导数的四则运算
按知识点浏览 · 共 40 题
第1题求解题
1．求下列导数．
（1）设 $\displaystyle f(x)=x \sqrt{1-x^{2}}+\arcsin x$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle y=\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a},(a>0)$ ，求 $\displaystyle y^{\prime}$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{(1+x) \sqrt{x}}{\mathrm{e}^{x-1}}}+\arcsin \frac{1-x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}, f_{n}(x)=f(f(\cdots f(x)))(n$ 个 $\displaystyle f)$ ，求 $\displaystyle f_{n}^{\prime}(x)$ 。西北工大）
（5）设 $\displaystyle y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ ，求 $\displaystyle y^{\prime \prime}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)=x \sqrt{1-x^{2}}+\arcsin x$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle y=\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a},(a>0)$ ，求 $\displaystyle y^{\prime}$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{(1+x) \sqrt{x}}{\mathrm{e}^{x-1}}}+\arcsin \frac{1-x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}, f_{n}(x)=f(f(\cdots f(x)))(n$ 个 $\displaystyle f)$ ，求 $\displaystyle f_{n}^{\prime}(x)$ 。西北工大）
（5）设 $\displaystyle y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ ，求 $\displaystyle y^{\prime \prime}$ ．
第1题计算题
1．设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处可导，求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{g\left(x_{0}\right) f(x)-g(x) f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\alpha t\right)-f\left(x_{0}+\beta t\right)}{t}, \alpha \neq 0, \beta \neq 0$
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{g\left(x_{0}\right) f(x)-g(x) f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\alpha t\right)-f\left(x_{0}+\beta t\right)}{t}, \alpha \neq 0, \beta \neq 0$
第2题求解题
2．已知 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t),\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．
第3题证明题
3．讨论或证明函数的一致连续性。
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 的导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上有界，试讨论 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上的有界性和一致连续性。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可微，且存在 $\displaystyle M>0$ ，使得 $\displaystyle \forall x \in(0,1)$ ， $\displaystyle \left|x f^{\prime}(x)-f(x)\right|<x^{2} M$ 。证明：（1）$\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内一致连续；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{\circ}} f^{\prime}(x)$ 存在。华中师大2009）
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 的导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上有界，试讨论 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上的有界性和一致连续性。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可微，且存在 $\displaystyle M>0$ ，使得 $\displaystyle \forall x \in(0,1)$ ， $\displaystyle \left|x f^{\prime}(x)-f(x)\right|<x^{2} M$ 。证明：（1）$\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内一致连续；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{\circ}} f^{\prime}(x)$ 存在。华中师大2009）
第3题求解题
3．求下列导数．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\varphi(a+b x)-\varphi(a-b x)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某个小邻域内有定义且在该点处可导，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)=\varphi^{2}(a+b x)-\varphi^{2}(a-b x)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某个小邻域内有定义且在该点处可导，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
（3）设一元函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 一阶连续可导。令 $\displaystyle f(x)=x^{2} \cdot \varphi(x)$ ，计算 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ ．
（4）已知 $\displaystyle f(x)=(x-a)^{2} \phi(x)$ ，其中 $\displaystyle \phi^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某邻域内连续，求 $\displaystyle f^{\prime \prime}(a)$ ．
（5）已知 $\displaystyle f(x)=(x-a) \varphi(x)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 在点 $\displaystyle x=a$ 的某邻域内连续，求 $\displaystyle f^{\prime}(a)$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\varphi(a+b x)-\varphi(a-b x)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某个小邻域内有定义且在该点处可导，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)=\varphi^{2}(a+b x)-\varphi^{2}(a-b x)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某个小邻域内有定义且在该点处可导，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
（3）设一元函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 一阶连续可导。令 $\displaystyle f(x)=x^{2} \cdot \varphi(x)$ ，计算 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ ．
（4）已知 $\displaystyle f(x)=(x-a)^{2} \phi(x)$ ，其中 $\displaystyle \phi^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某邻域内连续，求 $\displaystyle f^{\prime \prime}(a)$ ．
（5）已知 $\displaystyle f(x)=(x-a) \varphi(x)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 在点 $\displaystyle x=a$ 的某邻域内连续，求 $\displaystyle f^{\prime}(a)$ ．
第4题计算题
4．计算．
（1）已知 $\displaystyle u(x, t)=\frac{f(x+a t)+f(x-a t)}{2}+\frac{1}{2 a} \int_{x-a t}^{x+a t} F(\alpha) \mathrm{d} \alpha$ ，其中 $\displaystyle f, F$ 分别为求导一次和求导两次的已知函数，计算 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}}$ ．
（2）设 $\displaystyle \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, u=\frac{1}{\rho}(\varphi(\rho-a t)+\psi(\rho+a t))$ ，其中，$\displaystyle \varphi, \psi$ 二阶可微，试求： $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-a^{2}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right)$.
