收敛定理（狄利克雷充分条件）
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第1题求解题
1．求下列函数的傅里叶级数展开式，并求级数的和．
（1）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{\pi}{4}, x \in[-\pi, 0), \\ \frac{\pi}{4}, x \in[0, \pi),\end{array}\right.$ 并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}$.
（2）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{c}1, x \in[-\pi, 0), \\ 0, x \in[0, \pi),\end{array}\right.$ 由此求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1}$ 的和，并证明：
$$
\pi=4\left(\sin 1+\frac{\sin 3}{3}+\cdots+\frac{\sin (2 n+1)}{2 n+1}+\cdots\right)
$$
（3）$\displaystyle f(x)=\operatorname{sgn} x, x \in(-\pi, \pi)$ ，由此求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1}$ 的和．
（1）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{\pi}{4}, x \in[-\pi, 0), \\ \frac{\pi}{4}, x \in[0, \pi),\end{array}\right.$ 并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}$.
（2）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{c}1, x \in[-\pi, 0), \\ 0, x \in[0, \pi),\end{array}\right.$ 由此求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1}$ 的和，并证明：
$$
\pi=4\left(\sin 1+\frac{\sin 3}{3}+\cdots+\frac{\sin (2 n+1)}{2 n+1}+\cdots\right)
$$
（3）$\displaystyle f(x)=\operatorname{sgn} x, x \in(-\pi, \pi)$ ，由此求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1}$ 的和．
第4题证明题
4．设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的函数，在 $\displaystyle [-\pi, \pi)$ 上 $\displaystyle f(x)=x$ 。（1）求 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数；（2）证明 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数收玫但不一致收玫；（3）给出 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数的和函数．
第5题求解题
5．设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}0,-\pi \leqslant x \leqslant 0, \\ 1,0 \leqslant x \leqslant \pi,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数，并问该级数收敛吗？收敛于 $\displaystyle f(x)$吗？在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上是否一致收敛？为什么？
第7题求解题
7．将函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\pi-x}{2}$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上展开成傅里叶级数，求出该级数在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的和。并问该级数在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上是否一致收敛于它的和函数？为什么？
第8题未分类
8．设函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\pi}{2}-x, x \in[0, \pi]$ ．（1）将 $\displaystyle f(x)$ 展开成正弦级数；（2）写出和函数；（3）该级数在 $\displaystyle [0, \pi]$ 是否一致收敛？
第13题证明题
13．设 $\displaystyle a$ 为不是整数的实参数，计算函数 $\displaystyle \cos a x$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 的三角级数展开式；并由此证明恒等式：$\displaystyle \frac{1}{\sin x}=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{1}{x-n \pi}+\frac{1}{x+n \pi}\right), x \neq m \pi, m \in \mathbf{Z}$ 。
第14题求解题
14．求下列函数的傅里叶级数展开式，并求级数的和．
（1）将函数 $\displaystyle f(x)=|x|+\sin ^{2} \pi x$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上展开成周期为 2 的傅里叶级数．
（2）求函数 $\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{a x}, 0 \leqslant x \leqslant 2 \pi$ ，的傅里叶级数，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+1}$ 的和．
（3）求函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\pi}{2} \frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{\pi}-\mathrm{e}^{-\pi}},-\pi \leqslant x \leqslant \pi$ ，的傅里叶级数，并求级数的 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{4 n^{2}+1}$ 和．
（1）将函数 $\displaystyle f(x)=|x|+\sin ^{2} \pi x$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上展开成周期为 2 的傅里叶级数．
（2）求函数 $\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{a x}, 0 \leqslant x \leqslant 2 \pi$ ，的傅里叶级数，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+1}$ 的和．
（3）求函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\pi}{2} \frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{\pi}-\mathrm{e}^{-\pi}},-\pi \leqslant x \leqslant \pi$ ，的傅里叶级数，并求级数的 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{4 n^{2}+1}$ 和．
第23题证明题
23．设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的连续函数，其傅里叶级数 $\displaystyle \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n \dot{x}+b_{n} \sin n x\right)$ 处处收玫．证明：其傅里叶级数处处收玫于 $\displaystyle \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ ．
第24题未分类
24．设存在一区间 $\displaystyle [a, b]$ 使得两个傅里叶级数 $\displaystyle \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)$ 和 $\displaystyle \frac{\alpha_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\alpha_{n} \cos n x+\beta_{n} \sin n x\right)$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上收玫，并且其和函数在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且相等，问对于任意自然数 $\displaystyle n, a_{n}=\alpha_{n}, b_{n}=\beta_{n}$ 是否成立？如成立，请证明；如不成立，加上什么条件后能保证成立，说
明理由．
明理由．