导数的定义（导数定义式）
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第1题证明题
1．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, a]$ 上具有二阶导数，且对一切 $\displaystyle x \in[0, a]$ ，均有 $\displaystyle |f(x)|<1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right|<1$ ．证明：对一切 $\displaystyle x \in[0, a]$ ，成立 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{a}{2}+\frac{2}{a}$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上二阶可导，$\displaystyle |f(x)| \leqslant 1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 1$ 。求证：在 $\displaystyle [0,2]$ 上 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 2$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 二次可微，且 $\displaystyle |f(x)| \leqslant M,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant K$ ，其中 $\displaystyle M, K$ 为正常数，$\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle (0,1)$内任一点．证明：$\displaystyle \left|f^{\prime}(\xi)\right| \leqslant 2 M+\frac{K}{2}$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 二次可微，且 $\displaystyle |f(x)| \leqslant a,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant b$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 为正常数，$\displaystyle c$ 是 $\displaystyle (-1,1)$ 内任一点。证明：$\displaystyle \left|f^{\prime}(\xi)\right| \leqslant a+b$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, a]$ 上具有二阶导数，且对一切 $\displaystyle x \in[0, a]$ ，均有 $\displaystyle |f(x)|<1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right|<1$ ．证明：对一切 $\displaystyle x \in[0, a]$ ，成立 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{a}{2}+\frac{2}{a}$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上二阶可导，$\displaystyle |f(x)| \leqslant 1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 1$ 。求证：在 $\displaystyle [0,2]$ 上 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 2$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 二次可微，且 $\displaystyle |f(x)| \leqslant M,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant K$ ，其中 $\displaystyle M, K$ 为正常数，$\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle (0,1)$内任一点．证明：$\displaystyle \left|f^{\prime}(\xi)\right| \leqslant 2 M+\frac{K}{2}$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 二次可微，且 $\displaystyle |f(x)| \leqslant a,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant b$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 为正常数，$\displaystyle c$ 是 $\displaystyle (-1,1)$ 内任一点。证明：$\displaystyle \left|f^{\prime}(\xi)\right| \leqslant a+b$ ．
第1题计算题
1．设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处可导，求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{g\left(x_{0}\right) f(x)-g(x) f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\alpha t\right)-f\left(x_{0}+\beta t\right)}{t}, \alpha \neq 0, \beta \neq 0$
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{g\left(x_{0}\right) f(x)-g(x) f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\alpha t\right)-f\left(x_{0}+\beta t\right)}{t}, \alpha \neq 0, \beta \neq 0$
第2题未分类
2．设函数 $\displaystyle f$ 在点 $\displaystyle a$ 处具有二阶导数，试证： $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)+f(a-h)-2 f(a)}{h^{2}}=f^{\prime \prime}(a)$ ．
第3题证明题
3．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 点可导，且满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(2 x)-f(x)}{x}=A$ ．求证：$\displaystyle f^{\prime}(0)=A$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 连续，并且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(3 x)-f(x)}{x}=A$ 。求证：$\displaystyle f^{\prime}(0)$ 存在，并且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{1}{2} A$ ．
（3）设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0, \lambda>1$ 且满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(x / \lambda)}{x}=0$ 。求证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ．
（4）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，且 $\displaystyle f(0)=0$ ．证明：若存在 $\displaystyle \alpha>0, \beta>0, \alpha>\beta$ ，使得 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}=c(c \in \mathbf{R}$ 为常数），则 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=0$ 的右导数存在．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=x_{0}$ 处可微，$\displaystyle \alpha_{n}<x_{0}<\beta_{n},(n=1,2, \cdots), ~ \lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \beta_{n}=x_{0}$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(\beta_{n}\right)-f\left(\alpha_{n}\right)}{\beta_{n}-\alpha_{n}}=f^{\prime}\left(x_{0}\right)$. ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 点可导，且满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(2 x)-f(x)}{x}=A$ ．求证：$\displaystyle f^{\prime}(0)=A$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 连续，并且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(3 x)-f(x)}{x}=A$ 。求证：$\displaystyle f^{\prime}(0)$ 存在，并且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{1}{2} A$ ．
（3）设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0, \lambda>1$ 且满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(x / \lambda)}{x}=0$ 。求证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ．
（4）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，且 $\displaystyle f(0)=0$ ．证明：若存在 $\displaystyle \alpha>0, \beta>0, \alpha>\beta$ ，使得 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}=c(c \in \mathbf{R}$ 为常数），则 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=0$ 的右导数存在．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=x_{0}$ 处可微，$\displaystyle \alpha_{n}<x_{0}<\beta_{n},(n=1,2, \cdots), ~ \lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \beta_{n}=x_{0}$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(\beta_{n}\right)-f\left(\alpha_{n}\right)}{\beta_{n}-\alpha_{n}}=f^{\prime}\left(x_{0}\right)$. ．
第6题求解题
6．设 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle a$ 的一个邻域内有定义，$\displaystyle f(a) \neq 0, f(x)$ 在点 $\displaystyle a$ 处可导，$\displaystyle n$ 为自然数．
（1）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right)^{n}, f(a)>0$ ．
（2）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f\left(a-\frac{1}{n}\right)}\right)^{n}, f(a)>0$.
（3）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a}\left(\frac{f(x)}{f(a)}\right)^{\frac{1}{x-a}}$ ．
（1）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right)^{n}, f(a)>0$ ．
（2）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f\left(a-\frac{1}{n}\right)}\right)^{n}, f(a)>0$.