（1）已知 $\displaystyle u(x, t)=\frac{f(x+a t)+f(x-a t)}{2}+\frac{1}{2 a} \int_{x-a t}^{x+a t} F(\alpha) \mathrm{d} \alpha$ ，其中 $\displaystyle f, F$ 分别为求导一次和求导两次的已知函数，计算 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}}$ ．
（2）设 $\displaystyle \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, u=\frac{1}{\rho}(\varphi(\rho-a t)+\psi(\rho+a t))$ ，其中，$\displaystyle \varphi, \psi$ 二阶可微，试求： $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-a^{2}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right)$.
第7题求解题
7．求下列导数．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} \sin \frac{1}{x}, x>0, \\ 0, x=0, \\ \frac{1-\cos x^{2}}{x}, x<0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$.
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} \sin \frac{1}{x}+\sin x, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} \sin \frac{1}{x}, x>0, \\ 0, x=0, \\ \frac{1-\cos x^{2}}{x}, x<0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$.
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} \sin \frac{1}{x}+\sin x, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
第7题证明题
7．证明下列不等式．
（1）当 $\displaystyle x>0$ 时，$\displaystyle x-\frac{x^{3}}{6}<\sin x<x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}$ ．
（2）$\displaystyle \frac{\pi}{2}-\frac{\pi^{3}}{144}<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x<\frac{\pi}{2}-\frac{\pi^{2}}{72}$ ．
（1）当 $\displaystyle x>0$ 时，$\displaystyle x-\frac{x^{3}}{6}<\sin x<x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}$ ．
（2）$\displaystyle \frac{\pi}{2}-\frac{\pi^{3}}{144}<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x<\frac{\pi}{2}-\frac{\pi^{2}}{72}$ ．
第14题证明题
14．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上可导，$\displaystyle f(1)=1$ ，且满足，$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}$ ．试证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 存在，且 $\displaystyle A \leqslant 1+\frac{\pi}{4}$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 可微，$\displaystyle f(1)=1,\left(x^{2}+f^{2}(x)\right) f^{\prime}(x)=1$ ．证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 一致连续，且 $\displaystyle f(x)<2$ ；（2）若 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上可导，$\displaystyle f(1)=1$ ，且满足，$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}$ ．试证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 存在，且 $\displaystyle A \leqslant 1+\frac{\pi}{4}$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 可微，$\displaystyle f(1)=1,\left(x^{2}+f^{2}(x)\right) f^{\prime}(x)=1$ ．证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 一致连续，且 $\displaystyle f(x)<2$ ；（2）若 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
第16题证明题
16．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导．证明：
（1）存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle 2 \xi(f(b)-f(a))=\left(b^{2}-a^{2}\right) f^{\prime}(\xi)$ ．
（2）至少存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle 3 \xi^{2}(f(b)-f(a))=\left(b^{3}-a^{3}\right) f^{\prime}(\xi)$ ．
（1）存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle 2 \xi(f(b)-f(a))=\left(b^{2}-a^{2}\right) f^{\prime}(\xi)$ ．
（2）至少存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle 3 \xi^{2}(f(b)-f(a))=\left(b^{3}-a^{3}\right) f^{\prime}(\xi)$ ．
第18题证明题
18．函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导。证明：
（1）至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)(g(b)-g(a))=g^{\prime}(\xi)(f(b)-f(a))$ ．
（2）若 $\displaystyle \forall x \in(a, b), g^{\prime}(x) \neq 0$ ，则 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}=\frac{f(\xi)-f(a)}{g(b)-g(\xi)}$ ．
（3）若 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在在 $\displaystyle (a, b)$ 内严格递减，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \neq 0, f(a)=f(b)=1$ ．则至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{1-g(\xi)}{f(\xi)-1}=\frac{g^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\xi)}$ ．
（4）若 $\displaystyle g(x) \neq 0,|f(x)|+|g(x)| \neq 0, \forall x \in[a, b]$ ，则至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle \frac{\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x}{\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x}=\frac{f(\xi)}{g(\xi)}$ ．
（1）至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)(g(b)-g(a))=g^{\prime}(\xi)(f(b)-f(a))$ ．
（2）若 $\displaystyle \forall x \in(a, b), g^{\prime}(x) \neq 0$ ，则 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}=\frac{f(\xi)-f(a)}{g(b)-g(\xi)}$ ．
（3）若 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在在 $\displaystyle (a, b)$ 内严格递减，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \neq 0, f(a)=f(b)=1$ ．则至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{1-g(\xi)}{f(\xi)-1}=\frac{g^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\xi)}$ ．
（4）若 $\displaystyle g(x) \neq 0,|f(x)|+|g(x)| \neq 0, \forall x \in[a, b]$ ，则至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle \frac{\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x}{\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x}=\frac{f(\xi)}{g(\xi)}$ ．
第19题证明题
19．设函数 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 可导．证明在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得
$$
\left|\begin{array}{ll}
f(a) & f(b) \\
g(a) & g(b)
\end{array}\right|=(b-a)\left|\begin{array}{ll}
f(a) & f^{\prime}(\xi) \\
g(a) & g^{\prime}(\xi)
\end{array}\right| .
