幂级数的性质（内闭一致收敛、和函数的连续性、逐项积分、逐项求导）
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第5题求解题
5．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(x-a)^{n-1} \cdot(a=1$ ：浃西师大 2009 ，西安交大 2010 ，北航 2001，东南大学 2005；$\displaystyle a=2$ ；海南师大 2012；$\displaystyle a=0$ ：北京大学 1996，桂林电子科技 2009，昆明理工 2013）
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(x-a)^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \left(\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}\right)^{2}-\sum_{n=1}^{\infty}(n+1) q^{n},(|q|<1)$ ．
．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(n+1) x^{n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(3 n+5) x^{n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(2 n+1) x^{n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^{2 n+1} \cdot$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^{3 n-1}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{2^{n}} x^{2 n+1}:$
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}} x^{2 n-2}$ ．
（11）求数项级数的和：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{3^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}} \cdot 2^{n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}} \cdot(-1)^{n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(x-a)^{n-1} \cdot(a=1$ ：浃西师大 2009 ，西安交大 2010 ，北航 2001，东南大学 2005；$\displaystyle a=2$ ；海南师大 2012；$\displaystyle a=0$ ：北京大学 1996，桂林电子科技 2009，昆明理工 2013）
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(x-a)^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \left(\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}\right)^{2}-\sum_{n=1}^{\infty}(n+1) q^{n},(|q|<1)$ ．
．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(n+1) x^{n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(3 n+5) x^{n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(2 n+1) x^{n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^{2 n+1} \cdot$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^{3 n-1}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{2^{n}} x^{2 n+1}:$
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}} x^{2 n-2}$ ．
（11）求数项级数的和：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{3^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}} \cdot 2^{n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}} \cdot(-1)^{n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}}$ ．
第6题证明题
6．证明或讨论下列函数项级数在指定区间上的敛散性．
（1）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{\alpha} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的和函数 $\displaystyle S(x)$ ，并讨论级数在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的一致收敛性，其中 $\displaystyle \alpha>0$ ．
（2）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x \mathrm{e}^{-n x}$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致收敛，但 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可逐项求导．
（3）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-n x}}{n^{\alpha}}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛 $\displaystyle (\alpha>0)$ ．
（4）证明当 $\displaystyle \alpha>2$ 时函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{\alpha} \mathrm{e}^{-n x^{2}}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致收敛．
（1）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{\alpha} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的和函数 $\displaystyle S(x)$ ，并讨论级数在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的一致收敛性，其中 $\displaystyle \alpha>0$ ．
（2）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x \mathrm{e}^{-n x}$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致收敛，但 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可逐项求导．
（3）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-n x}}{n^{\alpha}}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛 $\displaystyle (\alpha>0)$ ．
（4）证明当 $\displaystyle \alpha>2$ 时函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{\alpha} \mathrm{e}^{-n x^{2}}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致收敛．
第6题求解题
6．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1) x^{n}$ 。
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n-1}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)^{2} x^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n^{2} x^{n}$
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(n+2) x^{n} \cdot$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(n^{2}+1\right) 3^{n} x^{n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(n^{2}+n+1\right) t^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(n^{2}+n+1\right) x^{n}$ ．
（7）求 数 项 级 数 的 和．$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{(1+a)^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n^{2}}{2^{n-1}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{3^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+2)}{3^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n(n+1)}{2^{2 n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+n+1}{2^{n}} ; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\left(n^{2}-n+1\right)}{2^{n}}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1) x^{n}$ 。
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n-1}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)^{2} x^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n^{2} x^{n}$
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(n+2) x^{n} \cdot$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(n^{2}+1\right) 3^{n} x^{n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(n^{2}+n+1\right) t^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(n^{2}+n+1\right) x^{n}$ ．
