指数函数的连续性

4．讨论下列函数的连续性，并指出其间断点的类型。
（1）讨论函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{1-\mathrm{e}^{\frac{x}{1-x}}}$ 的连续性，并指出其间断点的类型．
（2）分析函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\ln |x-1|}$ 的间断点及其类型．
（3）给出函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-x}{|x|\left(x^{2}-1\right)}$ 的第二类间断点。
（4）给出函数 $\displaystyle f(x)=x\left[x^{-1}\right]$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的不连续点，其中 $\displaystyle \left[x^{-1}\right]$ 表示 $\displaystyle x^{-1}$ 的整数部分．
（5）分析函数 $\displaystyle f(x)=\frac{2^{\frac{1}{x}}-1}{2^{\frac{1}{x}}+1}$ 的间断点及其类型．
（6）设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow x} \frac{\ln \left(\mathrm{e}^{n^{2}}+1+|x|^{n^{2}}\right)}{n^{2}}$ ，讨论 $\displaystyle f(x)$ 在其定义域上的连续性．

20．求下列极限．
（1）设 $\displaystyle a>0, a \neq 1$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{a^{x}-1}{(a-1) x}\right]^{\frac{1}{x}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{a}-a^{x}}{x-a}$ ．

33．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(1)=2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{1-x^{2}} f(x) \mathrm{d} x$ ，则在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=2 \xi f(\xi)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可微．若 $\displaystyle f(1)=4 \int_{0}^{\frac{1}{4}} \mathrm{e}^{1-x^{\prime}} f(x) \mathrm{d} x$ ，则（1）存在 $\displaystyle \eta \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(1)=\mathrm{e}^{1-\eta^{3}} f(\eta)$ ；（2）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=3 \xi^{2} f(\xi)$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上连续，在 $\displaystyle (0, a>0)$ 内可导且 $\displaystyle f(\pi)=\pi \int_{0}^{\frac{1}{\pi}} \mathrm{e}^{\pi-x} f(x) \mathrm{d} x$ ，证明：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0, \pi)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=f(\xi)$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上可导，且 $\displaystyle f(a)=n \int_{0}^{\frac{1}{n}} \mathrm{e}^{x-a} f(x) \mathrm{d} x,\left(\frac{1}{n}<a\right)$ ，证明：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0, a)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f(1)=\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x-1} f(x) \mathrm{d} x$ ，求证：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)+f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f(0)=3 \int_{\frac{2}{3}}^{1} \mathrm{e}^{x} f(x) \mathrm{d} x$ ，求证：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)+f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f(1)=9 \int_{0}^{\frac{1}{9}} x \mathrm{e}^{1-x} f(x) \mathrm{d} x$ ，求证：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\left(1-\xi^{-1}\right) f(\xi)$ ．

38．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可导且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ．证明：
（1）存在 $\displaystyle \xi \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=\xi$ ；
（2）存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f(\xi)=\xi$ ；
（3）存在一点 $\displaystyle \zeta \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\zeta)=1$ ；
（4）$\displaystyle \forall \lambda, \exists \eta \in(0, \xi)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\eta)-\lambda(f(\eta)-\eta)=1$ ．

43．证明下列命题．
（1）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=1$ ．证明存在 $\displaystyle \varepsilon, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \mathrm{e}^{\varepsilon-\eta}\left(f^{2}(\varepsilon)+2 f(\varepsilon) f^{\prime}(\varepsilon)\right)=1$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a>0)$ 连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 可微，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=1$ 。证明存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \left(\frac{\eta}{\xi}\right)^{n-1}=f(\xi)+\frac{\xi}{n} f^{\prime}(\xi), n \geqslant 1$ ．

56．设 $\displaystyle a, b, c$ 为三个实数，证明方程 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}=a x^{2}+b x+c$ 的根不超过三个．

提示：反证法，假设有四个（或四个以上）根，用 Rolle 定理便可推出三阶导数在某点等于零，不盾．