$$
$$
\left|\begin{array}{ll}
f(a) & f(b) \\
g(a) & g(b)
\end{array}\right|=(b-a)\left|\begin{array}{ll}
f(a) & f^{\prime}(\xi) \\
g(a) & g^{\prime}(\xi)
\end{array}\right| .
$$
第22题证明题
22．证明下列命题．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 可导，$\displaystyle f(0)=0, \forall x \in[0,+\infty)$ 有 $\displaystyle 0 \leqslant f^{\prime}(x) \leqslant f(x)$ ．证明 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，且对一切 $\displaystyle x \in[a, b]$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{x} f(u) \mathrm{d} u \geqslant f(x) \geqslant 0$ ．证明 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，$\displaystyle f(x) \leqslant \int_{a}^{x} f(u) \mathrm{d} u, x \in \mathbf{R}$ 。证明 $\displaystyle f(x) \leqslant 0$ 。（广西师大 2005，河南师大
2012（［a，b］））
（4）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle f(a)=0, f(x)>0, x \in(a, b]$ ．证明：不存在常数 $\displaystyle M \geqslant 0$ 使 $\displaystyle 0 \leqslant f^{\prime}(x) \leqslant M f(x), x \in[a, b]$ ．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 可导，$\displaystyle f(0)=0, \forall x \in[0,+\infty)$ 有 $\displaystyle 0 \leqslant f^{\prime}(x) \leqslant f(x)$ ．证明 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，且对一切 $\displaystyle x \in[a, b]$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{x} f(u) \mathrm{d} u \geqslant f(x) \geqslant 0$ ．证明 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，$\displaystyle f(x) \leqslant \int_{a}^{x} f(u) \mathrm{d} u, x \in \mathbf{R}$ 。证明 $\displaystyle f(x) \leqslant 0$ 。（广西师大 2005，河南师大
2012（［a，b］））
（4）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle f(a)=0, f(x)>0, x \in(a, b]$ ．证明：不存在常数 $\displaystyle M \geqslant 0$ 使 $\displaystyle 0 \leqslant f^{\prime}(x) \leqslant M f(x), x \in[a, b]$ ．
第23题证明题
23．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非负连续，$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续，$\displaystyle f(x) \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t=0, x \in(a, b)$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in(a, b)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，又 $\displaystyle \varphi(x)=f(x) \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 单调递减．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in \mathbf{R}$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非负连续，$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续，$\displaystyle f(x) \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t=0, x \in(a, b)$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in(a, b)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，又 $\displaystyle \varphi(x)=f(x) \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 单调递减．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in \mathbf{R}$ ．
第24题证明题
24．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可微，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．试证：$\displaystyle \forall \alpha \in(-\infty,+\infty)$ ， $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \alpha f(\xi)=f^{\prime}(\xi)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 可微，$\displaystyle x_{1}<x_{2}, f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ ，求证存在 $\displaystyle \xi \in\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 使 $\displaystyle f(\xi)+f^{\prime}(\xi)=f\left(x_{1}\right)$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 可导，$\displaystyle \lambda$ 为常数，证明：$\displaystyle f(x)$ 的任意两个零点之间必有 $\displaystyle f^{\prime}(x)+\lambda f(x)=0$ 的根．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可导，且对任意 $\displaystyle x \in \mathbf{R}, f^{\prime}(x)+f(x)>0$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 至多存在一个零点．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可导，$\displaystyle f(x) \neq 0,2 f^{\prime}(x)+f(x) \neq 0$ ．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 至多存在一个零点．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-2,2)$ 内可导，证明在 $\displaystyle (-2,2)$ 内至少有 $\displaystyle x(1-x) f^{\prime}(x)+(1-2 x)$ 的一个零点．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可微，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．试证：$\displaystyle \forall \alpha \in(-\infty,+\infty)$ ， $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \alpha f(\xi)=f^{\prime}(\xi)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 可微，$\displaystyle x_{1}<x_{2}, f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ ，求证存在 $\displaystyle \xi \in\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 使 $\displaystyle f(\xi)+f^{\prime}(\xi)=f\left(x_{1}\right)$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 可导，$\displaystyle \lambda$ 为常数，证明：$\displaystyle f(x)$ 的任意两个零点之间必有 $\displaystyle f^{\prime}(x)+\lambda f(x)=0$ 的根．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可导，且对任意 $\displaystyle x \in \mathbf{R}, f^{\prime}(x)+f(x)>0$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 至多存在一个零点．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可导，$\displaystyle f(x) \neq 0,2 f^{\prime}(x)+f(x) \neq 0$ ．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 至多存在一个零点．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-2,2)$ 内可导，证明在 $\displaystyle (-2,2)$ 内至少有 $\displaystyle x(1-x) f^{\prime}(x)+(1-2 x)$ 的一个零点．
第26题未分类
26．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶连续可导，$\displaystyle f(1)=f(0)=f^{\prime}(1)=f^{\prime}(0)=0$ ．试证：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f(\xi)=f^{\prime \prime}(\xi)$ ．
第27题证明题
27．证明下列命题。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=0$ 。试证：$\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)+f^{2}(\xi)=0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ 。则 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)+g^{\prime}(\xi) f(\xi)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在（2，3）内可导，且 $\displaystyle \exists x_{1}<x_{2} \in(2,3)$ 使 $\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)=0$ 。求证：$\displaystyle \left(x_{1}, x_{2}\right)$ 内至少有 $\displaystyle x f^{\prime}(x) \ln x+f(x)\left(g^{\prime}(x) x \ln x+\ln x+1\right)$ 的一个零点。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=0$ 。试证：$\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)+f^{2}(\xi)=0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ 。则 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)+g^{\prime}(\xi) f(\xi)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在（2，3）内可导，且 $\displaystyle \exists x_{1}<x_{2} \in(2,3)$ 使 $\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)=0$ 。求证：$\displaystyle \left(x_{1}, x_{2}\right)$ 内至少有 $\displaystyle x f^{\prime}(x) \ln x+f(x)\left(g^{\prime}(x) x \ln x+\ln x+1\right)$ 的一个零点。
