定积分的换元积分法
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第1题计算题
1．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x .(a=2$ ：山东师大 2007；$\displaystyle a=1$ ：广西民大 2009，曲阜师大 2008）
（2） $\displaystyle \int_{1}^{2} \sqrt{x^{2}-1} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{2 a} x \sqrt{2 a x-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int_{0}^{2} \sqrt{x^{3}-2 x^{2}+x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x .(a=2$ ：山东师大 2007；$\displaystyle a=1$ ：广西民大 2009，曲阜师大 2008）
（2） $\displaystyle \int_{1}^{2} \sqrt{x^{2}-1} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{2 a} x \sqrt{2 a x-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int_{0}^{2} \sqrt{x^{3}-2 x^{2}+x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
第2题计算题
2．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{9} x \sqrt[3]{1-x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{4} \frac{x+2}{\sqrt{2 x+1}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{4} \frac{1}{x(1+\sqrt{x})} \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\frac{x+1}{\sqrt[3]{3 x+1}}+x \arctan x\right) \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{9} x \sqrt[3]{1-x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{4} \frac{x+2}{\sqrt{2 x+1}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{4} \frac{1}{x(1+\sqrt{x})} \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\frac{x+1}{\sqrt[3]{3 x+1}}+x \arctan x\right) \mathrm{d} x$ ．
第2题证明题
2．设 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{4}} \mathrm{dx}, I_{2}=\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{2}}{1+x^{4}} \mathrm{dx}$ ，证明：$\displaystyle I_{1}$ 收玫，$\displaystyle I_{1}=I_{2}$ ，并求 $\displaystyle I_{1}$ 的值．
第3题计算题
3．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{t} \sin \left(t x^{2}\right) \mathrm{d} x}{t^{4}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=5$ 。
（1） $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{t} \sin \left(t x^{2}\right) \mathrm{d} x}{t^{4}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=5$ 。
第3题计算题
3．计算下列反常积分．
（1） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}+x-2} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{n+1}} \mathrm{~d} x, a>0$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{n}+1} \mathrm{~d} x$ ．（中科大2015，江西师大2012（ $\displaystyle n=6$ ））
（4） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x-\sin x}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\left(a x^{2}+2 b x+c\right)^{\alpha}} \mathrm{d} x, a>0, a c-b^{2}>0, \alpha>\frac{1}{2}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\left(x^{2}+2 x+2\right)^{n}} \mathrm{~d} x$ ．（ $\displaystyle n$ 为正整数）．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(p+x^{2}\right)\left(q+x^{2}\right)},(p>0, q>0)$ ．
（1） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}+x-2} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{n+1}} \mathrm{~d} x, a>0$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{n}+1} \mathrm{~d} x$ ．（中科大2015，江西师大2012（ $\displaystyle n=6$ ））
（4） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x-\sin x}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\left(a x^{2}+2 b x+c\right)^{\alpha}} \mathrm{d} x, a>0, a c-b^{2}>0, \alpha>\frac{1}{2}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\left(x^{2}+2 x+2\right)^{n}} \mathrm{~d} x$ ．（ $\displaystyle n$ 为正整数）．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(p+x^{2}\right)\left(q+x^{2}\right)},(p>0, q>0)$ ．
第4题计算题
4．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{\sqrt[3]{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 或 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{\sqrt[3]{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 或 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．
第4题证明题
4．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [-1,1]$ 上的连续函数，且满足条件：对 $\displaystyle [-1,1]$ 上任意连续的偶函数 $\displaystyle g(x)$ ，都有 $\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [-1,1]$ 上的奇函数。
第4题求解题
4．求证： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{\alpha}\right)}=\frac{\pi}{4}$ ，其中 $\displaystyle \alpha$ 为任意实数。武汉大学 2013，扬州大学 2009，山东科技 2009 ，中科院 2004 ，中科大 2004 ，宁波大学 2010 ，湖南师大 2008 ，温州大学 2010 ）
第5题证明题
5．证明下列命题．
（1）证明：当 $\displaystyle x>0$ 时有不等式 $\displaystyle \left|\int_{x}^{x+c} \sin t^{2} \mathrm{~d} t\right| \leqslant \frac{1}{x},(c>0)$ 。．
（2）证明：$\displaystyle \left|\int_{a}^{+\infty} \sin x^{2} \mathrm{~d} x\right| \leqslant \frac{1}{a}, a \geqslant 1$ ．
（3）证明：当 $\displaystyle x>0$ 时有不等式 $\displaystyle \left|\int_{x}^{x+c} \sin y^{2} \mathrm{~d} y\right|<\frac{1}{x}$ ．（四川师大 2012，湖南师大 2012（ $\displaystyle \mathrm{c}=2012$ ））
（4）设 $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{x+1} \sin \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t$ ．证明：$\displaystyle \left|\mathrm{e}^{x} f(x)\right| \leqslant 2$ ．
（5）证明：$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x}\left(t-t^{2}\right) \sin ^{2 n} t \mathrm{~d} t$（ $\displaystyle n$ 为正整数）在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的最大值不超过 $\displaystyle \frac{1}{(2 n+2)(2 n+3)}$ ．
（1）证明：当 $\displaystyle x>0$ 时有不等式 $\displaystyle \left|\int_{x}^{x+c} \sin t^{2} \mathrm{~d} t\right| \leqslant \frac{1}{x},(c>0)$ 。．
（2）证明：$\displaystyle \left|\int_{a}^{+\infty} \sin x^{2} \mathrm{~d} x\right| \leqslant \frac{1}{a}, a \geqslant 1$ ．
