定积分的基本性质（线性、区间可加性、不等式性质）

1．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x) \geqslant 0$ 且不恒为 0 ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x) \geq 0$ ，如果 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ 。
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，如果 $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle \forall x \in[a, b], f(x) \leqslant g(x)$ 且存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)<g\left(x_{0}\right)$ ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x<\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x) \leqslant g(x)$ ，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv g(x)$ ， $\displaystyle x \in[a, b]$ ．

1．证明．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{n}^{n+p} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=0(p>0)$ ．（中南大学 2012 ，新疆大学 2005 ，河北工大 2006（ $\displaystyle p=1$ ）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{n}^{n+p} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x=0,(p>0$ ，是常数）．

2．证明下列命题．
（1）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle R$ 上可积，且 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x>0$ ，则存在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset[a, b]$ 使 $\displaystyle f(x)>0, \forall x \in[\alpha, \beta]$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x<0$ ，证明：存在闭区间 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset[a, b]$ 使得当 $\displaystyle x \in[\alpha, \beta]$ 时，$\displaystyle f(x)<0$ ．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，对任意 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset[a, b]$ 有 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
（4）若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，对任意 $\displaystyle (\alpha, \beta) \subset(a, b)$ 有 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x=\int_{\alpha}^{\beta} g(x) \mathrm{d} x$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv g(x), x \in(a, b)$.
（5）若 $\displaystyle f(x) \geqslant 0$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，证明 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ 的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 在连续点处有 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．

3．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{-2}^{2} \mathrm{e}^{-|\mathrm{x}|}|1-\mathrm{x}| \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{3} \sqrt{|x(x-2)|} \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{n+1} \ln [x] \mathrm{d} x, n \in \mathbf{N}^{+}$．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{2}\left[\mathrm{e}^{x}\right] \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{-1}^{3} \min \left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{2} x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{-2}^{2} \max \left\{1, x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ 。
（7） $\displaystyle \int_{-1}^{2} \min \left\{2, x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ 。

3．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，且对在 $\displaystyle (a, b)$ 的任意可积函数 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且对任意满足 $\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=0$ 的连续函数 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 恒等于常数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且对于所有那些在 $\displaystyle [a, b]$ 上满足附加条件 $\displaystyle g(a)=g(b)=0$ 的连续函数 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．

4．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [-1,1]$ 上的连续函数，且满足条件：对 $\displaystyle [-1,1]$ 上任意连续的偶函数 $\displaystyle g(x)$ ，都有 $\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [-1,1]$ 上的奇函数。

4．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x}(x-t) \sin t^{2} \mathrm{~d} t}{x^{4}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} x^{m} \int_{0}^{\frac{1}{x}} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ，其中 $\displaystyle m$ 为任意整数．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x) \int_{0}^{x} f(x-t) \mathrm{d} t}{\int_{0}^{x} f(t)(\sin x-t) \mathrm{d} t}$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的邻域连续，且 $\displaystyle f(0) \neq 0$ 。

4．求证： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{\alpha}\right)}=\frac{\pi}{4}$ ，其中 $\displaystyle \alpha$ 为任意实数。武汉大学 2013，扬州大学 2009，山东科技 2009 ，中科院 2004 ，中科大 2004 ，宁波大学 2010 ，湖南师大 2008 ，温州大学 2010 ）

4．计算二重积分 $\displaystyle \iint_{[0, \pi] \times[0,1]} y \sin (x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-127.jpg?height=1002&width=1003&top_left_y=7197&top_left_x=4544}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．14}
\end{figure}

5．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} \arctan x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\pi}(x \sin x)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} x \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x^{2} \sqrt{1-\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\arcsin x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}} \mathrm{dx}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x$ 。

5．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin x)^{\alpha} \int_{x}^{1} \frac{f(t)}{t^{\alpha+1}} \mathrm{~d} t(\alpha>0)$ ．

6．证明： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos x \mathrm{~d} x=-\frac{\pi}{2} \ln 2$ ，并求下列积分：
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\tan x) \mathrm{d} x$ ；（2） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．

7．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 均为定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上的有界函数。证明：若仅在 $\displaystyle [a, b]$ 中有限个点处 $\displaystyle f(x) \neq g(x)$ ，则当 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积时，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上也可积，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）证明：符号函数在 $\displaystyle [-1,1]$ 上是可积的，但在 $\displaystyle [-1,1]$ 上不存在原函数．

7．证明下列不等式．
（1）当 $\displaystyle x>0$ 时，$\displaystyle x-\frac{x^{3}}{6}<\sin x<x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}$ ．
（2）$\displaystyle \frac{\pi}{2}-\frac{\pi^{3}}{144}<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x<\frac{\pi}{2}-\frac{\pi^{2}}{72}$ ．

7．求证下列问题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle T$ 为周期的连续周期函数，求证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t$.
（2）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sin \frac{1}{x} \cdot \int_{0}^{x}|\sin t| \mathrm{d} t$ ．

8．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ 有 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ ．证明：对任何正整数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle \left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)-\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{n}$ 。西北师大 2005 ，首都师大 2000 ，西南大学 2007 ，华中师大，南开大学）
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ ．证明：对任何正整数 $\displaystyle n$ 有

$$
\left|\frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(a+\frac{b-a}{n} i\right)-\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{n}(b-a)^{2} \text {. }
$$

（3）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，对任意 $\displaystyle x, y$ 都有 $\displaystyle |f(x)-f(y)| \leqslant M|x-y|$ ．证明：

$$
\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)\right| \leqslant \frac{M}{2 n} .
$$

（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微， $\displaystyle \sup _{0<x<1}\left|f^{\prime}(x)\right|<M<+\infty$ ．若 $\displaystyle n>1$ 为正整数，证明：

$$
\left|\sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right)-\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{2 n} . \text { }
$$

（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调减少，对任何正整数 $\displaystyle n$ ，试证明下列不等式：

$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \leqslant \frac{f(0)-f(1)}{n},
$$


