对称性在积分中的应用
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第6题求解题
6．设 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 外侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ 。$\displaystyle (a=1)$
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{3}-y^{3}-z^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}-z^{3}-x^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}-x^{3}-y^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。（上海师大2006（a＝1））
（5） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（6）$\displaystyle \oiint_{S} x\left(x^{2}+a^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y\left(y^{2}+a^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z\left(z^{2}+a^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（7） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle u=x^{4}+y^{4}+z^{4}, n=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为球面的单位向量，
$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}=\frac{\partial u}{\partial x} \cos \alpha+\frac{\partial u}{\partial y} \cos \beta+\frac{\partial u}{\partial z} \cos \gamma$ ．
（8） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+f(y) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+g(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle f(y), g(z)$ 分别为 $\displaystyle y, z$ 的偶函数．（安徽大学 2005$\displaystyle )(a=1)$
（9） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ 。$\displaystyle (a=1)$
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{3}-y^{3}-z^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}-z^{3}-x^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}-x^{3}-y^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。（上海师大2006（a＝1））
（5） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（6）$\displaystyle \oiint_{S} x\left(x^{2}+a^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y\left(y^{2}+a^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z\left(z^{2}+a^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（7） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle u=x^{4}+y^{4}+z^{4}, n=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为球面的单位向量，
$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}=\frac{\partial u}{\partial x} \cos \alpha+\frac{\partial u}{\partial y} \cos \beta+\frac{\partial u}{\partial z} \cos \gamma$ ．
（8） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+f(y) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+g(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle f(y), g(z)$ 分别为 $\displaystyle y, z$ 的偶函数．（安徽大学 2005$\displaystyle )(a=1)$
（9） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
第7题求解题
7．设 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 的内侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。（上海交大 2000，浙江师大 2011（半径为 1），安徽工大 2008）
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y\right)$ ．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。（上海交大 2000，浙江师大 2011（半径为 1），安徽工大 2008）
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y\right)$ ．
第13题求解题
13．设 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 外侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(x+x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。重庆大学 2009）
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(x+x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。重庆大学 2009）
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．