带有佩亚诺型余项的泰勒公式
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第3题讨论/判定题
3．讨论下列级数的玫散性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}-\mathrm{e}\right]$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]^{p}, p \in \mathbf{R}$ ．（东南大学 2006，上海交大 2002，南京理工 1998（ $\displaystyle p=2$ ））
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \tan n \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[n]{n^{k}}} .(k=5$ ：武汉大学 2003，$\displaystyle k=1$ ：宁波大学 2005）
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}-\mathrm{e}\right]$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]^{p}, p \in \mathbf{R}$ ．（东南大学 2006，上海交大 2002，南京理工 1998（ $\displaystyle p=2$ ））
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \tan n \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[n]{n^{k}}} .(k=5$ ：武汉大学 2003，$\displaystyle k=1$ ：宁波大学 2005）
第3题求解题
3．设 $\displaystyle f(x, y)=x^{3}+3 x y-y^{2}-6 x+2 y+1$ ，求 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (-2,2)$ 处的二阶带佩亚型诺余项的泰勒公式．问 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上有哪些关于极值的判别点，这些点是否为极值点，说明理由．
第6题未分类
6．设 $\displaystyle f(x), x \in \mathbf{R}^{n}$ 存在二阶连续偏导数，$\displaystyle \nabla f(x)$ 表示 $\displaystyle f(x)$ 的梯度，$\displaystyle \nabla^{2} f(x)=\left(h_{i j}\right)_{n \times n}$ 表示 $\displaystyle f(x)$的 Hesse 矩阵，其中 $\displaystyle h_{i j}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}}(i, j=1,2, \cdots, n)$ ．
（1）设 $\displaystyle a \in \mathbf{R}^{n}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的稳定点，即：$\displaystyle \nabla f(a)=0$ ．如果 $\displaystyle \nabla^{2} f(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 处正定，证明 $\displaystyle a$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的一个局部极小值点。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 的 Hesse 矩阵在所有 $\displaystyle x \in \mathbf{R}^{n}$ 点处正定，证明 $\displaystyle f(x)$ 至多有一个稳定点．
（1）设 $\displaystyle a \in \mathbf{R}^{n}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的稳定点，即：$\displaystyle \nabla f(a)=0$ ．如果 $\displaystyle \nabla^{2} f(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 处正定，证明 $\displaystyle a$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的一个局部极小值点。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 的 Hesse 矩阵在所有 $\displaystyle x \in \mathbf{R}^{n}$ 点处正定，证明 $\displaystyle f(x)$ 至多有一个稳定点．
第9题计算题
9．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{4}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{\arcsin ^{4} x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{\sin ^{4} x}$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{2}[x+\ln (1-x)]}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos \sqrt{x}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \sqrt{2} x-\mathrm{e}^{-x^{2}}+\frac{1}{3} x^{4}}{x^{6}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-x^{2}}+1-2 \sqrt{1-x^{2}}}{\sin x^{4}+3 \tan ^{5} x}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x^{2}-x \tan x}{x^{2} \mathrm{e}^{x}-3 \cos 2 x+3}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \mathrm{e}^{x}-\ln (1+x)}{x^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[n \mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-n^{2} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}}-x \sin x-1}{x^{4}}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x+\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} \sin x}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{4}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{\arcsin ^{4} x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{\sin ^{4} x}$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{2}[x+\ln (1-x)]}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos \sqrt{x}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \sqrt{2} x-\mathrm{e}^{-x^{2}}+\frac{1}{3} x^{4}}{x^{6}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-x^{2}}+1-2 \sqrt{1-x^{2}}}{\sin x^{4}+3 \tan ^{5} x}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x^{2}-x \tan x}{x^{2} \mathrm{e}^{x}-3 \cos 2 x+3}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \mathrm{e}^{x}-\ln (1+x)}{x^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[n \mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-n^{2} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}}-x \sin x-1}{x^{4}}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x+\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} \sin x}$ ．
第11题证明题
11．证明下列命题．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ．试证：$\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得
$\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geqslant \frac{4}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)|$ ．（桂林电子科技 2012，山东大学 2007，中南大学 2006，苏州大学 2006，