（3）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a}\left(\frac{f(x)}{f(a)}\right)^{\frac{1}{x-a}}$ ．
第10题证明题
10．已知 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x=0, \\ \alpha x+x^{2} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0,\end{array}(\alpha>1)\right.$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ，且问 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域内是否单调？证明你的结论．
第11题讨论/判定题
11．求极限 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow x}\left(\frac{\sin t}{\sin x}\right)^{\frac{x}{\sin t-\sin x}}$ ，记此极限为 $\displaystyle f(x)$ ．（1）求函数 $\displaystyle f(x)$ 的间断点，并判别间断点类型；（2）讨论 $\displaystyle f(x)$ 的连续性，并说明是否可在 $\displaystyle x=0$ 处定义 $\displaystyle f(0)$ 的值，使得 $\displaystyle f(x)$ 在该点可导．
第11题证明题
11．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导。证明：（1）$\displaystyle \forall x_{0} \in(a, b), f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处不可能发生第一类间断点； （2）$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内单调时，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 必在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续。湖南师大2012，南航2013，西安交大2005，2003，西安电子科技 2004 湖北大学 2005 ，山东大学 2003 ，北航 2004 ，江苏大学 2009 ，扬州大学 2010 ，北京师 大 2009 ，聊城大学 2012，太原理工 2006，武汉大学）
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内处处有导数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 。证明：$\displaystyle (a, b)$ 中的点或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的连续点，或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的第二类间断点．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导。证明：（1）$\displaystyle \forall x_{0} \in(a, b), f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处不可能发生第一类间断点； （2）$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内单调时，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 必在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续。湖南师大2012，南航2013，西安交大2005，2003，西安电子科技 2004 湖北大学 2005 ，山东大学 2003 ，北航 2004 ，江苏大学 2009 ，扬州大学 2010 ，北京师 大 2009 ，聊城大学 2012，太原理工 2006，武汉大学）
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内处处有导数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 。证明：$\displaystyle (a, b)$ 中的点或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的连续点，或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的第二类间断点．
第12题讨论/判定题
12．讨论下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处的可导性．
（1）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x, x \text { 为无理数，} \\ x, x \text { 为有理数．}\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}, x \text { 为无理数，} \\ x^{2}, x \text { 为有理数．}\end{array}(\right.$ 华南理工 2010, 燕山大学 2010）
（1）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x, x \text { 为无理数，} \\ x, x \text { 为有理数．}\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}, x \text { 为无理数，} \\ x^{2}, x \text { 为有理数．}\end{array}(\right.$ 华南理工 2010, 燕山大学 2010）
第12题未分类
12．确定 $\displaystyle A$ 最小正数，使不等式成立： $\displaystyle \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \leqslant A\left(x^{2}+y^{2}\right), \forall x>0, y>0$ 。
第13题证明题
13．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, x \text { 为有理数，} \\ x^{2}+x, x \text { 为无理数，}\end{array}\right.$（1）证明：若 $\displaystyle x \neq 0$, 则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x$ 处不连续；（2）计算 $\displaystyle f^{\prime}(0)$.
第13题证明题
13．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{\tan x_{2}}{x_{2}}>\frac{\tan x_{1}}{x_{1}}, x_{2}>x_{1}>0$ 。
（2）$\displaystyle \frac{\sin x_{1}}{\sin x_{2}}>\frac{x_{1}}{x_{2}}, \pi>x_{2}>x_{1}>0$ 。
（3）$\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{a}-\mathrm{e}^{b}}{a-b}<\frac{\mathrm{e}^{a}+\mathrm{e}^{b}}{2},(a \neq b)$.
（4）$\displaystyle \frac{2}{a+b}<\frac{\ln a-\ln b}{a-b}<\frac{1}{\sqrt{a b}}, a, b>0, a \neq b$ ．
（5）对 $\displaystyle \forall a, b \in \mathbf{R}, \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \leqslant \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|}$ 。
（6）$\displaystyle \frac{\sin (\alpha+\beta)}{1+\sin (\alpha+\beta)} \leqslant \frac{\sin \alpha}{1+\sin \alpha}+\frac{\sin \beta}{1+\sin \beta}, \alpha, \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（1）$\displaystyle \frac{\tan x_{2}}{x_{2}}>\frac{\tan x_{1}}{x_{1}}, x_{2}>x_{1}>0$ 。
（2）$\displaystyle \frac{\sin x_{1}}{\sin x_{2}}>\frac{x_{1}}{x_{2}}, \pi>x_{2}>x_{1}>0$ 。
（3）$\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{a}-\mathrm{e}^{b}}{a-b}<\frac{\mathrm{e}^{a}+\mathrm{e}^{b}}{2},(a \neq b)$.
（4）$\displaystyle \frac{2}{a+b}<\frac{\ln a-\ln b}{a-b}<\frac{1}{\sqrt{a b}}, a, b>0, a \neq b$ ．
（5）对 $\displaystyle \forall a, b \in \mathbf{R}, \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \leqslant \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|}$ 。
（6）$\displaystyle \frac{\sin (\alpha+\beta)}{1+\sin (\alpha+\beta)} \leqslant \frac{\sin \alpha}{1+\sin \alpha}+\frac{\sin \beta}{1+\sin \beta}, \alpha, \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
第14题讨论/判定题
14．设 $\displaystyle D(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \in \mathbf{Q}, \\ 0, x \in \mathbf{R}-\mathbf{Q},\end{array}\right.$（ $\displaystyle \mathbf{Q}$ 为有理数集）．讨论下列函数的可微性．
（1）$\displaystyle f(x)=x^{\alpha} D(x),(\alpha>1)$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=(x-1)^{2} D(x)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} D(x) \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=x^{\alpha} D(x),(\alpha>1)$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=(x-1)^{2} D(x)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} D(x) \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
第14题证明题
14．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{a-b}{a}<\ln \frac{a}{b}<\frac{a-b}{b}, 0<b<a$ ．
（2）$\displaystyle \frac{b-a}{b^{2}+1}<\arctan b-\arctan a<\frac{b-a}{a^{2}+1}, 0<a<b$ ．
（3） $\displaystyle \ln ^{2} b-\ln ^{2} a>\frac{4}{\mathrm{e}^{2}}(b-a), \mathrm{e}<a<b<\mathrm{e}^{2}$ 。
（1）$\displaystyle \frac{a-b}{a}<\ln \frac{a}{b}<\frac{a-b}{b}, 0<b<a$ ．
（2）$\displaystyle \frac{b-a}{b^{2}+1}<\arctan b-\arctan a<\frac{b-a}{a^{2}+1}, 0<a<b$ ．
（3） $\displaystyle \ln ^{2} b-\ln ^{2} a>\frac{4}{\mathrm{e}^{2}}(b-a), \mathrm{e}<a<b<\mathrm{e}^{2}$ 。
第15题讨论/判定题
15．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{\alpha} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 试讨论 $\displaystyle \alpha$ 的取值范围，使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续、可微及 $\displaystyle f^{\prime}(x)$的连续性．
第15题证明题
15．证明下列命题．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在有限区域 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，但无界，则其导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内必无界．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在有限区域 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，并且 $\displaystyle f(x)$ 的导数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内有界．证明 $\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle (a, b)$ 内有界．
