定积分的定义（分割、近似、求和、取极限）
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第3题证明题
3．叙述函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积的定义，并据此证明：函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \in \mathbf{Q}, \\ -1, x \notin \mathbf{Q}\end{array}, \mathbf{Q}\right.$ 是有理数集，在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上不可积．
第12题证明题
12．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{\|T\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) g\left(\theta_{i}\right) \Delta x_{i}=\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle T$ 为 $\displaystyle [a, b]$的任一分割，$\displaystyle T: a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b, \xi_{i}, \theta_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right], i=1,2, \cdots, n, \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1},\|T\|=\max _{1 \leqslant i<n}\left\{\Delta x_{i}\right\}$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) g\left(\frac{i-1}{n}\right) \Delta x_{i}=\int_{0}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{\|T\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) g\left(\theta_{i}\right) \Delta x_{i}=\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle T$ 为 $\displaystyle [a, b]$的任一分割，$\displaystyle T: a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b, \xi_{i}, \theta_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right], i=1,2, \cdots, n, \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1},\|T\|=\max _{1 \leqslant i<n}\left\{\Delta x_{i}\right\}$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) g\left(\frac{i-1}{n}\right) \Delta x_{i}=\int_{0}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ．
第13题未分类
13．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上 Riemann 可积，且对 $\displaystyle [0,1]$ 上任何有限个两两不交的闭区间 $\displaystyle \left[a_{i}, b_{i}\right]$ ， $\displaystyle 1 \leqslant i \leqslant n$ ，都有 $\displaystyle \left|\sum_{i=1}^{n} \int_{a_{i}}^{b_{i}} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant 1$ 。求证： $\displaystyle \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant 2$ ．
第13题证明题
13．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，证明： $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0^{+}} h \sum_{n=1}^{\infty} f(n h)=\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上单调，且 $\displaystyle x=0$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的瑕点， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，证明： $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0^{+}} h \sum_{n=1}^{\infty} f(n h)=\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上单调，且 $\displaystyle x=0$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的瑕点， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
第14题证明题
14．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(a+k \frac{b-a}{n}\right)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ，并求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right)$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{2 n} \frac{1}{n+k}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{p}+2^{p}+\cdots+n^{p}}{n^{p+1}},(p>0)$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2^{4}+\cdots+n^{4}}{n^{\alpha}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right)$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n^{2}} \frac{n}{n^{2}+k^{2}}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{2}+k^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n}{(n+1)^{2}}+\frac{n}{(n+2)^{2}}+\cdots+\frac{n}{(n+n)^{2}}\right]$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n^{2}}}\right)$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{4 n^{2}-1^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{4 n^{2}-2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{4 n^{2}-n^{2}}}\right)$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left(\sqrt{n^{2}-1^{2}}+\sqrt{n^{2}-2^{2}}+\cdots+\sqrt{n^{2}-(n-1)^{2}}\right)$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{3}} \sqrt{n^{2}-k^{2}}$ ．
（13） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{n-1}{n}}\right)$ ．
（14） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\sin \frac{\pi}{n}+\sin \frac{2 \pi}{n}+\cdots+\sin \frac{(n-1) \pi}{n}\right) \cdot(x=\pi$ ：中南大学 2009 ，新疆大学 2005 ，华中师大 2004；$\displaystyle x=1$ ：北京理工 2007）
（15） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\sin \frac{k-1}{n} \pi}$ ．
（16） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{\cos \frac{k \pi}{n}}{2+\sin \frac{k \pi}{n}}$ ．
（17） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n} k \mathrm{e}^{\frac{k}{n}}$ ．
（18） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(1+\mathrm{e}^{\sqrt{\frac{1}{n}}}+\mathrm{e}^{\sqrt{\frac{2}{n}}}+\cdots+\mathrm{e}^{\sqrt{\frac{n-1}{n}}}+\mathrm{e}\right)$ ．
（19） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\mathrm{e}^{\frac{k}{n}}}{n+n \mathrm{e}^{\frac{2 k}{n}}}$ ．
（20） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \frac{k \pi}{n}$ ．
（21） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left[\sqrt{1+\left(\frac{1}{n}\right)^{2}}+2 \sqrt{1+\left(\frac{2}{n}\right)^{2}}+\cdots+n \sqrt{1+\left(\frac{n}{n}\right)^{2}}\right]$ ．
