}$ 为 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的严格单调递增．
（5）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续递增，$\displaystyle F(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x-a} \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t, x \in(a, b], \text { 则 } F(x) \text { 为 }[a, b] \text { 上的 } \\ f(a), x=a,\end{array}\right.$单调增函数．
第21题计算题
21．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}|x y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y):|x|+|y| \leqslant 1\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left|y-x^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{D}\left|y-x^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为矩形区域 $\displaystyle \{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D}\left|x-y^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left|x-y^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为矩形区域 $\displaystyle \{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（6） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y)| | x \mid \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ 。
（7） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \| x \mid \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（8） $\displaystyle \iint_{D}|x+y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（9） $\displaystyle \iint_{D}|3 x-4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:[0,1] \times[0,1]$ ．
（10） $\displaystyle \iint_{D}|x+2 y-1| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（11） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-1\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
分析：绝对值函数，分段函数，取整函数， $\displaystyle \max (), \min ()$ 往往在积分区域的不同部分有不同的取值，应根据被积函数合理分割积分区域。
（1） $\displaystyle \iint_{D}|x y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y):|x|+|y| \leqslant 1\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D}\left|y-x^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{D}\left|y-x^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为矩形区域 $\displaystyle \{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D}\left|x-y^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{D}\left|x-y^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 为矩形区域 $\displaystyle \{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（6） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y)| | x \mid \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ 。
（7） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \| x \mid \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（8） $\displaystyle \iint_{D}|x+y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（9） $\displaystyle \iint_{D}|3 x-4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:[0,1] \times[0,1]$ ．
（10） $\displaystyle \iint_{D}|x+2 y-1| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D:\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（11） $\displaystyle \iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-1\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
分析：绝对值函数，分段函数，取整函数， $\displaystyle \max (), \min ()$ 往往在积分区域的不同部分有不同的取值，应根据被积函数合理分割积分区域。
第22题计算题
22．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D}| | x+y|-2| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,-2 \leqslant y \leqslant 2\}$ 。延安大学 2001）
（2） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{|x-|y||} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y): 0 \leqslant x \leqslant 2,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}|\cos (x+y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle y=x, y=0, x=\frac{\pi}{2}$ 围成．
（1） $\displaystyle \iint_{D}| | x+y|-2| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,-2 \leqslant y \leqslant 2\}$ 。延安大学 2001）
（2） $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{|x-|y||} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y): 0 \leqslant x \leqslant 2,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{D}|\cos (x+y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle y=x, y=0, x=\frac{\pi}{2}$ 围成．
第23题证明题
23．求下列导数。
（1）设 $\displaystyle f(x) \in C(-\infty,+\infty)$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)}{x-2}=2$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=2$ 处可导，并求 $\displaystyle f^{\prime}(2)$ ．
（2）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=2$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)}{x-2}=1$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=2$ 处可导．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle (-1,1)$ 上的奇函数，$\displaystyle f^{\prime}(0)=2$ ．求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}-1}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x) \in C(-\infty,+\infty)$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)}{x-2}=2$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=2$ 处可导，并求 $\displaystyle f^{\prime}(2)$ ．
（2）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=2$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)}{x-2}=1$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=2$ 处可导．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle (-1,1)$ 上的奇函数，$\displaystyle f^{\prime}(0)=2$ ．求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}-1}$ ．
第23题计算题
23．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \sin |x-y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \times\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{\substack{0<x<\pi \\ 0<y<\pi}}|\sin (x-y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{D}|\cos (x+y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0, \pi] \times[0, \pi]$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}(x-y) \sin x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \times[0, \pi]$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{0 \leqslant x<y \leqslant \pi}|\sin (x-y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \sin |x-y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \times\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{\substack{0<x<\pi \\ 0<y<\pi}}|\sin (x-y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{D}|\cos (x+y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0, \pi] \times[0, \pi]$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sgn}(x-y) \sin x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \times[0, \pi]$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{0 \leqslant x<y \leqslant \pi}|\sin (x-y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
第24题计算题
24．计算下列二重积分．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{\max \left\{x^{2}, y^{2}\right\}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}1, y \leqslant \mathrm{e}^{x}, \\ 0, y>\mathrm{e}^{x}\end{array}, D=[0,1] \times[0, \mathrm{e}]\right.$ ．
（3）$\displaystyle I=\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}1-x-y, x+y \leqslant 1, \\ 0, x+y>1,\end{array} \quad D\right.$ 为 $\displaystyle \{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（4）$\displaystyle I=\iint_{D} \min \left\{x^{2} y, 2\right\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,4] \times[0,3]$ ．
（5）$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} \max (x, y) \mathrm{d} y$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{\max \left\{x^{2}, y^{2}\right\}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}1, y \leqslant \mathrm{e}^{x}, \\ 0, y>\mathrm{e}^{x}\end{array}, D=[0,1] \times[0, \mathrm{e}]\right.$ ．
（3）$\displaystyle I=\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}1-x-y, x+y \leqslant 1, \\ 0, x+y>1,\end{array} \quad D\right.$ 为 $\displaystyle \{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（4）$\displaystyle I=\iint_{D} \min \left\{x^{2} y, 2\right\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=[0,4] \times[0,3]$ ．
（5）$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} \max (x, y) \mathrm{d} y$ ．