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第2题证明题
2．证明零点存在定理的推广．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=A<0, \lim _{x \rightarrow b} f(x)=B>0$ ，则 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l>f(a), \forall \eta \in(f(a), l)$ ，证明：（1）$\displaystyle \exists c_{1} \in(a,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f\left(c_{1}\right)>\eta$ ；（2）$\displaystyle \exists c_{2} \in(a,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f\left(c_{2}\right)=\eta$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=A<0, \lim _{x \rightarrow b} f(x)=B>0$ ，则 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l>f(a), \forall \eta \in(f(a), l)$ ，证明：（1）$\displaystyle \exists c_{1} \in(a,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f\left(c_{1}\right)>\eta$ ；（2）$\displaystyle \exists c_{2} \in(a,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f\left(c_{2}\right)=\eta$ 。
第22题证明题
22．如果 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域内连续，$\displaystyle f(0)=0$ 且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1-\cos x}=2$ ．（1）求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ；（2）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}$ ；（3）证明：$\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=0$ 处取得极小值．
第25题证明题
25．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 连续，又设极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A \neq 0$ ．证明：无穷积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \sin x \mathrm{~d} x$ 发散．
第26题证明题
26．证明下列结论。
（1）设 $\displaystyle f^{\prime}(x) \neq 0, \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)=\alpha>0, f\left(x_{0}\right)<0$ ．试证 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0},+\infty\right)$ 内有且仅有一个零点．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上具有二阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0, \lim _{x \rightarrow-x} f^{\prime}(x)=\alpha<0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\beta>0$ ．又存在一点 $\displaystyle x_{0}$ ，使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)<0$ ．证明方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有且只有两个实根．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内有连续的一阶导数。试证：
（1）若 $\displaystyle \lim _{|x| \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\alpha>0$ ，则方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内至少有一个实根．
（2）若 $\displaystyle \lim _{|x| \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，则方程 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内至少有一个实根．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, a)$ 内可导。若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-x} f^{\prime}(x)=\beta<0, \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{x-a}=\alpha>0$ 。证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=+\infty$ ，且 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty, a)$ 内至少有一个零点．
（1）设 $\displaystyle f^{\prime}(x) \neq 0, \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)=\alpha>0, f\left(x_{0}\right)<0$ ．试证 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0},+\infty\right)$ 内有且仅有一个零点．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上具有二阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0, \lim _{x \rightarrow-x} f^{\prime}(x)=\alpha<0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\beta>0$ ．又存在一点 $\displaystyle x_{0}$ ，使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)<0$ ．证明方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有且只有两个实根．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内有连续的一阶导数。试证：
（1）若 $\displaystyle \lim _{|x| \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\alpha>0$ ，则方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内至少有一个实根．
（2）若 $\displaystyle \lim _{|x| \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，则方程 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内至少有一个实根．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, a)$ 内可导。若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-x} f^{\prime}(x)=\beta<0, \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{x-a}=\alpha>0$ 。证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=+\infty$ ，且 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty, a)$ 内至少有一个零点．
第30题证明题
30．设实数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} a_{n}=1, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=2$ 。证明：当 $\displaystyle n$ 充分大时，方程 $\displaystyle x^{8}+a_{n} x=b_{n}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有且有一个解 $\displaystyle x_{n}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$ ．
第33题证明题
33．用确界存在定理证明：如果 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle I$ 上的连续函数，则 $\displaystyle f(I)$ 是一个区间．
第33题证明题
33．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，并且导函数连续，证明：
$$
|f(x)| \leqslant|f(a)|+\sqrt{x-a} \sqrt{\int_{a}^{x}\left(f^{\prime}(t)\right)^{2} \mathrm{~d} t}, \forall x \in[a, b] \text {. }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ ．求证：$\displaystyle \forall x_{0} \in(a, b), \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t \geqslant \frac{f^{2}\left(x_{0}\right)}{x_{0}-a}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。证明： $\displaystyle \max _{x \in[a, b]}|f(x)| \leqslant \sqrt{b-a}\left(\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{2}}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。求证： $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ 。中科院 2006，湘潭大学 2004 ，地质大学 2006 ，北航 $\displaystyle 2007 ;[a, b]=[0,1]$ ：上海大学 2002 ，南京财大 2012）
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ ．求证：$\displaystyle \exists M>0$ 使 $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant M \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 一阶连续可导，$\displaystyle f(a)=0$ ．证明：
$$
\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x-\frac{1}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}(x-a)^{2} \mathrm{~d} x \text {. }
$$
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，并且导函数连续，证明：
$$
|f(x)| \leqslant|f(a)|+\sqrt{x-a} \sqrt{\int_{a}^{x}\left(f^{\prime}(t)\right)^{2} \mathrm{~d} t}, \forall x \in[a, b] \text {. }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ ．求证：$\displaystyle \forall x_{0} \in(a, b), \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t \geqslant \frac{f^{2}\left(x_{0}\right)}{x_{0}-a}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。证明： $\displaystyle \max _{x \in[a, b]}|f(x)| \leqslant \sqrt{b-a}\left(\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{2}}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。求证： $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ 。中科院 2006，湘潭大学 2004 ，地质大学 2006 ，北航 $\displaystyle 2007 ;[a, b]=[0,1]$ ：上海大学 2002 ，南京财大 2012）
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ ．求证：$\displaystyle \exists M>0$ 使 $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant M \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 一阶连续可导，$\displaystyle f(a)=0$ ．证明：
$$
\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x-\frac{1}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}(x-a)^{2} \mathrm{~d} x \text {. }
$$
第36题未分类
36．判断题．
（1）设 $\displaystyle f \in C(a, b)$ ，若存在 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=A<0, \lim _{x \rightarrow b} f(x)=B>0$ ，则必存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
（1）设 $\displaystyle f \in C(a, b)$ ，若存在 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=A<0, \lim _{x \rightarrow b} f(x)=B>0$ ，则必存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
第36题证明题
36．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内定义，对所有的 $\displaystyle x, y$ ，有 $\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)$ ．证明：（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，且 $\displaystyle f(x)=f(1) x$ ；（2）若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin x}=1$ ，试求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，且对任意 $\displaystyle x, y \in \mathbf{R}$ 有 $\displaystyle f(x+y)=f(x) f(y)$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上可微．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有定义，且对任意 $\displaystyle x, y \in(0,+\infty)$ 都有 $\displaystyle f(x y)=f(x)+f(y)$ 。证明：
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 点处连续，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续；
（2）若 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ 存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可导，并求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．（四川大学 2002 ，西南大学 2002 ，湖南大学
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内定义，对所有的 $\displaystyle x, y$ ，有 $\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)$ ．证明：（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，且 $\displaystyle f(x)=f(1) x$ ；（2）若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin x}=1$ ，试求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，且对任意 $\displaystyle x, y \in \mathbf{R}$ 有 $\displaystyle f(x+y)=f(x) f(y)$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上可微．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有定义，且对任意 $\displaystyle x, y \in(0,+\infty)$ 都有 $\displaystyle f(x y)=f(x)+f(y)$ 。证明：
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 点处连续，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续；
（2）若 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ 存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可导，并求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．（四川大学 2002 ，西南大学 2002 ，湖南大学
第52题证明题
52．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可微分两次，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \neq 0, \xi \in(a, b)$ ．证明在 $\displaystyle (a, b)$ 上可以找到两点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ ，使得 $\displaystyle \frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}=f^{\prime}(\xi)$ ．