（3）构造一个在闭区间 $\displaystyle [-1,1]$ 处处可微的函数使得它的导数在 $\displaystyle [-1,1]$ 上无界．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在有限区域 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，但无界，则其导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内必无界．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在有限区域 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，并且 $\displaystyle f(x)$ 的导数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内有界．证明 $\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle (a, b)$ 内有界．
（3）构造一个在闭区间 $\displaystyle [-1,1]$ 处处可微的函数使得它的导数在 $\displaystyle [-1,1]$ 上无界．
第15题证明题
15．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \left|\mathrm{e}^{t}-1-t\right| \leqslant t^{2},|t| \leqslant 1$ ．
（2） $\displaystyle 2^{x} \geqslant 1+x^{2}, x \in[0,1]$ ．
（3） $\displaystyle \mathrm{e}^{x}-1>(1+x) \ln (1+x), x>0$ ．
（4）设 $\displaystyle p$ 为常数，$\displaystyle p>\ln 2-1$ ．证明：当 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 时，不等式 $\displaystyle x^{2}-2 p x+1<\mathrm{e}^{x}$ 成立．
（5）设常数 $\displaystyle p>\mathrm{e}$ 。证明：当 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 时不等式 $\displaystyle p \mathrm{e}^{-x}+x^{2}-x>1$ 成立．
（1）$\displaystyle \left|\mathrm{e}^{t}-1-t\right| \leqslant t^{2},|t| \leqslant 1$ ．
（2） $\displaystyle 2^{x} \geqslant 1+x^{2}, x \in[0,1]$ ．
（3） $\displaystyle \mathrm{e}^{x}-1>(1+x) \ln (1+x), x>0$ ．
（4）设 $\displaystyle p$ 为常数，$\displaystyle p>\ln 2-1$ ．证明：当 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 时，不等式 $\displaystyle x^{2}-2 p x+1<\mathrm{e}^{x}$ 成立．
（5）设常数 $\displaystyle p>\mathrm{e}$ 。证明：当 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 时不等式 $\displaystyle p \mathrm{e}^{-x}+x^{2}-x>1$ 成立．
第16题讨论/判定题
16．设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{p} \arctan \frac{1}{x^{2}}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的连续性、可微性及导函数的连续性，并在可导时求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ 。
第16题求解题
16．已知不等式 $\displaystyle A \mathrm{e}^{-x}+x^{2}-x \geqslant 1$ 对一切 $\displaystyle x \in(1,+\infty)$ 成立，求常数 $\displaystyle A$ 的取值范围．
第17题求解题
17．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}g(x) \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 且 $\displaystyle g(0)=g^{\prime}(0)=0$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
第17题证明题
17．证明下列不等式．
（1）设 $\displaystyle p>1, q>1, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ 。证明：$\displaystyle x^{\frac{1}{p}} \leqslant \frac{1}{p} x+\frac{1}{q},(\forall x>0)$ ，并证明当且仅当 $\displaystyle x=1$ 时等式成立．
（2）设 $\displaystyle p>1, q>1, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ，证明：对 $\displaystyle \forall x>0, \frac{1}{p} x^{p}+\frac{1}{q} \geqslant x$ 。
（3）证明：对 $\displaystyle \forall x>0,0<p<1, x^{p}-p x \leqslant 1-p$ ．
（1）设 $\displaystyle p>1, q>1, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ 。证明：$\displaystyle x^{\frac{1}{p}} \leqslant \frac{1}{p} x+\frac{1}{q},(\forall x>0)$ ，并证明当且仅当 $\displaystyle x=1$ 时等式成立．
（2）设 $\displaystyle p>1, q>1, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ，证明：对 $\displaystyle \forall x>0, \frac{1}{p} x^{p}+\frac{1}{q} \geqslant x$ 。
（3）证明：对 $\displaystyle \forall x>0,0<p<1, x^{p}-p x \leqslant 1-p$ ．
第18题证明题
18．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)$ 存在，定义 $\displaystyle x_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(\frac{1}{n^{2}}\right)+f\left(\frac{2}{n^{2}}\right)+\cdots+f\left(\frac{n}{n^{2}}\right)\right)$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2} f^{\prime}(0)$ ，
并求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{a}{n^{2}}+\sin \frac{2 a}{n^{2}}+\cdots+\sin \frac{n a}{n^{2}}\right) .(a=\pi$ ：四川大学 $\displaystyle 2005, a=1$ ：江西师大 2012）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \sin \left(\frac{2 k-1}{n^{2}} a\right)$ ，其中 $\displaystyle a>0$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right) \sin \frac{\pi}{n^{2}}+\left(1+\frac{2}{n}\right) \sin \frac{2 \pi}{n^{2}}+\cdots+\left(1+\frac{n-1}{n}\right) \sin \frac{(n-1) \pi}{n^{2}}\right]$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1} f\left(\frac{k}{n}\right)=0$ ．
（3）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(n^{2}+1\right)\left(n^{2}+2\right) \cdots\left(n^{2}+n\right)}{\left(n^{2}-1\right)\left(n^{2}-2\right) \cdots\left(n^{2}-n\right)}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)$ 存在，定义 $\displaystyle x_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(\frac{1}{n^{2}}\right)+f\left(\frac{2}{n^{2}}\right)+\cdots+f\left(\frac{n}{n^{2}}\right)\right)$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2} f^{\prime}(0)$ ，
并求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{a}{n^{2}}+\sin \frac{2 a}{n^{2}}+\cdots+\sin \frac{n a}{n^{2}}\right) .(a=\pi$ ：四川大学 $\displaystyle 2005, a=1$ ：江西师大 2012）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \sin \left(\frac{2 k-1}{n^{2}} a\right)$ ，其中 $\displaystyle a>0$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right) \sin \frac{\pi}{n^{2}}+\left(1+\frac{2}{n}\right) \sin \frac{2 \pi}{n^{2}}+\cdots+\left(1+\frac{n-1}{n}\right) \sin \frac{(n-1) \pi}{n^{2}}\right]$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1} f\left(\frac{k}{n}\right)=0$ ．
（3）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(n^{2}+1\right)\left(n^{2}+2\right) \cdots\left(n^{2}+n\right)}{\left(n^{2}-1\right)\left(n^{2}-2\right) \cdots\left(n^{2}-n\right)}$ ．
第18题未分类
18．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微。试证：$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致可微，即 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $\displaystyle 0<|h|<\delta$ 时，有 $\displaystyle \left|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f^{\prime}(x)\right|<\varepsilon$ 对一切 $\displaystyle x \in[a, b]$ 成立．
第18题求解题
18．设 $\displaystyle g(x) \in C^{2}(-\infty,+\infty), g(0)=1$ ．令函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{g(x)-\cos x}{x}, x \neq 0, \\ a, x=0,\end{array}\right.$（1）确定 $\displaystyle a$ 的值，使 $\displaystyle f(x)$在点 $\displaystyle x=0$ 连续；（2）求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ；（3）讨论 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在点 $\displaystyle x=0$ 处的连续性。电子科技 2013，哈工大，南京大学 2001，延安大学 2006 ，郑州大学 2002 ，南京师大 2000 ，武汉科技 2005 ，陕西师大 2000 ）
第18题证明题
18．证明不等式 $\displaystyle \frac{1}{2^{p-1}} \leqslant x^{p}+(1-x)^{p} \leqslant 1,0 \leqslant x \leqslant 1, p \geqslant 1$ ．
第19题未分类
19．设 $\displaystyle g(x)$ 有二阶连续导数，且 $\displaystyle g(0)+g^{\prime}(0)=0$ ．若 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{g(x)-e^{-x}}{x}, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ 连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 R 可导且导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 连续．
