定积分的不等式性质
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第28题证明题
28．证明下列命题（Cauchy 不等式及 Schwarz 不等式）。
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积。证明 Schwarz 不等式
$\displaystyle \left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \cdot \int_{a}^{b}(g(x))^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续。证明 $\displaystyle \left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \cdot \int_{a}^{b}(g(x))^{2} \mathrm{~d} x$.
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积。证明 Schwarz 不等式
$\displaystyle \left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \cdot \int_{a}^{b}(g(x))^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续。证明 $\displaystyle \left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \cdot \int_{a}^{b}(g(x))^{2} \mathrm{~d} x$.
第29题证明题
29．证明下列命题（Schwarz 不等式的应用）．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x)>0$ ．证明 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x \geqslant(b-a)^{2}$ ．（扬州大学 2005，北京理工 2005，浙江师大 2005，山东大学 2000／2002，浙江理工 2009，计量学院 2009，青岛大学 2010，广西大学 2007，中科院 1999，哈工大，北京科技 $\displaystyle 2003([a, b]=[0,1])$ ，北京工大 $\displaystyle 2004([a, b]=[0,1])$ ，上海理工 $\displaystyle \left.2003\left(f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}\right)\right) \quad$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $\displaystyle \left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant(b-a) \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $\displaystyle \iint_{D} \frac{f(x)}{f(y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geqslant(b-a)^{2}$ ，其中 $\displaystyle D=[a, b] \times[a, b]$ ．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{f(x)-f(y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geqslant(b-a)^{2}$ ，其中 $\displaystyle D=[a, b] \times[a, b]$ ．
（5）证明 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x \mathrm{e}^{\sin x} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{-\cos x} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{\pi}{4}$ ．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x)>0$ ．证明 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x \geqslant(b-a)^{2}$ ．（扬州大学 2005，北京理工 2005，浙江师大 2005，山东大学 2000／2002，浙江理工 2009，计量学院 2009，青岛大学 2010，广西大学 2007，中科院 1999，哈工大，北京科技 $\displaystyle 2003([a, b]=[0,1])$ ，北京工大 $\displaystyle 2004([a, b]=[0,1])$ ，上海理工 $\displaystyle \left.2003\left(f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}\right)\right) \quad$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $\displaystyle \left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant(b-a) \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $\displaystyle \iint_{D} \frac{f(x)}{f(y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geqslant(b-a)^{2}$ ，其中 $\displaystyle D=[a, b] \times[a, b]$ ．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{f(x)-f(y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geqslant(b-a)^{2}$ ，其中 $\displaystyle D=[a, b] \times[a, b]$ ．
（5）证明 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x \mathrm{e}^{\sin x} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{-\cos x} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{\pi}{4}$ ．
第30题证明题
30．证明下列命题（Schwarz 不等式的应用）
（1）已知 $\displaystyle f(x) \geqslant 0$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续， $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=1, k$ 为任意实数．求证：
$$
\left(\int_{a}^{b} f(x) \cos k x \mathrm{~d} x\right)^{2}+\left(\int_{a}^{b} f(x) \sin k x \mathrm{~d} x\right)^{2} \leqslant 1 \text {. }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x), h(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1, g^{2}(x)+h^{2}(x)=1$ ．证明：
$$
\left(\int_{0}^{1} f^{2}(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2}+\left(\int_{0}^{1} f^{2}(x) h(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant 1 . \text { }
$$
（1）已知 $\displaystyle f(x) \geqslant 0$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续， $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=1, k$ 为任意实数．求证：
$$
\left(\int_{a}^{b} f(x) \cos k x \mathrm{~d} x\right)^{2}+\left(\int_{a}^{b} f(x) \sin k x \mathrm{~d} x\right)^{2} \leqslant 1 \text {. }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x), h(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1, g^{2}(x)+h^{2}(x)=1$ ．证明：
$$
\left(\int_{0}^{1} f^{2}(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2}+\left(\int_{0}^{1} f^{2}(x) h(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant 1 . \text { }
$$
第31题证明题
31．设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明：$\displaystyle \left(\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{t^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x\right)^{2} \leqslant \frac{\pi}{2 t} \int_{0}^{1} \frac{f^{2}(x)}{t^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x,(t>0)$ ．
第32题证明题
32．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, f(x)$ 不恒为正．求证： $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x<0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上具有连续的导数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1$ 。证明：（1） $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=-\frac{1}{2}$ ；