（3）证明：当 $\displaystyle x>0$ 时有不等式 $\displaystyle \left|\int_{x}^{x+c} \sin y^{2} \mathrm{~d} y\right|<\frac{1}{x}$ ．（四川师大 2012，湖南师大 2012（ $\displaystyle \mathrm{c}=2012$ ））
（4）设 $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{x+1} \sin \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t$ ．证明：$\displaystyle \left|\mathrm{e}^{x} f(x)\right| \leqslant 2$ ．
（5）证明：$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x}\left(t-t^{2}\right) \sin ^{2 n} t \mathrm{~d} t$（ $\displaystyle n$ 为正整数）在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的最大值不超过 $\displaystyle \frac{1}{(2 n+2)(2 n+3)}$ ．
第5题计算题
5．计算下列积分．
（1）$\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{x^{2}+a^{2}} \mathrm{dx}(a>0)$ ．
（1）$\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{x^{2}+a^{2}} \mathrm{dx}(a>0)$ ．
第6题证明题
6．证明： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos x \mathrm{~d} x=-\frac{\pi}{2} \ln 2$ ，并求下列积分：
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\tan x) \mathrm{d} x$ ；（2） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\tan x) \mathrm{d} x$ ；（2） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
第7题计算题
7．求下列积分．
（1）设 $\displaystyle m, n$ 为正整数，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} t^{n}(\ln t)^{m} \mathrm{~d} t$ 。华中科技 2014，湖南大学 2006，西安理工 2005，北师大，武汉大学 2014（ $\displaystyle m=n$ ））
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} x \ln x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int_{1}^{e}(x \ln x)^{3} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(\ln x)^{2006} \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(\ln x)^{2012} \mathrm{~d} x$ 。
（1）设 $\displaystyle m, n$ 为正整数，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} t^{n}(\ln t)^{m} \mathrm{~d} t$ 。华中科技 2014，湖南大学 2006，西安理工 2005，北师大，武汉大学 2014（ $\displaystyle m=n$ ））
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} x \ln x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int_{1}^{e}(x \ln x)^{3} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(\ln x)^{2006} \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(\ln x)^{2012} \mathrm{~d} x$ 。
第8题计算题
8．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}^{2}} \frac{\ln (\ln x)}{x \ln x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{1}{x\left(2+\ln ^{2} x\right)} \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \sqrt{1-\mathrm{e}^{-2 x}} \mathrm{dx}$ 。
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \sqrt{\mathrm{e}^{x}-1} \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \frac{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}^{2}} \frac{\ln (\ln x)}{x \ln x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{1}{x\left(2+\ln ^{2} x\right)} \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \sqrt{1-\mathrm{e}^{-2 x}} \mathrm{dx}$ 。
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \sqrt{\mathrm{e}^{x}-1} \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \frac{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
第9题证明题
9．求证下列问题．
（1）证明：当 $\displaystyle x>0$ 时，恒有 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{\int_{\ln 2} \frac{\mathrm{~d} t}{1-\mathrm{e}^{-1}}}=1$ ．
（2）设 $\displaystyle \int_{x}^{2 \ln 2} \frac{\mathrm{~d} t .}{\sqrt{\mathrm{e}^{t}-1}}=\frac{\pi}{6}$ ，求 $\displaystyle x$ ．
（1）证明：当 $\displaystyle x>0$ 时，恒有 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{\int_{\ln 2} \frac{\mathrm{~d} t}{1-\mathrm{e}^{-1}}}=1$ ．
（2）设 $\displaystyle \int_{x}^{2 \ln 2} \frac{\mathrm{~d} t .}{\sqrt{\mathrm{e}^{t}-1}}=\frac{\pi}{6}$ ，求 $\displaystyle x$ ．
第10题计算题
10．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin \theta-\sin ^{3} \theta} \mathrm{~d} \theta$ ．
（2） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x \cos ^{3} x+\sqrt{\cos x-\cos ^{3} x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sqrt{\cos x-\cos ^{3} x}+\frac{\sin x}{1+x^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|\sin \theta-\cos \theta| \mathrm{d} \theta$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{x^{5}}{1+x^{2}}+\sqrt{1-\cos x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\sin x} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{n \pi} \sqrt{1-\sin 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\cos 2 x} \mathrm{dx}$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin \theta-\sin ^{3} \theta} \mathrm{~d} \theta$ ．
（2） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x \cos ^{3} x+\sqrt{\cos x-\cos ^{3} x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sqrt{\cos x-\cos ^{3} x}+\frac{\sin x}{1+x^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|\sin \theta-\cos \theta| \mathrm{d} \theta$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{x^{5}}{1+x^{2}}+\sqrt{1-\cos x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\sin x} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{n \pi} \sqrt{1-\sin 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\cos 2 x} \mathrm{dx}$ ．
第10题计算题
10．设 $\displaystyle \operatorname{sh} x \operatorname{sh} y=1$ ，其中 $\displaystyle \operatorname{sh} x=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}$ ，计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x$ 。
分析：先求出 $\displaystyle y(x)$ ，并作变换 $\displaystyle t=\mathrm{e}^{-x}$ ，利用 $\displaystyle \ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}, x \in(-1,1]$ ，并逐项积分．