第19题证明题
19．证明下列不等式：
（1）证明：（1）$\displaystyle x^{n}(1-x)<\frac{1}{n \mathrm{e}},\left(0<x<1, n \in \mathbf{N}^{+}\right)$；（2）$\displaystyle x^{y}+y^{x}>1,(x, y>0)$ 。
（2）证明：$\displaystyle y x^{y}(1-x)<\frac{1}{\mathrm{e}},(0<x<1,0<y<+\infty)$ ．
（1）证明：（1）$\displaystyle x^{n}(1-x)<\frac{1}{n \mathrm{e}},\left(0<x<1, n \in \mathbf{N}^{+}\right)$；（2）$\displaystyle x^{y}+y^{x}>1,(x, y>0)$ 。
（2）证明：$\displaystyle y x^{y}(1-x)<\frac{1}{\mathrm{e}},(0<x<1,0<y<+\infty)$ ．
第19题证明题
19．证明下列结论．
（1）已知 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的有界变差函数，求证：$\displaystyle a_{n}, b_{n}=O\left(\frac{1}{n}\right)$ ，其中 $\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 连续且满足 $\displaystyle f(-\pi)=f(\pi), f(x)$ 有分段连续的导函数，则 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数满足：$\displaystyle a_{n}=O\left(\frac{1}{n}\right), b_{n}=O\left(\frac{1}{n}\right)$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (-\infty, \infty)$ 上以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的有 $\displaystyle k$ 阶导数的函数，则 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数满足： $\displaystyle a_{n}=O\left(\frac{1}{n^{k}}\right), b_{n}=O\left(\frac{1}{n^{k}}\right)$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上有连续的一阶导数，$\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的傅里叶系数，证明：存在常数 $\displaystyle M>0$ ，使得 $\displaystyle \left|a_{n}\right| \leqslant \frac{M}{n},\left|b_{n}\right| \leqslant \frac{M}{n}(n \geqslant 1)$ ．
（1）已知 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的有界变差函数，求证：$\displaystyle a_{n}, b_{n}=O\left(\frac{1}{n}\right)$ ，其中 $\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 连续且满足 $\displaystyle f(-\pi)=f(\pi), f(x)$ 有分段连续的导函数，则 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数满足：$\displaystyle a_{n}=O\left(\frac{1}{n}\right), b_{n}=O\left(\frac{1}{n}\right)$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (-\infty, \infty)$ 上以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的有 $\displaystyle k$ 阶导数的函数，则 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数满足： $\displaystyle a_{n}=O\left(\frac{1}{n^{k}}\right), b_{n}=O\left(\frac{1}{n^{k}}\right)$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上有连续的一阶导数，$\displaystyle a_{n}, b_{n}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的傅里叶系数，证明：存在常数 $\displaystyle M>0$ ，使得 $\displaystyle \left|a_{n}\right| \leqslant \frac{M}{n},\left|b_{n}\right| \leqslant \frac{M}{n}(n \geqslant 1)$ ．
第20题未分类
20．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 有二阶连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0$ ．证 $\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{f(x)}{x}, x \neq 0 \\ f^{\prime}(0), x=0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内有连续的导数．
第20题未分类
20．设 $\displaystyle 0<x<y<\pi$ ，试证：$\displaystyle y \sin y+2 \cos y+\pi y>x \sin x+2 \cos x+\pi x$ 。
第21题求解题
21．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{g(x)}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 且 $\displaystyle g(0)=g^{\prime}(0)=0, g^{\prime \prime}(0)=a$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(0) .(a=3$ ：燕山大学 2013，聊城大学 2007，湖北大学 2007，深圳大学 2004，北京工大 2006，上海理工 2005；$\displaystyle a=2$ ：三峡大学 2010）
第21题证明题
21．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上二次可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ ．证明：对任意两点 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in(a, b)$ 及任意正数 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}=1\right)$ 有不等式 $\displaystyle f\left(\lambda_{1} x_{1}+\lambda_{2} x_{2}\right)<\lambda_{1} f\left(x_{1}\right)+\lambda_{2} f\left(x_{2}\right)$ ，并说明其几何意义。重庆大学 2001，东北师大 2000 ，北京工大 2010 ，天津大学，映西师大，西安电子科技 2002，合肥工大，广西大学，东南大学；$\displaystyle \lambda_{1}=\lambda_{2}=2^{-1}$ ：山东大学 2002，重庆大学 2005，昆明理工 2007／2012）
第21题证明题
21．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b+1)$ 上有连续导数 $\displaystyle (a<b)$ ，令 $\displaystyle f_{n}(x)=n\left(f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right)$ ， $\displaystyle x \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ．证明：（1）函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上内闭一致收敛于 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ；（2）对任何 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset(a, b)$ 有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{\alpha}^{\beta} f_{n}(x) \mathrm{d} x=f(\beta)-f(\alpha)$ ．
（2）设 $\displaystyle f \in C^{\prime}(I), I$ 是有界闭区间，$\displaystyle F_{n}(x)=n\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right]$ ．证明：函数列 $\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle I$ 上一致收敛．如果 $\displaystyle I$ 是有界开区间，问 $\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle I$ 上是否仍然一致收敛？说明理由．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有连续导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，且 $\displaystyle f_{n}(x)=\mathrm{e}^{n}\left(f\left(x+\mathrm{e}^{-n}\right)-f(x)\right)$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ ．证明：函数 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在任一有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 内一致收敛于 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有连续导函数，定义 $\displaystyle F_{n}(x)=\frac{n}{2}\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f\left(x-\frac{1}{n}\right)\right] x \in[a, b]$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ ．证明：函数列 $\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上处处收敛且内闭一致收敛．
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, M+1]$ 上连续，记 $\displaystyle f_{n}(x)=n\left(\int_{0}^{x+\frac{1}{n}} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right) x \in[0, M]$ ．证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0, M]$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，定义 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{n}{2} \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} f(x+t) \mathrm{d} t, n=1,2, \cdots, x \in[a, b]$ ， $\displaystyle n=1,2 \cdots$ ．证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在任何闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．
分析：从形式看，函数列均为差商的形式，其极限函数与导数有关．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b+1)$ 上有连续导数 $\displaystyle (a<b)$ ，令 $\displaystyle f_{n}(x)=n\left(f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right)$ ， $\displaystyle x \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ．证明：（1）函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上内闭一致收敛于 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ；（2）对任何 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset(a, b)$ 有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{\alpha}^{\beta} f_{n}(x) \mathrm{d} x=f(\beta)-f(\alpha)$ ．
