拉格朗日中值定理（Lagrange定理）

2．证明下列结论．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续单调有界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 内一致连续，则可补充定义 $\displaystyle f(a)$ 利 $\displaystyle f(b)$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在有穷区间 $\displaystyle (a, b)$ 内一致连续，证明：（1）$\displaystyle f(a+0)$ 与 $\displaystyle f(b-0)$ 存在；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$内有界。当 $\displaystyle (a, b)$ 为无限区间时，结论成立吗？
（4）设 $\displaystyle a<b, c<d$ 均为实数，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上单调，值域为 $\displaystyle (c, d)$ 。证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{\cdot}} f^{\prime}(x), ~ \lim _{x \rightarrow b^{b}} f^{\prime}(x)$ 存在且有限。证明： （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 存在且有限；（2）$\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内一致连续且有界。聊城大学 2009 ，北京师大）
（6）若 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 中无界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上不一致连续．

2．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x, x>0$ 。聊城大学2008，南京理工 2010，哈工大 2009，曲阜师大 2005，湘潭 大学 2008，上海大学 2003）
（2）$\displaystyle \frac{1}{1+x}<\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)<\frac{1}{x}, x>0$ 。
（3） $\displaystyle 0<\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}<1, x>0$ ．
（4） $\displaystyle 0<\frac{1}{x}+\frac{1}{\ln (1-x)}<1, x<0$ ．

3．讨论或证明函数的一致连续性。
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 的导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上有界，试讨论 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle I$ 上的有界性和一致连续性。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可微，且存在 $\displaystyle M>0$ ，使得 $\displaystyle \forall x \in(0,1)$ ， $\displaystyle \left|x f^{\prime}(x)-f(x)\right|<x^{2} M$ 。证明：（1）$\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内一致连续；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{\circ}} f^{\prime}(x)$ 存在。华中师大2009）

4．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有界。证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上一致连续； （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 存在，但 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 不一定存在；（3）若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上至少有一个零点．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left|f^{\prime}(x)\right|=\lambda$（常数或 $\displaystyle +\infty$ ），则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 一致连续的充要条件是 $\displaystyle \lambda$ 为常数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有连续的导函数， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)$ 存在。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可导．若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=+\infty$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上非一致连续．

4．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。试证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可微， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=l$ 。求证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=l$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。试证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{1+x^{2}}=0$ ．

5．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=l>0$ ，试证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ．
（2）设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k$ ，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 可微，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(f(x)+2 f^{\prime}(x)\right)=0$ ，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(f(x)+f^{\prime}(x)\right)=k$ 。则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k, \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上连续可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(f(x)+f^{\prime}(x)\right)=0, g(x)=f(x)-f^{\prime}(x)$ ．证明

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \mathrm{e}^{-x} \int_{1}^{x} g(t) \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0 . \text { }
$$

（6）设 函 数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上连续可微， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sup \left|f(x)+f^{\prime}(x)\right| \leqslant M<+\infty$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sup |f(x)| \leqslant M$ ．

7．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f \in C(-\infty,+\infty)$ 且为周期函数，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续，并证明 $\displaystyle \cos x^{2}$ 不是周期函数．
（2）证明：$\displaystyle f(x)=\cos x$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle f(x)=\cos x^{2}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非一致连续．

7．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内有界可微，试问下列命题中哪个必定成立（要说明理由），哪个不成立（举反例）
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f(x)=0$ 蕴含 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)=0$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 都存在蕴含 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。

7．证明下列结论．
（1）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上有定义，对 $\displaystyle y$ 连续，对 $\displaystyle x$ 关于 $\displaystyle y$ 一致连续，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 内连续．
（2）若二元函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上的两个偏导数 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(x, y), f_{y}^{\prime}(x, y)$ 有界，则 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$内连续．
（3）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 上有定义，对自变量 $\displaystyle x$ 连续，对 $\displaystyle y$ 有有界偏导数，且 $\displaystyle \left|f_{y}(x, y)\right| \leqslant 1$ ，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 内连续．
（4）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle G=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 上有定义，若 $\displaystyle f(x, 0)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，且 $\displaystyle f_{y}(x, y)$ 在 $\displaystyle G$上有界，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续．
（5）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D \subset \mathbf{R}^{2}$ 上有定义，对自变量 $\displaystyle x$ 连续，对 $\displaystyle y$ 满足 lipschitz 条件，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 内连续．

8．证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可微， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ ．求证：$\displaystyle (a,+\infty)$ 内存在一个单调数列 $\displaystyle \left\{\xi_{n}\right\}$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \xi_{n}=+\infty$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在且有限．试证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)=0$ 当且仅当 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可微， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} \frac{f(x)}{x}=0$ ，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)$ 存在且有限，求证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)=0$ ．
（4）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可微， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=+\infty$ ，求证：存在一个数列 $\displaystyle \left\{\xi_{n}\right\} \subset(a, b)$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)\right|=\infty$ 。
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可微且有界，证明：存在一个数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a,+\infty)$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} f^{\prime}\left(x_{n}\right)=0$ ．