分析：先求出 $\displaystyle y(x)$ ，并作变换 $\displaystyle t=\mathrm{e}^{-x}$ ，利用 $\displaystyle \ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}, x \in(-1,1]$ ，并逐项积分．
第12题计算题
12．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{2 x^{2}+x \cos x}{1+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．（华北水电 2007）
（2） $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\left(x^{7} \mathrm{e}^{|x|}+\mathrm{e}^{|x|} \cos x\right) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{x\left(x+\ln \left(x^{2}+1\right)\right)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}+\int_{-1}^{1} x^{2007} \ln \left(x^{2}+\cos x\right) \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} x^{2} \ln x \mathrm{~d} x+\int_{-2002}^{2002} x^{2003} \ln \left(x^{4}+x^{2}+1\right) \mathrm{d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{-2}^{2} x^{2}\left(\frac{\sin ^{3} x}{1+x^{6}}+\sqrt{4-x^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{-1}^{1} x\left(1+x^{1997}\right)\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(x^{2004} \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)+\frac{x \arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（10） $\displaystyle \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{x \arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ 。
（11） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x+\cos x}{1+\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（12） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\tan ^{2} x+\tan x \cos ^{2} x\right) \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{2 x^{2}+x \cos x}{1+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．（华北水电 2007）
（2） $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\left(x^{7} \mathrm{e}^{|x|}+\mathrm{e}^{|x|} \cos x\right) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{x\left(x+\ln \left(x^{2}+1\right)\right)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}+\int_{-1}^{1} x^{2007} \ln \left(x^{2}+\cos x\right) \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} x^{2} \ln x \mathrm{~d} x+\int_{-2002}^{2002} x^{2003} \ln \left(x^{4}+x^{2}+1\right) \mathrm{d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{-2}^{2} x^{2}\left(\frac{\sin ^{3} x}{1+x^{6}}+\sqrt{4-x^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{-1}^{1} x\left(1+x^{1997}\right)\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(x^{2004} \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)+\frac{x \arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（10） $\displaystyle \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{x \arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ 。
（11） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x+\cos x}{1+\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（12） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\tan ^{2} x+\tan x \cos ^{2} x\right) \mathrm{d} x$ ．
第12题计算题
12．计算下列反常积分（已知 $\displaystyle \left.\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\right)$ ．
（1） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a|x|} \mathrm{d} x(a>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{dx}$ ．
（4）$\displaystyle I_{k}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} x^{k} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x, k$ 为自然数．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x^{n} \mathrm{e}^{-a x} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle n$ 为正整数，$\displaystyle a$ 为正常数．（国防科技，安徽大学 2005，东华大学 2001 $\displaystyle (n=5)$ ；$\displaystyle a =1$ ：曲阜师大 2005，天津大学 2007，湘潭大学 2010；北航 2000（ $\displaystyle n=10, a=1$ ））
（6） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{4}} \mathrm{~d} x \cdot \int_{0}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x^{4}} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^{x-1}} \mathrm{~d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\left(x-a x^{-1}\right)^{2}} \mathrm{~d} x, a>0$ ．
（1） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a|x|} \mathrm{d} x(a>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{dx}$ ．
（4）$\displaystyle I_{k}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} x^{k} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x, k$ 为自然数．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x^{n} \mathrm{e}^{-a x} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle n$ 为正整数，$\displaystyle a$ 为正常数．（国防科技，安徽大学 2005，东华大学 2001 $\displaystyle (n=5)$ ；$\displaystyle a =1$ ：曲阜师大 2005，天津大学 2007，湘潭大学 2010；北航 2000（ $\displaystyle n=10, a=1$ ））
（6） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{4}} \mathrm{~d} x \cdot \int_{0}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x^{4}} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^{x-1}} \mathrm{~d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\left(x-a x^{-1}\right)^{2}} \mathrm{~d} x, a>0$ ．
第13题证明题
13．设 $\displaystyle f(t)=\left(\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x\right)^{2}, g(t)=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{-t^{2}\left(1+x^{2}\right)}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ，证明：$\displaystyle f(t)+g(t)=\frac{\pi}{4}$ ，并由此求积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 。
第14题证明题
14．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [-a, a]$ 上的连续函数．证明： $\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{a}(f(x)+f(-x)) \mathrm{d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\sin x} \mathrm{dx}$ 。
第15题证明题
