带有拉格朗日型余项的泰勒公式
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第1题证明题
1．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, a]$ 上具有二阶导数，且对一切 $\displaystyle x \in[0, a]$ ，均有 $\displaystyle |f(x)|<1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right|<1$ ．证明：对一切 $\displaystyle x \in[0, a]$ ，成立 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{a}{2}+\frac{2}{a}$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上二阶可导，$\displaystyle |f(x)| \leqslant 1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 1$ 。求证：在 $\displaystyle [0,2]$ 上 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 2$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 二次可微，且 $\displaystyle |f(x)| \leqslant M,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant K$ ，其中 $\displaystyle M, K$ 为正常数，$\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle (0,1)$内任一点．证明：$\displaystyle \left|f^{\prime}(\xi)\right| \leqslant 2 M+\frac{K}{2}$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 二次可微，且 $\displaystyle |f(x)| \leqslant a,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant b$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 为正常数，$\displaystyle c$ 是 $\displaystyle (-1,1)$ 内任一点。证明：$\displaystyle \left|f^{\prime}(\xi)\right| \leqslant a+b$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, a]$ 上具有二阶导数，且对一切 $\displaystyle x \in[0, a]$ ，均有 $\displaystyle |f(x)|<1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right|<1$ ．证明：对一切 $\displaystyle x \in[0, a]$ ，成立 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{a}{2}+\frac{2}{a}$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上二阶可导，$\displaystyle |f(x)| \leqslant 1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 1$ 。求证：在 $\displaystyle [0,2]$ 上 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 2$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 二次可微，且 $\displaystyle |f(x)| \leqslant M,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant K$ ，其中 $\displaystyle M, K$ 为正常数，$\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle (0,1)$内任一点．证明：$\displaystyle \left|f^{\prime}(\xi)\right| \leqslant 2 M+\frac{K}{2}$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 二次可微，且 $\displaystyle |f(x)| \leqslant a,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant b$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 为正常数，$\displaystyle c$ 是 $\displaystyle (-1,1)$ 内任一点。证明：$\displaystyle \left|f^{\prime}(\xi)\right| \leqslant a+b$ ．
第2题证明题
2．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(0)=f(1),\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 2(0 \leqslant x \leqslant 1)$ ．证明：$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1(0<x<1)$ ．此估计式能否改进？
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有二阶连续导数，且满足 $\displaystyle f(0)=f(1)$ 及 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M, x \in[0,1]$ ．试证：对一切 $\displaystyle x \in[0,1]$ 有 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{M}{2}$ 。
（1）设 $\displaystyle f(0)=f(1),\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 2(0 \leqslant x \leqslant 1)$ ．证明：$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1(0<x<1)$ ．此估计式能否改进？
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有二阶连续导数，且满足 $\displaystyle f(0)=f(1)$ 及 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M, x \in[0,1]$ ．试证：对一切 $\displaystyle x \in[0,1]$ 有 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{M}{2}$ 。
第3题证明题
3．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上有二阶连续导数，$\displaystyle f(0)=f(1)=0,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{8}{5},\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant \frac{8}{5}$ ．试给出 $\displaystyle |f(x)|$ 的一个估计， $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant 1$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，$\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 1, f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内取到最大值 $\displaystyle \frac{1}{4}$ ．证明：$\displaystyle |f(0)|+|f(1)| \leqslant 1$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上有二阶连续导数，$\displaystyle f(0)=f(1)=0,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{8}{5},\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant \frac{8}{5}$ ．试给出 $\displaystyle |f(x)|$ 的一个估计， $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant 1$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，$\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 1, f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内取到最大值 $\displaystyle \frac{1}{4}$ ．证明：$\displaystyle |f(0)|+|f(1)| \leqslant 1$ ．
第4题证明题