并说明该不等式的几何意义．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，$\displaystyle f(0)=f(1), \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，且对 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ 有 $\displaystyle f^{\prime}(x) \neq 1$ ，记 $\displaystyle g(x)=f(x)-x, n \geqslant 2$ 为正整数．求证：（1）$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 严格单调递减；（2）$\displaystyle -\frac{n}{2}<\sum_{k=0}^{n-1} g\left(\frac{k}{n}\right)<-\frac{n}{2}+1$ ； （3）$\displaystyle \left|\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)\right|<\frac{1}{2}$ 。．
（7）若对任意自然数 $\displaystyle m$ ，当 $\displaystyle x \geqslant m$ 时，$\displaystyle f(x)$ 是一非负单增函数，则对任意 $\displaystyle \xi \geqslant m$ 都有 $\displaystyle \left|\sum_{k=m}^{[\xi]} f(k)-\int_{m}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant f(\xi)$ ，［ $\displaystyle \xi$ ］为不超过 $\displaystyle \xi$ 的最大整数．

9．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{2} x f(x) \mathrm{d} x=a>0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in[0,2]$ 使 $\displaystyle |f(\xi)| \geqslant a$.
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且

$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=0, \cdots, \int_{0}^{1} x^{n-1} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=1, n>1
$$


求证在 $\displaystyle [0,1]$ 的某一部分上有 $\displaystyle |f(x)| \geqslant 2^{n}(n+1)$ ．（吉林犬学）
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=1$ 。证明 $\displaystyle \exists x_{0} \in[0,1]$ 使得 $\displaystyle \left|f\left(x_{0}\right)\right|>4$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=1$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in[0,1]$ 使得 $\displaystyle \left|f\left(x_{0}\right)\right| \geqslant 12$ ．

9．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在任何有限区间上可积（或 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续），且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．求证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在任何有限区间上可积（或 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续），且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=l$ ．

10．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin \theta-\sin ^{3} \theta} \mathrm{~d} \theta$ ．
（2） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x \cos ^{3} x+\sqrt{\cos x-\cos ^{3} x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sqrt{\cos x-\cos ^{3} x}+\frac{\sin x}{1+x^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|\sin \theta-\cos \theta| \mathrm{d} \theta$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{x^{5}}{1+x^{2}}+\sqrt{1-\cos x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\sin x} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{n \pi} \sqrt{1-\sin 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\cos 2 x} \mathrm{dx}$ ．

10．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界，记 $\displaystyle f^{+}(x)=\max \{f(x), 0\}, f^{-}(x)=\max \{-f(x), 0\}$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积的充分必要条件是 $\displaystyle f^{+}(x), f^{-}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上均可积，并且

$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f^{+}(x) \mathrm{d} x-\int_{a}^{b} f^{-}(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$

10．设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，且 $\displaystyle \forall x_{1}, x_{2} \in[a, b]$ 有 $\displaystyle \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leqslant\left|x_{1}-x_{2}\right|$ ．证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内连续；
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-(b-a) f(a)\right| \leqslant \frac{1}{2}(b-a)^{2}$ ．

10．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上单调增加，在任 意的有穷区间 $\displaystyle [0, T]$ 上 $\displaystyle f(x)$ 可积，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=C$ ．证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=C$ ．

11．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, \dot{b}]$ 上二次可微，$\displaystyle M=\max _{[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．
（1）若 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{24} M$ ；
（2）若 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \neq 0$ ，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{24} M$ ．
（西安电子科技 2006，深圳大学 2010，北京科技 2011，东北师大 2001，华中师大 2001，扬州大学 2007，武汉理工 2008，中山大学 2012，大连海事 2005，聊城大学 2003；燕山大学 2011（［0，1］）；首都师大 $\displaystyle 2006([-x, x])$ ，浙江师大 2009（ $\displaystyle [-1,1]$ ）；西南大学 2011（ $\displaystyle [a, b]=[0,2]$ ），辽宁大学 2003）

11．设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明．
（1） $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{1} \frac{h}{h^{2}+x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0)$ 。南京师大 2006 ，四川大学 2000 ，扬州大学 2009，西南交大 2007，湖南大学 2005，东南大学 2007，华东师大 2002，北京师大 1995）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{n}{1+n^{2} x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow \infty} \int_{0}^{\lambda} \frac{1}{1+x^{2}} f\left(\frac{x}{\lambda}\right) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0)$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x \int_{0}^{1} \frac{f(t) \arctan (x t)}{1+t^{2} x^{2}} \mathrm{~d} t$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{1} \frac{x \cos t}{t^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} t=\frac{\pi}{2}$ ．

11．已知 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的正值连续函数，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x<+\infty$ ．证明：（1）存在数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[0,+\infty)$ 满足：$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 严格单调递增， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty, \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=+\infty$ ；（2） $\displaystyle \lim _{A \rightarrow+\infty} \frac{1}{A^{2}} \int_{0}^{A} f(x) \mathrm{d} x=+\infty$ 。北京大学 2009，云南大学 2011，华中师大 2010）

12．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{2 x^{2}+x \cos x}{1+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．（华北水电 2007）
（2） $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\left(x^{7} \mathrm{e}^{|x|}+\mathrm{e}^{|x|} \cos x\right) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{x\left(x+\ln \left(x^{2}+1\right)\right)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}+\int_{-1}^{1} x^{2007} \ln \left(x^{2}+\cos x\right) \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} x^{2} \ln x \mathrm{~d} x+\int_{-2002}^{2002} x^{2003} \ln \left(x^{4}+x^{2}+1\right) \mathrm{d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{-2}^{2} x^{2}\left(\frac{\sin ^{3} x}{1+x^{6}}+\sqrt{4-x^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{-1}^{1} x\left(1+x^{1997}\right)\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(x^{2004} \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)+\frac{x \arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（10） $\displaystyle \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{x \arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ 。
（11） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x+\cos x}{1+\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（12） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\tan ^{2} x+\tan x \cos ^{2} x\right) \mathrm{d} x$ ．

12．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ 。求证 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{4} M$ ．

13．证明下列结论．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sin \left(k+\frac{1}{2}\right) t}{\sin \frac{t}{2}} \mathrm{~d} t=\pi,(k=0,1,2, \cdots)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sin (2 n+1) x}{\sin x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} \frac{\sin (2 n-1) x}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ，并计算其值，其中 $\displaystyle n$ 为正整数．