（7）求 数 项 级 数 的 和．$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{(1+a)^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n^{2}}{2^{n-1}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{3^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+2)}{3^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n(n+1)}{2^{2 n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+n+1}{2^{n}} ; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\left(n^{2}-n+1\right)}{2^{n}}$ ．
第7题求解题
7．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 3^{n}}(x-a)^{n}$ ．（桂林电子科技 2010／2007（ $\displaystyle a=3$ ），徐州师 大2009（ $\displaystyle a=1$ ））
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}} x^{n+1}$ ．
（4） $\displaystyle 1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{2 n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 8^{n}}(3 x-1)^{3 n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{2 n+1}{n} x^{2 n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}(x-a)^{n-1} \cdot(a=0$ ：徐州师大 2008，南京理工 2010，北京交大 2003，扬州大学 2004，聊城大学 2010／2009；$\displaystyle a=1$ ：哈工大 2006）
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}} x^{n-1}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{2 n-1}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{2 n-2}$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1} x^{n}$ ．
（11）求数项级数的和：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \frac{1}{2^{n}} ; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{-n}}{n+1} ; \sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^{k}}{2 k}+\frac{1}{(2 k)^{2}-1}\right]$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 3^{n}}(x-a)^{n}$ ．（桂林电子科技 2010／2007（ $\displaystyle a=3$ ），徐州师 大2009（ $\displaystyle a=1$ ））
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}} x^{n+1}$ ．
（4） $\displaystyle 1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{2 n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 8^{n}}(3 x-1)^{3 n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{2 n+1}{n} x^{2 n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}(x-a)^{n-1} \cdot(a=0$ ：徐州师大 2008，南京理工 2010，北京交大 2003，扬州大学 2004，聊城大学 2010／2009；$\displaystyle a=1$ ：哈工大 2006）
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}} x^{n-1}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{2 n-1}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{2 n-2}$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1} x^{n}$ ．
（11）求数项级数的和：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \frac{1}{2^{n}} ; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{-n}}{n+1} ; \sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^{k}}{2 k}+\frac{1}{(2 k)^{2}-1}\right]$ ．
第8题计算题
8．已知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$ ，计算下列反常积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1-x)}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{dx}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \ln \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1-x)}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{dx}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \ln \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right) \mathrm{d} x$ ．
第8题求解题
8．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$ ，
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n(n+1) 3^{n+1}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n+2)}{n(n+1)}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$ ，
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n(n+1) 3^{n+1}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n+2)}{n(n+1)}$ ．
第9题证明题
9．证明下列等式．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln \frac{1}{x}}{1-x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi^{2}}{6}$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x}\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right) \mathrm{d} x=2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{4}$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln \frac{1}{x}}{1-x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi^{2}}{6}$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x}\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right) \mathrm{d} x=2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{4}$ ．
第9题求解题
9．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n^{2}-1}$ ，并求 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}\left(n^{2}-1\right)}, \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(n^{2}-1\right) 2^{n}}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+2)}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+2)}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+n-2}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n^{2}-1}$ ，并求 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}\left(n^{2}-1\right)}, \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(n^{2}-1\right) 2^{n}}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+2)}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+2)}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+n-2}$ ．
第10题计算题
10．设 $\displaystyle \operatorname{sh} x \operatorname{sh} y=1$ ，其中 $\displaystyle \operatorname{sh} x=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}$ ，计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x$ 。
分析：先求出 $\displaystyle y(x)$ ，并作变换 $\displaystyle t=\mathrm{e}^{-x}$ ，利用 $\displaystyle \ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}, x \in(-1,1]$ ，并逐项积分．