8．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ 有 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ ．证明：对任何正整数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle \left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)-\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{n}$ 。西北师大 2005 ，首都师大 2000 ，西南大学 2007 ，华中师大，南开大学）
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ ．证明：对任何正整数 $\displaystyle n$ 有

$$
\left|\frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(a+\frac{b-a}{n} i\right)-\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{n}(b-a)^{2} \text {. }
$$

（3）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，对任意 $\displaystyle x, y$ 都有 $\displaystyle |f(x)-f(y)| \leqslant M|x-y|$ ．证明：

$$
\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)\right| \leqslant \frac{M}{2 n} .
$$

（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微， $\displaystyle \sup _{0<x<1}\left|f^{\prime}(x)\right|<M<+\infty$ ．若 $\displaystyle n>1$ 为正整数，证明：

$$
\left|\sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right)-\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{2 n} . \text { }
$$

（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调减少，对任何正整数 $\displaystyle n$ ，试证明下列不等式：

$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \leqslant \frac{f(0)-f(1)}{n},
$$


并说明该不等式的几何意义．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，$\displaystyle f(0)=f(1), \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，且对 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ 有 $\displaystyle f^{\prime}(x) \neq 1$ ，记 $\displaystyle g(x)=f(x)-x, n \geqslant 2$ 为正整数．求证：（1）$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 严格单调递减；（2）$\displaystyle -\frac{n}{2}<\sum_{k=0}^{n-1} g\left(\frac{k}{n}\right)<-\frac{n}{2}+1$ ； （3）$\displaystyle \left|\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)\right|<\frac{1}{2}$ 。．
（7）若对任意自然数 $\displaystyle m$ ，当 $\displaystyle x \geqslant m$ 时，$\displaystyle f(x)$ 是一非负单增函数，则对任意 $\displaystyle \xi \geqslant m$ 都有 $\displaystyle \left|\sum_{k=m}^{[\xi]} f(k)-\int_{m}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant f(\xi)$ ，［ $\displaystyle \xi$ ］为不超过 $\displaystyle \xi$ 的最大整数．

10．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且有有限导数，$\displaystyle f(x)$ 是非线性函数．证明：在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle c$ 使 $\displaystyle \left|f^{\prime}(c)\right|>\left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(x)$ 是非线性函数．试证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b)$ 且不恒为常数．证明：存在两个不同的点 $\displaystyle \eta, \zeta \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\zeta)>0, f^{\prime}(\eta)<0$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(x)$ 是非线性函数，$\displaystyle f(a)=f(b)$ ．试证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>0$ 。
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(x)$ 是非线性函数，$\displaystyle f(a)<f(b)$ ．试证：存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<f^{\prime}(\eta)$ 。
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 不是常数或线性函数．
（7）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle c=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ．试证：函数 $\displaystyle f(x)$ 具备下述性质中的一个：
（1）存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>c$ ；
（2）对 $\displaystyle \forall x \in[a, b]$ 有 $\displaystyle f(x)-f(a)=c(x-a)$ ．

10．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内可导，且 $\displaystyle x^{2}\left|g^{\prime}\left(x^{3}\right)\right|<\frac{1}{3} f^{\prime}(x)$ 。求证：当 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)$ 存在．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内可微，且满足 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1$ ．求证：极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} f\left(n^{-1}\right)$ 存在．

10．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续可微， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明：（1）存在数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a,+\infty)$ 满足条件 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ ， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0$ ；（2）存在数列 $\displaystyle \left\{y_{n}\right\} \subset[a,+\infty)$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=+\infty, \lim _{n \rightarrow \infty} f^{\prime}\left(y_{n}\right)=0$ 。

11．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导。证明：（1）$\displaystyle \forall x_{0} \in(a, b), f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处不可能发生第一类间断点； （2）$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内单调时，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 必在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续。湖南师大2012，南航2013，西安交大2005，2003，西安电子科技 2004 湖北大学 2005 ，山东大学 2003 ，北航 2004 ，江苏大学 2009 ，扬州大学 2010 ，北京师 大 2009 ，聊城大学 2012，太原理工 2006，武汉大学）
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内处处有导数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 。证明：$\displaystyle (a, b)$ 中的点或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的连续点，或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的第二类间断点．

11．证明下列命题．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ．试证：$\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得
$\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geqslant \frac{4}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)|$ ．（桂林电子科技 2012，山东大学 2007，中南大学 2006，苏州大学 2006，

