导数的运算
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第18题证明题
18．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调增加，$\displaystyle f(x) \neq 0$ ．证明 $\displaystyle \frac{\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x} \leqslant \frac{\int_{0}^{1} x f^{3}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} x f^{2}(x) \mathrm{d} x}$ ．
（2）设 $\displaystyle p(x), f(x), g(x)$ 是区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，$\displaystyle f(x), g(x)$ 单调增加，$\displaystyle p(x)>0$ 。试证明：
$\displaystyle \int_{a}^{b} p(x) f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(x) g(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} p(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(x) f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 。南京农大2009，南京大学1992）
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调增加，$\displaystyle f(x) \neq 0$ ．证明 $\displaystyle \frac{\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x} \leqslant \frac{\int_{0}^{1} x f^{3}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} x f^{2}(x) \mathrm{d} x}$ ．
（2）设 $\displaystyle p(x), f(x), g(x)$ 是区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，$\displaystyle f(x), g(x)$ 单调增加，$\displaystyle p(x)>0$ 。试证明：
$\displaystyle \int_{a}^{b} p(x) f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(x) g(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} p(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(x) f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 。南京农大2009，南京大学1992）
第20题证明题
20．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, T]$ 二阶连续可导，$\displaystyle M=\max _{[0, T]} f(x), m=\min _{[0, T]} f(x)$ ．证明：
$$
M-m \leqslant T \int_{0}^{T}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x . \text {. }
$$
$$
M-m \leqslant T \int_{0}^{T}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x . \text {. }
$$
第22题证明题
22．证明下列命题．
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续，$\displaystyle |f(x)| \leqslant M$ ，又存在 $\displaystyle c \in(0,1)$ 使 $\displaystyle \int_{-c}^{c} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．求证：
$$
\left|\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant 2 M(1-c) .
$$
（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有连续的导数，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．求证：（1）$\displaystyle \forall x \in[0,1],\left|f(x)-f^{\prime}(x)\right| \geqslant\left(\mathrm{e}^{-x} f(x)\right)^{\prime}$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x \geqslant \frac{1}{\mathrm{e}}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有界且连续可微，满足 $\displaystyle f(x)+f^{\prime}(x) \leqslant 1, x \in \mathbf{R}$ ．试证：$\displaystyle |f(x)| \leqslant 1$ ．
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续，$\displaystyle |f(x)| \leqslant M$ ，又存在 $\displaystyle c \in(0,1)$ 使 $\displaystyle \int_{-c}^{c} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．求证：
$$
\left|\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant 2 M(1-c) .
$$
（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有连续的导数，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．求证：（1）$\displaystyle \forall x \in[0,1],\left|f(x)-f^{\prime}(x)\right| \geqslant\left(\mathrm{e}^{-x} f(x)\right)^{\prime}$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x \geqslant \frac{1}{\mathrm{e}}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有界且连续可微，满足 $\displaystyle f(x)+f^{\prime}(x) \leqslant 1, x \in \mathbf{R}$ ．试证：$\displaystyle |f(x)| \leqslant 1$ ．
第27题证明题
27．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在连续的二阶导数。证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant 9 \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
（2）对 $\displaystyle \forall \xi \in\left[0, \frac{1}{3}\right], \forall \eta \in\left[\frac{2}{3}, 1\right]$ ，求 证：（1）$\displaystyle \forall x \in[0,1], \sin x \leqslant 3|\cos \xi-\cos \eta|+\int_{0}^{1} \cos x \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle \mathrm{e}^{x}(\sin x+\cos x) \leqslant 9 \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x+2 \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \cos x \mathrm{~d} x$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在连续的二阶导数，$\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right|<\int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ ．记 $\displaystyle M_{1}=\max _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ， $\displaystyle M_{2}=\max _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．证明：$\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M_{1}}{2}(b-a)^{2}+\frac{M_{2}}{3}(b-a)^{3}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在连续的二阶导数。证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant 9 \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
（2）对 $\displaystyle \forall \xi \in\left[0, \frac{1}{3}\right], \forall \eta \in\left[\frac{2}{3}, 1\right]$ ，求 证：（1）$\displaystyle \forall x \in[0,1], \sin x \leqslant 3|\cos \xi-\cos \eta|+\int_{0}^{1} \cos x \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle \mathrm{e}^{x}(\sin x+\cos x) \leqslant 9 \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x+2 \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \cos x \mathrm{~d} x$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在连续的二阶导数，$\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right|<\int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ ．记 $\displaystyle M_{1}=\max _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ， $\displaystyle M_{2}=\max _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．证明：$\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M_{1}}{2}(b-a)^{2}+\frac{M_{2}}{3}(b-a)^{3}$ ．
第34题求解题
34．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，$\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ．求证：
（1）对任何 $\displaystyle x \in(0,1)$ 都有 $\displaystyle f^{2}(x) \leqslant \frac{1}{4} \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{1}{4} \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x ;$
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{1}{4} \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ 。四川大学 2006，南京大学 2008，地质大学 2007，北航 2005）
（1）对任何 $\displaystyle x \in(0,1)$ 都有 $\displaystyle f^{2}(x) \leqslant \frac{1}{4} \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{1}{4} \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x ;$
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{1}{4} \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ 。四川大学 2006，南京大学 2008，地质大学 2007，北航 2005）