广西民大 2008，江苏大学 2009，地质大学 2004，聊城大学 2008，中科院 2006，太原科技 2006；南京大学 2012（［1，2］））
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，$\displaystyle f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ，证明：$\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得
$\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geqslant \frac{4}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)|$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-a, a]$ 上三阶可导， 0 为 $\displaystyle f$ 的极值点．证明：$\displaystyle \exists \xi \in(-a, a)-\{0\}$ 使
$$
\left|f^{\prime \prime \prime}(\xi)\right| \geqslant \frac{3}{a^{3}}|f(a)-f(-a)| . \text { }
$$
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ．试证：$\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得
$\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geqslant \frac{4}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)|$ ．（桂林电子科技 2012，山东大学 2007，中南大学 2006，苏州大学 2006，
广西民大 2008，江苏大学 2009，地质大学 2004，聊城大学 2008，中科院 2006，太原科技 2006；南京大学 2012（［1，2］））
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，$\displaystyle f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ，证明：$\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得
$\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geqslant \frac{4}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)|$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-a, a]$ 上三阶可导， 0 为 $\displaystyle f$ 的极值点．证明：$\displaystyle \exists \xi \in(-a, a)-\{0\}$ 使
$$
\left|f^{\prime \prime \prime}(\xi)\right| \geqslant \frac{3}{a^{3}}|f(a)-f(-a)| . \text { }
$$
第12题求解题
12．设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 的二阶连续可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0, f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ 。求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{k} f(u)}{f(x) \sin ^{k} u}$ ，其中 $\displaystyle u$ 是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 在点 $\displaystyle P(x, f(x))$ 处的切线在 $\displaystyle x$ 轴上的截距．$\displaystyle (k=2$ ：北京科技 2013，中南大学 $\displaystyle 2013 ; k=1$ ：南航 2000）
第14题计算题
14．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{\ln \left(1+x^{2}\right)}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{\cos a x}-\sqrt[m]{\cos b x}}{\sin ^{2} x}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sin a x}-\sqrt{1+\sin b x}}{x}$ ．（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan ^{3} x}-1}{(1-\cos x)\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{\ln \left(1+x^{2}\right)}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{\cos a x}-\sqrt[m]{\cos b x}}{\sin ^{2} x}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sin a x}-\sqrt{1+\sin b x}}{x}$ ．（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan ^{3} x}-1}{(1-\cos x)\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)}$ ．
第14题证明题
14．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上无穷次可微，且满足 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0$ ．证明：（1）存在 $\displaystyle \delta>0$ 和定义在 $\displaystyle (-\delta, \delta)$ 上的可微函数 $\displaystyle \varphi(t)$ ，使得 $\displaystyle f(\varphi(t))=\sin t$ ；（2）求 $\displaystyle \varphi(t)$ 在 $\displaystyle t=0$ 的二阶泰勒公式．
第15题证明题
15．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \left|\mathrm{e}^{t}-1-t\right| \leqslant t^{2},|t| \leqslant 1$ ．
（2） $\displaystyle 2^{x} \geqslant 1+x^{2}, x \in[0,1]$ ．
（3） $\displaystyle \mathrm{e}^{x}-1>(1+x) \ln (1+x), x>0$ ．
（4）设 $\displaystyle p$ 为常数，$\displaystyle p>\ln 2-1$ ．证明：当 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 时，不等式 $\displaystyle x^{2}-2 p x+1<\mathrm{e}^{x}$ 成立．
（5）设常数 $\displaystyle p>\mathrm{e}$ 。证明：当 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 时不等式 $\displaystyle p \mathrm{e}^{-x}+x^{2}-x>1$ 成立．
（1）$\displaystyle \left|\mathrm{e}^{t}-1-t\right| \leqslant t^{2},|t| \leqslant 1$ ．
（2） $\displaystyle 2^{x} \geqslant 1+x^{2}, x \in[0,1]$ ．
（3） $\displaystyle \mathrm{e}^{x}-1>(1+x) \ln (1+x), x>0$ ．
（4）设 $\displaystyle p$ 为常数，$\displaystyle p>\ln 2-1$ ．证明：当 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 时，不等式 $\displaystyle x^{2}-2 p x+1<\mathrm{e}^{x}$ 成立．
（5）设常数 $\displaystyle p>\mathrm{e}$ 。证明：当 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 时不等式 $\displaystyle p \mathrm{e}^{-x}+x^{2}-x>1$ 成立．
第16题计算题
16．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{x^{3}}$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{\sin ^{3} x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{x \sin x^{2}}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{\tan x-x}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{x^{3}}$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{\sin ^{3} x}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{x \sin x^{2}}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin x-x(1+x)}{\tan x-x}$ ．