广西民大 2008，江苏大学 2009，地质大学 2004，聊城大学 2008，中科院 2006，太原科技 2006；南京大学 2012（［1，2］））
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，$\displaystyle f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ，证明：$\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得
$\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geqslant \frac{4}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)|$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-a, a]$ 上三阶可导， 0 为 $\displaystyle f$ 的极值点．证明：$\displaystyle \exists \xi \in(-a, a)-\{0\}$ 使

$$
\left|f^{\prime \prime \prime}(\xi)\right| \geqslant \frac{3}{a^{3}}|f(a)-f(-a)| . \text { }
$$

11．证明下列结论．
（1）证 明 ：当 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时，存在 $\displaystyle \theta(x) \in(0,1)$ 使 得 $\displaystyle \sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{1}{2 \sqrt{x+\theta(x)}}$ ．并 证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \theta(x)=\frac{1}{4}, \lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)=\frac{1}{2}$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle a$ 附近有二阶连续导数，$\displaystyle f^{\prime \prime}(a) \neq 0, f(a+h)=f(a)+f^{\prime}(a+\theta h) h$ ，试证： $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{2}$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x+h)=f(x)+f^{\prime}(x) h+\cdots+\frac{h^{n}}{n!} f^{(n)}(x+\theta h), 0<\theta<1$ ，且 $\displaystyle f^{(n+1)}(x) \neq 0$ 。证 明： $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{n+1}$ ．（武汉理工 2002（ $\displaystyle n=3$ ））
（4）设 $\displaystyle h>0$ ，函数 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle U(a ; h)$ 内具有 $\displaystyle n+1$ 阶连续导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime \prime}(a)=\cdots=f^{(n)}(a)=0$ ， $\displaystyle f^{(n)}(a) \neq 0$ ．由中值定理，$\displaystyle f(a+h)-f(a)=f^{\prime}(a+\theta h) h, \theta \in(0,1)$ ．证明 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{\sqrt[n]{n+1}}$ ．
（5）设 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时，证明：存在唯一 $\displaystyle \theta(x) \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t=x \mathrm{e}^{\theta(x) x^{2}}$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)=1$ ．
（6）设 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时，证明：存在唯一 $\displaystyle \theta(x) \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t=x \mathrm{e}^{\theta(x) x}$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)=1$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上非负、严格递增的连续函数，$\displaystyle F_{n}(x)=f^{n}(x)$ ，由中值定理，$\displaystyle \exists \theta_{n} \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle F_{n}\left(\theta_{n}\right)=\int_{0}^{1} F_{n}(x) \mathrm{d} x$ 。证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \theta_{n}=1$ 。

12．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上二次可微，且有界，证明 $\displaystyle \exists x_{0} \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上二次连续可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-x} f(x), \lim _{x \rightarrow+x} f(x)$ 存在．证明存在 $\displaystyle x_{0} \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 二阶可微，且 $\displaystyle f(0)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 。证明：
（1）存在 $\displaystyle \xi_{1} \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=0$ ；（2）存在 $\displaystyle \xi_{2} \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)=0$ 。
（3）存在一个数列 $\displaystyle \left\{\xi_{n}\right\} \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \xi_{n}=+\infty$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)=0$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 内具有连续的二阶导数，$\displaystyle f_{+}^{\prime}(0)<0$ 且 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant a>0, a$ 为常数．求证：存在唯一 $\displaystyle x^{*} \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f\left(x^{*}\right)=\inf _{x>0} f(x)$ ．

12．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x) \in C[a, b]$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内二次可导，$\displaystyle f(a)=f(b)$ ，且存在一点 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(c)>f(a)$ ．试证明：存在两点 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)<0, f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)<0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=0$ 。若存在一点 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(c)>0$ ，证明：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)<0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x) \in C[a, b]$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内二次可导，且存在一点 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(c)>\max \{f(a), f(b)\}$ ．试证明：存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)<0$ ．

12．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ 。求证 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{4} M$ ．

13．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b), f_{+}^{\prime}(a)<0, f_{-}^{\prime}(b)<0$ ．证明在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 可导，$\displaystyle f(a)=0, f_{+}^{\prime}(a)>0$ ．证明：（1）存在 $\displaystyle \delta>0$ 使得 $\displaystyle f(x)>0$ ， $\displaystyle x \in(a, a+\delta)$ ；（2）存在 $\displaystyle \xi>a$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>0$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内二阶可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=0, f_{+}^{\prime}(a)$ 存在且大于 0 ，求证在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)<0$ ．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 有二阶导数，满足 $\displaystyle f(2)>f(1), f(2)>\int_{2}^{3} f(x) \mathrm{d} x$ ．证明至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(1,3)$使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)<0$ ．