15．设 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle [-a, a](a>0)$ 上的连续偶函数．证明 $\displaystyle \int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x$ ，并求下列积分．（1） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{4} x}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ，（2） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{x^{4}}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ，（3） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{3} x}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
第16题证明题
16．设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在区间 $\displaystyle [-a, a](a>0)$ 上连续，$\displaystyle g(x)$ 为偶函数，且 $\displaystyle f(x)$ 满足条件： $\displaystyle f(x)+f(-x)=A(A$ 为常数 $\displaystyle )$ ．证明： $\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) g(x) \mathrm{d} x=A \int_{0}^{a} g(x) \mathrm{d} x$ ，并求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}|\sin x| \arctan \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin ^{4} x}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3）$\displaystyle I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin ^{2} x}{1+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}|\sin x| \arctan \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin ^{4} x}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3）$\displaystyle I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin ^{2} x}{1+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
第16题未分类
16．设周期为 $\displaystyle 2 \pi$ 的可积函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 与 $\displaystyle \phi(x)$ 满足关系式：$\displaystyle \varphi(-x)=-\phi(x)$ ，则给出函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 的傅里叶系数 $\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 与函数 $\displaystyle \phi(x)$ 的傅里叶系数 $\displaystyle \alpha_{n}, \beta_{n}$ 之间的关系。
第17题计算题
17．设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，求证 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(a+b-x) \mathrm{d} x$ ，并计算下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos ^{2} x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x, \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\sin ^{2} x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2-x}} \mathrm{~d} x$ ．（3） $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin ^{3} x}{\sin ^{3} x+\cos ^{3} x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos ^{2} x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x, \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\sin ^{2} x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2-x}} \mathrm{~d} x$ ．（3） $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin ^{3} x}{\sin ^{3} x+\cos ^{3} x} \mathrm{~d} x$ ．
第17题未分类
17．设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足条件：$\displaystyle f(x+\pi)=-f(x)$ ，问此函数在 $\displaystyle (-\pi, \pi)$ 内的傅里叶级数满足什么特性。
第18题证明题
18．若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{d} x$ ，并计算下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（2）$\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3）$\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x+\int_{-1}^{1} \frac{\cos x+x \sin ^{2} x+1}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x \sec ^{2} x}{1+\sec ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（2）$\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3）$\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x+\int_{-1}^{1} \frac{\cos x+x \sin ^{2} x+1}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x \sec ^{2} x}{1+\sec ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
第18题计算题
18．计算下列反常积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-a x}-\mathrm{e}^{-b x}}{x} \mathrm{~d} x(b>a>0)$ 。（安徽大学 2012，安徽师大 2006 ，三峡大学 2011，山东大学 2002，天津大学 2005，北京理工 2004，华东师大 2004，湖北大学 2010／2011，河海大学 2006，江苏大学 2010，华南理工 2010，中南大学 2001，西北工大 2002，曲阜师大 2009／2011，南京农大 2009，山东师大 2008，东北师大 2002，东华大学2005，华东理工 2004，聊城大学 2004／2012／2010，山西师大 2009，温州大学 2009；$\displaystyle b=\mathrm{e}, a=1$ ：南京师大 2010，西安交大 2006；上海 大学 $\displaystyle 2013(a=3, b=6)$ ；山东科技 $\displaystyle 2010(a=2, b=5) / 2009$ ；北京 工 大 2006／2010（ $\displaystyle a=1, b=3$ ）．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan (a x)-\arctan (b x)}{x} \mathrm{~d} x, a>0, b>0$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-\alpha x^{2}}-\mathrm{e}^{-\beta x^{2}}}{x} \mathrm{~d} x, \alpha>\beta>0$ ．（华中科技2011，东华大学1999，华侨大学2008，温州大学2012，深圳大学 $\displaystyle 2010(\beta=1)$ ，湖南师大 2004 ，山东大学（ $\displaystyle a=1$ ））
（4） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan \left(a x^{2}\right)-\arctan \left(b x^{2}\right)}{x} \mathrm{~d} x, b>a>0$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1-\mathrm{e}^{-y x}}{x \mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x, y>-2$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1-\mathrm{e}^{-\alpha x}}{x \mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x, \alpha>-1$ ．
分析：可用傅茹兰尼公式，亦可用积分号下的积分法求解．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-a x}-\mathrm{e}^{-b x}}{x} \mathrm{~d} x(b>a>0)$ 。（安徽大学 2012，安徽师大 2006 ，三峡大学 2011，山东大学 2002，天津大学 2005，北京理工 2004，华东师大 2004，湖北大学 2010／2011，河海大学 2006，江苏大学 2010，华南理工 2010，中南大学 2001，西北工大 2002，曲阜师大 2009／2011，南京农大 2009，山东师大 2008，东北师大 2002，东华大学2005，华东理工 2004，聊城大学 2004／2012／2010，山西师大 2009，温州大学 2009；$\displaystyle b=\mathrm{e}, a=1$ ：南京师大 2010，西安交大 2006；上海 大学 $\displaystyle 2013(a=3, b=6)$ ；山东科技 $\displaystyle 2010(a=2, b=5) / 2009$ ；北京 工 大 2006／2010（ $\displaystyle a=1, b=3$ ）．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan (a x)-\arctan (b x)}{x} \mathrm{~d} x, a>0, b>0$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-\alpha x^{2}}-\mathrm{e}^{-\beta x^{2}}}{x} \mathrm{~d} x, \alpha>\beta>0$ ．（华中科技2011，东华大学1999，华侨大学2008，温州大学2012，深圳大学 $\displaystyle 2010(\beta=1)$ ，湖南师大 2004 ，山东大学（ $\displaystyle a=1$ ））