第16题证明题
16．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1-\mathrm{e}^{x\left(x^{2}+y^{2}\right)}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0,(1) \text { 证明 } f(x, y) \text { 在点 }(0,0) \text { 可微．（2）求$f(x, y)$\displaystyle 在点$(0,0)$\displaystyle 处的 4 阶泰勒公式，并写出$f_{x y}(0,0), \frac{\partial^{4} f}{\partial x^{4}}(0,0)$ ．
第18题计算题
18．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}} \cdot$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \ln \left(\frac{\sin x}{x}\right)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{\sin ^{2} x}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{\cos \frac{1}{x^{2}}}\right)^{x^{4}}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}} \cdot$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}$ 或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \ln \left(\frac{\sin x}{x}\right)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{\sin ^{2} x}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{\cos \frac{1}{x^{2}}}\right)^{x^{4}}$ ．
第21题求解题
21．设 $\displaystyle a>0$ 为常数，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-2 a, 2 a]$ 上有二阶导数，$\displaystyle f(0)=a, f(a)=b, f^{\prime}(0)=-1$ ．对 $\displaystyle \forall x \in[-2 a, 2 a]$ 且满足 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right|<\frac{1}{4 a}$ ．求证：（1）$\displaystyle \left|1+f^{\prime}(x)\right|<\frac{1}{2}, \forall x \in[-2 a, 2 a]$ ；（2）$\displaystyle |f(a+b)|<\frac{a}{4}$ ．
第21题证明题
21．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上二次可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ ．证明：对任意两点 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in(a, b)$ 及任意正数 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}=1\right)$ 有不等式 $\displaystyle f\left(\lambda_{1} x_{1}+\lambda_{2} x_{2}\right)<\lambda_{1} f\left(x_{1}\right)+\lambda_{2} f\left(x_{2}\right)$ ，并说明其几何意义。重庆大学 2001，东北师大 2000 ，北京工大 2010 ，天津大学，映西师大，西安电子科技 2002，合肥工大，广西大学，东南大学；$\displaystyle \lambda_{1}=\lambda_{2}=2^{-1}$ ：山东大学 2002，重庆大学 2005，昆明理工 2007／2012）
第22题证明题
22．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上二次可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ ．证明：
（1）对 $\displaystyle \forall x, x_{0} \in[a, b], f(x) \geqslant f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)$ ；
（2）对任意点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$ 及 $\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{n}=1, k_{i}>0, i=1,2, \cdots, n$ 有
$$
f\left(\sum_{i=1}^{n} k_{i} x_{i}\right)<\sum_{i=1}^{n} k_{i} f\left(x_{i}\right) \text {. }
$$
（3）对任意点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$ 有不等式 $\displaystyle f\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} x_{k}\right) \leqslant \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right)$ 。（四川大学 2002，北京工大 2010，南京信息工程大学2006，中南大学2010（ $\displaystyle n=3)$ ）
（1）对 $\displaystyle \forall x, x_{0} \in[a, b], f(x) \geqslant f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)$ ；
（2）对任意点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$ 及 $\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{n}=1, k_{i}>0, i=1,2, \cdots, n$ 有
$$
f\left(\sum_{i=1}^{n} k_{i} x_{i}\right)<\sum_{i=1}^{n} k_{i} f\left(x_{i}\right) \text {. }
$$
（3）对任意点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$ 有不等式 $\displaystyle f\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} x_{k}\right) \leqslant \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right)$ 。（四川大学 2002，北京工大 2010，南京信息工程大学2006，中南大学2010（ $\displaystyle n=3)$ ）
第24题证明题
24．若函数 $\displaystyle F(x)$ 在区间 $\displaystyle (a, b)$ 上恒有 $\displaystyle F^{\prime \prime}(x)>0, p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n}$ 为 $\displaystyle n$ 个正数．证明：对任意 $\displaystyle n$ 个数 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in(a, b)$ 有不等式 $\displaystyle F\left(\frac{p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2}+\cdots+p_{n} x_{n}}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}\right) \leqslant \frac{p_{1} F\left(x_{1}\right)+p_{2} F\left(x_{2}\right)+\cdots+p_{n} F\left(x_{n}\right)}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}$ 。}
第25题求解题
25．求下列导数．
（1）设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x+x f(x)}{x^{3}}=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6+f(x)}{x^{2}}$ ．
（2）已知 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x-x f(x)}{x^{3}}=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3-f(x)}{x^{2}}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域内二阶可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x+x f(x)}{x^{3}}=\frac{1}{2}$ ，试求 $\displaystyle f(0)$ ， $\displaystyle f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$ 的值．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域内的二阶导数存在且连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin 3 x}{x^{3}}+\frac{f(x)}{x^{2}}\right)=0$ ，求 $\displaystyle f(0)$ ， $\displaystyle f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在原点的邻域二次可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{3}$ ，求 $\displaystyle f(0), f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$ 。华中师大2005，武汉理工 2004）