13．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．证明： $\displaystyle \max _{a<x<b}\left|f^{\prime}(x)\right| \geqslant \frac{4}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ ． （四川大学 2008，西安电子科技 2008，太原科技 2005，河南师大 2008，北京工大 2002，大连海事 1999，浙江理工 2007；广西师大 2009
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 内有连续的导数，$\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ．试证明 $\displaystyle \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{1}{4} \max _{0<x<1}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导且非常数函数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．试证明：在 $\displaystyle [a, b]$ 中至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle \left|f^{\prime}(\xi)\right|>\frac{4}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（4）在 $\displaystyle [0,2]$ 上是否存在这样的连续可微函数 $\displaystyle f(x)$ 使得 $\displaystyle f(0)=f(2)=1,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1$ ，且 $\displaystyle \left|\int_{0}^{2} f(x) d x\right| \leqslant 1$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上两阶可导，$\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=f^{\prime}(a)=0, f(a)=1$ ，并且对 $\displaystyle \forall x \in[0, a]$ 有 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 1$ ．设 $\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0 \leqslant x \leqslant \frac{a}{2}, \\ a-x, \frac{a}{2}<x \leqslant a,\end{array}\right.$ 求证：（1）$\displaystyle f^{\prime}(x) \leqslant g(x)$ ；（2）求证存在 $\displaystyle x_{0} \in(0, a)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{0}\right)<g\left(x_{0}\right)$ ；（3）求证 $\displaystyle a>2$ ．
（6）设 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上连续可微，$\displaystyle f(0)=0$ ．求证 $\displaystyle \left|\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{2} a^{2}$ ，其中 $\displaystyle M=\max _{[0, a]}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．

14．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0, a)$ 内取得最大值，在 $\displaystyle [0, a]$ 上具有二阶导数，且 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M$ 。试证：$\displaystyle \left|f^{\prime}(0)\right|+\left|f^{\prime}(a)\right| \leqslant M a$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内取得最大值，在 $\displaystyle [a, b]$ 上具有二阶导数，$\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M$ 。试证：$\displaystyle \left|f^{\prime}(a)\right|+\left|f^{\prime}(b)\right| \leqslant M(b-a)$ ．
（3）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 1$ 。求证 $\displaystyle \left|f^{\prime}(0)-f^{\prime}(1)\right| \geqslant 1$ ．

14．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{a-b}{a}<\ln \frac{a}{b}<\frac{a-b}{b}, 0<b<a$ ．
（2）$\displaystyle \frac{b-a}{b^{2}+1}<\arctan b-\arctan a<\frac{b-a}{a^{2}+1}, 0<a<b$ ．
（3） $\displaystyle \ln ^{2} b-\ln ^{2} a>\frac{4}{\mathrm{e}^{2}}(b-a), \mathrm{e}<a<b<\mathrm{e}^{2}$ 。

15．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内二阶可导，且过 $\displaystyle (a, f(a)),(b,(f(b))$ 两点的直线 $\displaystyle l$ 与 $\displaystyle y=f(x), x \in(a, b)$ 有一个交点。试证：存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有 2001 阶导数，且过 $\displaystyle (a, f(a)),(b,(f(b))$ 两点的直线 $\displaystyle l$ 与 $\displaystyle y=f(x), x \in(a, b)$ 有 2000 个交点。试证存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{(2001)}(\xi)=0$ ．

15．证明下列命题．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在有限区域 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，但无界，则其导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内必无界．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在有限区域 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，并且 $\displaystyle f(x)$ 的导数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内有界．证明 $\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle (a, b)$ 内有界．
（3）构造一个在闭区间 $\displaystyle [-1,1]$ 处处可微的函数使得它的导数在 $\displaystyle [-1,1]$ 上无界．

16．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有连续导数，且 $\displaystyle \mathrm{e}^{-x^{2}} f^{\prime}(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界．证明 $\displaystyle x \mathrm{e}^{-x^{2}} f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续，在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 可导，且 $\displaystyle \mathrm{e}^{-x} f^{\prime}(x)$ 在区间 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上有界．证明 $\displaystyle \mathrm{e}^{-x} f(x)$ 在区间 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上有界。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)=O(x), x \rightarrow+\infty$ 。试证：$\displaystyle f(x)=O\left(x^{2}\right), x \rightarrow+\infty$ 。中科大 2012）

17．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{x^{4}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x})$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}\left(\arctan \frac{a}{x}-\arctan \frac{a}{x+1}\right)(a \neq 0)$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\arctan \frac{a}{n}-\arctan \frac{a}{n+1}\right)(a \neq 0)$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{\sin ^{3} x}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sin \ln (x+1)-\sin \ln x)$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\frac{\pi}{4}-\arctan \frac{x}{x+1}\right)$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[(x+1)^{\alpha}-x^{\alpha}\right]$ ，其中 $\displaystyle 0<\alpha<1$ 。
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[(n+1)^{\alpha}-n^{\alpha}\right], 0<\alpha<1$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(x^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n+1}}\right)$ ，其中 $\displaystyle x>0$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}-\mathrm{e}^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^{2}}-1}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{\sin x}}{x-\sin x}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x-\sin x}-\mathrm{e}^{-\frac{x^{3}}{6}}}{x^{5}}$ ．

