幂级数的运算
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第5题求解题
5．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(x-a)^{n-1} \cdot(a=1$ ：浃西师大 2009 ，西安交大 2010 ，北航 2001，东南大学 2005；$\displaystyle a=2$ ；海南师大 2012；$\displaystyle a=0$ ：北京大学 1996，桂林电子科技 2009，昆明理工 2013）
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(x-a)^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \left(\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}\right)^{2}-\sum_{n=1}^{\infty}(n+1) q^{n},(|q|<1)$ ．
．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(n+1) x^{n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(3 n+5) x^{n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(2 n+1) x^{n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^{2 n+1} \cdot$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^{3 n-1}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{2^{n}} x^{2 n+1}:$
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}} x^{2 n-2}$ ．
（11）求数项级数的和：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{3^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}} \cdot 2^{n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}} \cdot(-1)^{n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(x-a)^{n-1} \cdot(a=1$ ：浃西师大 2009 ，西安交大 2010 ，北航 2001，东南大学 2005；$\displaystyle a=2$ ；海南师大 2012；$\displaystyle a=0$ ：北京大学 1996，桂林电子科技 2009，昆明理工 2013）
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(x-a)^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \left(\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}\right)^{2}-\sum_{n=1}^{\infty}(n+1) q^{n},(|q|<1)$ ．
．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(n+1) x^{n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(3 n+5) x^{n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(2 n+1) x^{n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^{2 n+1} \cdot$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^{3 n-1}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{2^{n}} x^{2 n+1}:$
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}} x^{2 n-2}$ ．
（11）求数项级数的和：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{3^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}} \cdot 2^{n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}} \cdot(-1)^{n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}}$ ．
第6题求解题
6．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1) x^{n}$ 。
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n-1}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)^{2} x^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n^{2} x^{n}$
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(n+2) x^{n} \cdot$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(n^{2}+1\right) 3^{n} x^{n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(n^{2}+n+1\right) t^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(n^{2}+n+1\right) x^{n}$ ．
（7）求 数 项 级 数 的 和．$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{(1+a)^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n^{2}}{2^{n-1}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{3^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+2)}{3^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n(n+1)}{2^{2 n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+n+1}{2^{n}} ; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\left(n^{2}-n+1\right)}{2^{n}}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1) x^{n}$ 。
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n-1}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)^{2} x^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n^{2} x^{n}$
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(n+2) x^{n} \cdot$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(n^{2}+1\right) 3^{n} x^{n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(n^{2}+n+1\right) t^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(n^{2}+n+1\right) x^{n}$ ．
（7）求 数 项 级 数 的 和．$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{(1+a)^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n^{2}}{2^{n-1}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{3^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+2)}{3^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n(n+1)}{2^{2 n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+n+1}{2^{n}} ; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\left(n^{2}-n+1\right)}{2^{n}}$ ．
第7题求解题
7．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 3^{n}}(x-a)^{n}$ ．（桂林电子科技 2010／2007（ $\displaystyle a=3$ ），徐州师 大2009（ $\displaystyle a=1$ ））
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}} x^{n+1}$ ．
（4） $\displaystyle 1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{2 n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 8^{n}}(3 x-1)^{3 n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{2 n+1}{n} x^{2 n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}(x-a)^{n-1} \cdot(a=0$ ：徐州师大 2008，南京理工 2010，北京交大 2003，扬州大学 2004，聊城大学 2010／2009；$\displaystyle a=1$ ：哈工大 2006）
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}} x^{n-1}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{2 n-1}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{2 n-2}$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1} x^{n}$ ．