13．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上 Riemann 可积，且对 $\displaystyle [0,1]$ 上任何有限个两两不交的闭区间 $\displaystyle \left[a_{i}, b_{i}\right]$ ， $\displaystyle 1 \leqslant i \leqslant n$ ，都有 $\displaystyle \left|\sum_{i=1}^{n} \int_{a_{i}}^{b_{i}} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant 1$ 。求证： $\displaystyle \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant 2$ ．

13．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．证明： $\displaystyle \max _{a<x<b}\left|f^{\prime}(x)\right| \geqslant \frac{4}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ ． （四川大学 2008，西安电子科技 2008，太原科技 2005，河南师大 2008，北京工大 2002，大连海事 1999，浙江理工 2007；广西师大 2009
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 内有连续的导数，$\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ．试证明 $\displaystyle \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{1}{4} \max _{0<x<1}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导且非常数函数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．试证明：在 $\displaystyle [a, b]$ 中至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle \left|f^{\prime}(\xi)\right|>\frac{4}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（4）在 $\displaystyle [0,2]$ 上是否存在这样的连续可微函数 $\displaystyle f(x)$ 使得 $\displaystyle f(0)=f(2)=1,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1$ ，且 $\displaystyle \left|\int_{0}^{2} f(x) d x\right| \leqslant 1$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上两阶可导，$\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=f^{\prime}(a)=0, f(a)=1$ ，并且对 $\displaystyle \forall x \in[0, a]$ 有 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 1$ ．设 $\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0 \leqslant x \leqslant \frac{a}{2}, \\ a-x, \frac{a}{2}<x \leqslant a,\end{array}\right.$ 求证：（1）$\displaystyle f^{\prime}(x) \leqslant g(x)$ ；（2）求证存在 $\displaystyle x_{0} \in(0, a)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{0}\right)<g\left(x_{0}\right)$ ；（3）求证 $\displaystyle a>2$ ．
（6）设 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上连续可微，$\displaystyle f(0)=0$ ．求证 $\displaystyle \left|\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{2} a^{2}$ ，其中 $\displaystyle M=\max _{[0, a]}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．

13．证明下列命题，并求极限．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续非负，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\int_{a}^{b} f^{n}(x) \mathrm{d} x}=\max _{a<x<b} f(x)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{a}^{b}\left|f^{n}(x)\right| \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{n}}=\max _{x \in[a, b]}|f(x)|$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续有界，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{\int_{0}^{n}|f(x)|^{n} \mathrm{~d} x}=\sup \{|f(x)| x \in[0,+\infty)\}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \min _{a<x<b} f(x)=1$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\int_{a}^{b} \frac{1}{(f(x))^{n}} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}=1$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续恒大于 0 ，证明： $\displaystyle \lim _{p \rightarrow \infty} \sqrt[p]{\int_{a}^{b} f^{p}(x) \mathrm{d} x}=\max _{a<x<b} f(x)$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, a+1]$ 上的连续正值函数，$\displaystyle M=\sup _{a<x<a+1} f(x), A_{n}=\sqrt[n]{\int_{a}^{a+1} f^{n}(x) \mathrm{d} x}$ ．证明：$\displaystyle \left\{A_{n}\right\}$关于 $\displaystyle n$ 单调递增，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} A_{n}=M$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x) \geqslant 0, g(x) \geqslant 0$ ．证明：
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{a}^{b} f^{n}(x) \mathrm{g}(x) \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{n}}=\max _{a<x<b} f(x)$
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x+\cos x)^{n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}$ 。
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{0}^{\pi} x^{2013} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}$ ．

14．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [-a, a]$ 上的连续函数．证明： $\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{a}(f(x)+f(-x)) \mathrm{d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\sin x} \mathrm{dx}$ 。

14．求下列极限．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续非负，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} g(x) \sqrt[n]{f(x)} \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b] \subset\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x)>0$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} \sin x \sqrt[n]{f(x)} \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi}(\sin x)^{\frac{1}{n}} \mathrm{~d} x=\pi$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \sqrt[n]{x} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积．
（5）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=[0, \pi] \times[0, \pi]$ 上连续，且恒取正值，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \iint_{D}(\sin x)(f(x, y))^{\frac{1}{n}} \mathrm{~d} \sigma$ ．

14．（傅茹兰尼公式）证明：
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle 0<a<b$ ，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k$ ，则
$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=(f(0)-k) \ln \frac{b}{a}$ ．（北京师大 2005，北京交大 2013／2006，电子科技 2010（ $\displaystyle k=0$ ），广西民大 2010 ，人民大学 2000）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle 0<a<b, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=c, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=d$ ，则

$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=(d-c) \ln \frac{b}{a} .
$$

（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle 0<a<b$ ，若 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x$ 收敛，则
$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=f(0) \ln \frac{b}{a}$ ．

15．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且当 $\displaystyle x \in(0,1)$ 时， $\displaystyle 0<f^{\prime}(x)<1, f(0)=0$ 。证 $\displaystyle \left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}>\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，$\displaystyle f(a)=0, f^{\prime}(x) \geqslant 1$ ．证明

$$
\int_{a}^{b}(f(x))^{3} \mathrm{~d} x \geqslant\left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \text {. }
$$

（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant x$ 。试证： $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x \geqslant\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}$ ，并求等号成立时所有的 $\displaystyle f(x)$ ．

15．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明下面结论．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}(n+1) \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1) ;$
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=0$ ；
（4）设 $\displaystyle p(x)$ 为实系数多项式。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(n+1) \int_{0}^{1} x^{n} p(x) \mathrm{d} x=p(1)$ 。如果 $\displaystyle f(x)$ 为区间 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数，关于下式 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(n+1) \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x$ ，你能得一个什么结论，并证明你的结论。

15．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，对任意 $\displaystyle A>0, \int_{A}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x$ 均有意义，求积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(2 x)-f(3 x)}{x} \mathrm{~d} x$ ．