17．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一阶可微，$\displaystyle f(0)=0$ ，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内单调递减．证明：$\displaystyle \frac{f(x)}{x}$在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内单调递减．

18．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微。试证：$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致可微，即 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $\displaystyle 0<|h|<\delta$ 时，有 $\displaystyle \left|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f^{\prime}(x)\right|<\varepsilon$ 对一切 $\displaystyle x \in[a, b]$ 成立．

19．证明下列的结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 有介值性，而且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant K$（正常数），$\displaystyle x \in(a, b)$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 右连续（同理在点 $\displaystyle b$ 左连续）。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle \mathbf{R}=(-\infty,+\infty)$ 上的单调函数，定义：$\displaystyle g(x)=f(x+0)$ ．证明函数 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle \mathbf{R}=(-\infty,+\infty)$ 上每一点都右连续。北京交大 2006，江苏大学 2006）
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上只有可去间断点，则 $\displaystyle m(x)=\lim _{v \rightarrow x} f(y)$ 是连续函数．

21．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b+1)$ 上有连续导数 $\displaystyle (a<b)$ ，令 $\displaystyle f_{n}(x)=n\left(f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right)$ ， $\displaystyle x \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ．证明：（1）函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上内闭一致收敛于 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ；（2）对任何 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset(a, b)$ 有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{\alpha}^{\beta} f_{n}(x) \mathrm{d} x=f(\beta)-f(\alpha)$ ．
（2）设 $\displaystyle f \in C^{\prime}(I), I$ 是有界闭区间，$\displaystyle F_{n}(x)=n\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right]$ ．证明：函数列 $\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle I$ 上一致收敛．如果 $\displaystyle I$ 是有界开区间，问 $\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle I$ 上是否仍然一致收敛？说明理由．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有连续导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，且 $\displaystyle f_{n}(x)=\mathrm{e}^{n}\left(f\left(x+\mathrm{e}^{-n}\right)-f(x)\right)$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ ．证明：函数 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在任一有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 内一致收敛于 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有连续导函数，定义 $\displaystyle F_{n}(x)=\frac{n}{2}\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f\left(x-\frac{1}{n}\right)\right] x \in[a, b]$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ ．证明：函数列 $\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上处处收敛且内闭一致收敛．
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, M+1]$ 上连续，记 $\displaystyle f_{n}(x)=n\left(\int_{0}^{x+\frac{1}{n}} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right) x \in[0, M]$ ．证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0, M]$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，定义 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{n}{2} \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} f(x+t) \mathrm{d} t, n=1,2, \cdots, x \in[a, b]$ ， $\displaystyle n=1,2 \cdots$ ．证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在任何闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．

分析：从形式看，函数列均为差商的形式，其极限函数与导数有关．

22．证明下列命题．
（1）假设 $\displaystyle f(x)$ 为二次连续可微实值函数，对于所有的实数 $\displaystyle x$ ，满足 $\displaystyle |f(x)| \leqslant 1$ 且满足 $\displaystyle (f(0))^{2}+\left(f^{\prime}(0)\right)^{2}=4$ 。证明：存在实数 $\displaystyle x_{0}$ ，满足 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)+f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-2,2]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle |f(x)| \leqslant 1$ ，又 $\displaystyle \frac{1}{2}\left[f^{\prime}(0)\right]^{2}+f^{3}(0)>\frac{2}{3}$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in(-2,2)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)+3 f^{2}\left(x_{0}\right)=0$ ．

23．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0, f(1)=1$ 。证明：（1）$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi) \sin \pi \xi+ \pi f(\xi) \cos \pi \xi=0$ ；（2）对 任 意 正 数 $\displaystyle \lambda, \exists \xi \in(0,1)$ 使 $\displaystyle (1-\xi) f^{\prime}(\xi)+\lambda f(\xi)=0$ ；（3）$\displaystyle \exists \eta \in(0,1)$ 使
$\displaystyle f^{\prime}(\eta)=\frac{1}{2001}$ ．

23．证明下列命题．
（1）若 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，对任意正整数 $\displaystyle n$ ，令 $\displaystyle x_{k}=a+k \frac{b-a}{n}, k=0,1, \cdots, n$ ， $\displaystyle A_{n}=\frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right)-\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n A_{n}=\frac{b-a}{2}(f(b)-f(a))$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微．求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)\right]=\frac{1}{2}(f(1)-f(0))$ ．