第28题证明题
28．证明下列命题。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a)<0, f(b)<0$ ，存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(c)>0$ ．证明：$\displaystyle \forall \lambda \in \mathbf{R}, \lambda f^{\prime}(x)+f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少有一个零点．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (0, b)$ 内可导，$\displaystyle f(0) f(b)<0$ ．则至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0, b)$ 使得 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ．证明：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)=-f(\xi)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a)<0, f(b)<0$ ，存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(c)>0$ ．证明：$\displaystyle \forall \lambda \in \mathbf{R}, \lambda f^{\prime}(x)+f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少有一个零点．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (0, b)$ 内可导，$\displaystyle f(0) f(b)<0$ ．则至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0, b)$ 使得 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ．证明：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)=-f(\xi)$ ．
第29题证明题
29．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，$\displaystyle f(1)=0$ ．证明：（1）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$ ；（2）对任何自然数 $\displaystyle n$ ，存在 $\displaystyle \xi_{n} \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle n \xi_{n} f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)+f\left(\xi_{n}\right)=0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上可导，且 $\displaystyle f(a)=0$ ．证明：$\displaystyle \forall n \in \mathbf{N}^{+}$，至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0, a)$ 使 $\displaystyle f(\xi)+\frac{1}{n} \xi f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上连续，在 $\displaystyle (0, a)$ 内二阶可导且 $\displaystyle f(a)=0$ 。证明：
（1）至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0, a)$ 使得 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$ ．
（2）至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0, a)$ 使得 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)+2 f(\xi)=0$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导 $\displaystyle (a<0)$ ，且 $\displaystyle f(a)=0$ 。证明：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(\xi)=\frac{b-\xi}{a} f^{\prime}(\xi)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，$\displaystyle f(1)=0$ ．证明：（1）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$ ；（2）对任何自然数 $\displaystyle n$ ，存在 $\displaystyle \xi_{n} \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle n \xi_{n} f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)+f\left(\xi_{n}\right)=0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上可导，且 $\displaystyle f(a)=0$ ．证明：$\displaystyle \forall n \in \mathbf{N}^{+}$，至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0, a)$ 使 $\displaystyle f(\xi)+\frac{1}{n} \xi f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上连续，在 $\displaystyle (0, a)$ 内二阶可导且 $\displaystyle f(a)=0$ 。证明：
（1）至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0, a)$ 使得 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$ ．
（2）至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0, a)$ 使得 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)+2 f(\xi)=0$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导 $\displaystyle (a<0)$ ，且 $\displaystyle f(a)=0$ 。证明：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(\xi)=\frac{b-\xi}{a} f^{\prime}(\xi)$ ．
第30题证明题
30．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上有连续的导数，若 $\displaystyle f(0)=f(a)$ ．求证：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0, a)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=3 \xi^{2}(f(\xi)-f(0))$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，且 $\displaystyle f(b)=f(a)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(a)-f(\xi)=\frac{\xi f^{\prime}(\xi)}{2}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可导，在 $\displaystyle (a, b)$ 内存在 $\displaystyle c$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(c)=0$ 。则至少 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{f(\xi)-f(a)}{b-a}$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上有连续的导数，若 $\displaystyle f(0)=f(a)$ ．求证：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0, a)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=3 \xi^{2}(f(\xi)-f(0))$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，且 $\displaystyle f(b)=f(a)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(a)-f(\xi)=\frac{\xi f^{\prime}(\xi)}{2}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可导，在 $\displaystyle (a, b)$ 内存在 $\displaystyle c$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(c)=0$ 。则至少 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{f(\xi)-f(a)}{b-a}$ 。
第31题证明题
31．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上 $\displaystyle n$ 次连续可导，且有 $\displaystyle f(1)=f(0)=f^{\prime}(0)=\cdots=f^{(n)}(0)=0$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle n f(\xi)=\xi f^{\prime}(\xi)$ ．
第32题证明题
32．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且在 $\displaystyle (0,1)$ 内可微．若 $\displaystyle f(0)=n \int_{\frac{n-1}{n}}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ．证明：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f(1)-2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} x f(x) \mathrm{d} x=0$ ．求证：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f(2)=\int_{0}^{\frac{1}{2}} x f(x) \mathrm{d} x$ ．求证：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,2)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,3]$ 上可微，满足 $\displaystyle f(1)=9 f(3)=\int_{1}^{2} x^{2} f(x) \mathrm{d} x$ 。求证：存在不同的两点 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2} \in(1,3)$ 满足 $\displaystyle 2 f(x)+x f^{\prime}(x)=0$ ．