分析：先求出 $\displaystyle y(x)$ ，并作变换 $\displaystyle t=\mathrm{e}^{-x}$ ，利用 $\displaystyle \ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}, x \in(-1,1]$ ，并逐项积分．
第10题求解题
10．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1} x^{2 n-1}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2 n+1} x^{2 n+1}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2 n-1) 3^{n}} x^{2 n}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2 n}}{n(2 n-1)}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n+1)(n+1)}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 n}-\frac{1}{2 n+1}\right) x^{2 n+1}, ~ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2 n+1)}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(2 n-1)}\left(\frac{x}{3 x+1}\right)^{2 n}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{(x-a)^{2 n+1}}{(2 n)^{2}-1} .(a=1$ ：广西师大 $\displaystyle 2000 ; a=0$ ；武汉理工 2009，昆明理工 2008）
（9）求 数 项 级 数 的 和 ：
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) 3^{2 n+1}}$ ；
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2 n+1}$ ；
（3）$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^{k}}{2 k+1}+\frac{1}{k(k+1)}\right]$ ；
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1) 2^{n}}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1} x^{2 n-1}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2 n+1} x^{2 n+1}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2 n-1) 3^{n}} x^{2 n}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2 n}}{n(2 n-1)}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n+1)(n+1)}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 n}-\frac{1}{2 n+1}\right) x^{2 n+1}, ~ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2 n+1)}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(2 n-1)}\left(\frac{x}{3 x+1}\right)^{2 n}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{(x-a)^{2 n+1}}{(2 n)^{2}-1} .(a=1$ ：广西师大 $\displaystyle 2000 ; a=0$ ；武汉理工 2009，昆明理工 2008）
（9）求 数 项 级 数 的 和 ：
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) 3^{2 n+1}}$ ；
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2 n+1}$ ；
（3）$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^{k}}{2 k+1}+\frac{1}{k(k+1)}\right]$ ；
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1) 2^{n}}$ ．
第11题求解题
11．求级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n+1}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n-2}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n+2}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n+1}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n-2}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n+2}$ ．
第12题求解题
12．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^{n}$
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!} x^{n+1}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n-1}{n!} x^{2 n}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 n+1}{n!} x^{2 n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!} x^{n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{2^{n} n!} x^{n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{(n+2)!} x^{n}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{2^{n} n!} x^{n}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n)!} x^{2 n+1}$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{2 n+1}{(2 n-1)!} x^{2 n}$ ．
（11）求下列级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n-1}{4^{n} n!}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1) 2^{n}}{n!}$.
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(n+1) 3^{n}}{n!}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n+1)}{n!}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \cdot$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!}$ 。
（7）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+2) n!}$ ，或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}$
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^{n}$
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!} x^{n+1}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n-1}{n!} x^{2 n}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 n+1}{n!} x^{2 n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!} x^{n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{2^{n} n!} x^{n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{(n+2)!} x^{n}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{2^{n} n!} x^{n}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n)!} x^{2 n+1}$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{2 n+1}{(2 n-1)!} x^{2 n}$ ．
（11）求下列级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n-1}{4^{n} n!}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1) 2^{n}}{n!}$.
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(n+1) 3^{n}}{n!}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n+1)}{n!}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \cdot$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!}$ 。
（7）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+2) n!}$ ，或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}$
第13题求解题
13．求下列级数的和函数．
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{1}{3^{n+1}}-(-2)^{n+1}\right] x^{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{2 n+1}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{4 n-3},(x \geqslant 0)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) x^{n}$ ．