4．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上具有二阶连续导数，且 $\displaystyle M_{0}=\sup \{|f(x)| x \in(0,+\infty)\}$ 和 $\displaystyle M_{2}=\sup \left\{\left|f^{\prime \prime}(x)\right| x \in(0,+\infty)\right\}$ 均为有限数，证明：
（1）$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{2 M_{0}}{h}+\frac{h}{2} M_{2}$ 对任何 $\displaystyle h>0, x \in(0,+\infty)$ 均成立；
（2）$\displaystyle M_{1}=\sup \left\{\left|f^{\prime}(x)\right| x \in(0,+\infty)\right\}$ 也是有限数，并且满足不等式 $\displaystyle M_{1} \leqslant 2 \sqrt{M_{0} M_{2}}$ ；
（3）设 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内有界，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内二阶可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，但 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 不存在。证明：存在 $\displaystyle x_{0}>0$ 使 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\right|>1$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上具有二阶连续导数，且 $\displaystyle M_{0}=\sup \{|f(x)| x \in(0,+\infty)\}$ 和 $\displaystyle M_{2}=\sup \left\{\left|f^{\prime \prime}(x)\right| x \in(0,+\infty)\right\}$ 均为有限数，证明：
（1）$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{2 M_{0}}{h}+\frac{h}{2} M_{2}$ 对任何 $\displaystyle h>0, x \in(0,+\infty)$ 均成立；
（2）$\displaystyle M_{1}=\sup \left\{\left|f^{\prime}(x)\right| x \in(0,+\infty)\right\}$ 也是有限数，并且满足不等式 $\displaystyle M_{1} \leqslant 2 \sqrt{M_{0} M_{2}}$ ；
（3）设 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内有界，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内二阶可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，但 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 不存在。证明：存在 $\displaystyle x_{0}>0$ 使 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\right|>1$ 。
第4题证明题
4．证明下列不等式．
（1） $\displaystyle \arctan x+\frac{1}{x}>\frac{\pi}{2}, x>0$ 。
（2） $\displaystyle \ln (1+x)<x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}, x>0$ ．
（3）$\displaystyle x-\frac{x^{2}}{2}<\ln (1+x)<x-\frac{x^{2}}{2(1+x)}, x>0$ 。
（1） $\displaystyle \arctan x+\frac{1}{x}>\frac{\pi}{2}, x>0$ 。
（2） $\displaystyle \ln (1+x)<x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}, x>0$ ．
（3）$\displaystyle x-\frac{x^{2}}{2}<\ln (1+x)<x-\frac{x^{2}}{2(1+x)}, x>0$ 。
第5题证明题
5．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上二次可微，$\displaystyle M_{0}=\sup _{-x<x<+x}|f(x)|<+\infty, M_{2}=\sup _{-x<x<+\infty}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|<+\infty$ ．试证：$\displaystyle M_{1}=\sup _{-\infty<x<+\infty}\left|f^{\prime}(x)\right|<+\infty$ ，且 $\displaystyle M_{1}^{2} \leqslant 2 M_{0} M_{2}$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内三阶连续可导，对 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty),|f(x)| \leqslant M_{0},\left|f^{\prime \prime \prime}(x)\right| \leqslant M_{3}$ 。证明：$\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty),\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M_{0}+\frac{1}{6} M_{3},\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 4 M_{0}+\frac{1}{3} M_{3}$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内 三次可导，并且对 $\displaystyle x \in(0,+\infty),|f(x)| \leqslant M_{0}<+\infty$ ， $\displaystyle \left|f^{\prime \prime \prime}(x)\right| \leqslant M_{3}<+\infty$ 。证明：$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 及 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内有界。北师大 2000）
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上二次可微，$\displaystyle M_{0}=\sup _{-x<x<+x}|f(x)|<+\infty, M_{2}=\sup _{-x<x<+\infty}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|<+\infty$ ．试证：$\displaystyle M_{1}=\sup _{-\infty<x<+\infty}\left|f^{\prime}(x)\right|<+\infty$ ，且 $\displaystyle M_{1}^{2} \leqslant 2 M_{0} M_{2}$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内三阶连续可导，对 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty),|f(x)| \leqslant M_{0},\left|f^{\prime \prime \prime}(x)\right| \leqslant M_{3}$ 。证明：$\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty),\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M_{0}+\frac{1}{6} M_{3},\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 4 M_{0}+\frac{1}{3} M_{3}$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内 三次可导，并且对 $\displaystyle x \in(0,+\infty),|f(x)| \leqslant M_{0}<+\infty$ ， $\displaystyle \left|f^{\prime \prime \prime}(x)\right| \leqslant M_{3}<+\infty$ 。证明：$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 及 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内有界。北师大 2000）
第6题证明题