16．设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在区间 $\displaystyle [-a, a](a>0)$ 上连续，$\displaystyle g(x)$ 为偶函数，且 $\displaystyle f(x)$ 满足条件： $\displaystyle f(x)+f(-x)=A(A$ 为常数 $\displaystyle )$ ．证明： $\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) g(x) \mathrm{d} x=A \int_{0}^{a} g(x) \mathrm{d} x$ ，并求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}|\sin x| \arctan \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin ^{4} x}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3）$\displaystyle I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin ^{2} x}{1+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．

16．举例．
（1）举一个 Riemann 不可积的函数．
（2）举例说明 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积时，下面的等式不一定成立．

$$
\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x . \text { }
$$

16．证明下列命题．
（1）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调不增．证明对任何 $\displaystyle \alpha \in(0,1), \int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \alpha \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且单调减少，$\displaystyle f(x)>0$ ．求证对于任意的 $\displaystyle 0<\alpha<\beta<1$ 有 $\displaystyle \beta \int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x>\alpha \int_{a}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，单调递减，$\displaystyle f(x) \geqslant 0, F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．求证

$$
x F(1) \leqslant F(x) \leqslant 2 \int_{0}^{1} F(x) \mathrm{d} x . \text { }
$$

16．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，在 $\displaystyle x=b$ 处连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{(b-a)^{n+1}} \int_{a}^{b}(x-a)^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(b)$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积，在 $\displaystyle x=1$ 处连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上黎曼可积，在 $\displaystyle x=1$ 可导，$\displaystyle f(1)=0, f^{\prime}(1)=a$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=-a$ ．

16．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b]$ 连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=A$ ，则对任意 $\displaystyle 0<a<b$ 有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{\frac{a}{n}}^{\frac{b}{n}} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x=A \ln \frac{b}{a}$ ．

16．设函数 $\displaystyle f_{0}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle f_{n}(x)=\int_{a}^{x} f_{n-1}(t) \mathrm{d} t, x \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 0 ．（重庆大学 2014／2011，山东师大 2013，中南大学 2010，中山大学 2005（A），上海大学 2005，河南师大 2008，西北大学 2001／2009，南京理工 2004，湖南大学 2002／2003，西南大学 2003，清华大学 2003，天津大学 2001 ，兰州大学 2006 ，地质大学 2005 ，沈阳 工 2010 ，南京农大 2007，南京财大 2007，华南理工 2006，北京工大 2005，北航 1998／1999／2001，大连海事 2005，河海大学 2007，湖南师大 2005／2013，陕西师大1999，首都师大2012，西南交大2005／2006，新疆大学2004，郑州大学1997，杭州大学2007，山西师大2007，湘潭大学 2005，北京科技 2013，厦门大学 2010）

17．设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，求证 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(a+b-x) \mathrm{d} x$ ，并计算下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos ^{2} x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x, \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\sin ^{2} x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2-x}} \mathrm{~d} x$ ．（3） $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin ^{3} x}{\sin ^{3} x+\cos ^{3} x} \mathrm{~d} x$ ．

17．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且单调减少（增加），证明
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x \leqslant(b-a) \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续递增函数，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \geqslant \frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．

17．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=0$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x+x^{2}} \mathrm{dx}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{\sqrt{3+2 x}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{2+\sin n x} \mathrm{~d} x$ ．

17．设 $\displaystyle f(x) \in C[0,+\infty), b>a>0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \int_{a x}^{b x} \frac{f(t)}{t} \mathrm{~d} t$ ．

17．设 $\displaystyle u_{0}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle G(x, t)$ 在闭区域 $\displaystyle [a, b] \times[a, b]$ 上连续，对 $\displaystyle \forall x \in[a, b]$ ，设 $\displaystyle u_{n}(x)=\int_{a}^{x} G(x, y) u_{n-1}(y) \mathrm{d} y, n \geqslant 1$ 。证明：$\displaystyle \left\{u_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于 0．

18．若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{d} x$ ，并计算下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．

（2）$\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3）$\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x+\int_{-1}^{1} \frac{\cos x+x \sin ^{2} x+1}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x \sec ^{2} x}{1+\sec ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．

18．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调增加，$\displaystyle f(x) \neq 0$ ．证明 $\displaystyle \frac{\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x} \leqslant \frac{\int_{0}^{1} x f^{3}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} x f^{2}(x) \mathrm{d} x}$ ．
（2）设 $\displaystyle p(x), f(x), g(x)$ 是区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，$\displaystyle f(x), g(x)$ 单调增加，$\displaystyle p(x)>0$ 。试证明：
$\displaystyle \int_{a}^{b} p(x) f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(x) g(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} p(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(x) f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 。南京农大2009，南京大学1992）

18．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，令 $\displaystyle f_{n}(t)=\int_{0}^{T} f\left(x^{n}\right) \mathrm{d} x, t \in[0,1], n=1,2, \cdots$ ，证明函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(t)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$上一致收敛于 $\displaystyle g(t)=t f(0)$ ．

19．计算计算积分．
（1）$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1) \pi}^{k \pi}|\sin x| \mathrm{d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{n \pi} x|\sin x| \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle n$ 为正整数．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x|\sin n x| \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle n$ 为自然数。

19．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，且存在 $\displaystyle x_{0} \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=0$ ，求证： $\displaystyle \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．

（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上变号，且为连续函数，求证： $\displaystyle \min _{[0,1]} f(x) \geqslant-\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶连续可微，且在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在极值，求证： $\displaystyle \max _{[0,1]}\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在连续的二阶导数．证明： $\displaystyle \max _{[0,1]}\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant|f(1)-f(0)|+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．

20．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 连续函数，证明： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) \mathrm{d} x$ ，并计算下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ 及 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+(\tan x)^{\lambda}} \mathrm{d} x$ ．（宁波大学2009（ $\displaystyle \lambda=2009$ ），北京理工 $\displaystyle 2005(\lambda=\sqrt{3}$ ），中科院2012（ $\displaystyle \lambda=3$ ））
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{2} x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．

21．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 连续函数，证明： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(|\cos x|) \mathrm{d} x=\frac{1}{4} \int_{0}^{2 \pi} f(|\cos x|) \mathrm{d} x$ ．