（4） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan \left(a x^{2}\right)-\arctan \left(b x^{2}\right)}{x} \mathrm{~d} x, b>a>0$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1-\mathrm{e}^{-y x}}{x \mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x, y>-2$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1-\mathrm{e}^{-\alpha x}}{x \mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x, \alpha>-1$ ．
分析：可用傅茹兰尼公式，亦可用积分号下的积分法求解．
第19题计算题
19．计算计算积分．
（1）$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1) \pi}^{k \pi}|\sin x| \mathrm{d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{n \pi} x|\sin x| \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle n$ 为正整数．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x|\sin n x| \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle n$ 为自然数。
（1）$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1) \pi}^{k \pi}|\sin x| \mathrm{d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{n \pi} x|\sin x| \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle n$ 为正整数．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x|\sin n x| \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle n$ 为自然数。
第19题证明题
19．利用 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ，证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-a x^{2}}-\mathrm{e}^{-b x^{2}}}{x^{2}} \mathrm{~d} x=\sqrt{\pi}(\sqrt{b}-\sqrt{a}),(b>a>0)$ ．（太原科技 2005，天津大学 2006，燕山大学 2004，华南师大 2007（ $\displaystyle a=0$ ），西北师大）
第20题证明题
20．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 连续函数，证明： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) \mathrm{d} x$ ，并计算下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ 及 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+(\tan x)^{\lambda}} \mathrm{d} x$ ．（宁波大学2009（ $\displaystyle \lambda=2009$ ），北京理工 $\displaystyle 2005(\lambda=\sqrt{3}$ ），中科院2012（ $\displaystyle \lambda=3$ ））
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{2} x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ 及 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+(\tan x)^{\lambda}} \mathrm{d} x$ ．（宁波大学2009（ $\displaystyle \lambda=2009$ ），北京理工 $\displaystyle 2005(\lambda=\sqrt{3}$ ），中科院2012（ $\displaystyle \lambda=3$ ））
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{2} x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
第21题证明题
21．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 连续函数，证明： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(|\cos x|) \mathrm{d} x=\frac{1}{4} \int_{0}^{2 \pi} f(|\cos x|) \mathrm{d} x$ ．
第21题证明题
21．证明：对连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，有 $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=1} f(z) \mathrm{d} S=2 \pi \int_{-1}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ．
第22题计算题
22．计算下列积分．
（1）求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ 或 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (1+\tan \theta) \mathrm{d} \theta$ ．
（2）设 $\displaystyle I(a)=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+a x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, a>0$ ，求 $\displaystyle I^{\prime}(a), I(1)$ ．
（1）求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ 或 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (1+\tan \theta) \mathrm{d} \theta$ ．
（2）设 $\displaystyle I(a)=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+a x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, a>0$ ，求 $\displaystyle I^{\prime}(a), I(1)$ ．
第22题计算题
22．计算下列极限．
（1）设 $\displaystyle I_{n}=\int_{1}^{1+\frac{1}{n}} \frac{\sqrt{1+x^{n}}}{x} \mathrm{~d} x$ ，计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n I_{n}$ ．
（2）设 $\displaystyle I_{n}=\int_{1}^{1+\frac{1}{n}} \sqrt{1+x^{n}} \mathrm{~d} x$ ，计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} I_{n}$ 及 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n I_{n}$ 存在．
（1）设 $\displaystyle I_{n}=\int_{1}^{1+\frac{1}{n}} \frac{\sqrt{1+x^{n}}}{x} \mathrm{~d} x$ ，计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n I_{n}$ ．
（2）设 $\displaystyle I_{n}=\int_{1}^{1+\frac{1}{n}} \sqrt{1+x^{n}} \mathrm{~d} x$ ，计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} I_{n}$ 及 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n I_{n}$ 存在．
第23题证明题
23．设 $\displaystyle f(x)$ 为连续函数，且满足 $\displaystyle f(x)+f(y)=f(x y), x>0, y>0$ ，证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{8} f(2)$ ．
第23题证明题
23．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上单调下降，且 $\displaystyle f^{\prime}(b)>0$ ，证明
$$
\left|\int_{a}^{b} \cos f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{2}{f^{\prime}(b)} . }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，$\displaystyle |f(x)| \leqslant \pi$ ，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant m>0$ ，证明：$\displaystyle \left|\int_{a}^{b} \sin f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{2}{m}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上单调下降，且 $\displaystyle f^{\prime}(b)>0$ ，证明
$$