（6）设 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} t^{2} f(t) \mathrm{d} t$ ，其中函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 可微，且 $\displaystyle F(1)=f(1)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{2 f(\xi)}{\xi}$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且在 $\displaystyle (0,1)$ 内可微．若 $\displaystyle f(0)=n \int_{\frac{n-1}{n}}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ．证明：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f(1)-2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} x f(x) \mathrm{d} x=0$ ．求证：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f(2)=\int_{0}^{\frac{1}{2}} x f(x) \mathrm{d} x$ ．求证：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,2)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,3]$ 上可微，满足 $\displaystyle f(1)=9 f(3)=\int_{1}^{2} x^{2} f(x) \mathrm{d} x$ 。求证：存在不同的两点 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2} \in(1,3)$ 满足 $\displaystyle 2 f(x)+x f^{\prime}(x)=0$ ．
（6）设 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} t^{2} f(t) \mathrm{d} t$ ，其中函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 可微，且 $\displaystyle F(1)=f(1)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{2 f(\xi)}{\xi}$ ．
第33题求解题
33．设 $\displaystyle f(x)=x \sin \omega x$ ，求证：$\displaystyle f^{(2 n)}(x)=(-1)^{n}\left(\omega^{2 n} x \sin \omega x-2 n \omega^{2 n-1} \cos \omega x\right), n=1,2, \cdots$ ．
第34题证明题
34．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可导， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：（1）$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$ ； （2）$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle 2 f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$ 或 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{2}{\xi} f(\xi)$ 。
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上二次可微，并且 $\displaystyle f(0)=f\left(\frac{1}{4}\right)=0$ ，以及 $\displaystyle \int_{\frac{1}{4}}^{1} f(y) \mathrm{d} y=\frac{3}{4} f(1)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可导， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：（1）$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$ ； （2）$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle 2 f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$ 或 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{2}{\xi} f(\xi)$ 。
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上二次可微，并且 $\displaystyle f(0)=f\left(\frac{1}{4}\right)=0$ ，以及 $\displaystyle \int_{\frac{1}{4}}^{1} f(y) \mathrm{d} y=\frac{3}{4} f(1)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
第36题证明题
36．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．证明在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle \int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=(1-\xi) f(\xi)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \cdot($ 苏州大学 2009，2010，东华大学 $\displaystyle 2000([0,1]))$
（3）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可导，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi) \int_{a}^{\xi} g(x) \mathrm{d} x+2 f(\xi) g(\xi)+g^{\prime}(\xi) \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可导．证明至少 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ ，使
$$
f(\xi) \int_{a}^{\xi} g(x) \mathrm{d} x=g(\xi) \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续， $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{4}+\int_{a}^{b} f\left(x^{2}\right) \mathrm{d} x$ 。则 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得
$$
f(\xi)-f\left(\xi^{2}\right)=\frac{1}{4(b-a)} .
$$
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．证明在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle \int_{1}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=\xi f(\xi)$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．证明在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle \int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=(1-\xi) f(\xi)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \cdot($ 苏州大学 2009，2010，东华大学 $\displaystyle 2000([0,1]))$
（3）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可导，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi) \int_{a}^{\xi} g(x) \mathrm{d} x+2 f(\xi) g(\xi)+g^{\prime}(\xi) \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可导．证明至少 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ ，使
$$
f(\xi) \int_{a}^{\xi} g(x) \mathrm{d} x=g(\xi) \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续， $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{4}+\int_{a}^{b} f\left(x^{2}\right) \mathrm{d} x$ 。则 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得
$$
f(\xi)-f\left(\xi^{2}\right)=\frac{1}{4(b-a)} .
$$
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．证明在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle \int_{1}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=\xi f(\xi)$ ．
第37题证明题
37．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，且 $\displaystyle a, b$ 同号，证明存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得
$\displaystyle \frac{a f(b)-b f(a)}{b-a}=f(\xi)-\xi f^{\prime}(\xi)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，且 $\displaystyle a, b$ 同号，证明：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使
$\displaystyle \frac{1}{a^{m}-b^{m}}\left|\begin{array}{cc}a^{m} & b^{m} \\ f(a) & f(b)\end{array}\right|=f(\xi)-\frac{\xi}{m} f^{\prime}(\xi)$ ，其中 $\displaystyle m$ 为正整数．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a>0)$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，则存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得
$$
\frac{b f(b)-a f(a)}{b-a}=f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi) .
$$
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a>0)$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，则存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(b)-f(a)=\xi f^{\prime}(\xi) \ln \frac{b}{a}$.