（22） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n}+\frac{\sin n}{n}+\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right]$ ．
分析：定积分为一特定和式的极限。对具有特殊结构的 $\displaystyle n$ 项和或积形式的极限，可考虑用定积分法求解．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right)$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{2 n} \frac{1}{n+k}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{p}+2^{p}+\cdots+n^{p}}{n^{p+1}},(p>0)$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2^{4}+\cdots+n^{4}}{n^{\alpha}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right)$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n^{2}} \frac{n}{n^{2}+k^{2}}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{2}+k^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n}{(n+1)^{2}}+\frac{n}{(n+2)^{2}}+\cdots+\frac{n}{(n+n)^{2}}\right]$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n^{2}}}\right)$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{4 n^{2}-1^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{4 n^{2}-2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{4 n^{2}-n^{2}}}\right)$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left(\sqrt{n^{2}-1^{2}}+\sqrt{n^{2}-2^{2}}+\cdots+\sqrt{n^{2}-(n-1)^{2}}\right)$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{3}} \sqrt{n^{2}-k^{2}}$ ．
（13） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{n-1}{n}}\right)$ ．
（14） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\sin \frac{\pi}{n}+\sin \frac{2 \pi}{n}+\cdots+\sin \frac{(n-1) \pi}{n}\right) \cdot(x=\pi$ ：中南大学 2009 ，新疆大学 2005 ，华中师大 2004；$\displaystyle x=1$ ：北京理工 2007）
（15） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\sin \frac{k-1}{n} \pi}$ ．
（16） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{\cos \frac{k \pi}{n}}{2+\sin \frac{k \pi}{n}}$ ．
（17） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n} k \mathrm{e}^{\frac{k}{n}}$ ．
（18） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(1+\mathrm{e}^{\sqrt{\frac{1}{n}}}+\mathrm{e}^{\sqrt{\frac{2}{n}}}+\cdots+\mathrm{e}^{\sqrt{\frac{n-1}{n}}}+\mathrm{e}\right)$ ．
（19） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\mathrm{e}^{\frac{k}{n}}}{n+n \mathrm{e}^{\frac{2 k}{n}}}$ ．
（20） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \frac{k \pi}{n}$ ．
（21） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left[\sqrt{1+\left(\frac{1}{n}\right)^{2}}+2 \sqrt{1+\left(\frac{2}{n}\right)^{2}}+\cdots+n \sqrt{1+\left(\frac{n}{n}\right)^{2}}\right]$ ．
（22） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n}+\frac{\sin n}{n}+\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right]$ ．
分析：定积分为一特定和式的极限。对具有特殊结构的 $\displaystyle n$ 项和或积形式的极限，可考虑用定积分法求解．
第14题未分类
14．给出 Riemann 积分 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 的定义，并确定实数 $\displaystyle s$ 的范围使下列极限收敛 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{i}{n}\right)^{s} \frac{1}{n}$ ．
第15题计算题
15．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上．Riemann 可积，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} 4 \ln \left(1+\frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\right)$ 。
第16题计算题
16．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{f\left(\frac{1}{n}\right) f\left(\frac{2}{n}\right) \cdots f\left(\frac{n}{n}\right)}$ ，其中 $\displaystyle f \in C[0,1]$ 且取正值．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)}$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \ln \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1) \cdots(2 n-1)(n+n)}$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{n(n+1) \cdots(2 n-1)}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+2)(n+4) \cdots(n+2 n)}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(2 n+1) \cdots(2 n+2)(2 n+n)}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{2\left(2+\frac{2}{n}\right)\left(2+\frac{4}{n}\right) \cdots\left(2+\frac{2(n-1)}{n}\right)}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1^{2}}{n^{2}}\right)\left(1+\frac{2^{2}}{n^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{n^{2}}{n^{2}}\right)} \cdot$
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)\left(1+\frac{2^{2}}{n^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{n^{2}}{n^{2}}\right)}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)^{\frac{1}{2}} \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{f\left(\frac{1}{n}\right) f\left(\frac{2}{n}\right) \cdots f\left(\frac{n}{n}\right)}$ ，其中 $\displaystyle f \in C[0,1]$ 且取正值．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)}$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \ln \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1) \cdots(2 n-1)(n+n)}$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{n(n+1) \cdots(2 n-1)}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+2)(n+4) \cdots(n+2 n)}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(2 n+1) \cdots(2 n+2)(2 n+n)}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{2\left(2+\frac{2}{n}\right)\left(2+\frac{4}{n}\right) \cdots\left(2+\frac{2(n-1)}{n}\right)}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1^{2}}{n^{2}}\right)\left(1+\frac{2^{2}}{n^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{n^{2}}{n^{2}}\right)} \cdot$