6．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, \min _{0 \leq x \leq 1}\{f(x)\}=-1$ 。证明：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 8$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, \min _{0<x<1}\{f(x)\}=-\frac{1}{2}$ ．证明：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 4$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=3, \min _{x \in[0,1]} f(x)=-1$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 18$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, ~ \max _{0<x<1}\{f(x)\}=2$ ．证明： $\displaystyle \min _{x \in[0,1]} f^{\prime \prime}(x) \leqslant-16$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, \min _{0 \leq x \leq 1}\{f(x)\}=-1$ 。证明：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 8$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, \min _{0<x<1}\{f(x)\}=-\frac{1}{2}$ ．证明：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 4$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=3, \min _{x \in[0,1]} f(x)=-1$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 18$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, ~ \max _{0<x<1}\{f(x)\}=2$ ．证明： $\displaystyle \min _{x \in[0,1]} f^{\prime \prime}(x) \leqslant-16$ ．
第6题证明题
6．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有直到 $\displaystyle n$ 阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{(n)}(x)=B$ ．证明：
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{(k)}(x)=0, k=1,2, \cdots, n . }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有三阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{(3)}(x)$ 都存在且有限．证明：
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime \prime}(x)=0 \text {. }
$$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime}(x)=0$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有直到 $\displaystyle n$ 阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{(n)}(x)=B$ ．证明：
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{(k)}(x)=0, k=1,2, \cdots, n . }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有三阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{(3)}(x)$ 都存在且有限．证明：
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime \prime}(x)=0 \text {. }
$$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime}(x)=0$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．
第7题证明题
7．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上三阶可导，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=0$ ，证明：存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f^{m}(\xi) \geqslant 12$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上三次可导，$\displaystyle f(-1)=f(0)=f^{\prime}(0)=0, f(1)=1$ 。试证：$\displaystyle \exists \xi \in(-1,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(\xi) \geqslant 3$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上三次连续可导，$\displaystyle f(-1)=0, f^{\prime}(0)=0, f(1)=1$ ．试证：$\displaystyle \exists \xi \in(-1,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(\xi)=3$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上二次可导，$\displaystyle f(-1)=0, f(0)=0, f(1)=1$ 。证明：$\displaystyle \exists \theta \in(-1,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\theta)=1$ 。
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 二次可导，$\displaystyle f(0)=0$ ，在 $\displaystyle (0,1)$ 内取得最大值 2 ，在 $\displaystyle (0,1)$ 内取得最小值 $\displaystyle m$ ，证明：（1）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>2$ ；（2）存在 $\displaystyle \eta \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\eta)<-4$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上三阶可导，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=0$ ，证明：存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f^{m}(\xi) \geqslant 12$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上三次可导，$\displaystyle f(-1)=f(0)=f^{\prime}(0)=0, f(1)=1$ 。试证：$\displaystyle \exists \xi \in(-1,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(\xi) \geqslant 3$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上三次连续可导，$\displaystyle f(-1)=0, f^{\prime}(0)=0, f(1)=1$ ．试证：$\displaystyle \exists \xi \in(-1,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(\xi)=3$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上二次可导，$\displaystyle f(-1)=0, f(0)=0, f(1)=1$ 。证明：$\displaystyle \exists \theta \in(-1,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\theta)=1$ 。
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 二次可导，$\displaystyle f(0)=0$ ，在 $\displaystyle (0,1)$ 内取得最大值 2 ，在 $\displaystyle (0,1)$ 内取得最小值 $\displaystyle m$ ，证明：（1）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>2$ ；（2）存在 $\displaystyle \eta \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\eta)<-4$ ．
第8题证明题