24．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且满足条件 $\displaystyle f(0)=0,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{1}{2}|f(x)|$ ．证明：在 $\displaystyle [0,1]$上，$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，$\displaystyle f(a)=0$ ．若存在 $\displaystyle M>0$ 使 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M|f(x)|, \forall x \in[a, b]$ ．证明：$\displaystyle f(x)=0, \forall x \in[a, b]$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，并有实数 $\displaystyle A>0$ 使得 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant A|f(x)|$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上成立．试证明：在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上，$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle |f(x)| \leqslant k \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t, k>0, x \in[0,+\infty)$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 可导，且 $\displaystyle f(0)=0,\left|f^{\prime}(x)-1\right| \leqslant|f(x)|-x, \forall x \in[0,1]$ ．证明：方程 $\displaystyle f(x)=x$ 有无穷多解．

26．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, c]$ 上可微，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 递减且 $\displaystyle f(0)=0$ ．证明：对于 $\displaystyle 0 \leqslant a \leqslant b \leqslant a+b \leqslant c$ ， $\displaystyle f(a+b) \leqslant f(a)+f(b)$ ．
（2）设 $\displaystyle a>0, b>0$ 。求证：当 $\displaystyle 0<p<1$ 时，$\displaystyle (a+b)^{p}<a^{p}+b^{p}$ ；当 $\displaystyle p>1$ 时，$\displaystyle (a+b)^{p}<2^{p-1}\left(a^{p}+b^{p}\right)$ ．

26．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上单调增加，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(f(n+1)-f(n))$ 收玫，并求其和；进一步，设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)<0$ ，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f^{\prime}(n)$ 收玫。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的单调递增函数， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，记 $\displaystyle a_{0}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ， $\displaystyle a_{n}=f(n)-\int_{n-1}^{n} f(x) \mathrm{d} x$ 。（1）求 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}$ ；（2）证明：数列 $\displaystyle \left\{S_{n}\right\}$ 单调递增；（3）级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收敛，并给出级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 的一个上界。

27．证明下列命题。
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x) g(x)-f(x)=0$ ，其中 $\displaystyle g(x)$ 为任一函数。证明：若 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{1}\right)=0\left(x_{0}<x_{1}\right)$ ，则在 $\displaystyle \left[x_{0}, x_{1}\right]: f(x) \equiv 0$ 。中山大学 2012，扬州大学 2011，上海理工 2004）
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 内有二阶导数，$\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0,\left|f^{\prime \prime}(x)\right|^{2} \leqslant\left|f(x) \cdot f^{\prime}(x)\right|$ ．证明存在 $\displaystyle \delta>0$ 使得在 $\displaystyle (-\delta, \delta)$ 内 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（3）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 内有二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant|f(x)|+\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．试证：$\displaystyle \exists \delta>0$ 使得在 $\displaystyle (-\delta, \delta)$ 内，$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．

27．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在连续的二阶导数。证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant 9 \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．

（2）对 $\displaystyle \forall \xi \in\left[0, \frac{1}{3}\right], \forall \eta \in\left[\frac{2}{3}, 1\right]$ ，求 证：（1）$\displaystyle \forall x \in[0,1], \sin x \leqslant 3|\cos \xi-\cos \eta|+\int_{0}^{1} \cos x \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle \mathrm{e}^{x}(\sin x+\cos x) \leqslant 9 \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x+2 \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \cos x \mathrm{~d} x$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在连续的二阶导数，$\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right|<\int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ ．记 $\displaystyle M_{1}=\max _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ， $\displaystyle M_{2}=\max _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．证明：$\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M_{1}}{2}(b-a)^{2}+\frac{M_{2}}{3}(b-a)^{3}$ ．

27．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant K>0$ ．证明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ； （2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+f^{2}(n)}$ 收敛．

28．证明下列结论．
（1）设 函 数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导，$\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)>1$ 。证明：存 在 $\displaystyle \delta>0$ 使 得 $\displaystyle f(x)>x, x \in(0, \delta)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上二次可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$ ，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ 。试证明：$\displaystyle f(x) \geqslant x, \forall x \in \mathbf{R}$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 二阶连续可微，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1, f^{\prime \prime}(x)<0, \forall x \in[0,1]$ ．证明 $\displaystyle f(x) \geqslant x, \forall x \in[0,1]$ ．

30．设 $\displaystyle f(x)$ 于 $\displaystyle [a,+\infty)$ 可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant c>0$（ $\displaystyle c$ 为常数）．证明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ；（2）$\displaystyle f(x)$ 于 $\displaystyle [a,+\infty)$ 必有最小值．