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 有连续导数，$\displaystyle F(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{f(x)+2 \ln (1+x)}{x}, x \neq 0 \\ 1, x=0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle x=0$ 连续，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
（1）设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x+x f(x)}{x^{3}}=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6+f(x)}{x^{2}}$ ．
（2）已知 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x-x f(x)}{x^{3}}=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3-f(x)}{x^{2}}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域内二阶可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x+x f(x)}{x^{3}}=\frac{1}{2}$ ，试求 $\displaystyle f(0)$ ， $\displaystyle f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$ 的值．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域内的二阶导数存在且连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin 3 x}{x^{3}}+\frac{f(x)}{x^{2}}\right)=0$ ，求 $\displaystyle f(0)$ ， $\displaystyle f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在原点的邻域二次可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{3}$ ，求 $\displaystyle f(0), f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$ 。华中师大2005，武汉理工 2004）
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 有连续导数，$\displaystyle F(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{f(x)+2 \ln (1+x)}{x}, x \neq 0 \\ 1, x=0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle x=0$ 连续，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
第26题计算题
26．求下列极限．
（1）已知 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ 存在，求极限： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{f(x)}$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f^{\prime \prime}(0)=4$ 。求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域内有连续的一阶导数，$\displaystyle f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=0$ ．试求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{3}}$ ．
（4）设非负连续函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)$ 存在。求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{1+f(x)}-1}{x}$ ．（浙江工商 2014）
（1）已知 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ 存在，求极限： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{f(x)}$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f^{\prime \prime}(0)=4$ 。求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域内有连续的一阶导数，$\displaystyle f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=0$ ．试求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{3}}$ ．
（4）设非负连续函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)$ 存在。求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{1+f(x)}-1}{x}$ ．（浙江工商 2014）
第28题证明题
28．证明下列结论．
（1）设 函 数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导，$\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)>1$ 。证明：存 在 $\displaystyle \delta>0$ 使 得 $\displaystyle f(x)>x, x \in(0, \delta)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上二次可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$ ，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ 。试证明：$\displaystyle f(x) \geqslant x, \forall x \in \mathbf{R}$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 二阶连续可微，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1, f^{\prime \prime}(x)<0, \forall x \in[0,1]$ ．证明 $\displaystyle f(x) \geqslant x, \forall x \in[0,1]$ ．
（1）设 函 数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导，$\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)>1$ 。证明：存 在 $\displaystyle \delta>0$ 使 得 $\displaystyle f(x)>x, x \in(0, \delta)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上二次可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$ ，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ 。试证明：$\displaystyle f(x) \geqslant x, \forall x \in \mathbf{R}$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 二阶连续可微，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1, f^{\prime \prime}(x)<0, \forall x \in[0,1]$ ．证明 $\displaystyle f(x) \geqslant x, \forall x \in[0,1]$ ．
第28题证明题