\left|\int_{a}^{b} \cos f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{2}{f^{\prime}(b)} . }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，$\displaystyle |f(x)| \leqslant \pi$ ，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant m>0$ ，证明：$\displaystyle \left|\int_{a}^{b} \sin f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{2}{m}$ ．
第24题证明题
24．计算积分或证明等式．
（1）计算 $\displaystyle J(m, n)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{m} x \cos ^{n} x \mathrm{~d} x, m, n \in \mathbf{Z}^{+}$。
（2）计算 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．（重庆大学 2013，华南师大 2007，兰州大学 2003，北京科技，中科大 2011（ $\displaystyle n=7$ ））
（3）证明： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \cos ^{n} x \mathrm{~d} x=2^{-n} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x, n \in \mathbf{Z}^{+}$。（哈 工 大，沈阳 工 大 2008）
（4）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{(2 n)!!}{(2 n-1)!!}\right)^{2} \frac{1}{(2 n+1)}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{(2 n)!!}{(2 n-1)!!}\right)^{2} \frac{1}{2 n}=\frac{\pi}{2}$ ．
（1）计算 $\displaystyle J(m, n)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{m} x \cos ^{n} x \mathrm{~d} x, m, n \in \mathbf{Z}^{+}$。
（2）计算 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．（重庆大学 2013，华南师大 2007，兰州大学 2003，北京科技，中科大 2011（ $\displaystyle n=7$ ））
（3）证明： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \cos ^{n} x \mathrm{~d} x=2^{-n} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x, n \in \mathbf{Z}^{+}$。（哈 工 大，沈阳 工 大 2008）
（4）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{(2 n)!!}{(2 n-1)!!}\right)^{2} \frac{1}{(2 n+1)}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{(2 n)!!}{(2 n-1)!!}\right)^{2} \frac{1}{2 n}=\frac{\pi}{2}$ ．
第25题未分类
25．设 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} x$ ．证 明 ：（1）$\displaystyle I_{n}=\frac{2 n}{2 n+1} I_{n-1}, n=2,3, \cdots$ ，且 $\displaystyle I_{n} \geqslant \frac{2}{3 \sqrt{n}}, n=1,2, \cdots$ ；
（2） $\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{4}{3 \sqrt{n}}$ ．
（2） $\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{4}{3 \sqrt{n}}$ ．
第28题证明题
28．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内连续，$\displaystyle a>0$ ．证明： $\displaystyle \int_{\frac{1}{a}}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{\frac{1}{a}}^{a}\left(f(x)+\frac{1}{x^{2}} f\left(\frac{1}{x}\right)\right) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是连续函数，证明： $\displaystyle \int_{1}^{a} f\left(x^{2}+\frac{a^{2}}{x^{2}}\right) \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\int_{1}^{a^{2}} f\left(x+\frac{a^{2}}{x}\right) \frac{1}{2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内连续，$\displaystyle a>0$ ．证明： $\displaystyle \int_{\frac{1}{a}}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{\frac{1}{a}}^{a}\left(f(x)+\frac{1}{x^{2}} f\left(\frac{1}{x}\right)\right) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是连续函数，证明： $\displaystyle \int_{1}^{a} f\left(x^{2}+\frac{a^{2}}{x^{2}}\right) \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\int_{1}^{a^{2}} f\left(x+\frac{a^{2}}{x}\right) \frac{1}{2 x} \mathrm{~d} x$ ．
第29题计算题
29．计算 $\displaystyle I=\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(1+x-\frac{1}{x}\right) \mathrm{e}^{x+\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x$ ．
第32题计算题
32．求下列积分．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\ln x-\int_{1}^{\mathrm{e}} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)=3 x^{2}+2 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} t f(2 x-t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \arctan x^{2}, f(1)=1$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 连续， $\displaystyle \int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{d} t=1-\cos x$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（5）设 $\displaystyle F(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的一个原函数，$\displaystyle F(0)=1, F(x) f(x)=\cos 2 x$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}|f(x)| \mathrm{d} x$ ．
（6）设 $\displaystyle f^{\prime}(\tan x)=\sin x$ ，且 $\displaystyle f(0)=1$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（8）设 $\displaystyle F(x)>0$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的一个原函数，$\displaystyle F(0)=1, F(x) f(x)=\sin ^{2} 2 x$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（9）设 $\displaystyle f(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(2)=0, \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=1$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} f^{\prime \prime}(2 x) \mathrm{d} x$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)=\ln x-\int_{1}^{\mathrm{e}} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)=3 x^{2}+2 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} t f(2 x-t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \arctan x^{2}, f(1)=1$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 连续， $\displaystyle \int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{d} t=1-\cos x$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（5）设 $\displaystyle F(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的一个原函数，$\displaystyle F(0)=1, F(x) f(x)=\cos 2 x$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}|f(x)| \mathrm{d} x$ ．