8．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ 。证明： $\displaystyle \max _{a<x<b}|f(x)| \leqslant \frac{1}{8}(b-a)^{2} \max _{a<x<b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，且 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 4, f(a)=f(b)=0$ ．试证：$\displaystyle \left|f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right| \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ 。证明： $\displaystyle \max _{a<x<b}|f(x)| \leqslant \frac{1}{8}(b-a)^{2} \max _{a<x<b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，且 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 4, f(a)=f(b)=0$ ．试证：$\displaystyle \left|f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right| \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2}$ ．
第9题证明题
9．设 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内二阶可导，且 $\displaystyle \left|g^{\prime \prime}(x)\right| \geqslant m>0$（ $\displaystyle m$ 为常数），又 $\displaystyle g(a)=g(b)=0$ ．证明： $\displaystyle \max _{a<x<b}|g(x)| \geqslant \frac{m}{8}(b-a)^{2}$ ．
第9题证明题
9．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上二次连续可微， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} \varphi(x)$ 存在，且 $\displaystyle \varphi^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有界。证
明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \varphi^{\prime}(x)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上具有二阶连续导数的正函数，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \leqslant 0, x \in(0,+\infty), f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有界。则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。
（1）设 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上二次连续可微， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} \varphi(x)$ 存在，且 $\displaystyle \varphi^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有界。证
明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \varphi^{\prime}(x)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上具有二阶连续导数的正函数，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \leqslant 0, x \in(0,+\infty), f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有界。则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。
第11题证明题
11．证明下列结论．
（1）证 明 ：当 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时，存在 $\displaystyle \theta(x) \in(0,1)$ 使 得 $\displaystyle \sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{1}{2 \sqrt{x+\theta(x)}}$ ．并 证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \theta(x)=\frac{1}{4}, \lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)=\frac{1}{2}$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle a$ 附近有二阶连续导数，$\displaystyle f^{\prime \prime}(a) \neq 0, f(a+h)=f(a)+f^{\prime}(a+\theta h) h$ ，试证： $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{2}$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x+h)=f(x)+f^{\prime}(x) h+\cdots+\frac{h^{n}}{n!} f^{(n)}(x+\theta h), 0<\theta<1$ ，且 $\displaystyle f^{(n+1)}(x) \neq 0$ 。证 明： $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{n+1}$ ．（武汉理工 2002（ $\displaystyle n=3$ ））
（4）设 $\displaystyle h>0$ ，函数 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle U(a ; h)$ 内具有 $\displaystyle n+1$ 阶连续导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime \prime}(a)=\cdots=f^{(n)}(a)=0$ ， $\displaystyle f^{(n)}(a) \neq 0$ ．由中值定理，$\displaystyle f(a+h)-f(a)=f^{\prime}(a+\theta h) h, \theta \in(0,1)$ ．证明 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{\sqrt[n]{n+1}}$ ．
（5）设 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时，证明：存在唯一 $\displaystyle \theta(x) \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t=x \mathrm{e}^{\theta(x) x^{2}}$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)=1$ ．
（6）设 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时，证明：存在唯一 $\displaystyle \theta(x) \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t=x \mathrm{e}^{\theta(x) x}$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)=1$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上非负、严格递增的连续函数，$\displaystyle F_{n}(x)=f^{n}(x)$ ，由中值定理，$\displaystyle \exists \theta_{n} \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle F_{n}\left(\theta_{n}\right)=\int_{0}^{1} F_{n}(x) \mathrm{d} x$ 。证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \theta_{n}=1$ 。
（1）证 明 ：当 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时，存在 $\displaystyle \theta(x) \in(0,1)$ 使 得 $\displaystyle \sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{1}{2 \sqrt{x+\theta(x)}}$ ．并 证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \theta(x)=\frac{1}{4}, \lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)=\frac{1}{2}$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle a$ 附近有二阶连续导数，$\displaystyle f^{\prime \prime}(a) \neq 0, f(a+h)=f(a)+f^{\prime}(a+\theta h) h$ ，试证： $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{2}$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x+h)=f(x)+f^{\prime}(x) h+\cdots+\frac{h^{n}}{n!} f^{(n)}(x+\theta h), 0<\theta<1$ ，且 $\displaystyle f^{(n+1)}(x) \neq 0$ 。证 明： $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{n+1}$ ．（武汉理工 2002（ $\displaystyle n=3$ ））