21．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可导，证明： $\displaystyle \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant \max \left\{(b-a) \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x,\left|\int_{a}^{b}\right| f(x)|\mathrm{d} x|\right\}$ ． （四川大学 2009，南京农大 2008，扬州大学 $\displaystyle 2010([a, b]=[0,1])$

21．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} x$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n-1}{2 n} \cdot \frac{2 n-3}{2(n-1)} \cdots \frac{1}{2}=0$ 。
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{\sin ^{n} x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{x} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
（7）（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin x)^{n} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle a \in(0,1)$ ；（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin x)^{n} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．

22．计算下列积分．
（1）求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ 或 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (1+\tan \theta) \mathrm{d} \theta$ ．
（2）设 $\displaystyle I(a)=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+a x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, a>0$ ，求 $\displaystyle I^{\prime}(a), I(1)$ ．

22．证明下列命题．
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续，$\displaystyle |f(x)| \leqslant M$ ，又存在 $\displaystyle c \in(0,1)$ 使 $\displaystyle \int_{-c}^{c} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．求证：

$$
\left|\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant 2 M(1-c) .
$$

（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有连续的导数，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．求证：（1）$\displaystyle \forall x \in[0,1],\left|f(x)-f^{\prime}(x)\right| \geqslant\left(\mathrm{e}^{-x} f(x)\right)^{\prime}$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x \geqslant \frac{1}{\mathrm{e}}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有界且连续可微，满足 $\displaystyle f(x)+f^{\prime}(x) \leqslant 1, x \in \mathbf{R}$ ．试证：$\displaystyle |f(x)| \leqslant 1$ ．

22．计算下列极限．
（1）设 $\displaystyle I_{n}=\int_{1}^{1+\frac{1}{n}} \frac{\sqrt{1+x^{n}}}{x} \mathrm{~d} x$ ，计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n I_{n}$ ．
（2）设 $\displaystyle I_{n}=\int_{1}^{1+\frac{1}{n}} \sqrt{1+x^{n}} \mathrm{~d} x$ ，计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} I_{n}$ 及 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n I_{n}$ 存在．

23．设 $\displaystyle f(x)$ 为连续函数，且满足 $\displaystyle f(x)+f(y)=f(x y), x>0, y>0$ ，证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{8} f(2)$ ．

23．证明下列命题．
（1）若 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，对任意正整数 $\displaystyle n$ ，令 $\displaystyle x_{k}=a+k \frac{b-a}{n}, k=0,1, \cdots, n$ ， $\displaystyle A_{n}=\frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right)-\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n A_{n}=\frac{b-a}{2}(f(b)-f(a))$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微．求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)\right]=\frac{1}{2}(f(1)-f(0))$ ．

24．计算积分或证明等式．
（1）计算 $\displaystyle J(m, n)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{m} x \cos ^{n} x \mathrm{~d} x, m, n \in \mathbf{Z}^{+}$。
（2）计算 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．（重庆大学 2013，华南师大 2007，兰州大学 2003，北京科技，中科大 2011（ $\displaystyle n=7$ ））
（3）证明： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \cos ^{n} x \mathrm{~d} x=2^{-n} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x, n \in \mathbf{Z}^{+}$。（哈 工 大，沈阳 工 大 2008）
（4）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{(2 n)!!}{(2 n-1)!!}\right)^{2} \frac{1}{(2 n+1)}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{(2 n)!!}{(2 n-1)!!}\right)^{2} \frac{1}{2 n}=\frac{\pi}{2}$ ．

24．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上单调递减函数，证明：对任何正整数 $\displaystyle n$ ，恒有 $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x \geqslant 0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上导函数连续，$\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant 0$ ．求证：对任意自然数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle \left|\int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x\right| \leqslant \frac{2}{n}(f(2 \pi)-f(0))$ ．

24．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x) \in R[a, b]$ ，证 明： $\displaystyle \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) \sin p x \mathrm{~d} x=0, \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) \cos p x \mathrm{~d} x=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的单调函数，证明： $\displaystyle \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin p x \mathrm{~d} x=0$ 。

25．设 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} x$ ．证 明 ：（1）$\displaystyle I_{n}=\frac{2 n}{2 n+1} I_{n-1}, n=2,3, \cdots$ ，且 $\displaystyle I_{n} \geqslant \frac{2}{3 \sqrt{n}}, n=1,2, \cdots$ ；
（2） $\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{4}{3 \sqrt{n}}$ ．

25．设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上具有连续的导数，证明：
（1） $\displaystyle \max _{a<x<b}|f(x)| \leqslant\left|\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right|+\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ；
（2）$\displaystyle |f(x)| \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ；
（3）$\displaystyle \left|f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right| \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．

25．设 $\displaystyle g(x)$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数，$\displaystyle f(x)$ 是周期为 1 的连续函数．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} g(x) f(n x) \mathrm{d} x$
$\displaystyle =\int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ．

25．设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的 Riemann 可积函数且以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期．证明：$\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 具有相同的傅里叶系数的充要条件是 $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}|f(x)-g(x)| \mathrm{d} x=0$ ．

26．设 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x, n$ 为自然数．证明：（1）$\displaystyle I_{n}=\frac{n-1}{n+2} I_{n-2}, n \geqslant 3$ ；（2）$\displaystyle I_{n} \leqslant I_{n-1} \leqslant I_{n-2}$ ；
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{I_{n}}{I_{n-1}}=1$ ．

26．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a](a>0)$ 上连续可微．证明：$\displaystyle |f(0)| \leqslant \frac{1}{a} \int_{0}^{a}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{0}^{a}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．（四川师大 2013 ，上海大学 2003 ，华中师大 2000 ，沈阳工大 2007 ，山东师大 2008 ，郑州大学；东南大学 2001（ $\displaystyle a=$ 1），东北大学 2007／2003）

说明：这是 25 题的特殊情况。

26．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle [0, \pi]$ 上的连续函数，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ 。北京交大 2009）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的单调函数， $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=1$ ．
（4）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b}|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi}(b-a)$ 。

26．设可积函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b](a<b)$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ；（2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致可积。