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)\left(1+\frac{2^{2}}{n^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{n^{2}}{n^{2}}\right)}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)^{\frac{1}{2}} \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
第17题计算题
17．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1} f\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{n+\frac{1}{2}} f\left(\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n+\frac{1}{n}} f\left(\frac{n}{n}\right)\right)$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 上的非负连续函数．
（1）$\displaystyle f(x)=\sin \pi x$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=a^{x}$. ．$\displaystyle a=$ 3：云南大学 $\displaystyle 2006 ; a=2$ ：武汉大学 2010 ，四川大学 2001，兰州大学 2001，河南师大 2014）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{a^{\frac{k}{n}}}{n+(a-1) k^{-1}}, a>1$ 。
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt{1+\frac{k}{n^{2}}}-1\right)$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt{1+\frac{k^{2}}{n^{3}}}-1\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\sin } \frac{k}{n}}-1\right)$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k(n-k+1)}}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{(n x+k)(n x+k-1)}, x>0$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1} f\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{n+\frac{1}{2}} f\left(\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n+\frac{1}{n}} f\left(\frac{n}{n}\right)\right)$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 上的非负连续函数．
（1）$\displaystyle f(x)=\sin \pi x$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=a^{x}$. ．$\displaystyle a=$ 3：云南大学 $\displaystyle 2006 ; a=2$ ：武汉大学 2010 ，四川大学 2001，兰州大学 2001，河南师大 2014）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{a^{\frac{k}{n}}}{n+(a-1) k^{-1}}, a>1$ 。
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt{1+\frac{k}{n^{2}}}-1\right)$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt{1+\frac{k^{2}}{n^{3}}}-1\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\sin } \frac{k}{n}}-1\right)$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k(n-k+1)}}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{(n x+k)(n x+k-1)}, x>0$ ．
第20题证明题
20．设函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n} f\left(x+\frac{k}{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续。证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在任意有界闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫．（厦门大学 2014 ，北京师大 2002 ，北京大学 2010 ，云南大学
2009，湖北大学 2005，深圳大学 2007，首都师大，中科院 1997，青岛大学 2004，天津大学 2011，兰州大学 $\displaystyle (f(x)=\cos x))$
分析：从函数列的结构可以计算出和函数为 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x+t) \mathrm{d} t$ ，因此可以利用形式统一法．
2009，湖北大学 2005，深圳大学 2007，首都师大，中科院 1997，青岛大学 2004，天津大学 2011，兰州大学 $\displaystyle (f(x)=\cos x))$
分析：从函数列的结构可以计算出和函数为 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x+t) \mathrm{d} t$ ，因此可以利用形式统一法．
第29题证明题
29．设 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots$ ．（1）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}+a_{n+2}}{n}$ 的和；（2）求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{5} x \mathrm{~d} x$ ；（3）证明： $\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}<a_{n}<\frac{1}{2(n-1)}$ ；（4）设 $\displaystyle \lambda>0$ ，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{\lambda}}$ 收敛．
第31题证明题
31．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{2}{3} n \sqrt{n} \leqslant \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}<\left(\frac{2}{3} n+\frac{1}{2}\right) \sqrt{n}$ ．
（2） $\displaystyle 2 \sqrt{n+1}-2 \leqslant \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}<2 \sqrt{n}-1$ ．
（3）对任何正整数 $\displaystyle n \geqslant 2, \frac{1}{2} \leqslant \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln n<1$ ．
（4）若 $\displaystyle \lambda=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ ，证明： $\displaystyle \mathrm{e}^{\lambda}>n+1$ ．
（5） $\displaystyle 0<\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln (n+1) \leqslant \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}<1$ 。
（6） $\displaystyle 2<\mathrm{e}<3$ ．
其中 $\displaystyle n$ 为正整数。
（1）$\displaystyle \frac{2}{3} n \sqrt{n} \leqslant \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}<\left(\frac{2}{3} n+\frac{1}{2}\right) \sqrt{n}$ ．
（2） $\displaystyle 2 \sqrt{n+1}-2 \leqslant \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}<2 \sqrt{n}-1$ ．
（3）对任何正整数 $\displaystyle n \geqslant 2, \frac{1}{2} \leqslant \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln n<1$ ．
（4）若 $\displaystyle \lambda=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ ，证明： $\displaystyle \mathrm{e}^{\lambda}>n+1$ ．
（5） $\displaystyle 0<\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln (n+1) \leqslant \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}<1$ 。
（6） $\displaystyle 2<\mathrm{e}<3$ ．
其中 $\displaystyle n$ 为正整数。