（2）设 $\displaystyle f \in C^{\prime}(I), I$ 是有界闭区间，$\displaystyle F_{n}(x)=n\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right]$ ．证明：函数列 $\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle I$ 上一致收敛．如果 $\displaystyle I$ 是有界开区间，问 $\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle I$ 上是否仍然一致收敛？说明理由．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有连续导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，且 $\displaystyle f_{n}(x)=\mathrm{e}^{n}\left(f\left(x+\mathrm{e}^{-n}\right)-f(x)\right)$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ ．证明：函数 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在任一有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 内一致收敛于 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有连续导函数，定义 $\displaystyle F_{n}(x)=\frac{n}{2}\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f\left(x-\frac{1}{n}\right)\right] x \in[a, b]$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ ．证明：函数列 $\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上处处收敛且内闭一致收敛．
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, M+1]$ 上连续，记 $\displaystyle f_{n}(x)=n\left(\int_{0}^{x+\frac{1}{n}} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right) x \in[0, M]$ ．证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0, M]$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，定义 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{n}{2} \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} f(x+t) \mathrm{d} t, n=1,2, \cdots, x \in[a, b]$ ， $\displaystyle n=1,2 \cdots$ ．证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在任何闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．
分析：从形式看，函数列均为差商的形式，其极限函数与导数有关．
第22题证明题
22．如果 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域内连续，$\displaystyle f(0)=0$ 且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1-\cos x}=2$ ．（1）求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ；（2）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}$ ；（3）证明：$\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=0$ 处取得极小值．
第22题证明题
22．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上二次可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ ．证明：
（1）对 $\displaystyle \forall x, x_{0} \in[a, b], f(x) \geqslant f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)$ ；
（2）对任意点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$ 及 $\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{n}=1, k_{i}>0, i=1,2, \cdots, n$ 有
$$
f\left(\sum_{i=1}^{n} k_{i} x_{i}\right)<\sum_{i=1}^{n} k_{i} f\left(x_{i}\right) \text {. }
$$
（3）对任意点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$ 有不等式 $\displaystyle f\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} x_{k}\right) \leqslant \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right)$ 。（四川大学 2002，北京工大 2010，南京信息工程大学2006，中南大学2010（ $\displaystyle n=3)$ ）
（1）对 $\displaystyle \forall x, x_{0} \in[a, b], f(x) \geqslant f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)$ ；
（2）对任意点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$ 及 $\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{n}=1, k_{i}>0, i=1,2, \cdots, n$ 有
$$
f\left(\sum_{i=1}^{n} k_{i} x_{i}\right)<\sum_{i=1}^{n} k_{i} f\left(x_{i}\right) \text {. }
$$
（3）对任意点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$ 有不等式 $\displaystyle f\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} x_{k}\right) \leqslant \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right)$ 。（四川大学 2002，北京工大 2010，南京信息工程大学2006，中南大学2010（ $\displaystyle n=3)$ ）
第23题证明题
23．求下列导数。
（1）设 $\displaystyle f(x) \in C(-\infty,+\infty)$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)}{x-2}=2$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=2$ 处可导，并求 $\displaystyle f^{\prime}(2)$ ．
（2）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=2$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)}{x-2}=1$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=2$ 处可导．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle (-1,1)$ 上的奇函数，$\displaystyle f^{\prime}(0)=2$ ．求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}-1}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x) \in C(-\infty,+\infty)$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)}{x-2}=2$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=2$ 处可导，并求 $\displaystyle f^{\prime}(2)$ ．
（2）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=2$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)}{x-2}=1$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=2$ 处可导．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle (-1,1)$ 上的奇函数，$\displaystyle f^{\prime}(0)=2$ ．求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}-1}$ ．
第24题证明题
24．若函数 $\displaystyle F(x)$ 在区间 $\displaystyle (a, b)$ 上恒有 $\displaystyle F^{\prime \prime}(x)>0, p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n}$ 为 $\displaystyle n$ 个正数．证明：对任意 $\displaystyle n$ 个数 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in(a, b)$ 有不等式 $\displaystyle F\left(\frac{p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2}+\cdots+p_{n} x_{n}}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}\right) \leqslant \frac{p_{1} F\left(x_{1}\right)+p_{2} F\left(x_{2}\right)+\cdots+p_{n} F\left(x_{n}\right)}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}$ 。}
第26题计算题
26．求下列极限．
（1）已知 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ 存在，求极限： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{f(x)}$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f^{\prime \prime}(0)=4$ 。求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域内有连续的一阶导数，$\displaystyle f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=0$ ．试求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{3}}$ ．
（4）设非负连续函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)$ 存在。求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{1+f(x)}-1}{x}$ ．（浙江工商 2014）
（1）已知 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ 存在，求极限： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{f(x)}$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f^{\prime \prime}(0)=4$ 。求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域内有连续的一阶导数，$\displaystyle f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=0$ ．试求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{3}}$ ．
（4）设非负连续函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)$ 存在。求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{1+f(x)}-1}{x}$ ．（浙江工商 2014）
第26题证明题
26．证明下列结论．
（1）假定在某个区间 $\displaystyle I$ 上，函数 $\displaystyle f(x)$ 满足条件：存在常数 $\displaystyle l>0$ 和 $\displaystyle \alpha>0$ 使得
$$
|f(x)-f(y)| \leqslant l|x-y|^{\alpha},(\forall x, y \in I)
$$
（1）假定在某个区间 $\displaystyle I$ 上，函数 $\displaystyle f(x)$ 满足条件：存在常数 $\displaystyle l>0$ 和 $\displaystyle \alpha>0$ 使得