28．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域内具有连续的二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ．证明： （1）$\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ；（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域内有定义，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(0)$ 存在。证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛的充要条件是 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域内具有连续的二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=a$ ．证明：（1）若 $\displaystyle a>0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 收玫，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 发散；（2）若 $\displaystyle a=0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 是偶函数，在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域中有连续的二阶导数，$\displaystyle f(0)=1, f^{\prime \prime}(0)=2$ 。证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]$ 绝对收敛．
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 内具有直到三阶的连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{x}=0$ ．试证明：$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} n f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域内䛬二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$（或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{\sin x}-1}=0$ ）．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上具有三阶连续导数，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left\{n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(-\frac{1}{n}\right)\right]-2 f^{\prime}(0)\right\}$ 收玫．}
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域内具有连续的二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ．证明： （1）$\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ；（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域内有定义，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(0)$ 存在。证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛的充要条件是 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域内具有连续的二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=a$ ．证明：（1）若 $\displaystyle a>0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 收玫，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 发散；（2）若 $\displaystyle a=0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 是偶函数，在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域中有连续的二阶导数，$\displaystyle f(0)=1, f^{\prime \prime}(0)=2$ 。证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]$ 绝对收敛．
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 内具有直到三阶的连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{x}=0$ ．试证明：$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} n f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域内䛬二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$（或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{\sin x}-1}=0$ ）．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上具有三阶连续导数，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left\{n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(-\frac{1}{n}\right)\right]-2 f^{\prime}(0)\right\}$ 收玫．}
第30题求解题
30．求下列函数的高阶导数．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin x}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 其中 $\displaystyle n \in \mathbf{N}$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=(\arcsin x)^{2}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．（海南大学 2010，大连理工 2006（n＝3））
（3）设 $\displaystyle f(x)=x \arccos x$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)=\sin x^{2}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)=x^{3} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 。
（6）设 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（8）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{5}}{\sqrt{1+x^{2}}} \cdot \frac{\sin ^{4} x}{1+\cos ^{2} x}$ ，求 $\displaystyle f^{(6)}(0), \int_{-1}^{1} f^{(6)}(x) \mathrm{d} x$ ．
（9）设 $\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}} \sin x$ ，求 $\displaystyle f^{(2012)}(0)$ ．
（10）设 $\displaystyle f(x)=x^{4} \mathrm{e}^{x}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0) .(n=2006$ ：地质大学 2006 ，山东科技 $\displaystyle 2010, n=100$ ：江苏大学 2014）
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin x}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 其中 $\displaystyle n \in \mathbf{N}$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=(\arcsin x)^{2}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．（海南大学 2010，大连理工 2006（n＝3））
（3）设 $\displaystyle f(x)=x \arccos x$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)=\sin x^{2}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)=x^{3} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 。
（6）设 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（8）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{5}}{\sqrt{1+x^{2}}} \cdot \frac{\sin ^{4} x}{1+\cos ^{2} x}$ ，求 $\displaystyle f^{(6)}(0), \int_{-1}^{1} f^{(6)}(x) \mathrm{d} x$ ．
（9）设 $\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}} \sin x$ ，求 $\displaystyle f^{(2012)}(0)$ ．
（10）设 $\displaystyle f(x)=x^{4} \mathrm{e}^{x}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0) .(n=2006$ ：地质大学 2006 ，山东科技 $\displaystyle 2010, n=100$ ：江苏大学 2014）