（5） $\displaystyle 1+\sum_{n=1}^{x} \frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!} x^{n},(x \geqslant 0)$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(n-1)^{2}}{n+1} x^{n}$ ，并求 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(n-1)^{2}}{n+1} 3^{-n}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{1}{3^{n+1}}-(-2)^{n+1}\right] x^{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{2 n+1}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{4 n-3},(x \geqslant 0)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) x^{n}$ ．
（5） $\displaystyle 1+\sum_{n=1}^{x} \frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!} x^{n},(x \geqslant 0)$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(n-1)^{2}}{n+1} x^{n}$ ，并求 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(n-1)^{2}}{n+1} 3^{-n}$ ．
第14题求解题
14．求下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处的幂级数展开式，并求 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1}$ 的值．
（1）$\displaystyle f(x)=\arctan x$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\arctan \frac{2 x}{1-x^{2}}$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-x}{1+x}, x \neq 1, f(1)=\frac{\pi}{2}$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-x}{1+x}+\arctan \frac{2 x}{1-x^{2}}$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ ．
（6）$\displaystyle f(x)=\ln \sqrt{1+x^{2}}-x \arctan x$ ．
分析：本题用 $\displaystyle \arctan \frac{x-y}{1+x y}=\arctan x-\arctan y$ 恒等变形．
（1）$\displaystyle f(x)=\arctan x$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\arctan \frac{2 x}{1-x^{2}}$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-x}{1+x}, x \neq 1, f(1)=\frac{\pi}{2}$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-x}{1+x}+\arctan \frac{2 x}{1-x^{2}}$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ ．
（6）$\displaystyle f(x)=\ln \sqrt{1+x^{2}}-x \arctan x$ ．
分析：本题用 $\displaystyle \arctan \frac{x-y}{1+x y}=\arctan x-\arctan y$ 恒等变形．
第15题求解题
15．求下列函数在指定点处的幂级数展开式．
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3 x+2}, x_{0}=1$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{x-3}{1+x}, x_{0}=1$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x(1+x)}, x_{0}=1$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}+4 x+3}, x_{0}=1$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\cos x, x_{0}=\frac{\pi}{2}$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3 x+2}, x_{0}=1$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{x-3}{1+x}, x_{0}=1$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x(1+x)}, x_{0}=1$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}+4 x+3}, x_{0}=1$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\cos x, x_{0}=\frac{\pi}{2}$ ．
第16题求解题
16．求下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处的幂级数展开式．
（1）$\displaystyle f(x)=-\frac{x+1}{x-1}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x-2 x^{2}}$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\frac{x}{(1-x)\left(1-x^{2}\right)}$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-3 x+2}$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1+x)\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right)}$ ．
（6）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1+x)^{2}}$ 或 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1-x)^{2}}$
（1）$\displaystyle f(x)=-\frac{x+1}{x-1}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x-2 x^{2}}$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\frac{x}{(1-x)\left(1-x^{2}\right)}$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-3 x+2}$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1+x)\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right)}$ ．
（6）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1+x)^{2}}$ 或 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1-x)^{2}}$
第17题计算题
17．求下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处的幂级数展开式．
（1）$\displaystyle f(x)=\arcsin x$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=x \arccos x$ ，并计算 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{2-x}}$ ．
（4）$\displaystyle \frac{1}{\left(1-x^{2}\right) \sqrt{1-x^{2}}}$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ ．
（6）$\displaystyle f(x)=x \ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=\arcsin x$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=x \arccos x$ ，并计算 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{2-x}}$ ．
（4）$\displaystyle \frac{1}{\left(1-x^{2}\right) \sqrt{1-x^{2}}}$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ ．
（6）$\displaystyle f(x)=x \ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)$ ．
第18题求解题
18．求下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处的幂级数展开式．
（1）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{1-\cos t}{t} \mathrm{~d} t$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\sin ^{2} x$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{1-\cos t}{t} \mathrm{~d} t$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\sin ^{2} x$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ．
第19题求解题
19．求函数的幂级数展开式及系数．
（1）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ，并求 $\displaystyle f^{(10)}(0)$ 及 $\displaystyle f^{(11)}(0)$ 。
（2）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} t \cos t \mathrm{~d} t$ ，并求 $\displaystyle f^{(2005)}(0)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\sin ^{2}\left(x^{2}+1\right)$ ，并求 $\displaystyle f^{(n)}(0),(n=1,2,3, \cdots)$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ，并求 $\displaystyle f^{(10)}(0)$ 及 $\displaystyle f^{(11)}(0)$ 。