（5）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle g(x)>0$ ，设 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，且 $\displaystyle g^{\prime}(x) \neq 0, \forall x \in[a, b]$ ，证明至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle g^{\prime}(\xi) \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi) g(\xi) \ln \frac{g(b)}{g(a)}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，且 $\displaystyle a, b$ 同号，证明存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得
$\displaystyle \frac{a f(b)-b f(a)}{b-a}=f(\xi)-\xi f^{\prime}(\xi)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，且 $\displaystyle a, b$ 同号，证明：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使
$\displaystyle \frac{1}{a^{m}-b^{m}}\left|\begin{array}{cc}a^{m} & b^{m} \\ f(a) & f(b)\end{array}\right|=f(\xi)-\frac{\xi}{m} f^{\prime}(\xi)$ ，其中 $\displaystyle m$ 为正整数．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a>0)$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，则存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得
$$
\frac{b f(b)-a f(a)}{b-a}=f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi) .
$$
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a>0)$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，则存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(b)-f(a)=\xi f^{\prime}(\xi) \ln \frac{b}{a}$.
（5）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle g(x)>0$ ，设 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，且 $\displaystyle g^{\prime}(x) \neq 0, \forall x \in[a, b]$ ，证明至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle g^{\prime}(\xi) \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi) g(\xi) \ln \frac{g(b)}{g(a)}$ ．
第39题证明题
39．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内有二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ．证明：（1）存在一点 $\displaystyle \xi_{1} \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 使 $\displaystyle f\left(\xi_{1}\right)=\xi_{1}$ ；（2）存在一点 $\displaystyle \xi_{2} \in\left(0, \xi_{1}\right)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=1$ ；（3）存在一点 $\displaystyle \xi_{3} \in\left(0, \xi_{2}\right)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{3}\right)+\xi_{3} f^{\prime \prime}\left(\xi_{3}\right)=1$ ．（西安电子科技 2009 ，上海师大 2004 ，上海师大 2001 ，上海师大 2003 （改 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 为 $\displaystyle \frac{1}{3}$ ））
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在开区间 $\displaystyle (0,1)$ 内可微，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．证明： （1）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=1-\xi$ ；（2）存在 $\displaystyle \eta, \zeta \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\eta) f^{\prime}(\zeta)=1$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内有二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ．证明：（1）存在一点 $\displaystyle \xi_{1} \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 使 $\displaystyle f\left(\xi_{1}\right)=\xi_{1}$ ；（2）存在一点 $\displaystyle \xi_{2} \in\left(0, \xi_{1}\right)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=1$ ；（3）存在一点 $\displaystyle \xi_{3} \in\left(0, \xi_{2}\right)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{3}\right)+\xi_{3} f^{\prime \prime}\left(\xi_{3}\right)=1$ ．（西安电子科技 2009 ，上海师大 2004 ，上海师大 2001 ，上海师大 2003 （改 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 为 $\displaystyle \frac{1}{3}$ ））
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在开区间 $\displaystyle (0,1)$ 内可微，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．证明： （1）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=1-\xi$ ；（2）存在 $\displaystyle \eta, \zeta \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\eta) f^{\prime}(\zeta)=1$ ．
第40题证明题
40．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b)$ ．证明：
（1）存在两个不同的点 $\displaystyle \eta, \zeta \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\zeta)=-f^{\prime}(\eta)$ 。
（2）存在两个不同的点 $\displaystyle \eta, \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle \sin \eta\left(\xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)\right)=f(b) \sin \xi$ ．
（1）存在两个不同的点 $\displaystyle \eta, \zeta \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\zeta)=-f^{\prime}(\eta)$ 。
（2）存在两个不同的点 $\displaystyle \eta, \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle \sin \eta\left(\xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)\right)=f(b) \sin \xi$ ．
第41题证明题
41．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导 $\displaystyle (0<a<b), f(a) \neq f(b)$ 。证明 $\displaystyle \exists \xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{a+b}{2 \xi_{2}} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle 0<a<b$ ．证明存在 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3} \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{a+b}{2 \xi_{2}} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=\frac{a^{2}+a b+b^{2}}{3 \xi_{3}{ }^{2}} f^{\prime}\left(\xi_{3}\right)$ 。电子科技 2013，深圳大学 2012，湖南大学 2007，南京航空，陕西师大2007）