$$
|f(x)-f(y)| \leqslant l|x-y|^{\alpha},(\forall x, y \in I)
$$
第27题讨论/判定题
27．求解下列各题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 连续，$\displaystyle \varphi(x)=\int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=A$（常数），求 $\displaystyle \varphi^{\prime}(x)$ ，并讨论 $\displaystyle \varphi^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的连续性．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为实轴上的连续函数，在原点处可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=5$ 。求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t$ ．
（3）设 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可导，$\displaystyle a \varphi(x)=\int_{0}^{1} \varphi(x t) \mathrm{d} t$ ，（ $\displaystyle a$ 为非零常数）．求 $\displaystyle \varphi(x)$ 的表达式．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-\tan x}{x}=1$ ，又 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t$ ．求 $\displaystyle F^{\prime}(x)$ ，并讨论 $\displaystyle F^{\prime}(x)$ 的连续性．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-\sin x}{x}=1$ ，又 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t$ ．求 $\displaystyle F^{\prime}(x)$ ，并证明 $\displaystyle F^{\prime}(x)$在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续性．
（6）设 $\displaystyle g(x)$ 连续，$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{\sin x} g\left(x^{2} t\right) \mathrm{d} t$ ．求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，并讨论 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的连续性．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 连续，$\displaystyle \varphi(x)=\int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=A$（常数），求 $\displaystyle \varphi^{\prime}(x)$ ，并讨论 $\displaystyle \varphi^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的连续性．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为实轴上的连续函数，在原点处可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=5$ 。求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t$ ．
（3）设 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可导，$\displaystyle a \varphi(x)=\int_{0}^{1} \varphi(x t) \mathrm{d} t$ ，（ $\displaystyle a$ 为非零常数）．求 $\displaystyle \varphi(x)$ 的表达式．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-\tan x}{x}=1$ ，又 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t$ ．求 $\displaystyle F^{\prime}(x)$ ，并讨论 $\displaystyle F^{\prime}(x)$ 的连续性．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-\sin x}{x}=1$ ，又 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t$ ．求 $\displaystyle F^{\prime}(x)$ ，并证明 $\displaystyle F^{\prime}(x)$在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续性．
（6）设 $\displaystyle g(x)$ 连续，$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{\sin x} g\left(x^{2} t\right) \mathrm{d} t$ ．求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，并讨论 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的连续性．
第27题证明题
27．设 $\displaystyle a>0, b>0$ ，证明不等式 $\displaystyle \frac{a^{3}}{x^{2}}+\frac{b^{3}}{(1-x)^{2}} \geqslant(a+b)^{3},(0<x<1)$ ．
第28题证明题
28．证明下列结论．
（1）设 函 数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导，$\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)>1$ 。证明：存 在 $\displaystyle \delta>0$ 使 得 $\displaystyle f(x)>x, x \in(0, \delta)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上二次可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$ ，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ 。试证明：$\displaystyle f(x) \geqslant x, \forall x \in \mathbf{R}$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 二阶连续可微，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1, f^{\prime \prime}(x)<0, \forall x \in[0,1]$ ．证明 $\displaystyle f(x) \geqslant x, \forall x \in[0,1]$ ．
（1）设 函 数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导，$\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)>1$ 。证明：存 在 $\displaystyle \delta>0$ 使 得 $\displaystyle f(x)>x, x \in(0, \delta)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上二次可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$ ，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ 。试证明：$\displaystyle f(x) \geqslant x, \forall x \in \mathbf{R}$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 二阶连续可微，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1, f^{\prime \prime}(x)<0, \forall x \in[0,1]$ ．证明 $\displaystyle f(x) \geqslant x, \forall x \in[0,1]$ ．
第29题证明题
29．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle f^{\prime}(x)>g^{\prime}(x), x \in(a, b), f(a)>g(a)$ ．证明：$\displaystyle f(x)>g(x), x \in[a, b]$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都 是 可 微 函 数，且 当 $\displaystyle x \geqslant a$ 时，$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant g^{\prime}(x)$ 。则 当 $\displaystyle x \geqslant a$ 时， $\displaystyle |f(x)-f(a)| \leqslant g(x)-g(a)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle f^{\prime}(x)>g^{\prime}(x), x \in(a, b), f(a)>g(a)$ ．证明：$\displaystyle f(x)>g(x), x \in[a, b]$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都 是 可 微 函 数，且 当 $\displaystyle x \geqslant a$ 时，$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant g^{\prime}(x)$ 。则 当 $\displaystyle x \geqslant a$ 时， $\displaystyle |f(x)-f(a)| \leqslant g(x)-g(a)$ ．
第30题证明题
30．设在 $\displaystyle [a, b]$ 上，$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \geqslant\left|g^{\prime}(x)\right|, f^{\prime}(x) \neq 0$ ．证明：
（1）$\displaystyle |\Delta f(x)| \geqslant|\Delta g(x)|$ ，且在 $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, x\right)$ 上 $\displaystyle |\Delta \arctan x| \leqslant \Delta \ln \left(1+x^{2}\right)$ ；
（2）在 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 1\right] \mathrm{t} \arctan x-\ln \left(1+x^{2}\right) \geqslant \frac{\pi}{4}-\ln 2$ ．
（1）$\displaystyle |\Delta f(x)| \geqslant|\Delta g(x)|$ ，且在 $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, x\right)$ 上 $\displaystyle |\Delta \arctan x| \leqslant \Delta \ln \left(1+x^{2}\right)$ ；
（2）在 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 1\right] \mathrm{t} \arctan x-\ln \left(1+x^{2}\right) \geqslant \frac{\pi}{4}-\ln 2$ ．
第32题证明题
32．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\ln x$ ，证明：（1）在 $\displaystyle (0,1)$ 及 $\displaystyle (0,+\infty)$ 非一致连续；（2）在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 一致连续
（2）证明：函数 $\displaystyle f(x)=x \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续。武汉大学1992，首都师大2010）
（3）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x} \ln x$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle \alpha>0$ ，试确定函数 $\displaystyle f(x)=x^{\alpha} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续的参数 $\displaystyle \alpha$ 的范围．
（5）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续。安徽大学 2009）