（2）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} t \cos t \mathrm{~d} t$ ，并求 $\displaystyle f^{(2005)}(0)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\sin ^{2}\left(x^{2}+1\right)$ ，并求 $\displaystyle f^{(n)}(0),(n=1,2,3, \cdots)$ ．
第20题求解题
20．求下列函数的麦克劳林展开式．
（1）$\displaystyle f(x)=2^{x}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{2-2 x}$ ，并求出 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（3）$\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{1-x}$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 的 Taylor 展开式为 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 。
（4）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{x^{2}-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=2^{x}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{2-2 x}$ ，并求出 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（3）$\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{1-x}$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 的 Taylor 展开式为 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 。
（4）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{x^{2}-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ．
第21题求解题
21．求下列函数的麦克劳林展开式．
（1）$\displaystyle f(x)=(1+x) \ln (x+1)$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\ln \left(1-x-2 x^{2}\right)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\ln \left(2+x^{2}\right)$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\ln (1+t)}{t} \mathrm{~d} t$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{t} \ln \left(\frac{1+t}{1-t}\right) \mathrm{d} t$. ．深圳大学 2009）
（6）$\displaystyle f(x)=\ln \left(1+x+x^{2}\right)$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=(1+x) \ln (x+1)$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\ln \left(1-x-2 x^{2}\right)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\ln \left(2+x^{2}\right)$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\ln (1+t)}{t} \mathrm{~d} t$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{t} \ln \left(\frac{1+t}{1-t}\right) \mathrm{d} t$. ．深圳大学 2009）
（6）$\displaystyle f(x)=\ln \left(1+x+x^{2}\right)$ ．
第22题证明题
22．试证明 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \ln \frac{1+x}{1-x} \mathrm{~d} x=2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{4}$ ．
第23题求解题
23．求下列函数在指定点处的幂级数展开式．
（1）$\displaystyle f(x)=\ln \left(4 x-x^{2}\right), x=1$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\ln x, x=2$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\ln x+\frac{1}{x+2}, x=1$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=\ln \left(4 x-x^{2}\right), x=1$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\ln x, x=2$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\ln x+\frac{1}{x+2}, x=1$ ．
第24题证明题
24．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{2^{n}}$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛，并计算 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin \left(2^{n} \pi x\right)}{2^{n}}$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续；（2）函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin \left(2^{n} \pi x\right)}{2^{n}}$ 在任何区间上不能逐项可导（对任意的 $\displaystyle x$ ，此函数项级数逐项求导后点点不收玫）．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{2^{n}}$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛，并计算 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin \left(2^{n} \pi x\right)}{2^{n}}$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续；（2）函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin \left(2^{n} \pi x\right)}{2^{n}}$ 在任何区间上不能逐项可导（对任意的 $\displaystyle x$ ，此函数项级数逐项求导后点点不收玫）．
第24题求解题
24．将下列函数展开为幂级数，并指出收玫域．
（1）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{1-x}\right)^{n}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}(2 x-1)^{n}$ ．
分析：先求幂级数的和函数，然后再展开幂级数
（1）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{1-x}\right)^{n}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}(2 x-1)^{n}$ ．
分析：先求幂级数的和函数，然后再展开幂级数
第25题求解题
25．求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{x}{3}\right)^{n-1}$ 的收玫域及其和函数 $\displaystyle S(x)$ ，再将 $\displaystyle S(x)$ 展开成 $\displaystyle (x-2)$ 的幂级数，并求展开后所得幂级数的收玫半径和收玫区间．
第29题证明题
29．设 $\displaystyle a_{n}>0, n \geqslant 0, S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径为1．证明：如果 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{-}} S(x)=S$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫且和为 S．
第30题未分类
30．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle |x|<R$ 内收玫，若 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1} R^{n+1}$ 也收敛，则 $\displaystyle \int_{0}^{R} f(x) \mathrm{d} x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1} R^{n+1}$ ．应用这个结果证明：（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x=\ln 2=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n}$ ；（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x} \cdot \frac{\mathrm{~d} x}{x}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$
第31题求解题
31．求解下列各题．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x} \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t, x \neq 0, \text {（1）确定常数 } A \text { 使 } f(x) \text { 在 } \mathbf{R} \text { 任意可导，并求它的幂级数展开 } \\ A, x=0,\end{array}\right.$式；（2）求 $\displaystyle f^{(6)}(0), f^{(7)}(0)$ ．
（2）设 $\displaystyle F(x)=\frac{1}{x} \int_{0}^{x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle f^{(8)}(0), f^{(10)}(0)$ 。武汉大学 2012）