第31题计算题
31．求下列极限．
（1）函数 $\displaystyle f(x, y)$ 是一个 $\displaystyle C^{2}$ 函数，$\displaystyle z_{0}=\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，计算 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0^{-}} h^{-2}\left(\frac{1}{\pi h^{2}} \iint_{B\left(z_{0}, h\right)} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 连续，$\displaystyle F(t)=\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，求 $\displaystyle F^{\prime}(t), ~ \lim _{t \rightarrow 0} \frac{F^{\prime}(t)}{t}$ 。
（3）函数 $\displaystyle f(x)$ 一阶连续可微，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 t x\right\}$ ，试求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^{4}} \iint_{D} y f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（1）函数 $\displaystyle f(x, y)$ 是一个 $\displaystyle C^{2}$ 函数，$\displaystyle z_{0}=\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，计算 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0^{-}} h^{-2}\left(\frac{1}{\pi h^{2}} \iint_{B\left(z_{0}, h\right)} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 连续，$\displaystyle F(t)=\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，求 $\displaystyle F^{\prime}(t), ~ \lim _{t \rightarrow 0} \frac{F^{\prime}(t)}{t}$ 。
（3）函数 $\displaystyle f(x)$ 一阶连续可微，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 t x\right\}$ ，试求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^{4}} \iint_{D} y f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
第34题证明题
34．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 有二阶导数，且 $\displaystyle f(x) \leqslant \frac{1}{2}(f(x+h)+f(x-h))$ ．试证：$\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．
（2）设 函 数 $\displaystyle f(x) \in C^{2}(\mathbf{R})$ ，且 $\displaystyle f(x+h)+f(x-h)-2 f(x) \leqslant 0, x \in \mathbf{R}, \forall h>0$ ．证 明 $\displaystyle \forall x \in \mathbf{R}$ ， $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 有二阶导数，且 $\displaystyle f(x) \leqslant \frac{1}{2}(f(x+h)+f(x-h))$ ．试证：$\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．
（2）设 函 数 $\displaystyle f(x) \in C^{2}(\mathbf{R})$ ，且 $\displaystyle f(x+h)+f(x-h)-2 f(x) \leqslant 0, x \in \mathbf{R}, \forall h>0$ ．证 明 $\displaystyle \forall x \in \mathbf{R}$ ， $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0$ ．
第39题证明题
39．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 十连续，满足 $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant x, x \in[0,+\infty)$ ，设 $\displaystyle a_{1} \geqslant 0, a_{n+1}=f\left(a_{n}\right), n=1,2, \cdots$ 。证明：（1）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为收敛数列；（2）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} a_{n}=t$ ，则有 $\displaystyle f(t)=t$ ；（3）若条件改为 $\displaystyle 0 \leqslant f(x)<x, x \in(0,+\infty)$ ，则 $\displaystyle t=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ ：有二阶连续导数，$\displaystyle f^{\prime}(0)=1, f^{\prime \prime}(0) \neq 0,0 \leqslant f(x)<x, x \in(0, a)$ ．设 $\displaystyle x_{1} \in(0, a), x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明：（1）$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为收敛数列并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ ；（2）$\displaystyle \left\{n x_{n}\right\}$ 是否收敛？若不收敛，则说明理由。若收敛，则求极限。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 十连续，满足 $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant x, x \in[0,+\infty)$ ，设 $\displaystyle a_{1} \geqslant 0, a_{n+1}=f\left(a_{n}\right), n=1,2, \cdots$ 。证明：（1）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为收敛数列；（2）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} a_{n}=t$ ，则有 $\displaystyle f(t)=t$ ；（3）若条件改为 $\displaystyle 0 \leqslant f(x)<x, x \in(0,+\infty)$ ，则 $\displaystyle t=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ ：有二阶连续导数，$\displaystyle f^{\prime}(0)=1, f^{\prime \prime}(0) \neq 0,0 \leqslant f(x)<x, x \in(0, a)$ ．设 $\displaystyle x_{1} \in(0, a), x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明：（1）$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为收敛数列并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ ；（2）$\displaystyle \left\{n x_{n}\right\}$ 是否收敛？若不收敛，则说明理由。若收敛，则求极限。
第46题未分类
46．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上有二阶连续导数，$\displaystyle f(x)$ 的值域为 $\displaystyle [-1,1], f(0)=0,0<f^{\prime}(0)<\frac{1}{2}$ ，
$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M<1$ 。令 $\displaystyle f_{1}(x)=f(f(x)), f_{n}(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right), n=1,2, \cdots$ ，求证：级数：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上一致收敛．
$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M<1$ 。令 $\displaystyle f_{1}(x)=f(f(x)), f_{n}(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right), n=1,2, \cdots$ ，求证：级数：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上一致收敛．