（4）设 $\displaystyle h>0$ ，函数 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle U(a ; h)$ 内具有 $\displaystyle n+1$ 阶连续导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime \prime}(a)=\cdots=f^{(n)}(a)=0$ ， $\displaystyle f^{(n)}(a) \neq 0$ ．由中值定理，$\displaystyle f(a+h)-f(a)=f^{\prime}(a+\theta h) h, \theta \in(0,1)$ ．证明 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{\sqrt[n]{n+1}}$ ．
（5）设 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时，证明：存在唯一 $\displaystyle \theta(x) \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t=x \mathrm{e}^{\theta(x) x^{2}}$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)=1$ ．
（6）设 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时，证明：存在唯一 $\displaystyle \theta(x) \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t=x \mathrm{e}^{\theta(x) x}$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)=1$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上非负、严格递增的连续函数，$\displaystyle F_{n}(x)=f^{n}(x)$ ，由中值定理，$\displaystyle \exists \theta_{n} \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle F_{n}\left(\theta_{n}\right)=\int_{0}^{1} F_{n}(x) \mathrm{d} x$ 。证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \theta_{n}=1$ 。
第11题未分类
11．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, \dot{b}]$ 上二次可微，$\displaystyle M=\max _{[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．
（1）若 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{24} M$ ；
（2）若 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \neq 0$ ，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{24} M$ ．
（西安电子科技 2006，深圳大学 2010，北京科技 2011，东北师大 2001，华中师大 2001，扬州大学 2007，武汉理工 2008，中山大学 2012，大连海事 2005，聊城大学 2003；燕山大学 2011（［0，1］）；首都师大 $\displaystyle 2006([-x, x])$ ，浙江师大 2009（ $\displaystyle [-1,1]$ ）；西南大学 2011（ $\displaystyle [a, b]=[0,2]$ ），辽宁大学 2003）
（1）若 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{24} M$ ；
（2）若 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \neq 0$ ，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{24} M$ ．
（西安电子科技 2006，深圳大学 2010，北京科技 2011，东北师大 2001，华中师大 2001，扬州大学 2007，武汉理工 2008，中山大学 2012，大连海事 2005，聊城大学 2003；燕山大学 2011（［0，1］）；首都师大 $\displaystyle 2006([-x, x])$ ，浙江师大 2009（ $\displaystyle [-1,1]$ ）；西南大学 2011（ $\displaystyle [a, b]=[0,2]$ ），辽宁大学 2003）
第14题证明题
14．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上具有二阶连续导数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ，求证：
$$
\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{12} \max _{[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| . \text { }
$$
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内有二阶连续导数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ，试证明：（1）对 $\displaystyle [a, b]$ 内的任意 $\displaystyle x$ ， $\displaystyle \left|\frac{f(x)}{(x-b)(x-a)}\right| \leqslant \frac{1}{b-\dot{a}} \int_{a}^{b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ；（2）$\displaystyle \frac{4}{b-a} \max _{a<x<b}|f(x)| \leqslant \int_{a}^{b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续的二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, f(x) \neq 0(x \in(0,1))$ ．试证明：若积分 $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| \mathrm{d} x$ 存在，则 $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| \mathrm{d} x \geqslant 4$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上具有二阶连续导数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ，求证：
$$
\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{12} \max _{[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| . \text { }
$$
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内有二阶连续导数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ，试证明：（1）对 $\displaystyle [a, b]$ 内的任意 $\displaystyle x$ ， $\displaystyle \left|\frac{f(x)}{(x-b)(x-a)}\right| \leqslant \frac{1}{b-\dot{a}} \int_{a}^{b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ；（2）$\displaystyle \frac{4}{b-a} \max _{a<x<b}|f(x)| \leqslant \int_{a}^{b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续的二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, f(x) \neq 0(x \in(0,1))$ ．试证明：若积分 $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| \mathrm{d} x$ 存在，则 $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| \mathrm{d} x \geqslant 4$ ．
第35题求解题
35．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有二阶导数，$\displaystyle f(0) \geqslant 0, f^{\prime}(0) \geqslant 0$ ，且满足 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant f(x)$ ．求证：$\displaystyle f(x) \geqslant f(0)+f^{\prime}(0) x,(x \in[0,+\infty))$.