30．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}-\{(0,0)\}$ 可微，在点 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\partial f}{\partial x}=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\partial f}{\partial y}=0$ ．求证：$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微．
（2）设 $\displaystyle f(P)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{n}-\{(O)\}$ 可微，在点 $\displaystyle (O)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{P \rightarrow o} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}=0$ ．求证：$\displaystyle f(P)$ 在点 $\displaystyle (O)$ 处可微．
（3）证明：若 $\displaystyle f_{y}(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处存在，且 $\displaystyle f_{x}(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微．
（4）设 $\displaystyle f_{x}, f_{y}, f_{y x}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内存在，且 $\displaystyle f_{y x}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续。证明：$\displaystyle f_{x y}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处存在，且 $\displaystyle f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{y x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 。，江苏大学 2009）

32．证明下列各题．
（1）设可微函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在含有原点为内点的凸区域 $\displaystyle D$ 上满足 $\displaystyle x f_{x}^{\prime}(x, y)+y f_{y}^{\prime}(x, y)=0$ ．试证 $\displaystyle f(x, y)$ 为常数，$\displaystyle (x, y) \in D$ ．
（2）设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 中的凸区域，$\displaystyle f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \Omega$ 中可微，满足 $\displaystyle x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}=0$ ．证明 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle \Omega$上为常数．
（3）设 $\displaystyle D$ 是由光滑曲线 $\displaystyle L$ 围成的区域，函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \bar{D}$ 上有二阶连续导数，且 $\displaystyle a \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+b \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0, a, b>0$ ，若 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle L$ 上等于常数 $\displaystyle C$ ，证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上恒等于 $\displaystyle C$ 。
（4）设 $\displaystyle y=f(x, z)$ ，而 $\displaystyle z$ 为方程 $\displaystyle F(x, y, z)=0$ 所确定的 $\displaystyle x, y$ 函数，其中 $\displaystyle f, F$ 都有连续的一阶偏导数，证明：如果 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial z}-\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial F}{\partial x}=0, \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial z} \neq 0$ ，则 $\displaystyle y(x) \equiv$ 常数．

35．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$ ．若极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(2 x-a)}{x-a}$ 存在，证明：（1）在 $\displaystyle (a, b)$ 内 $\displaystyle f(x)>0$ ；（2）在 $\displaystyle (a, b)$ 内存在点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle \frac{b^{2}-a^{2}}{\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x}=\frac{2 \xi}{f(\xi)}$ ； （3）在 $\displaystyle (a, b)$ 内存在与（2）中 $\displaystyle \xi$ 不同的点 $\displaystyle \eta$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\eta)\left(b^{2}-a^{2}\right)=\frac{2 \xi}{\xi-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，证明存在 $\displaystyle \xi \in[1,+\infty)$ 使 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x=\int_{1}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x$ 。北京师大 1998）
（3）已知 $\displaystyle b>a>0$ ，证明存在 $\displaystyle \xi \in(-1,1)$ 使 $\displaystyle \int_{a}^{b} \frac{\mathrm{e}^{-2 x} \cos 2 x}{x} \mathrm{~d} x=\frac{\xi}{a}$ ．

37．证明下列结论．
（1）若幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 内收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．设 $\displaystyle 0 \neq x_{n} \in(-1,1)$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ 和 $\displaystyle f\left(x_{n}\right)=0$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ ，则对所有 $\displaystyle x \in(-1,1), f(x)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛区间为 $\displaystyle (-R, R)$ ，若数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle R>x_{1}>x_{2}>\cdots>0$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0, f\left(x_{n}\right)=0, n=1,2, \cdots$ ，证明：$\displaystyle a_{n}=0$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 上无穷次可微，且 $\displaystyle \forall n, \exists M>0$ ，使 $\displaystyle \left|f^{(n)}(x)\right| \leqslant M, f\left(\frac{1}{n}\right)=0$ ，则
$\displaystyle f(x)=0, x \in(-1,1)$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上无限次可微，且存在 $\displaystyle M>0$ 使得 $\displaystyle \left|f^{(k)}(x)\right| \leqslant M$ ， $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty), k=1,2, \cdots . f\left(\frac{1}{2^{n}}\right)=0, n=1,2, \cdots$ ．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上恒为零．

40．判断题．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right)=A, n$ 为自然数，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)=A$ 。

40．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续可导且 $\displaystyle f(0)=0$ ．（1）求证 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} f\left(\frac{x}{n}\right)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上一致收敛； （2）设 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} f\left(\frac{x}{n}\right)$ ，求证：$\displaystyle S(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续可导．

41．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导 $\displaystyle (0<a<b), f(a) \neq f(b)$ 。证明 $\displaystyle \exists \xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{a+b}{2 \xi_{2}} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle 0<a<b$ ．证明存在 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3} \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{a+b}{2 \xi_{2}} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=\frac{a^{2}+a b+b^{2}}{3 \xi_{3}{ }^{2}} f^{\prime}\left(\xi_{3}\right)$ 。电子科技 2013，深圳大学 2012，湖南大学 2007，南京航空，陕西师大2007）
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导， $\displaystyle 0<a<b$ 。证明 $\displaystyle \exists \xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{\xi_{2}^{2} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)}{a b}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导， $\displaystyle 0<a<b, f(a) \neq f(b)$ ．证明存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)=\frac{f^{\prime}(\eta)(b-a)}{\ln b-\ln a}$ ．