这 里 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一 致 可 积 指：对于 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ 使 得 对 任 意 分 割 $\displaystyle T: a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{k}=b$ ，当 $\displaystyle \max _{1<i<k} \Delta x_{i}<\delta$ 时，对任意 $\displaystyle \xi_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right](1 \leqslant i \leqslant k)$ 及任意自然数 $\displaystyle n$ 有
$\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x-\sum_{i=1}^{k} f_{n}\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}\right|<\varepsilon$ ．（重庆大学 2008，华南理工 2012，华东师大 2010，深圳大学 2013（对函数项级数））

27．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n} \mathrm{~d} x(m, n$ 都是自然数）．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(1-x)^{2006} \mathrm{~d} x$ 。

27．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在连续的二阶导数。证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant 9 \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．

（2）对 $\displaystyle \forall \xi \in\left[0, \frac{1}{3}\right], \forall \eta \in\left[\frac{2}{3}, 1\right]$ ，求 证：（1）$\displaystyle \forall x \in[0,1], \sin x \leqslant 3|\cos \xi-\cos \eta|+\int_{0}^{1} \cos x \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle \mathrm{e}^{x}(\sin x+\cos x) \leqslant 9 \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x+2 \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \cos x \mathrm{~d} x$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在连续的二阶导数，$\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right|<\int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ ．记 $\displaystyle M_{1}=\max _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ， $\displaystyle M_{2}=\max _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．证明：$\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M_{1}}{2}(b-a)^{2}+\frac{M_{2}}{3}(b-a)^{3}$ ．

28．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内连续，$\displaystyle a>0$ ．证明： $\displaystyle \int_{\frac{1}{a}}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{\frac{1}{a}}^{a}\left(f(x)+\frac{1}{x^{2}} f\left(\frac{1}{x}\right)\right) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是连续函数，证明： $\displaystyle \int_{1}^{a} f\left(x^{2}+\frac{a^{2}}{x^{2}}\right) \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\int_{1}^{a^{2}} f\left(x+\frac{a^{2}}{x}\right) \frac{1}{2 x} \mathrm{~d} x$ ．

28．证明下列命题（Cauchy 不等式及 Schwarz 不等式）。
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积。证明 Schwarz 不等式
$\displaystyle \left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \cdot \int_{a}^{b}(g(x))^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续。证明 $\displaystyle \left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \cdot \int_{a}^{b}(g(x))^{2} \mathrm{~d} x$.

29．计算 $\displaystyle I=\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(1+x-\frac{1}{x}\right) \mathrm{e}^{x+\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x$ ．

29．证明下列命题．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则存在折线函数 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。西安交大2003，重庆师大2006）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a, b+d]$ 上可积，求证：

$$
\lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} \int_{a}^{b} f(x) \varphi(x+\delta) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \varphi(x) \mathrm{d} x . }
$$

（3）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一连续函数列，满足：存在常数 $\displaystyle M$ ，使得对于任意 $\displaystyle f_{n}(x)$ 和 $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty)$ ，恒有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leqslant M$ 。假定对 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 中任意区间 $\displaystyle [a, b]$ 都有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：对任意区间 $\displaystyle [c, d] \subset(-\infty,+\infty)$ 以及 $\displaystyle [c, d]$ 上绝对可积函数 $\displaystyle h(x)$ ，恒有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{c}^{d} f_{n}(x) h(x) \mathrm{d} x=0$ ．

30．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非负连续函数，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{n} x f(x) \mathrm{d} x=0$ ．

31．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的函数，满足：（I） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x=0$ ；（II）$\displaystyle |f(x)-f(y)| \leqslant L|x-y|$ ， $\displaystyle \forall x, y \in \mathbf{R}, L$ 为常数。证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ ！可以取到最大值和最小值；（2） $\displaystyle \max _{x \in \mathbf{R}}|f(x)| \leqslant \pi L$ ．

31．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{2}{3} n \sqrt{n} \leqslant \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}<\left(\frac{2}{3} n+\frac{1}{2}\right) \sqrt{n}$ ．
（2） $\displaystyle 2 \sqrt{n+1}-2 \leqslant \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}<2 \sqrt{n}-1$ ．
（3）对任何正整数 $\displaystyle n \geqslant 2, \frac{1}{2} \leqslant \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln n<1$ ．
（4）若 $\displaystyle \lambda=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ ，证明： $\displaystyle \mathrm{e}^{\lambda}>n+1$ ．
（5） $\displaystyle 0<\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln (n+1) \leqslant \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}<1$ 。
（6） $\displaystyle 2<\mathrm{e}<3$ ．
其中 $\displaystyle n$ 为正整数。

31．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有三阶连续导数，证明：

$$
f(x)-\left(f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) x^{2}\right)=\frac{1}{2} \int_{0}^{x} f^{\prime \prime \prime}(t)(x-t)^{2} \mathrm{~d} t .
$$

（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶导函数连续，$\displaystyle c=\frac{a+b}{2}$ ，证明：

$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) f(c)+\frac{1}{2} \int_{c}^{b}(b-x)^{2} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x+\frac{1}{2} \int_{a}^{c}(a-x)^{2} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$

（3）设 $\displaystyle f(x, y)$ 有处处连续的二阶偏导数，$\displaystyle f_{x}^{\prime}(0,0)=f_{y}^{\prime}(0,0)=f(0,0)=0$ ．证明：

$$
f(x, y)=\int_{0}^{1}(1-t)\left(x^{2} f_{11}(t x, t y)+2 x y f_{12}(t x, t y)+y^{2} f_{22}(t x, t y)\right) \mathrm{d} t . }
$$

（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶导函数连续．证明：

$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}+\frac{1}{2} \int_{c}^{b}(x-a)(x-b) f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$

31．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \infty)$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 收敛，$\displaystyle g(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{g(x)}{x}=f(0)$ ； （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{g^{2}(x)}{x}=0$ ；（3）反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{g^{2}(x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ 收玫，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{g^{2}(x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant 4 \int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 。