（6）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\ln x$ ，证明：（1）在 $\displaystyle (0,1)$ 及 $\displaystyle (0,+\infty)$ 非一致连续；（2）在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 一致连续
（2）证明：函数 $\displaystyle f(x)=x \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续。武汉大学1992，首都师大2010）
（3）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x} \ln x$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle \alpha>0$ ，试确定函数 $\displaystyle f(x)=x^{\alpha} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续的参数 $\displaystyle \alpha$ 的范围．
（5）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续。安徽大学 2009）
（6）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x} \ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续．
第32题证明题
32．证明：函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle x=0$ 处 $\displaystyle f^{(n)}(0)=0, n=1,2,3 \cdots$
第36题证明题
36．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内定义，对所有的 $\displaystyle x, y$ ，有 $\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)$ ．证明：（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，且 $\displaystyle f(x)=f(1) x$ ；（2）若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin x}=1$ ，试求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，且对任意 $\displaystyle x, y \in \mathbf{R}$ 有 $\displaystyle f(x+y)=f(x) f(y)$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上可微．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有定义，且对任意 $\displaystyle x, y \in(0,+\infty)$ 都有 $\displaystyle f(x y)=f(x)+f(y)$ 。证明：
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 点处连续，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续；
（2）若 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ 存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可导，并求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．（四川大学 2002 ，西南大学 2002 ，湖南大学
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内定义，对所有的 $\displaystyle x, y$ ，有 $\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)$ ．证明：（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，且 $\displaystyle f(x)=f(1) x$ ；（2）若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin x}=1$ ，试求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，且对任意 $\displaystyle x, y \in \mathbf{R}$ 有 $\displaystyle f(x+y)=f(x) f(y)$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上可微．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有定义，且对任意 $\displaystyle x, y \in(0,+\infty)$ 都有 $\displaystyle f(x y)=f(x)+f(y)$ 。证明：
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 点处连续，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续；
（2）若 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ 存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可导，并求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．（四川大学 2002 ，西南大学 2002 ，湖南大学
第37题证明题
37．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 是实轴上的可微函数，对所有 $\displaystyle \forall x, y \in \mathbf{R}$ ，满足 $\displaystyle f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x) f(y)}$ ，并且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=1$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的表达式。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有定义，已知 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ 存在，且 $\displaystyle \forall x, y \in(0,+\infty)$ ，成立 $\displaystyle f(x y)=y f(x)+x f(y)$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内处处可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{f(x)}{x}+f^{\prime}(1)$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)+2 x y, \forall x, y \in \mathbf{R}$ ，并且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导，（1）试求函数 $\displaystyle f(x)$ 的表达式；（2）求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 连续，$\displaystyle f^{\prime}(0)$ 存在，并且满足：$\displaystyle f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-4 f(x) f(y)}, \forall x, y \in \mathbf{R}$ ．（1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上可微；（2）若 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 。
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 为定义在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的已知可导函数，而且对任意实数 $\displaystyle a, b$ 均满足 $\displaystyle f(a+b)=\mathrm{e}^{a} f(b)+\mathrm{e}^{b} f(a)$ ．又已知 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\mathrm{e}$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的表达式（不必求出 $\displaystyle f(x)$ 的表达式）．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 是实轴上的可微函数，对所有 $\displaystyle \forall x, y \in \mathbf{R}$ ，满足 $\displaystyle f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x) f(y)}$ ，并且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=1$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的表达式。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有定义，已知 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ 存在，且 $\displaystyle \forall x, y \in(0,+\infty)$ ，成立 $\displaystyle f(x y)=y f(x)+x f(y)$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内处处可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{f(x)}{x}+f^{\prime}(1)$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)+2 x y, \forall x, y \in \mathbf{R}$ ，并且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导，（1）试求函数 $\displaystyle f(x)$ 的表达式；（2）求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 连续，$\displaystyle f^{\prime}(0)$ 存在，并且满足：$\displaystyle f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-4 f(x) f(y)}, \forall x, y \in \mathbf{R}$ ．（1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上可微；（2）若 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 。
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 为定义在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的已知可导函数，而且对任意实数 $\displaystyle a, b$ 均满足 $\displaystyle f(a+b)=\mathrm{e}^{a} f(b)+\mathrm{e}^{b} f(a)$ ．又已知 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\mathrm{e}$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的表达式（不必求出 $\displaystyle f(x)$ 的表达式）．
第37题证明题
37．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且可导，且 $\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致有界，并且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 点收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．试证：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续；（2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．
（2）设可微函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上逐点收敛，且对任意 $\displaystyle x \in[a, b]$ 存在 $\displaystyle x$ 的邻域 $\displaystyle U(x)$ ，使得 $\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致有界，证明：（1）$\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致有界。（2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．