42．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a>0)$ 连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \neq 0$ ．证明：
（1）存在 $\displaystyle \xi, \eta, \zeta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(\zeta)}{f^{\prime}(\xi)}=\frac{\xi}{\eta}$ ．
（2）存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\eta)}=\frac{\mathrm{e}^{b}-\mathrm{e}^{a}}{b-a} \mathrm{e}^{-\eta}$ ．

43．证明下列命题．
（1）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=1$ ．证明存在 $\displaystyle \varepsilon, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \mathrm{e}^{\varepsilon-\eta}\left(f^{2}(\varepsilon)+2 f(\varepsilon) f^{\prime}(\varepsilon)\right)=1$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a>0)$ 连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 可微，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=1$ 。证明存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \left(\frac{\eta}{\xi}\right)^{n-1}=f(\xi)+\frac{\xi}{n} f^{\prime}(\xi), n \geqslant 1$ ．

44．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．证明在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在不相同的两点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 满足 $\displaystyle \frac{1}{f^{\prime}\left(x_{1}\right)}+\frac{1}{f^{\prime}\left(x_{2}\right)}=2$ ．

（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．证明：对任意正数 $\displaystyle a, b$ ，在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在不相同的两点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 满足 $\displaystyle \frac{a}{f^{\prime}\left(x_{1}\right)}+\frac{b}{f^{\prime}\left(x_{2}\right)}=a+b$ 。华中师大 2014，西安电子科技 2012，三峡大学 2009，首都师大

2002，北京科技 2007）
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=\frac{1}{2}$ ．证明在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在不相同的两点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 满足 $\displaystyle \frac{1}{f^{\prime}\left(x_{1}\right)}+\frac{1}{f^{\prime}\left(x_{2}\right)}=4$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可导，$\displaystyle f(a)=0, f(b)=1$ ．求证：（1）存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(c)=\frac{1}{2}$ ；（2）存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b), \xi \neq \eta$ 使得 $\displaystyle \frac{1}{f^{\prime}(\xi)}+\frac{1}{f^{\prime}(\eta)}=2(b-a)$ 。
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ 。证明对任意一组正数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$ ，在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在不相同的 $\displaystyle n$ 点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 满足 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{k_{i}}{f^{\prime}\left(x_{i}\right)}=\sum_{i=1}^{n} k_{i}$ 。

49．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上三阶可微，求证存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使
$\displaystyle f(b)-f(a)=\frac{1}{2}(b-a)\left(f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b)\right)-\frac{1}{12}(b-a)^{3} f^{(3)}(\xi)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．证明存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得

$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{12}(a-b)^{3} . \text { }
$$

50．设 $\displaystyle h(x), f_{n}^{\prime}(x), n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．又对 $\displaystyle [a, b]$ 中任意的 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 和正整数 $\displaystyle n$ 有

$$
\left|f_{n}\left(x_{1}\right)-f_{n}\left(x_{2}\right)\right| \leqslant \frac{M}{n}\left|x_{1}-x_{2}\right| \text {, 其中 } M>0 \text { 为常数. }
$$


求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} h(x) f_{n}^{\prime}(x) \mathrm{d} x=0$ ．

51．证明下列命题。
（1）设 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在，且 $\displaystyle a<c<b$ ．则存在 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{f(a)}{(a-b)(a-c)}+\frac{f(b)}{(b-a)(b-c)}+\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 二阶可导，则对 $\displaystyle x \in(a, b)$ ，存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得

$$
\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi)(x-b) . \text { }
$$

52．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle P(x, y, z), Q(x, y, z)$ 及 $\displaystyle R(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ ．中有一阶连续偏导数．对任意实数 $\displaystyle r>0$ ，以及任意点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \in \mathbf{R}^{3}$ ，半球 面 $\displaystyle S: z=z_{0}+\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{0}\right)^{2}-\left(y-y_{0}\right)^{2}}$ 上的积分 $\displaystyle \iint_{S} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0$ 成立。试证：$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}=0, R=0$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 内处处成立．．
（2）设函数 $\displaystyle P(x, y), Q(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 中有一阶连续偏导数。对任意 $\displaystyle r>0$ ，任意点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbf{R}^{2}$ ，总有 $\displaystyle \int_{L} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=0$ 成立，其中 $\displaystyle L$ 为以 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为圆心，$\displaystyle r>0$ 为半径的上半圆周，方向为逆时针。试证：在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 内，$\displaystyle P \equiv 0, \frac{\partial Q}{\partial x} \equiv 0, R=0$ 处处成立．．