32．求下列积分．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\ln x-\int_{1}^{\mathrm{e}} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)=3 x^{2}+2 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} t f(2 x-t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \arctan x^{2}, f(1)=1$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 连续， $\displaystyle \int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{d} t=1-\cos x$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（5）设 $\displaystyle F(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的一个原函数，$\displaystyle F(0)=1, F(x) f(x)=\cos 2 x$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}|f(x)| \mathrm{d} x$ ．
（6）设 $\displaystyle f^{\prime}(\tan x)=\sin x$ ，且 $\displaystyle f(0)=1$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（8）设 $\displaystyle F(x)>0$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的一个原函数，$\displaystyle F(0)=1, F(x) f(x)=\sin ^{2} 2 x$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（9）设 $\displaystyle f(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(2)=0, \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=1$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} f^{\prime \prime}(2 x) \mathrm{d} x$ 。

34．求函数值．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上二阶连续可导，且 $\displaystyle f(\pi)=2$ ，满足 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}\left(f(x)+f^{\prime \prime}(x)\right) \sin x \mathrm{~d} x=5$ 。试计算 $\displaystyle f(0)$的值．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 二二阶连续可导，$\displaystyle f^{\prime}(\pi)=3, \int_{0}^{\pi}\left(f(x)+f^{\prime \prime}(x)\right) \cos x \mathrm{~d} x=2$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．

36．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．证明在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle \int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=(1-\xi) f(\xi)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \cdot($ 苏州大学 2009，2010，东华大学 $\displaystyle 2000([0,1]))$
（3）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可导，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi) \int_{a}^{\xi} g(x) \mathrm{d} x+2 f(\xi) g(\xi)+g^{\prime}(\xi) \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可导．证明至少 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ ，使
$$
f(\xi) \int_{a}^{\xi} g(x) \mathrm{d} x=g(\xi) \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续， $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{4}+\int_{a}^{b} f\left(x^{2}\right) \mathrm{d} x$ 。则 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得
$$
f(\xi)-f\left(\xi^{2}\right)=\frac{1}{4(b-a)} .
$$
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．证明在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle \int_{1}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=\xi f(\xi)$ ．

36．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[-\sqrt{a^{2}+b^{2}}, \sqrt{a^{2}+b^{2}}\right]$ 上连续．证明：

$$
\int_{0}^{2 \pi} f(a \cos \theta+b \sin \theta) \mathrm{d} \theta=2 \int_{0}^{\pi} f\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cos \lambda\right) \mathrm{d} \lambda .
$$

36．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 可积，$\displaystyle f(b)-f(a)=1$ 。求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x>\frac{1}{b-a}$ ．（西北工大 2007，山东科技 2005（［a，b］$\displaystyle =[0,1])$ ）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，$\displaystyle f(1)-f(0)=1$ ．求证： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \geqslant 1$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，$\displaystyle |f(x)| \leqslant 1, \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t=0$ 。求证：$\displaystyle \forall a, b \in(0,1),\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{1}{2}$ ．

（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(b)-f(a)=b-a$ ．求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x>b-a$ ．

37．若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上正值、连续，$\displaystyle m=\min _{[0,1]} f(x), M=\max _{[0,1]} f(x)$ ，则
$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x \leqslant \frac{(m+M)}{4 m M}$ ．

37．设 $\displaystyle P(x, y), Q(x, y)$ 为在光滑曲线段 $\displaystyle C$ 上连续的函数，求证：$\displaystyle \left|\int_{C} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y\right| \leqslant L M$ 。其中 $\displaystyle L$为积分曲线 $\displaystyle C$ 的长度，$\displaystyle M=\max _{(x, y) \in C} \sqrt{P^{2}+Q^{2}}$ ．并由此求 $\displaystyle \lim _{R \rightarrow+\infty} \int_{x^{2}+y^{2}=R^{2}} \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)^{2}}$ ．

分析：运用柯西－施瓦茨不等式．

38．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ 。证明：$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0, x \in[a, b]$ 。证明：

$$
f(x)<\frac{2}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x, x \in[a, b] . }
$$

（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．试证明：
$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{f(a)+f(b)}{2}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x \geqslant 2 f(1)$ ．

38．求解下列问题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,2]$ 上连续且恒正，$\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{2} x^{n} f(x) \mathrm{d} x$ ．求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{a_{n}}$ 的收玫域．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [1,2]$ 上的正值连续函数，令 $\displaystyle M_{n}=\int_{1}^{2} x^{n} f(x) \mathrm{d} x$ ，证明幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{M_{n}} x^{n}$ 的收敛半径 $\displaystyle R$ 满足 $\displaystyle 1 \leqslant R \leqslant 2$ 。

39．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ 。证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{2}\right)$ ．（中科 大 2008）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} f\left(x^{\alpha}\right) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{1+\alpha}\right)$ ，其中 $\displaystyle \alpha$ 为任意正数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leqslant \frac{f(x)+f(y)}{2}, \forall x, y \in[0,1]$ ，证明 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{2}\right)$ ．

40．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的连续减函数，$\displaystyle f(x)>0$ ，又设 $\displaystyle a_{n}=\sum_{k=1}^{n} f(k)-\int_{1}^{n} f(x) \mathrm{d} x$ 。证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为收敛数列．
（2）证明：极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right)$ 存在，并由此计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)$ ．
（3）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n}$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在．
（4）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n-1}}-\sqrt{2 n-1}$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在。重庆大学 2003）
（5）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{2 \ln 2}+\frac{1}{3 \ln 3}+\cdots+\frac{1}{n \ln n}-\ln (\ln n)$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在。

40．证明下列命题．
（1）若 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 连续，$\displaystyle f(x)$ 二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0, x \in(-\infty,+\infty)$ ，则
$\displaystyle \frac{1}{a} \int_{0}^{a} f(\varphi(t)) \mathrm{d} t \geqslant f\left(\frac{1}{a} \int_{0}^{a} \varphi(t) \mathrm{d} t\right)$ ．（山东师大 2011，西安理工 2011，天津大学 2007，地质大学 2003，厦门大学2010，东北师大 2000（区间为 $\displaystyle [a, b]$ ），郑州大学 2007（ $\displaystyle [0,1]$ ））
（2）设正值函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．试证：
$\displaystyle \mathrm{e}^{\int_{0}^{1} \ln f(x) \mathrm{d} x} \leqslant \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 或 $\displaystyle \ln \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{0}^{1} \ln f(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）若正值函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上连续，则 $\displaystyle a \mathrm{e}^{\frac{1}{a} \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x} \geqslant \int_{0}^{a} \mathrm{e}^{f(x)} \mathrm{d} x$ ．
（4）函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积， $\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=1, g(x) \geqslant 0$ ，且 $\displaystyle \varphi^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ，证明：

$$
\varphi\left(\int_{a}^{b} g(x) f(x) \mathrm{d} x\right) \leqslant \int_{a}^{b} g(x) \varphi(f(x)) \mathrm{d} x . }
$$