（2） $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \int_{a}^{b} x^{2} f^{2}(x) \mathrm{d} x>\frac{1}{4}$ ；（3） $\displaystyle \int_{a}^{b} x^{2}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x>\frac{1}{4}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 有连续的导数，$\displaystyle f(0)=f(1)=0, \int_{0}^{1} x^{2} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{4}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{9}{4}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, f(x)$ 不恒为正．求证： $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x<0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上具有连续的导数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1$ 。证明：（1） $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=-\frac{1}{2}$ ；
（2） $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \int_{a}^{b} x^{2} f^{2}(x) \mathrm{d} x>\frac{1}{4}$ ；（3） $\displaystyle \int_{a}^{b} x^{2}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x>\frac{1}{4}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 有连续的导数，$\displaystyle f(0)=f(1)=0, \int_{0}^{1} x^{2} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{4}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{9}{4}$ ．
第33题证明题
33．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，并且导函数连续，证明：
$$
|f(x)| \leqslant|f(a)|+\sqrt{x-a} \sqrt{\int_{a}^{x}\left(f^{\prime}(t)\right)^{2} \mathrm{~d} t}, \forall x \in[a, b] \text {. }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ ．求证：$\displaystyle \forall x_{0} \in(a, b), \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t \geqslant \frac{f^{2}\left(x_{0}\right)}{x_{0}-a}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。证明： $\displaystyle \max _{x \in[a, b]}|f(x)| \leqslant \sqrt{b-a}\left(\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{2}}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。求证： $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ 。中科院 2006，湘潭大学 2004 ，地质大学 2006 ，北航 $\displaystyle 2007 ;[a, b]=[0,1]$ ：上海大学 2002 ，南京财大 2012）
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ ．求证：$\displaystyle \exists M>0$ 使 $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant M \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 一阶连续可导，$\displaystyle f(a)=0$ ．证明：
$$
\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x-\frac{1}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}(x-a)^{2} \mathrm{~d} x \text {. }
$$
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，并且导函数连续，证明：
$$
|f(x)| \leqslant|f(a)|+\sqrt{x-a} \sqrt{\int_{a}^{x}\left(f^{\prime}(t)\right)^{2} \mathrm{~d} t}, \forall x \in[a, b] \text {. }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ ．求证：$\displaystyle \forall x_{0} \in(a, b), \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t \geqslant \frac{f^{2}\left(x_{0}\right)}{x_{0}-a}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。证明： $\displaystyle \max _{x \in[a, b]}|f(x)| \leqslant \sqrt{b-a}\left(\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{2}}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。求证： $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ 。中科院 2006，湘潭大学 2004 ，地质大学 2006 ，北航 $\displaystyle 2007 ;[a, b]=[0,1]$ ：上海大学 2002 ，南京财大 2012）
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ ．求证：$\displaystyle \exists M>0$ 使 $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant M \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 一阶连续可导，$\displaystyle f(a)=0$ ．证明：
$$
\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x-\frac{1}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}(x-a)^{2} \mathrm{~d} x \text {. }
$$
第34题求解题
34．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，$\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ．求证：
（1）对任何 $\displaystyle x \in(0,1)$ 都有 $\displaystyle f^{2}(x) \leqslant \frac{1}{4} \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{1}{4} \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x ;$
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{1}{4} \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ 。四川大学 2006，南京大学 2008，地质大学 2007，北航 2005）
（1）对任何 $\displaystyle x \in(0,1)$ 都有 $\displaystyle f^{2}(x) \leqslant \frac{1}{4} \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{1}{4} \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x ;$
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{1}{4} \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ 。四川大学 2006，南京大学 2008，地质大学 2007，北航 2005）
第35题证明题
35．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{b-a}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ，且等号成立时有 $\displaystyle f(x)=c(x-a), \mathrm{c}$ 为某常数．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ．求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{b-a}{4} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{b-a}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ，且等号成立时有 $\displaystyle f(x)=c(x-a), \mathrm{c}$ 为某常数．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ．求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{b-a}{4} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．