（3）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，存在 $\displaystyle \alpha \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leqslant|x-y|^{\alpha}$ ， $\displaystyle \forall x, y \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，且逐点有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=f(x)$ 。证明 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ 。
（4）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上满足李普希茨条件，即 $\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leqslant c_{n}|x-y|$ ，
$\displaystyle \forall x, y \in[a, b]$ ，其中 $\displaystyle c_{n}$ 为与 $\displaystyle x, y$ 无关的常数。证明：如果 $\displaystyle \left\{c_{n}\right\}$ 为有界数列，且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ 。
（5）设 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上满足条件：$\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leqslant k|x-y|, \forall x, y \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，且在 $\displaystyle [a, b]$上，$\displaystyle f_{n}(x)$ 收敛于 $\displaystyle f(x), n \rightarrow \infty$ 。证明 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ 。华东师大 2015 ，北京师大2000，哈工大2004，武汉大学1997）
（6）设函数列 $\displaystyle \left\{u_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，且 $\displaystyle \exists M>0$ ，对 $\displaystyle \forall n \in \mathrm{~N}^{+}$有 $\displaystyle \left|\sum_{k=1}^{n} u_{k}^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ 。证明：如果级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 收玫，则必一致收敛．
（7）设 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上满足条件：$\displaystyle \left|u_{n}(x)-u_{n}(y)\right| \leqslant \frac{1}{2^{n}}|x-y|, n=1,2, \cdots$ ，且在 $\displaystyle [a, b]$ 上 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$逐点收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛。
（8）设函数 $\displaystyle f_{n}(x), n=1,2, \cdots$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 可导，且 $\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上一致有界， $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致有界，试证函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有一致收敛的子列。华东师大 2015，厦门大学 2013，兰州大学 2011）
（1）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且可导，且 $\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致有界，并且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 点收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．试证：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续；（2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．
（2）设可微函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上逐点收敛，且对任意 $\displaystyle x \in[a, b]$ 存在 $\displaystyle x$ 的邻域 $\displaystyle U(x)$ ，使得 $\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致有界，证明：（1）$\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致有界。（2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．
（3）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，存在 $\displaystyle \alpha \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leqslant|x-y|^{\alpha}$ ， $\displaystyle \forall x, y \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，且逐点有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=f(x)$ 。证明 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ 。
（4）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上满足李普希茨条件，即 $\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leqslant c_{n}|x-y|$ ，
$\displaystyle \forall x, y \in[a, b]$ ，其中 $\displaystyle c_{n}$ 为与 $\displaystyle x, y$ 无关的常数。证明：如果 $\displaystyle \left\{c_{n}\right\}$ 为有界数列，且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ 。
（5）设 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上满足条件：$\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leqslant k|x-y|, \forall x, y \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，且在 $\displaystyle [a, b]$上，$\displaystyle f_{n}(x)$ 收敛于 $\displaystyle f(x), n \rightarrow \infty$ 。证明 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ 。华东师大 2015 ，北京师大2000，哈工大2004，武汉大学1997）
（6）设函数列 $\displaystyle \left\{u_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，且 $\displaystyle \exists M>0$ ，对 $\displaystyle \forall n \in \mathrm{~N}^{+}$有 $\displaystyle \left|\sum_{k=1}^{n} u_{k}^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ 。证明：如果级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 收玫，则必一致收敛．
（7）设 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上满足条件：$\displaystyle \left|u_{n}(x)-u_{n}(y)\right| \leqslant \frac{1}{2^{n}}|x-y|, n=1,2, \cdots$ ，且在 $\displaystyle [a, b]$ 上 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$逐点收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛。
（8）设函数 $\displaystyle f_{n}(x), n=1,2, \cdots$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 可导，且 $\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上一致有界， $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致有界，试证函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有一致收敛的子列。华东师大 2015，厦门大学 2013，兰州大学 2011）
第40题未分类
40．判断题．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right)=A, n$ 为自然数，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)=A$ 。
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right)=A, n$ 为自然数，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)=A$ 。
第50题未分类
50．设 $\displaystyle h(x), f_{n}^{\prime}(x), n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．又对 $\displaystyle [a, b]$ 中任意的 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 和正整数 $\displaystyle n$ 有
$$
\left|f_{n}\left(x_{1}\right)-f_{n}\left(x_{2}\right)\right| \leqslant \frac{M}{n}\left|x_{1}-x_{2}\right| \text {, 其中 } M>0 \text { 为常数. }
$$
求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} h(x) f_{n}^{\prime}(x) \mathrm{d} x=0$ ．
$$
\left|f_{n}\left(x_{1}\right)-f_{n}\left(x_{2}\right)\right| \leqslant \frac{M}{n}\left|x_{1}-x_{2}\right| \text {, 其中 } M>0 \text { 为常数. }
$$
求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} h(x) f_{n}^{\prime}(x) \mathrm{d} x=0$ ．
第52题证明题
52．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可微分两次，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \neq 0, \xi \in(a, b)$ ．证明在 $\displaystyle (a, b)$ 上可以找到两点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ ，使得 $\displaystyle \frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}=f^{\prime}(\xi)$ ．
第57题证明题
57．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 至多只有一个实根，则方程 $\displaystyle f(x)=0$ 最多只有两个实根．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(x)$ 的每个零点都是简单零点（即若 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=0$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ）．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上只有有限个零点．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 至多只有一个实根，则方程 $\displaystyle f(x)=0$ 最多只有两个实根．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(x)$ 的每个零点都是简单零点（即若 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=0$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ）．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上只有有限个零点．