42．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle h(t)$ 是 $\displaystyle f(t)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上的一个原函数，$\displaystyle f(t) \leqslant h(t), t \in[a, b]$ ．试证：$\displaystyle f(t) \leqslant h(a) \mathrm{e}^{t-a}$ ， （ $\displaystyle a \leqslant t \leqslant b$ ）．
（2）设 $\displaystyle g(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续非负函数，$\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ，且存在 $\displaystyle \delta>0, k>0$ 使得 $\displaystyle y(t)$ 满足 $\displaystyle y(x) \leqslant \delta+k \int_{x_{0}}^{x} y(t) \mathrm{d} t, x \in[a, b]$ 。试证：$\displaystyle y(x) \leqslant \delta \mathrm{e}^{k\left(x-x_{0}\right)}, x \in[a, b]$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{0} \in(-\infty,+\infty), \varphi(x)$ 和 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[x_{0}, x_{0}+h\right]$ 上连续，且存在 $\displaystyle M>0, K>0$ 使得

$$
|\varphi(x)| \leqslant M\left(1+K \int_{x_{0}}^{x}|\varphi(t) f(t)| \mathrm{d} t\right), x \in\left(x_{0}, x_{0}+h\right)
$$

43．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [2,+\infty)$ 上可导，$\displaystyle f(x)>0$ ，且 $\displaystyle (x f(x))^{\prime} \leqslant-k f(x)$ ，其中 $\displaystyle k$ 为常数．证明 $\displaystyle f(x) \leqslant A x^{-(k+1)}$ ，其中 $\displaystyle A$ 为与 $\displaystyle x$ 无关的常数．

44．设 $\displaystyle f(x):[0,1] \rightarrow[0,1]$ 二阶连续可导，$\displaystyle f(0)=f(1)=0, f^{\prime \prime}(x)<0, x \in[0,1]$ ．记曲线 $\displaystyle \{(x, f(x)) \mid x \in[0,1]\}$ 的长度为 $\displaystyle L$ ．证明 $\displaystyle L<3$ ．

44．设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是定义在 $\displaystyle [-1,1]$ 上的连续函数列，且 $\displaystyle f_{n}(x) \geqslant 0, \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=1$ ．对任 意 $\displaystyle \delta>0,\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [-1,-\delta] \bigcup[\delta, 1]$ 上一致收玫于零。求证：对任意 $\displaystyle [-1,1]$ 上的连续函数 $\displaystyle g(x), ~ \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} f_{n}(x) g(x) \mathrm{d} x=g(0)$ 。

分析：由 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=1$ 有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} g(0) f_{n}(x) \mathrm{d} x=g(0)$ ．问题转证：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} f_{n}(x)(g(x)-g(0)) \mathrm{d} x=0 .
$$

45．设函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 满足：
（1）$\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle [-1,1]$ 上的可积函数列，且在 $\displaystyle [-1,1]$ 上一致有界；
（2）任意 $\displaystyle c \in(0,1),\left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [-1,-c]$ 和 $\displaystyle [c, 1]$ 上一致收敛于零，

47．设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 上的非负可积函数序列，$\displaystyle k=\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x$ 存在。若 $\displaystyle \forall \alpha \in(0,1]$ 有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{\alpha}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：对任意一个 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数 $\displaystyle g(x)$ ，都有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) g(x) \mathrm{d} x=k g(0)$ ． （中南大学 2005，东华大学 1999（ $\displaystyle k=1$ ））

47．证明下列各题．
（1）设 $\displaystyle D:[0,1] \times[0,1]$ ，证明： $\displaystyle 1 \leqslant \iint_{D}\left(\sin \left(x^{2}\right)+\cos \left(x^{2}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \leqslant \sqrt{2}$ 。电子科技 2010）
（2）证明不等式： $\displaystyle 2 \pi(\sqrt{17}-4) \leqslant \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{16+\sin ^{2} x+\sin ^{2} y}} \leqslant \frac{\pi}{4}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $\displaystyle C:|x-1| \leqslant 2,|y-1| \leqslant 2$ 上具有二阶连续偏导数，$\displaystyle f(1,1)=0$ ，且在点 $\displaystyle (1,1)$ 达到极值。又设 $\displaystyle \left|\frac{\partial^{2} f(x, y)}{\partial x^{l} \partial y^{2-1}}\right| \leqslant M,(x, y) \in G$ ，其中 $\displaystyle 0 \leqslant l \leqslant 2$ 。取区域 $\displaystyle D: 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ ，试证 $\displaystyle I=\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \leqslant \frac{7}{12} M$ ．

48．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶导函数连续．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) f\left(\frac{a+b}{2}\right)+\frac{1}{24}(b-a)^{3} f^{\prime \prime}(\xi)$ 。华中师大2005，东北师大2002，延安大学2001，东华大学 2006，西电 2003，扬州大学 2006，西安理工）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二次可微，$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0, M=\max _{a<x<b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．证明 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M(b-a)^{3}}{24}$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-a, a](a>0)$ 上具有二阶连续的导函数，$\displaystyle f(0)=0$ ．证明至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(-a, a)$ 使得 $\displaystyle a^{3} f^{\prime \prime}(\eta)=3 \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x$ 。武汉大学2014，曲阜师大2011，东华大学2005）

48．设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是定义在 $\displaystyle (a, b]$ 上的连续函数列，$\displaystyle f_{n}(x) \geqslant 0, \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=1$ 在 $\displaystyle (a, b]$ 上广义可积，对任意 $\displaystyle \delta>0, \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a+\delta}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=0$ ．若 $\displaystyle g(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) g(x) \mathrm{d} x=g(a)$ ．

51．设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数，且在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1-\frac{1}{n}} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 。