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导， $\displaystyle 0<a<b$ 。证明 $\displaystyle \exists \xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{\xi_{2}^{2} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)}{a b}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导， $\displaystyle 0<a<b, f(a) \neq f(b)$ ．证明存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)=\frac{f^{\prime}(\eta)(b-a)}{\ln b-\ln a}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导 $\displaystyle (0<a<b), f(a) \neq f(b)$ 。证明 $\displaystyle \exists \xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{a+b}{2 \xi_{2}} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle 0<a<b$ ．证明存在 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3} \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{a+b}{2 \xi_{2}} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=\frac{a^{2}+a b+b^{2}}{3 \xi_{3}{ }^{2}} f^{\prime}\left(\xi_{3}\right)$ 。电子科技 2013，深圳大学 2012，湖南大学 2007，南京航空，陕西师大2007）
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导， $\displaystyle 0<a<b$ 。证明 $\displaystyle \exists \xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{\xi_{2}^{2} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)}{a b}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导， $\displaystyle 0<a<b, f(a) \neq f(b)$ ．证明存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)=\frac{f^{\prime}(\eta)(b-a)}{\ln b-\ln a}$ ．
第42题证明题
42．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a>0)$ 连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \neq 0$ ．证明：
（1）存在 $\displaystyle \xi, \eta, \zeta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(\zeta)}{f^{\prime}(\xi)}=\frac{\xi}{\eta}$ ．
（2）存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\eta)}=\frac{\mathrm{e}^{b}-\mathrm{e}^{a}}{b-a} \mathrm{e}^{-\eta}$ ．
（1）存在 $\displaystyle \xi, \eta, \zeta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(\zeta)}{f^{\prime}(\xi)}=\frac{\xi}{\eta}$ ．
（2）存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\eta)}=\frac{\mathrm{e}^{b}-\mathrm{e}^{a}}{b-a} \mathrm{e}^{-\eta}$ ．
第42题证明题
42．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle h(t)$ 是 $\displaystyle f(t)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上的一个原函数，$\displaystyle f(t) \leqslant h(t), t \in[a, b]$ ．试证：$\displaystyle f(t) \leqslant h(a) \mathrm{e}^{t-a}$ ， （ $\displaystyle a \leqslant t \leqslant b$ ）．
（2）设 $\displaystyle g(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续非负函数，$\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ，且存在 $\displaystyle \delta>0, k>0$ 使得 $\displaystyle y(t)$ 满足 $\displaystyle y(x) \leqslant \delta+k \int_{x_{0}}^{x} y(t) \mathrm{d} t, x \in[a, b]$ 。试证：$\displaystyle y(x) \leqslant \delta \mathrm{e}^{k\left(x-x_{0}\right)}, x \in[a, b]$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{0} \in(-\infty,+\infty), \varphi(x)$ 和 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[x_{0}, x_{0}+h\right]$ 上连续，且存在 $\displaystyle M>0, K>0$ 使得
$$
|\varphi(x)| \leqslant M\left(1+K \int_{x_{0}}^{x}|\varphi(t) f(t)| \mathrm{d} t\right), x \in\left(x_{0}, x_{0}+h\right)
$$
（1）设 $\displaystyle h(t)$ 是 $\displaystyle f(t)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上的一个原函数，$\displaystyle f(t) \leqslant h(t), t \in[a, b]$ ．试证：$\displaystyle f(t) \leqslant h(a) \mathrm{e}^{t-a}$ ， （ $\displaystyle a \leqslant t \leqslant b$ ）．
（2）设 $\displaystyle g(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续非负函数，$\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ，且存在 $\displaystyle \delta>0, k>0$ 使得 $\displaystyle y(t)$ 满足 $\displaystyle y(x) \leqslant \delta+k \int_{x_{0}}^{x} y(t) \mathrm{d} t, x \in[a, b]$ 。试证：$\displaystyle y(x) \leqslant \delta \mathrm{e}^{k\left(x-x_{0}\right)}, x \in[a, b]$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{0} \in(-\infty,+\infty), \varphi(x)$ 和 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[x_{0}, x_{0}+h\right]$ 上连续，且存在 $\displaystyle M>0, K>0$ 使得
$$
|\varphi(x)| \leqslant M\left(1+K \int_{x_{0}}^{x}|\varphi(t) f(t)| \mathrm{d} t\right), x \in\left(x_{0}, x_{0}+h\right)
$$
第43题证明题
43．证明下列命题．
（1）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=1$ ．证明存在 $\displaystyle \varepsilon, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \mathrm{e}^{\varepsilon-\eta}\left(f^{2}(\varepsilon)+2 f(\varepsilon) f^{\prime}(\varepsilon)\right)=1$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a>0)$ 连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 可微，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=1$ 。证明存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \left(\frac{\eta}{\xi}\right)^{n-1}=f(\xi)+\frac{\xi}{n} f^{\prime}(\xi), n \geqslant 1$ ．
（1）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=1$ ．证明存在 $\displaystyle \varepsilon, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \mathrm{e}^{\varepsilon-\eta}\left(f^{2}(\varepsilon)+2 f(\varepsilon) f^{\prime}(\varepsilon)\right)=1$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a>0)$ 连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 可微，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=1$ 。证明存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \left(\frac{\eta}{\xi}\right)^{n-1}=f(\xi)+\frac{\xi}{n} f^{\prime}(\xi), n \geqslant 1$ ．
第43题证明题