（11）求数项级数的和：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \frac{1}{2^{n}} ; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{-n}}{n+1} ; \sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^{k}}{2 k}+\frac{1}{(2 k)^{2}-1}\right]$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 3^{n}}(x-a)^{n}$ ．（桂林电子科技 2010／2007（ $\displaystyle a=3$ ），徐州师 大2009（ $\displaystyle a=1$ ））
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}} x^{n+1}$ ．
（4） $\displaystyle 1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{2 n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 8^{n}}(3 x-1)^{3 n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{2 n+1}{n} x^{2 n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}(x-a)^{n-1} \cdot(a=0$ ：徐州师大 2008，南京理工 2010，北京交大 2003，扬州大学 2004，聊城大学 2010／2009；$\displaystyle a=1$ ：哈工大 2006）
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}} x^{n-1}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{2 n-1}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{2 n-2}$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1} x^{n}$ ．
（11）求数项级数的和：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \frac{1}{2^{n}} ; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{-n}}{n+1} ; \sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^{k}}{2 k}+\frac{1}{(2 k)^{2}-1}\right]$ ．
第8题求解题
8．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$ ，
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n(n+1) 3^{n+1}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n+2)}{n(n+1)}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$ ，
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n(n+1) 3^{n+1}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n+2)}{n(n+1)}$ ．
第9题求解题
9．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n^{2}-1}$ ，并求 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}\left(n^{2}-1\right)}, \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(n^{2}-1\right) 2^{n}}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+2)}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+2)}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+n-2}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n^{2}-1}$ ，并求 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}\left(n^{2}-1\right)}, \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(n^{2}-1\right) 2^{n}}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+2)}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+2)}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+n-2}$ ．
第10题求解题
10．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1} x^{2 n-1}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2 n+1} x^{2 n+1}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2 n-1) 3^{n}} x^{2 n}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2 n}}{n(2 n-1)}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n+1)(n+1)}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 n}-\frac{1}{2 n+1}\right) x^{2 n+1}, ~ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2 n+1)}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(2 n-1)}\left(\frac{x}{3 x+1}\right)^{2 n}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{(x-a)^{2 n+1}}{(2 n)^{2}-1} .(a=1$ ：广西师大 $\displaystyle 2000 ; a=0$ ；武汉理工 2009，昆明理工 2008）
（9）求 数 项 级 数 的 和 ：
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) 3^{2 n+1}}$ ；
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2 n+1}$ ；
（3）$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^{k}}{2 k+1}+\frac{1}{k(k+1)}\right]$ ；
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1) 2^{n}}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1} x^{2 n-1}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2 n+1} x^{2 n+1}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2 n-1) 3^{n}} x^{2 n}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2 n}}{n(2 n-1)}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n+1)(n+1)}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 n}-\frac{1}{2 n+1}\right) x^{2 n+1}, ~ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2 n+1)}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(2 n-1)}\left(\frac{x}{3 x+1}\right)^{2 n}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{(x-a)^{2 n+1}}{(2 n)^{2}-1} .(a=1$ ：广西师大 $\displaystyle 2000 ; a=0$ ；武汉理工 2009，昆明理工 2008）
（9）求 数 项 级 数 的 和 ：
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) 3^{2 n+1}}$ ；
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2 n+1}$ ；
（3）$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^{k}}{2 k+1}+\frac{1}{k(k+1)}\right]$ ；
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1) 2^{n}}$ ．
第11题求解题
11．求级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n+1}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n-2}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n+2}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n+1}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n-2}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n+2}$ ．
第35题证明题
35．设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的系数满足：$\displaystyle a_{n+2}+c_{1} a_{n+1}+c_{2} a_{n}=0, n \geqslant 0$ ，其中 $\displaystyle c_{1}, c_{2}$ 为常数，$\displaystyle a_{0}=1, a_{1}=-7$ ， $\displaystyle a_{2}=-1, a_{3}=-43$ ．又 $\displaystyle S(x)$ 是幂级数的和函数．证明：（1）$\displaystyle S(x)=\frac{1-8 x}{(1-3 x)(1+2 x)}$ ；（2）求幂级数的收敛半径；（3）求 $\displaystyle a_{n}$ 的表达式．
第50题证明题
50．若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{\mathrm{e}^{n}}$ 收玫，令 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{S_{n}}{\mathrm{e}^{n}}$ 收玫．