（6）设 $\displaystyle f^{\prime}(\tan x)=\sin x$ ，且 $\displaystyle f(0)=1$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（8）设 $\displaystyle F(x)>0$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的一个原函数，$\displaystyle F(0)=1, F(x) f(x)=\sin ^{2} 2 x$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（9）设 $\displaystyle f(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(2)=0, \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=1$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} f^{\prime \prime}(2 x) \mathrm{d} x$ 。
第33题求解题
33．求函数表达式．
（1）已知 $\displaystyle f(x)=x \mathrm{e}^{-x}+2 \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，且 $\displaystyle f(x)=1+x \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（3）已知 $\displaystyle f(x)=x^{2}-x \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t+2 \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的值．
（4）设 $\displaystyle f(x)=3 x-\sqrt{1-x^{2}} \int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 。
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，$\displaystyle f(1)=3$ ．若 $\displaystyle f(x)$ 的反函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{2}^{f(1+\ln x)} \varphi(t) \mathrm{d} t=x \ln x$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微，且满足 $\displaystyle \int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t=\frac{x}{3} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t, x>0$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（1）已知 $\displaystyle f(x)=x \mathrm{e}^{-x}+2 \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，且 $\displaystyle f(x)=1+x \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（3）已知 $\displaystyle f(x)=x^{2}-x \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t+2 \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的值．
（4）设 $\displaystyle f(x)=3 x-\sqrt{1-x^{2}} \int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 。
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，$\displaystyle f(1)=3$ ．若 $\displaystyle f(x)$ 的反函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{2}^{f(1+\ln x)} \varphi(t) \mathrm{d} t=x \ln x$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微，且满足 $\displaystyle \int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t=\frac{x}{3} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t, x>0$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
第35题计算题
35．求下列积分．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}1+x^{2}, x \leqslant 0, \\ \mathrm{e}^{-x}, x>0,\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle \int_{1}^{3} f(x-2) \mathrm{d} x$ ．
（2）当 $\displaystyle x>0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{\ln x}{2}\right)=\sqrt{x}$ 且 $\displaystyle f(g(x))=(1+x)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ，计算积分 $\displaystyle \int_{1}^{2} g(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x+1}, x \geqslant 0, \\ \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}, x<0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x-1) \mathrm{d} x$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}1+x^{2}, x \leqslant 0, \\ \mathrm{e}^{-x}, x>0,\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle \int_{1}^{3} f(x-2) \mathrm{d} x$ ．
（2）当 $\displaystyle x>0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{\ln x}{2}\right)=\sqrt{x}$ 且 $\displaystyle f(g(x))=(1+x)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ，计算积分 $\displaystyle \int_{1}^{2} g(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x+1}, x \geqslant 0, \\ \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}, x<0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x-1) \mathrm{d} x$ 。
第35题计算题
35．计算下列累次积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} x^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1}\left(\mathrm{e}^{-x^{2}}+\mathrm{e}^{y} \sin x\right) \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{x} \frac{1}{y} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} y+\int_{2}^{4} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{2} \frac{1}{y} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} y$ ．
（7） $\displaystyle \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{y}} \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{1}{2}}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{y}} \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{+x} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2 x} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} x^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1}\left(\mathrm{e}^{-x^{2}}+\mathrm{e}^{y} \sin x\right) \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{x} \frac{1}{y} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} y+\int_{2}^{4} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{2} \frac{1}{y} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} y$ ．
（7） $\displaystyle \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{y}} \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{1}{2}}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{y}} \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{+x} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2 x} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
第36题证明题
36．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[-\sqrt{a^{2}+b^{2}}, \sqrt{a^{2}+b^{2}}\right]$ 上连续．证明：
$$
\int_{0}^{2 \pi} f(a \cos \theta+b \sin \theta) \mathrm{d} \theta=2 \int_{0}^{\pi} f\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cos \lambda\right) \mathrm{d} \lambda .