第39题证明题
39．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ 。证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{2}\right)$ ．（中科 大 2008）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} f\left(x^{\alpha}\right) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{1+\alpha}\right)$ ，其中 $\displaystyle \alpha$ 为任意正数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leqslant \frac{f(x)+f(y)}{2}, \forall x, y \in[0,1]$ ，证明 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{2}\right)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ 。证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{2}\right)$ ．（中科 大 2008）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} f\left(x^{\alpha}\right) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{1+\alpha}\right)$ ，其中 $\displaystyle \alpha$ 为任意正数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leqslant \frac{f(x)+f(y)}{2}, \forall x, y \in[0,1]$ ，证明 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{2}\right)$ ．
第45题证明题
45．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上二阶连续可导且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(0,2)$ 使 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=f(2)$ ．
第46题证明题
46．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内二阶可导．试证 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得
$\displaystyle f(b)-2 f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(a)=\frac{(b-a)^{2}}{4} f^{\prime \prime}(\xi)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，则 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} f(0)+\frac{1}{2} f(1)-\frac{1}{8} f^{\prime \prime}(\xi)$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内二阶可导．试证 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得
$\displaystyle f(b)-2 f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(a)=\frac{(b-a)^{2}}{4} f^{\prime \prime}(\xi)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，则 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} f(0)+\frac{1}{2} f(1)-\frac{1}{8} f^{\prime \prime}(\xi)$ ．
第47题证明题
47．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 三次可导．试证 $\displaystyle \exists c \in(a, b)$ 使
$$
f(b)=f(a)+f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)+\frac{1}{24} f^{\prime \prime \prime}(c)(b-a)^{3}
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上三阶可导．求证存在 $\displaystyle \xi \in(-1,1)$ 使 $\displaystyle \frac{f^{(3)}(\xi)}{3}=\frac{f(1)-f(-1)}{2}-f^{\prime}(0)$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 三次可导．试证 $\displaystyle \exists c \in(a, b)$ 使
$$
f(b)=f(a)+f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)+\frac{1}{24} f^{\prime \prime \prime}(c)(b-a)^{3}
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上三阶可导．求证存在 $\displaystyle \xi \in(-1,1)$ 使 $\displaystyle \frac{f^{(3)}(\xi)}{3}=\frac{f(1)-f(-1)}{2}-f^{\prime}(0)$ ．
第48题证明题
48．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶导函数连续．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) f\left(\frac{a+b}{2}\right)+\frac{1}{24}(b-a)^{3} f^{\prime \prime}(\xi)$ 。华中师大2005，东北师大2002，延安大学2001，东华大学 2006，西电 2003，扬州大学 2006，西安理工）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二次可微，$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0, M=\max _{a<x<b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．证明 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M(b-a)^{3}}{24}$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-a, a](a>0)$ 上具有二阶连续的导函数，$\displaystyle f(0)=0$ ．证明至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(-a, a)$ 使得 $\displaystyle a^{3} f^{\prime \prime}(\eta)=3 \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x$ 。武汉大学2014，曲阜师大2011，东华大学2005）
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶导函数连续．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) f\left(\frac{a+b}{2}\right)+\frac{1}{24}(b-a)^{3} f^{\prime \prime}(\xi)$ 。华中师大2005，东北师大2002，延安大学2001，东华大学 2006，西电 2003，扬州大学 2006，西安理工）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二次可微，$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0, M=\max _{a<x<b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．证明 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M(b-a)^{3}}{24}$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-a, a](a>0)$ 上具有二阶连续的导函数，$\displaystyle f(0)=0$ ．证明至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(-a, a)$ 使得 $\displaystyle a^{3} f^{\prime \prime}(\eta)=3 \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x$ 。武汉大学2014，曲阜师大2011，东华大学2005）
第49题证明题
49．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上三阶可微，求证存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使
$\displaystyle f(b)-f(a)=\frac{1}{2}(b-a)\left(f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b)\right)-\frac{1}{12}(b-a)^{3} f^{(3)}(\xi)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．证明存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{12}(a-b)^{3} . \text { }
$$
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上三阶可微，求证存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使
$\displaystyle f(b)-f(a)=\frac{1}{2}(b-a)\left(f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b)\right)-\frac{1}{12}(b-a)^{3} f^{(3)}(\xi)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．证明存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{12}(a-b)^{3} . \text { }
$$
第50题证明题
50．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶导函数连续，$\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}+\frac{1}{6}(b-a)^{3} f^{\prime \prime}(\xi)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上三阶可导连续，$\displaystyle f^{\prime \prime}(a)=f^{\prime \prime}(b)$ ．求证存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使
$$
f(b)=f(a)+\frac{1}{2}(b-a)\left(f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b)\right)+\frac{1}{24}(b-a)^{3} f^{(3)}(\xi)
$$
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶导函数连续，$\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}+\frac{1}{6}(b-a)^{3} f^{\prime \prime}(\xi)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上三阶可导连续，$\displaystyle f^{\prime \prime}(a)=f^{\prime \prime}(b)$ ．求证存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使
$$
f(b)=f(a)+\frac{1}{2}(b-a)\left(f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b)\right)+\frac{1}{24}(b-a)^{3} f^{(3)}(\xi)
$$