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x} \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t, x \neq 0, \text {（1）确定常数 } A \text { 使 } f(x) \text { 在 } \mathbf{R} \text { 任意可导，并求它的幂级数展开 } \\ A, x=0,\end{array}\right.$式；（2）求 $\displaystyle f^{(6)}(0), f^{(7)}(0)$ ．
（2）设 $\displaystyle F(x)=\frac{1}{x} \int_{0}^{x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle f^{(8)}(0), f^{(10)}(0)$ 。武汉大学 2012）
第32题证明题
32．证明下列结论．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有极限 $\displaystyle L$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 上有定义；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1}(1-x) f(x)=L$ ．
（2）设数列 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径 $\displaystyle R \geqslant 1$ ；（2）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{+}}(1-x) f(x)=a$ ；（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{+}}(1-x) \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1-t}=a$ ．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有极限 $\displaystyle L$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 上有定义；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1}(1-x) f(x)=L$ ．
（2）设数列 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径 $\displaystyle R \geqslant 1$ ；（2）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{+}}(1-x) f(x)=a$ ；（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{+}}(1-x) \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1-t}=a$ ．
第34题证明题
34．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} \ln (1+n)} x^{n}$ ．证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 连续；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=-1$ 处可导；（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f^{\prime}(x)=+\infty$ ；（4）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 不可导．
第34题证明题
34．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2}}$ 定义在 $\displaystyle [0,1]$ 上，证明：它在 $\displaystyle (0,1)$ 上满足方程：
$$
f(x)+f(1-x)+\ln x \cdot \ln (1-x)=f(1)=\frac{\pi^{2}}{6},(0<x<1)
$$
（2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(1-x)^{n}}{n(n-1)}$ 的收玫域．如果其和函数是 $\displaystyle S(x)$ ，证明：$\displaystyle x \in(0,1)$ 时，有
$$
S(x)+x \ln x+S(1-x)+(1-x) \ln (1-x)=1 . \text {
$$
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2}}$ 定义在 $\displaystyle [0,1]$ 上，证明：它在 $\displaystyle (0,1)$ 上满足方程：
$$
f(x)+f(1-x)+\ln x \cdot \ln (1-x)=f(1)=\frac{\pi^{2}}{6},(0<x<1)
$$
（2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(1-x)^{n}}{n(n-1)}$ 的收玫域．如果其和函数是 $\displaystyle S(x)$ ，证明：$\displaystyle x \in(0,1)$ 时，有
$$
S(x)+x \ln x+S(1-x)+(1-x) \ln (1-x)=1 . \text {
$$
第37题证明题
37．证明下列结论．
（1）若幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 内收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．设 $\displaystyle 0 \neq x_{n} \in(-1,1)$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ 和 $\displaystyle f\left(x_{n}\right)=0$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ ，则对所有 $\displaystyle x \in(-1,1), f(x)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛区间为 $\displaystyle (-R, R)$ ，若数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle R>x_{1}>x_{2}>\cdots>0$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0, f\left(x_{n}\right)=0, n=1,2, \cdots$ ，证明：$\displaystyle a_{n}=0$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 上无穷次可微，且 $\displaystyle \forall n, \exists M>0$ ，使 $\displaystyle \left|f^{(n)}(x)\right| \leqslant M, f\left(\frac{1}{n}\right)=0$ ，则
$\displaystyle f(x)=0, x \in(-1,1)$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上无限次可微，且存在 $\displaystyle M>0$ 使得 $\displaystyle \left|f^{(k)}(x)\right| \leqslant M$ ， $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty), k=1,2, \cdots . f\left(\frac{1}{2^{n}}\right)=0, n=1,2, \cdots$ ．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上恒为零．
（1）若幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 内收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．设 $\displaystyle 0 \neq x_{n} \in(-1,1)$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ 和 $\displaystyle f\left(x_{n}\right)=0$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ ，则对所有 $\displaystyle x \in(-1,1), f(x)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛区间为 $\displaystyle (-R, R)$ ，若数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle R>x_{1}>x_{2}>\cdots>0$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0, f\left(x_{n}\right)=0, n=1,2, \cdots$ ，证明：$\displaystyle a_{n}=0$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 上无穷次可微，且 $\displaystyle \forall n, \exists M>0$ ，使 $\displaystyle \left|f^{(n)}(x)\right| \leqslant M, f\left(\frac{1}{n}\right)=0$ ，则
$\displaystyle f(x)=0, x \in(-1,1)$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上无限次可微，且存在 $\displaystyle M>0$ 使得 $\displaystyle \left|f^{(k)}(x)\right| \leqslant M$ ， $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty), k=1,2, \cdots . f\left(\frac{1}{2^{n}}\right)=0, n=1,2, \cdots$ ．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上恒为零．
第45题求解题
45．设 $\displaystyle f_{1}(x)=f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}, f_{n+1}(x)=f\left(f_{n}(x)\right), n=1,2, \cdots$
（1）求 $\displaystyle f_{n}(x)$ 的表达式，并证 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致收敛于 0 ．
（2）求证：级数 $\displaystyle f_{1}(x)+\sum_{n=1}^{\infty}\left(f_{n+1}(x)-f_{n}(x)\right)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收玫于 0 ．
（1）求 $\displaystyle f_{n}(x)$ 的表达式，并证 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致收敛于 0 ．
（2）求证：级数 $\displaystyle f_{1}(x)+\sum_{n=1}^{\infty}\left(f_{n+1}(x)-f_{n}(x)\right)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收玫于 0 ．