收敛数列的四则运算
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第2题证明题
2．设 $\displaystyle a_{n} \geqslant 0(n=1,2,3, \cdots), \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{a_{n}}=\sqrt{a}$ 。
第3题证明题
3．证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$（ $\displaystyle a$ 为有限数或 $\displaystyle \pm \infty$ ），则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}=a$（ $\displaystyle a$ 为有限数或 $\displaystyle \pm \infty$ ）．
（2）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n+\sqrt{n}}=a$ ．
（3）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt[n]{n}}{n}=1$ ．
（4）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}} \sum_{k=1}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} x_{n}=a$ ，其中 $\displaystyle \mathrm{C}_{n}^{k}=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdots k}$ ．
（5）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n-1}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=b$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}=\frac{a+b}{2}$ ．
（6）已知数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 非负且单调递减， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} b_{n}=b$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} \frac{a_{1} b_{n}+a_{2} b_{n-1}+\cdots+a_{n} b_{1}}{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}=b$ ．
（7）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为正实数列，$\displaystyle s_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}, r_{n}=\frac{a_{1}^{-1}+a_{2}^{-1}+\cdots+a_{n}^{-1}}{n}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}, \lim _{n \rightarrow \infty} r_{n}$ 均存在。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} s_{n} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} r_{n} \geqslant 1$ ．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$（ $\displaystyle a$ 为有限数或 $\displaystyle \pm \infty$ ），则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}=a$（ $\displaystyle a$ 为有限数或 $\displaystyle \pm \infty$ ）．
（2）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n+\sqrt{n}}=a$ ．
（3）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt[n]{n}}{n}=1$ ．
（4）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}} \sum_{k=1}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} x_{n}=a$ ，其中 $\displaystyle \mathrm{C}_{n}^{k}=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdots k}$ ．
（5）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n-1}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=b$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}=\frac{a+b}{2}$ ．
（6）已知数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 非负且单调递减， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} b_{n}=b$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} \frac{a_{1} b_{n}+a_{2} b_{n-1}+\cdots+a_{n} b_{1}}{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}=b$ ．
（7）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为正实数列，$\displaystyle s_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}, r_{n}=\frac{a_{1}^{-1}+a_{2}^{-1}+\cdots+a_{n}^{-1}}{n}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}, \lim _{n \rightarrow \infty} r_{n}$ 均存在。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} s_{n} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} r_{n} \geqslant 1$ ．
第4题证明题
4．证明下列结论或求极限．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=b$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1} y_{n}+x_{2} y_{n-1}+\cdots+x_{n} y_{1}}{n}=a b$ 。
（2）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a, ~ \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=b$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1} y_{2 n}+x_{3} y_{2 n-2}+\cdots+x_{2 n-1} y_{2}}{n}$ 。
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=b$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1} y_{n}+x_{2} y_{n-1}+\cdots+x_{n} y_{1}}{n}=a b$ 。
（2）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a, ~ \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=b$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1} y_{2 n}+x_{3} y_{2 n-2}+\cdots+x_{2 n-1} y_{2}}{n}$ 。
第5题证明题
5．设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛，且 $\displaystyle a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$（几何平均值收敛公式）．
第19题证明题
19．证明或求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n^{2}}$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n(n+1)}$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\cos 1+2 \cos \frac{1}{2}+\cdots+n \cos \frac{1}{n}}{1+2+\cdots+n}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} p_{k} a_{k}}{\sum_{k=1}^{n} p_{k}}=a$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, \sum_{i=1}^{\infty} p_{i}=+\infty, p_{i}>0$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+\frac{a_{2}}{2}+\cdots+\frac{a_{n}}{n}}{\ln n}=a$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}+\cdots+\sqrt[n]{n}}{n}$.
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=0}^{n} \ln \mathrm{C}_{n}^{k}}{n^{2}}$ ，其中 $\displaystyle \mathrm{C}_{n}^{k}=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdots k}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2}+3^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}}{n^{3}}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}}{(1+2+\cdots+n)^{2}}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3^{k}}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k^{2}}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{d}+2^{d}+\cdots+n^{d}-\frac{n^{d+1}}{d+1}}{n^{d}}, d>0$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n^{2}}$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n(n+1)}$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\cos 1+2 \cos \frac{1}{2}+\cdots+n \cos \frac{1}{n}}{1+2+\cdots+n}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} p_{k} a_{k}}{\sum_{k=1}^{n} p_{k}}=a$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, \sum_{i=1}^{\infty} p_{i}=+\infty, p_{i}>0$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+\frac{a_{2}}{2}+\cdots+\frac{a_{n}}{n}}{\ln n}=a$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}+\cdots+\sqrt[n]{n}}{n}$.
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=0}^{n} \ln \mathrm{C}_{n}^{k}}{n^{2}}$ ，其中 $\displaystyle \mathrm{C}_{n}^{k}=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdots k}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2}+3^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}}{n^{3}}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}}{(1+2+\cdots+n)^{2}}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3^{k}}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k^{2}}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{d}+2^{d}+\cdots+n^{d}-\frac{n^{d+1}}{d+1}}{n^{d}}, d>0$ ．
第20题证明题
20．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle 0<\lambda<1, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+\lambda a_{n-1}+\lambda^{2} a_{n-2}+\cdots+\lambda^{n} a_{0}\right)=\frac{a}{1-\lambda}$ 。
（2）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=A$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(a_{n}+2 a_{n-1}+\cdots+(n-1) a_{2}+n a_{1}\right)=A$ ．
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是收玫级数，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n}=0$ 。
（4）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n}$ 存在，并求之．
（5）已知数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{2 n}}{2 n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{2 n-1}}{2 n-1}=b$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{1+2+\cdots+n}=\frac{a+b}{2}$ ．
（1）设 $\displaystyle 0<\lambda<1, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+\lambda a_{n-1}+\lambda^{2} a_{n-2}+\cdots+\lambda^{n} a_{0}\right)=\frac{a}{1-\lambda}$ 。
（2）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=A$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(a_{n}+2 a_{n-1}+\cdots+(n-1) a_{2}+n a_{1}\right)=A$ ．
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是收玫级数，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n}=0$ 。
（4）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n}$ 存在，并求之．
（5）已知数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{2 n}}{2 n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{2 n-1}}{2 n-1}=b$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{1+2+\cdots+n}=\frac{a+b}{2}$ ．