43．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [2,+\infty)$ 上可导，$\displaystyle f(x)>0$ ，且 $\displaystyle (x f(x))^{\prime} \leqslant-k f(x)$ ，其中 $\displaystyle k$ 为常数．证明 $\displaystyle f(x) \leqslant A x^{-(k+1)}$ ，其中 $\displaystyle A$ 为与 $\displaystyle x$ 无关的常数．
第46题证明题
46．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内二阶可导．试证 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得
$\displaystyle f(b)-2 f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(a)=\frac{(b-a)^{2}}{4} f^{\prime \prime}(\xi)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，则 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} f(0)+\frac{1}{2} f(1)-\frac{1}{8} f^{\prime \prime}(\xi)$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内二阶可导．试证 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得
$\displaystyle f(b)-2 f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(a)=\frac{(b-a)^{2}}{4} f^{\prime \prime}(\xi)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，则 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} f(0)+\frac{1}{2} f(1)-\frac{1}{8} f^{\prime \prime}(\xi)$ ．
第47题证明题
47．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 三次可导．试证 $\displaystyle \exists c \in(a, b)$ 使
$$
f(b)=f(a)+f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)+\frac{1}{24} f^{\prime \prime \prime}(c)(b-a)^{3}
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上三阶可导．求证存在 $\displaystyle \xi \in(-1,1)$ 使 $\displaystyle \frac{f^{(3)}(\xi)}{3}=\frac{f(1)-f(-1)}{2}-f^{\prime}(0)$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 三次可导．试证 $\displaystyle \exists c \in(a, b)$ 使
$$
f(b)=f(a)+f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)+\frac{1}{24} f^{\prime \prime \prime}(c)(b-a)^{3}
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上三阶可导．求证存在 $\displaystyle \xi \in(-1,1)$ 使 $\displaystyle \frac{f^{(3)}(\xi)}{3}=\frac{f(1)-f(-1)}{2}-f^{\prime}(0)$ ．
第50题证明题
50．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶导函数连续，$\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}+\frac{1}{6}(b-a)^{3} f^{\prime \prime}(\xi)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上三阶可导连续，$\displaystyle f^{\prime \prime}(a)=f^{\prime \prime}(b)$ ．求证存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使
$$
f(b)=f(a)+\frac{1}{2}(b-a)\left(f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b)\right)+\frac{1}{24}(b-a)^{3} f^{(3)}(\xi)
$$
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶导函数连续，$\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}+\frac{1}{6}(b-a)^{3} f^{\prime \prime}(\xi)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上三阶可导连续，$\displaystyle f^{\prime \prime}(a)=f^{\prime \prime}(b)$ ．求证存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使
$$
f(b)=f(a)+\frac{1}{2}(b-a)\left(f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b)\right)+\frac{1}{24}(b-a)^{3} f^{(3)}(\xi)
$$
第51题证明题
51．证明下列命题。
（1）设 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在，且 $\displaystyle a<c<b$ ．则存在 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{f(a)}{(a-b)(a-c)}+\frac{f(b)}{(b-a)(b-c)}+\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 二阶可导，则对 $\displaystyle x \in(a, b)$ ，存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得
$$
\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi)(x-b) . \text { }
$$
（1）设 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在，且 $\displaystyle a<c<b$ ．则存在 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{f(a)}{(a-b)(a-c)}+\frac{f(b)}{(b-a)(b-c)}+\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 二阶可导，则对 $\displaystyle x \in(a, b)$ ，存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得
$$
\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi)(x-b) . \text { }
$$
第56题证明题
56．设 $\displaystyle a, b, c$ 为三个实数，证明方程 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}=a x^{2}+b x+c$ 的根不超过三个．
提示：反证法，假设有四个（或四个以上）根，用 Rolle 定理便可推出三阶导数在某点等于零，不盾．
提示：反证法，假设有四个（或四个以上）根，用 Rolle 定理便可推出三阶导数在某点等于零，不盾．
第58题证明题
58．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n}$ 为满足 $\displaystyle a_{0}+\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{3}+\cdots+\frac{a_{n}}{n+1}=0$ 的实数。证明方程 $\displaystyle a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}=0$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少有一个实根．
（2）设 $\displaystyle a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 满足 $\displaystyle a_{1}-\frac{1}{3} a_{2}+\cdots+(-1)^{n+1} \frac{1}{2 n-1} a_{n}=0$ 。证明方程 $\displaystyle a_{1} \cos x+a_{2} \cos 3 x+\cdots+ a_{n} \cos (2 n-1) x=0$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内至少有一个实根．
（1）设 $\displaystyle a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n}$ 为满足 $\displaystyle a_{0}+\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{3}+\cdots+\frac{a_{n}}{n+1}=0$ 的实数。证明方程 $\displaystyle a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}=0$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少有一个实根．
（2）设 $\displaystyle a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 满足 $\displaystyle a_{1}-\frac{1}{3} a_{2}+\cdots+(-1)^{n+1} \frac{1}{2 n-1} a_{n}=0$ 。证明方程 $\displaystyle a_{1} \cos x+a_{2} \cos 3 x+\cdots+ a_{n} \cos (2 n-1) x=0$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内至少有一个实根．