$$
$$
\int_{0}^{2 \pi} f(a \cos \theta+b \sin \theta) \mathrm{d} \theta=2 \int_{0}^{\pi} f\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cos \lambda\right) \mathrm{d} \lambda .
$$
第37题证明题
37．证明或求解下列问题．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} \frac{\ln (1+t)}{t} \mathrm{~d} t,(x>0)$ 。证明：$\displaystyle f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{2}(\ln x)^{2}$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} \mathrm{~d} t,(x>0)$ ．求 $\displaystyle f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right), f(2)+f\left(\frac{1}{2}\right)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} \frac{\ln (1+t)}{t} \mathrm{~d} t,(x>0)$ 。证明：$\displaystyle f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{2}(\ln x)^{2}$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} \mathrm{~d} t,(x>0)$ ．求 $\displaystyle f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right), f(2)+f\left(\frac{1}{2}\right)$ ．
第39题证明题
39．证明下列结论．
（1）证明：函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{x}{n}}+\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}}, n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛于 $\displaystyle \frac{1}{1+\mathrm{e}^{x}}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=1+\ln \frac{2}{1+\mathrm{e}}$ ．
（2）证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \mathrm{~d} x=1$ ．
（3）证明函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{1}{1+\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}}, n \geqslant 1$ ，在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 的任何闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫，并求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x$ 。
（1）证明：函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{x}{n}}+\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}}, n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛于 $\displaystyle \frac{1}{1+\mathrm{e}^{x}}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=1+\ln \frac{2}{1+\mathrm{e}}$ ．
（2）证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \mathrm{~d} x=1$ ．
（3）证明函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{1}{1+\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}}, n \geqslant 1$ ，在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 的任何闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫，并求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x$ 。
第49题证明题
49．设 $\displaystyle \phi(x), f(x)$ 是连续函数，且有 $\displaystyle R>0$ ，当 $\displaystyle |x| \geqslant R$ 时，$\displaystyle \phi(x)=0$ ，证明：（1）$\displaystyle \phi(x) f\left(\frac{x}{n}\right)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛于 $\displaystyle \phi(x) f(0)$ ；（2）若 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \phi(x) \mathrm{d} x=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} n \int_{-\infty}^{+\infty} \phi(n x) f(x)=f(0)$ ．
第50题证明题
50．证明下列结论．
（1）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{x} t^{n}(1-t) \mathrm{d} t$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续导数，$\displaystyle f(1)=0$ ，证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{x} t^{n} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $\displaystyle x \in[0,1]$ 上一致收敛．
（3）若 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\left(a_{n}>0, n=1,2, \cdots\right)$ 的收敛半径为 $\displaystyle +\infty$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} n!$ 收敛。证明 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} f(x) \mathrm{d} x$收敛，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} f(x) \mathrm{d} x=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} n!$.
（4）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, \cdots$ 均为常数，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \frac{1}{n!} \int_{0}^{x} t^{n} \mathrm{e}^{-1} \mathrm{~d} t$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．
（1）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{x} t^{n}(1-t) \mathrm{d} t$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续导数，$\displaystyle f(1)=0$ ，证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{x} t^{n} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $\displaystyle x \in[0,1]$ 上一致收敛．
（3）若 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\left(a_{n}>0, n=1,2, \cdots\right)$ 的收敛半径为 $\displaystyle +\infty$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} n!$ 收敛。证明 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} f(x) \mathrm{d} x$收敛，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} f(x) \mathrm{d} x=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} n!$.
（4）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, \cdots$ 均为常数，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \frac{1}{n!} \int_{0}^{x} t^{n} \mathrm{e}^{-1} \mathrm{~d} t$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．